第七章线性变换总结篇(高等代数)

第 7章 线性变换

7.1知识点归纳与要点解析

一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义

数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别

设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：

σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质

设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1.

()()00,σσαα==-;

性质2. 若12s ,,

,ααα线性相关，那么()()()12s ,,

,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,

,ααα线性无关，那么()()()12s ,,

,σασασα

也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，

如果：

11111221221122221122s s

s s m m m ms s

c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++

+

记：

()()112111222

2121212,,,,,

,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

于是，若()dim V n =，12,,

,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,

,m βββ是

V 中任意一组向量，如果：

()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n

b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++

+

记：

()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=

那么：

()()1121

112222121212,,,,,

,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是

12,,

,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()

12

,r

i i i

σβσβσβ就是

()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的

秩等于秩()B 。

4. 线性变换举例

（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。

零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈。

幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使

得σ

=m

0，就称σ为幂零变换。

幂等变换：设σ是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2σσ

=，就称σ为幂等

变换。

（2）n

V P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ，令：

111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 （3）[]V P x =，()()

()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈。 （4）n n

V P

⨯=，()

ij A a =是V 中一固定矩阵，()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈。

二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法

（1） 定义： 设V 是数域P 上的线性空间，,στ是V 的两个线性变换，定义它们的和

στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈

()()()()στασατα+=+，()()()()σταστα=

任取k P ∈，定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈

()()()k k σασα=

σ的负变换-σ为：对任意的V α∈

()()()-=-σασα

则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换。

（2）()L V ={σ

σ为V 的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线

性空间。

2. 线性变换的矩阵

（1）定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，12,,

,n ααα是V 的一

组基，如果：

()()()11111221221122221122n n n n n n n nn n

a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=++

+

那么称矩阵1121112

22212n n n

n

nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵。

此时：()()()()()()121212,,

,,,,

,n n n A σααασασασαααα==

（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：

设12,,

,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，(),L V στ∀∈，设

它们在12,,

,n ααα下的矩阵分别为A,B 。

1）():n n

f L V P

⨯→，A σ

是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间

n n P ⨯的同构映射，因此()n n L V P ⨯≅。

2）σ可逆⇔A 可逆

3）①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈，k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；

③ 若σ为可逆线性变换，则1

σ-在基12,,

,n ααα下的矩阵为1A -；

④ 设()1

110m

m m m f x a x a x

a x a --=++

++为数域P 上的任一多项式，那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++

++（ε为V 的恒等变换）在基

12,,

,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++

++。

三．特征值、特征向量与对角矩阵

1. 矩阵的特征值与特征向量

（1）矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵，将多项式()λλ=

-A n f E A 称为A 的特征

多项式。

注： 1）若()

ij

nn

A a =，则：

()()()()1112211λλλλ-=-=+-++

++

+-n

n n A n nn f E A a a a A

()()()11tr 1λλ-=+-+

+-n

n n A A

2) 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵，

0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程。