研究生《数值分析》试卷(带答案)

2009级研究生《数值分析》试卷

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x

y y x y x u 22

3),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x

,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.

解：)(23)(6)(),()(),()(222

y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.01071456

6

.03)

()(22

=≈

+

=

x

y y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3

+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差

]4,3,2,1,0[f .

解：211

4

2512)1()2(]2,1[,

31

1

401)0()1(]1,0[=-=--=

=-=--=

f f f f f f

92

3

2102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,

0!

4)

(]4,3,2,1,0[)

4(==

ξf

f 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12

1)]1()0([21)(1

f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.

解：记⎰=1

0)(dx x f I )]1(')0('[12

1)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：111

0==⎰dx I

1]00[12

1

]2[21=-+=

n I x x f =)(时：2

110

==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I

2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I

3)(x x f =时：411

03==⎰dx x I 4

1]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 6

1

]40[121]1[21=-+=n I

求积公式)]1(')0('[12

1

)]1()0([21)(1

f f f f dx x f -++≈

⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(2

3

-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间}

,,1{)(2

x x Span x =Φ上求函数

)(x f 的最佳平方逼近多项式.

其中,权函数1)(=x ρ,15

4))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.

解：0))(),(())(),((21))(),((1

101101

1

00=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ

3

2

))(),(())(),(())(),((1

12110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ

0))(),(())(),((1

131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 5

2

))(),((1

1422==⎰-dx x x x ϕϕ

解方程组

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

--=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛154153234520

3

2032032022

1

a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：15

16

)(2

-+

=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:

(1) 填写均差计算表(

(2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.

(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解：12)

12)(02()

1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=

x x x x x x x L

12)1)(0(1)0)(1(1)(2

2+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(2

4--+++-=x x x b ax x x x H

则

)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H

)1()(-++x x b ax

由 ⎩⎨

⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1

220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(2

3424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)

(1). 用Romberg 方法计算⎰3

1

dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).

(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈1

10

)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数

k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰3

1

dx x .

解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=

所以积分⎰⎰-+=1

13

1

2dt t dx x

由三次Legendre 多项式 )35(2

1

)(33x x x p -=

得得Gauss 点： ,

515

,0,515210==-=x x x

再由代数精度得 ⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧

==+==+-==++⎰⎰⎰---32

535

30515515211122011

2011210

dt x A A dt x A A dt A A A

即 ⎪⎩⎪

⎨⎧=+=-=++9

/1002

20

20210A A A A A A A 解得 ,9

5,

98

,

95210===A A A

所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：

()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈

⎰-515950985159

5

)(1

1f f f dx x f 因此 79746.2515

29529851529521

1

=+++-≈+=⎰-dx t I