用法向量求二面角的大小
用法向量确定二面角大小的三个基本关系
用法向量确定二面角大小的三个基本关系作者：程映军来源：《甘肃教育》2012年第23期〔关键词〕数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相关关系〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题.一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][➝]=（1，0，0），[j][➝]=（0，1，0），[k][➝]=（0，0，1）的“分解程度”.如，将向量[m][➝]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][➝]，=（0，y，0）=y[j][➝]，=（0，0，z）=z[k][➝]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表：二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系.证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][➝]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][➝]⊥[m][➝]⊥⇒[m][➝]·=0[m][➝]·=0⇒x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得y=-x，z=-xy1-y0 z1-z0y2-y0 z2-z0 ≠0. 记λ1=-，μ1=-，则[m][➝]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；同理，λ2=-，μ2=-x1-x0 z1-z0x2-x0 z2-z0 ≠0，则[m][➝]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；令λ3=-，μ3=-x1-x0 y1-y0x2-x0 y2-y0 ≠0，则[m][➝]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.这说明，由A0，A1，A2三点唯一确定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一确定.三、二面角的大小与两个法向量相对指向的关系定义1：以l为棱的两个半平面α，β把空间分成两部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分称为二面角的内部，另一部分则称为二面角的外部.定义2：以平面α上任意一个不属于棱的点为起点作该平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角α-l-β的外部，则称该法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，称该法向量指向二面角α-l-β的内部.有以下事实：①当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]同时指向二面角α-l-β的内部（或外部）时，角与二面角α-l-β互为补角（图1）.②当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]一个指向二面角α-l-β的内部，另一个指向二面角α-l-β的外部时，角与二面角α-l-β大小相等（图2）.对于以上三个基本关系的阐述和证明，我们可以看到，要解决提出的问题，关键是要判断两个法向量的相对方向.而由于平面法向量的方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，所以我们只需要判断出平面法向量的任意一个坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，实现整个问题的求解.以下举例说明该方法的具体实施过程.例1：如图3，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.解析：（1）（2）略.（3）取AC中点O，连接B1O，易知OB1⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，以OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系.则A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.设平面VBC的一个法向量[n][➝]=（x1，y1，z1），由[n][➝]⊥[n][➝]⊥得-ax1=0-ay1+az1=0，取z1=1，得[n][➝]=（0，，1），此时法向量[n][➝]指向二面角A-VB-C的外侧.同理可得平面VAB的一个法向量[m][➝]=（2，-，1），此时，法向量[m][➝]指向二面角A-VB-C的内侧.∴cos==-.所以，二面角A-VB-C的大小为arccos-.例2：在正方体中，二面角的大小为 .解：如图5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直线A1C，A1D的方向向量分别为BB1D1和BAD1的法向量，分别令[n1][➝]=，[n2][➝]=，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.∴cos==.即向量，的夹角为30°，由于，的指向都是向着二面角外，所以二面角A-BD1-B1与向量，的夹角互补，所以二面角A-BD1-B1的大小为150°.。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。
它利用向量的夹角来表示二面角。
首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。
通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。
它利用坐标系中的点来表示二面角。
我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。
它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。
通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。
它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。
不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。
法向量求二面角-空间向量
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利用法向量求二面角利用法向量求二面角如果n那么向量n叫做平面的法向量直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余2利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小先求出两个半平面的法向量的夹角然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小指入指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小
C1
A1
B1 E
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C A
D
12
B
2.(广州二模）如图，P A 平 面 A B C , B A C 9 0 0 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
P
F
A
C
D
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E
13
B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。
2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发 展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问 题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问 题是学好立体几何的基础。
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4) 二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
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例 10
例２．在四面体 ABCD中 ，AB⊥ 面 BCD，
BC=CD，∠BCD＝9 0 0，∠ADB= 3 0 0 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC；
F（1，2，0） E A1
（2，1，2） N
（1，2，2） 则
向量法求二面角大小洋葱数学
向量法求二面角大小洋葱数学【原创实用版】目录一、引言二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角4.确定 cos 的符号5.用反三角函数表示这个角三、结论正文一、引言在数学中，二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个非常重要的概念。
在实际应用中，求解二面角大小有着广泛的应用，而向量法是求解二面角大小的一种常用方法。
本文将从向量法的角度出发，详细介绍如何求解二面角大小。
二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量在求解二面角大小时，首先需要找到两个平面上的法向量。
法向量是垂直于平面的向量，它可以通过计算平面上两个向量的叉积得到。
假设平面 1 的法向量为 A，平面 2 的法向量为 B，则可以通过计算向量 A 和向量 B 的叉积得到法向量 C。
2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）接下来，需要计算二面角大小所对应的 cos 值。
根据向量内积的定义，可以得到 cos（法向量 1 法向量 2）=（法向量 1·法向量 2）/（法向量 1 的模长*法向量 2 的模长）。
其中，法向量 1·法向量 2 表示法向量 1 和法向量 2 的内积，法向量 1 的模长和法向量 2 的模长分别表示它们的模长。
3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角在计算出 cos 值后，需要根据图形来判断这个二面角是锐二面角还是钝二面角。
如果 cos 值为正，那么这个二面角就是锐二面角；如果 cos 值为负，那么这个二面角就是钝二面角。
4.确定 cos 的符号在计算 cos 值时，需要注意 cos 值的符号。
如果法向量 1 和法向量 2 的内积为正，那么 cos 值为正；如果内积为负，那么 cos 值为负。
在实际计算中，需要根据具体情况来确定 cos 值的符号。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
用法向量求二面角的大小
解:建立如图空间直角坐标系，
A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0) , E(0,1,1)
解:建立如图空间直角坐标系， D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0, 2,1),A1(2,0,4)求得平面BDE的法 向量 n1(1,-1,2) ，平面A1DE 的法向量 n2(4,1,2)
cosn1,n2|n n1 1||n n2 2|-4 1 2 4
取内部向量 A 1B(0,2,4)
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练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;
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练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;
为内部向量。
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内部向量MN判定法
MNn1 0 MNn2 0
异 号 互 补
MNn1 0 MNn2 0
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MNn1 0 MNn2 0
同 号 相 等
MNn1 0 MNn2 0
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法向量求二面角大小的又一个简单判定方法
法向量求二面角大小的又一个简单判定方法红 岩求二面角大小问题是高考重点考察内容，法向量法是求二面角大小的一种主要方法。
我们知道：二面角大小与其两个平面的法向量夹角相等或互补。
但到底是相等还是互补，教学中很多师生采用直观判断；参考资料涉及此问题也回避不谈，文【1】（数学通讯2013教师版2）给出了一种很好的判定方法，本文给出另一种更为简单的判定方法。
一．判定方法引理：设点A 、B 分别是平面α内、外的点,→n 是平面α的法向量,当→→∙n AB >0 则→n 的方向向上。
(如图) 当→→∙n AB <0 则→n 的方向向下。
(如图)定理：一个起点、终点在不同平面上的向量，分别与这两个平面法向量的数量积，若数量积的符号相同，则这两个平面二面角的大小等于其法向量夹角的大小；若数量积的符号相反，则这两个平面二面角的大小与其法向量夹角的大小互补。
结论可记为“相同相等，相反互补”，或“同等异补”。
已知：设A 、B 分别是βα,上的点,且两点都不在平面βα,交线上（若两点中有在平面βα,交线上，则(→→∙n AB )(→→∙m AB )≠0）, →n 、→m 分别是βα,的法向量,θ为平面βα,的平面角。
证明：若(→→∙n AB )(→→∙m AB )＞0, 则θ=mn mn∙arccos ；若(→→∙n AB )(→→∙m AB )＜0, 则θ=π-mn mn ∙arccos 。
证明：⑴当→→∙n AB >0,→→∙m AB >0,根据引理，得→n 、→m 的方向如图。
βα,的平面角等于→n 、→m 的夹角，∴θ=mn mn ∙arccos⑵当→→∙n AB <0,→→∙m AB <0, 根据引理得→n 、→m 的方向如图。
βα,的平面角等于→n 、→m 的夹角，∴θ=mn mn ∙arccos⑶当→→∙n AB >0,→→∙m AB <0, 根据引理得→n 、→m 的方向如图。
向量法-求二面角大小
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有（图2）；2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。
四．应用举例例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其方向。
向量法求二面角的大小
向量投影的计算方法：先求出两个向量的点积和模长然后根据定义计算投影长度。
向量投影的应用：在几何、物理和工程等领域中向量投影是重要的概念用于描述方向、速度和力等物理量在某个 方向上的分量。
向量投影的定义：向量的投影是该向量在给定平面上的正交投影长度。
向量法在二面角计算中的步 骤
向量法的基本原理
ห้องสมุดไป่ตู้
向量法在二面角计算中的优 势
向量法在二面角计算中的注 意事项
向量法求二面角大 小的步骤
确定原点：选择一个方便的点作为 原点通常选择二面角的顶点
确定坐标：根据需要在x轴和y轴上 选择单位长度并确定其他点的坐标
添加标题
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确定轴：选择两个垂直的向量作为 x轴和y轴通常选择二面角的两个法 向量
向量投影的性质：投影长度总是非负的且与原向量平行。
向量投影的计算方法：先求出原向量与给定平面的法向量的点积再除以法向量的模的平 方。
向量投影的应用：在求解二面角的大小、向量的模等问题中可以通过计算向量投影来简 化计算。
向量法求二面角大 小的原理
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向量法定义：利用向量的数量积、向量积和向量的混合积计算二面角的大小。
向量的模定义：向 量的大小或长度记 作||计算公式为|| = √(x^2 + y^2)。
向量的数量积定义： 两个向量的点乘记 作 ·b 计 算 公 式 为 ·b = ||·|b|·cosθ其中 θ为两向量之间的 夹角。
向量的数量积性 质 ： ·b = b ·即 点 乘 满足交换律；分配 律 ： ( + b ) ·c = ·c + b ·c 。
用向量求二面角的四种方法
用向量求二面角的四种方法
作者：林明成
来源：《数理化学习·高三版》2008年第12期
向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不仅是对传统方法的有力补充，而且还可以最大限度地避开思维的高强度转换和各种辅助线添加的困难，将灵活的逻辑推理转化为机械的代数运算.它降低了问题的难度，简缩了思维的过程，可操作性强.但在具体运用过程中也需针对具体问题采用不同的转化方式.
一、借助空间向量基本定理和向量夹角公式
例1 如图1，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，
SA=AB=BC=1，AD=1/2，求平面SCD与平面SAB所成锐角二面角的大小.。
用向量求二面角大小的五种方法
弦 ，避 开 了判 定 法 向量 的 夹 角和 二面 角 的大 小 关 系 的难 点 ．
二 、检 验 向量 法
例 １ （０ ５年 高考 全 国卷 ｍ） ２０ 如图 １ ，在 四 棱 锥 面 Ａ Ｃ 是正 方 形 ，侧 面 Ｖ Ｄ是 ＢＤ Ａ
互补的关 系，但 “ 等”还是 “ 相 互补”这 个问题始终 困扰 着我 图 １ 示 的空 间 直 角 坐标 系 ０ ｘｚ 所 一 ｙ ，正 方 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 边 长 为 １ ，
则ｏ ，，）Ａ ００，（ １０， （ ００，（ ， ）曰 ｏ ， ．＇ ）
Ｄ１０ ） （０ ） ， ｏ ｖ’ ＇ ＇ｏ ， ．
的法向最． ， ． 与 ｎ ． 若 ｌ 耐 ， ，
同号 ，则 ０： 竹一（。 ｌ ； ，，，） ｌ
收稿 日期 ：２ １— ９ １ ０００—９
作者简介：宋波 （９ １ ，男，甘 肃甘谷人 ，中学高级教 师，甘肃省青年教学能手 ，兰 州市骨干教师 ，兰州市教科研 工作先进个人 ，主要从 １７ 一） 事高 中数 学教 学、解题思想和方法 、高考复习的研究．
如 图 ６ 已 知 四 棱 锥 Ｐ ＡＢ Ｄ 中 ， ， － Ｃ Ｐ Ｌ Ｄ，侧 面 Ｐ Ｄ 是 边 长 为 ２的 Ｂ＿Ａ Ａ
Ｃ
丁３ ， ｘ ｝ 音 ① －
因 为 ＝（ 一， ， ） ，
等边 三 角形 ，底 面 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是菱 形 ，
于 ＝， ｏ ＝１０ ） 是 （ １） （，， ． １，，
设 平 面 Ｖ Ｄ 的法 向量 为 ， ＝（ Ｂ ｌ ，Ｙ ） １ ，ｚ ，
求二 面角的大小是立 体几何 中学 习的重点 ，也 是高考 的热 点． 用法 向量解决此类 问题 ，把空间几何问题转化 为代数 运算 ，
空间向量二面角求法
空间向量二面角求法空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。
在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。
本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。
一、点乘法点乘法是最简单直接的方法之一。
给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。
然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。
二、向量投影法向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。
具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。
这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。
三、向量叉乘法向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。
给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。
这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量的投影，相对简单方便。
四、三角函数法三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。
给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥)sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥)tanθ=sinθ/cosθ通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。
这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。
总结：空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。
本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。
在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。
法向量法求二面角
显然平面SBA的一个法向量为
n1 = (1， 0) 0，，
设平面SCD的一个法向量为
S D
z 1 C
1 SA = , 2
B 1 y
A x
n 2 = ( x，y，z )，
则 n 2 ⊥ 平面SCD
图5
1 AD = . 2
n 2 • SD = 0 ∴ ⇒ n2 • SC = 0
x−z =0 取 z = 2, 则 n2 = (2 , − 1, 2) 2 x + 2 y − z = 0
∴ A1Q = (2, 2, −2), QD = (−2, 20)
面AA1D的法向量 n1 = (1,0,0) 设面A1DQ的法向量为
z
A1
D1 B1 DC1n2 = (a1 , a2 , a3 ),
2
y
Q
C B
4 2
O（A） （ ）
x
则
n2 ⋅ A1Q = 2a1 + 2a2 − 2a3 = 0, n2 ⋅ QD = −2a1 + 2a2 = 0,
令y=1,取平面的一个法向量为
n = (1,1,1)
注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下， 模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.
例题4. 例题 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点， 求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0），
解：延长BA，CD 交于E，则面SCD∩面SBA=SE.
AD 1 ∵ AD / / BC 且 = BC 2
5 2
向量法-求二面角的大小
平面SBA的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
y
另外
SC =(1,1,
-1)
,
SD
=
(
1 2
,0,-1),
BC =(1,0, 0) ,
1
由 n1 ·SC,得= 0 n1 ·SD = 0
x1+y1- z1=0
y1=-z1
21x1-z1 = 0 得 x1=2z1
B
1
C
1
令z1= 1, 则 n1=(2,-1,1),
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
z
F1 E
解：以点A为原点, 建立如图的空间直角坐标系,
11
设AD=2, 则
A 1K 1 D
1
2
y
A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).
B
设 平面ACD的一个法向量为n1 =(x1,y1,z1), x
A
1 2
D
x
又 BC⊥平面SBA ∴ BC是平面SBA的一个法向量 . ∴ n2=(1,0,0),
∴ cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22| =
2 6×1
=
6
3
设 所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q, 由图形知q是锐角,
∴
2021/6/12 6
cosq = 3
得 tanq =
2
2
S
1
B
1
C
1
A
1 2
D
2021/6/12
14
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
用法向量求二面角
探究新知
• 结论 •
法向量的夹角与二面角的大小是相等或
互补。
尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），
n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( C )
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.90°
解析
cos m , n
|
m m
n || n
|
1 1
2
2, 2
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
启示：
求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。
如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90,
又SA 面ABCD,
SA
AB
BC
1,
AD
1 2
,
求面
SCD
与面SAB 所成的二面角的余弦值。
解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz,
则 A(0,0,0), 设n (x, y,
又SA 面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,
2
求面SCD与面 SAB 所成的二面角的余弦值。
S
你能找到所求 二面角的棱吗？
B
C
A
D
探究新知
问题：
二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没
有关系？
n1 n2
l
探究新知
n1, n2
探究新知
n1, n2
D(1 ,0,0), C (1,1,0), S(0,0,1), 2
z)是面SCD的法向量， 则
S
z
n DC,
n
利用法向量求二面角5则
利用法向量求二面角5则以下是网友分享的关于利用法向量求二面角的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
关于利用法向量求二面角的问题（一）关于利用法向量求二面角的问题我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a b，它的长度（模）为| |=||||，它的方向与和都垂直，并且按,, 的顺序构成右手标架（如下图所示）若是 ，则所得向量长度与 相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.设平面内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则(x2 x1,y2 y1，z2 z1)， (x3 x1,y3 y1,z3 z1)，所以y2 y1y3 y1z2 z1z3 z1z2 z1z3 z1x2 x1x3 x1x2 x1x3 x1y2 y1y3 y1(，，），很明显，向量 可以为平面 的法向量.此时 的方向应该是垂直平面 并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小. 说明：行列式abcdad b c，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.如图所示，设平面 与平面 所成的二面角为 ，法向量分别为,，显然与所成的角为 ，且 ，即此时与所成的角 就是平面 与平面 所成的二面角为 ，从这里我们可以看出，只要平面 与平面 的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.如图，我们来求平面与平面 所成的二面角 ，设 (x1,y1,z1)，AC (x2,y2,z2)，x1y1z1x1y1z1，且设z若x1y1x2y2，yz1x1z2x2，xy1z1y2z2x2y2z2x2y2z2则平面 的一个法向量 (x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面 的法向量方向应该是朝向二面角的里面.设 (x3,y3,z3)， (x4,y4,z4),要使平面 的法向量方向朝向二面角的里面，根据右手标架，我们计算应该是 ，若x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3，并且设cx4y4x3y3b ，x4y4x3y3，ay4z4y3z3，则平面 的一个法向量 (a,b,c)根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角.cosxa y b z cx y z a b c22222当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.利用向量求二面角大小的又一方法（二）利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学黄耿跃文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则cosθ=|JJJJGMANBMA||JJJJNBG|.由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG|JJJJMABJJJGABG|2AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG影向量,设GJJJ方向上的投e=JJJJJABGJJJGJJJJG|ABG|为AB方向的单位向量,JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABGGAMGJJJABGJJJ|JJJJABG|e=ABG,|JJJJJABG2∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|GJJJGAN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|2例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明:PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.解(I)略;(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则A(0,0,0),c(32a,12a,0),JDJG=(0,a,0),E(0,2JJJ3a,13a),于是AEG=(0,23a,13a),JJJGAC=(31JJJG2a,2a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:与JJJGND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.由定理2可得JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG|JJJACGACJJJG|2AC121a2=(0,a,a)3333a2(12a,2a,0)=(36a,12a,13a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG |JJJACGACJJJG|2AC12=(0,a,0)2aa2(32a,12a,0)=(34a,34a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJNDG|JJJMEJG||JJJGND|293a2+3a2=248342=2.6a34a∴以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小为30°.例2(2004浙江)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(I)求证AM⊥平面BDF;(II)求二面角ADFB的大小.解(I)略.(II)如图建立空间直角坐标Cxyz,∵A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,∴JJJG2,1).DF=JJJDBGJJJDA=G(0,2,1),(0,2,0),JJJG=(2,2,0),DF=(0,2,1).作AM⊥DF于M,BN⊥DF的延长线于N,JJJG则由定理1得:MA与JJJNBG所成的解θ的大小为二面角ADFB的大小.由定理2可得:JJJGMA=JJJDAGJJJJDMG=JJJDAGJJJDAGJJJG DFJJJG|JJJGDF|2DF=(0,2,0)23(0,2,1)=(0,2,2),JJJNBG=JJJGDBJJJJDNGJJJG 3JJJG3=JJJDBGDBDFJJJG|JJJGDF|2DF=(2,2,0)2(0,2,1)/3=(2,JJJG2JJJ/3,2/3),cosθ=MANBG|JJJGMA||JJJNBG|6=91(6/3)(24/3)=2.∴二面角ADFB的大小为60°.例3(2005福建)如图,直二面角30DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(I)求证:AE⊥平面BCE;(II)求二面角BACE的大小;(III)求点D到平面ACE的距离.解(I)略;(Ⅱ)如图所示,以线段AB的中点原点O,OE所在的直线为x 轴,AB所在的直线为y轴,过O作平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)B(0,1,0)JJJG=JJJ(0,2,2),JJJAEG,AC=(1,1,0),ABG=(0,2,0).作BM⊥AC于M,EN⊥AC理1得,JJJ于NEGN,则由定与JJJGMB所成的角θ的大小为二面角BACE的大小由定理JJJ2得NEG=JJJAEGJJJG=JJJAEGJJJANAEGJJJG|JJJACGACJJJ|2ACG=(1,1,0)2(0,2,2)=11JJJG2),MB=JJJ8(0,2,ABGJJJJGJJJAGMJJJG=JJJABGAB|JJJACJJJGACG|2AC=(0,2,0)4(0,2,2)=(0,1,1)JJJGJJJG8,cosθ=NEMB13|JJJNEG||JJJGMB|=3=3,22∴二面角BACE的大小为arccos33.参考文献[1]郑剑晖,郑毓青.二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定.2005.1.利用空间向量求二面角的判定方法（三）利用空间向量求二面角的判定方法法一：若点A、B分别为二面角α−l−β的两个半平面α与β上的任两点，且A∉l,B∉l，n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（ABn1）（ABn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角相等；（2）当（ABn1）（ABn2）互补；l法二：若点P为二面角α−l−β的棱l上的任一点，Q 为两个二面角α−l−β内的任一点, n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（PQn1）（PQn2）相等；（1）当（PQn1）（PQn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角互补；l利用法向量求二面角的正负（四）利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14 【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。
高考数学专题：向量求二面角(含答案)
高考数学专题：向量求二面角向量法求二面角大小的两种方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A-PM-C的正弦值．2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O-EF-C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值6、如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝π2，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．7、如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值．8、如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．答案：1、解：(1)如图，连接AC，BD，因为ABCD为菱形，则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知， BM→＝14BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14，0， 从而OM→＝OB →＋BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a >0，则AP→＝(－3，0，a )，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，a . 因为MP ⊥AP ，故MP →·AP→＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)， 即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，32，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，32，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，32. 设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AP →＝0，n 1·MP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，533，2. 由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155， sin 〈n 1，n 2〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－1552＝105， 故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105.2、(1)证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC→＝0. 从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 大小为θ，且由题意知θ为锐角， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.3、．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，D 1(0，0，a )，F (a ，0，0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)因为AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0，0，a )， 所以|cos 〈AB 1→，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：因为BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a ，0，0)，FB 1→＝(0，a ，a )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧FB 1→·BB 1→＝0，FB 1→·BC →＝0，所以FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . 因为BB 1∩BC ＝B ， 所以FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，FB 1→为平面BCC 1B 1的一个法向量． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量， 因为CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a ，2a ，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎨⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则n ＝(2，1，1)，所以||cos 〈FB 1→，n 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪FB 1→·n |FB 1→||n |＝33，因为二面角F -CC 1-B 为锐角， 所以二面角F -CC 1-B 的余弦值为33.4、解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)如图，过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ， 由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz . 由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°， 则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)． 由已知，AB ∥EF ， 所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)．所以EC→＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0. 所以可取n ＝(3，0，－3)． 设m 是平面ABCD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)， 则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.5、解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1，1，0)，E (－1，－1，2)，F (0，0，2)，G (－1，0，0)．(1)证明：依题意，AD→＝(2，0，0)，AF →＝(1，－1，2)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，2，1)．又EG →＝(0，1，－2)，所以EG →·n 1＝0， 又因为直线EG ⊄平面ADF ， 所以EG ∥平面ADF .(2)易证，OA→＝(－1，1，0)为平面OEF 的一个法向量． 依题意，EF→＝(1，1，0)，CF →＝(－1，1，2)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.不妨设x ＝1，可得n 2＝(1，－1，1)．因此cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以，二面角O -EF -C 的正弦值为33.(3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF→＝(1，－1，2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →||n 2|＝－721.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.6、解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． (1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD→是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC→＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0. 令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP→＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB→＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝ (－λ，－1，2λ)，又DP→＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时， |cos 〈CQ→，DP →〉|的最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.7、解：(1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D .又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE . 又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C .(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设面A 1DE 的法向量为n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足方程组⎩⎨⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，因为(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设面A 1B 1CD 的法向量为n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)，所以结合图形知二面角E -A 1D -B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63. 8、解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，得PC ⊥DE .由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE .又PC ∩CD ＝C ，所以DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1.又EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.如图，以C 为坐标原点，分别以CA→，CB →，CP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)，ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0. 设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0， 故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知，DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED→， 即n 2＝(1，－1，0)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36， 故二面角A -PD -C 的余弦值为36.。
利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小
直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。
一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
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课堂小结 1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。 2、利用内部向量判定二面角的大小。 3、用法向量求二面角大小的一般步骤。 4、感知空间中点、线、面在运动过程中的位 置关系的变化，及空间想象能力的培养。 5、分析、归纳问题的能力。
课后作业
教材112页，A组第6题. B组第2，3题.
根据观察，二面角为………。
齐相国老师刊登在《数学通讯》2009年第4期的《法向量 求二面角时法向量方向的判定法》。 李峰老师发表在《数学通讯》2010年第9期的《对“法向 量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进 》
内部向量MN判定法
规定:如图,分别在半平面 α，β内各取一点 M,N(不在棱上取),我们称 MN (与法向量不共线) 为内部向量。
n1 n2 14 cos n1 , n2 42 | n1 || n2 |
A1 B (0, 2, 4) 取内部向量 A1 B n1 -10 0, A1 B n2 10 0
故二面角A1-DE-B的余弦值为 14 .
42
用法向量求二面角的大小的一般步骤:
1、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。
2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。
3、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量 （同号相等，异号互补），判定二面角的大小。 4、下结论。
练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;
内部向量MN判定法
MN n1 0 MN n2 0 MN n1 0 MN n2 0
异 号 互 补
MN n1 0 MN n2 0
同 号 相 等
练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值; 解:建立如图空间直角坐标系， A(0,0,0), B( 0,2,0),C(2,2,0), D(1, 0,0),S(0,0,1) 易知平面SAB的法 向量 AD (1,0,0) ，求出平面 SDC的法向量 n (2, 1,2)
教材106页例2：求二面角α-l-β的余弦值。
教材109页例4:求二面角C-PB-D的大小。
改编教材109页 例4
如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA||平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;
n1 n2 14 cos n1 , n2 42 | n1 || n2 |
解:建立如图空间直角坐标系， D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4) n1 (1, -1, 2) 平面BDE的法向量 平面A1DE的法向量 n2 (4,1, 2)
MN n1 0 MN n2 0
练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1 上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值; 解:建立如图空间直角坐标系， D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0, 2,1),A1(2,0,4) 求得平面BDE的法 -1, 2) ，平面A1DE 向量 n1 (1, 的法向量 n2 (4,1, 2)
3
判断互补还是相等的简单的方法 是：观察二面角的大小来判定.
练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,点E在 CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1 上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
n DE y z 0 n (1, 1,1) y0 n DB 2 x 2 AC n 6 cos AC , n 3 | AC || n |
根据观察，二面角为锐二面角， 故二面角F-BD-E的余弦值为 6 .
用法向量求二面角的大小
成都七中高新校区 康盛
两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？
根据上图，分小组进行讨论---“两法向 量的夹角与二面角的关系.”
两法向量的夹角与二面角的关系
θ =π- φ 互补
θ= φ 相等
如何判别互补还是相等？
根据教材109页例4改编
如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA||平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值; 解:建立如图空间直角坐标系， A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0) , E(0,1,1) AC (2,2,0) 易得平面BDF的法向量 设平面 BDE的法向量 n ( x, y, z)