第5章 特征值的估计

5.3 矩阵的谱半径的估计
我们已经知道，若 A (aij ) C nn ， A 的特征值为 1 ， 2 ，
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n
n
n
2 F
． （5.1.2）
i 1
i 1
i j
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
| i | T
2 i 1
n
2 F
A F．
2
由（5.1.2）式知结论中等号成立当且仅当
5.1.2 的证明有
| Im i |
2 i 1
n
i , j 1
| cij |
2
n
n
i , j 1 i j
2 2 ， n ( n 1 ) max | c | | c | ij ij i, j
n
由于实矩阵的特征多项式为实系数多项式，其复特征值必成对出现，则
2 2 ． | Im | 2 | Im | i k i 1
第5章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
切特征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值 满足
S Si ．
设 为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x ( x 0) ，即 Ax x ，写成分量形式为 证明
i 1
n
a
j 1
n
ij
x j xi ， （ i 1,2,, n ）
或 （ i 1,2,, n ） ( aii ) xi aij x j ．
T T 2
H
2
B
F
2 F
n 2 max | bij | 2 ，
i, j
i j
| t ij | t ii t ii 2 T T | | 2 2 i 1 i , j 1 2
n
n
2
H
2
C
F
2 F
n 2 max | cij | 2 ，
i, j
i j
所以
| Re k |2 n 2 max | bij |2 ，
| k | 3 max | aij | 0.6 ，
i, j
i, j
| Re k | 3 max | bij | 0 ， | Im k | 3 max | cij | 0.6 ．
i, j
所以， Re k 0 ， | Im k | 0.6 ．
若用定理 5.1.3 可得
定理 5.2.2 （圆盘定理 2） 设矩阵 A 的 n 个盖尔圆中有 k 个互 相连通且与其余 n k 个不相交，则这个连通区域中恰有 A 的 k 个特征值(当 A 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算， 有特征值相同时也按重复次数计算)．
从定理 5.2.2 可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特 征值， 由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值， 但可能这两 个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．
3 (3 1) max | cij | 0.3464 ． i, j 2 0.2 0.1 实际上， 得 A的 | E A | 0.2 0.2 3 0.09 ， 0.1 0..2 | Im k |
特征值为 1 0 ， 2 0.3i ， 3 0.3i ．
定理 5.1.1 设 A (aij ) C 则
nn
， A 的特征值为 1 , 2 , , n ，
2
|
i 1
n
i
|
2
i , j 1
| a
n
ij
| AF．
2
（5.1.1）
且等号当且仅当 A 为正规矩阵时成立．
证明 由舒尔定理，存在酉矩阵 U 使得
U H AU T ． 其中 T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 t ii (i 1,2, , n) 为 A 的特征
2 n
| Imk | | Imi | |
2 2 i 1
i i
2
i 1
t ii t ii 2 | | | ． 2 i 1
2 n
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
t ii t ii 2 | | 2 i 1 i , j 1 2
n
n
| t ij | 2
nn
， A 的特征值为 k (k 1,2, n) ，
| k | n max | aij | ，
i, j
| Re k | n max | bij | ，
i, j
| Im k | n max | cij | ．
i, j
证明
由定理 5.1.1 得
| k |2 | i |2
A 的其它两个
下面给出一些利用矩阵元素直接估计矩阵特征值上下界的方 法，为便于表达，对于 A (aij ) C nn ，记
A AH A AH B (bij ) ， C (cij ) ， 2 2 则 B 为 Hermite 矩阵， C 为反 Hermite 矩阵，且 A B C ．
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
2 | t | ij 0 ． i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．
例 5.1.1 已知矩阵
3 i 2 3i 2i A 1 0 0 0 1 0
的一个特征值为 2，估计其它两个特征值的上界．
j 1 j t n
n
xj xt
| atj | Rt ( A) ，
j 1 j t
n
所以 S t ，即 S S i ．
i 1
0.2 0.1 0.3 1 0.3 0.4 0.1 0 例 5.2.1 估计矩阵 A 的特征值的分布范围． 0.3 0.2 3 0.5 0.2 0.3 0.1 2i 解 A 的四个盖尔圆为 S1 : | z 1 | 0.6 ， S 2 : | z | 0.8 ， S 4 : | z 2i | 0.6 ． S 3 : | z 3 | 1 ， 所以 A 的特征值都落在这四个盖尔圆的并集内．
5.2 圆盘定理
上节介绍了利用矩阵的元素估计矩阵特征值的界，本节 介绍利用矩阵的元素更准确地估计其特征值在复平面上的分
布区域．
定义 5.2.1 设 A (aij ) C
n
nn
，记
S i {z | z aii | Ri , z C} ，
其中 Ri Ri ( A)
| a
j 1 j i
ij
， | （ i 1,2, , n ）
称 Si 为矩阵 A 在复平面上的第 i 个盖尔(Gerschgorin)圆， 称 Ri 为 S i 的半径（ i 1,2, , n ） ．
定理 5.2.1（圆盘定理 1） 设 A ( aij ) C
nn
，则 A 的一
在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地， 由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连 通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成． 一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分． 圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没 有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特 征值的分布情况．
0.2 0.1 0 A 0.2 0 0.2 0.1 0.2 0
估计特征值的实部与虚部的范围． A AH 解 设 A 的 特 征 值 为 k (k 1,2,3) ， B 0 ， 2 A AH C A ．则由定理 5.1.2 得 2
i, j
| Imk |2 n 2 max | cij |2 ，
i, j
两Байду номын сангаас开方即得结论．
定理 5.1.3 设 A 为 n 阶实矩阵，则 A 的任一特征值 k (k 1,2,, n) 的虚部 Im k 满足
n(n 1) | Im k | max | cij | ． i, j 2 证明 因为 A 为 n 阶实矩阵，所以 cii 0 (i 1,2, , n) ．由定理
0.8 1 2 0.4 0 ，所 例如 矩阵 A 的特征方程为 0.5 0
以 A 的特征值为
1
A 的两个盖尔圆为
由于
1 0.6 i 2
，
2
1 0.6 i 2
．
| z 1 | 0.8 ，
| z | 0.5 ．
| 1 || 2 | 0.4 0.63 0.5 ． 所以这两个特征值都不落在圆盘 | z | 0.5 内．
推论 5.2.1 设 n 阶矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交（都是 孤立的） ，则 A 相似于对角矩阵．
推论 5.2.2 设 n 阶实矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交，则
A 的特征值全为实数．
证明 因为 A 为实矩阵，所以 A 的 n 个盖尔圆都关于实轴对 称．又由这 n 个盖尔圆两两互不相交知， A 的 n 个特征值互不相 等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复 特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若 有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定 在该盖尔圆内，这与定理 7.2.2 的结论相矛盾，所以 A 的特征值都 是实数．
j 1 j i n
（7.2.1）
设 xt 为 x 的各分量中模最大的一个，则 xt 0 ，在（5.2.1）式中当
i t 时有
( att ) xt atj x j ，
j 1 j t
n
(5.2.2)
(5.2.2)式的两边除以 xt 并取模得
| att | | atj |
解 记 1 2 ，A 的其它两个特征值为 2 ， 3 ， 由定理 5.1.1 得
| 2 | 2 | i | 2 | 1 | 2
i 1
3
i , j 1
2 2 | a | | | 25 ， ij 1
3
故 | 2 | 5 ．同理可得 | 3 | 5 ． 事实上，由 | E A | ( 1)( 2)( i ) 知 特征值为 1， i ．
i 1
n
i , j 1
2 2 2 | a | n max | a | ， ij ij i, j
n
即
| k | n max | aij | ．
i, j
由舒尔定理，存在酉矩阵 U 使得
U H AU T ， U H A H U T H ， 其中 T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 t ii (i 1,2, n) 为 A 的特征值，
所以 即
2 | Im k |2 n(n 1) max | cij | 2 ，
i, j
| Im k |
n(n 1) max | cij | ． i, j 2
很明显，当 A 为 n 阶实矩阵时，用定理 5.1.3 估计特征值的虚部比用 定理 5.1.2 效果好得多． 例 5.1.2 设矩阵