2021-2022年高考数学专题复习导练测第四章三角函数、解三角形阶段测试(六)理新人教A版

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高中数学必修4《三角函数、三角恒等变形、解三角形》

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011·日照模拟)sin20·cos110°＋cos160°·sin70°等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．sin50°[答案] C[解析] sin20°·cos110°＋cos160°·sin70° ＝sin20°(－cos70°)－cos20°·sin70° ＝－(sin20°·cos70°＋cos20°·sin70°) ＝－sin(20°＋70°) ＝－1.2．(2011·福州第二次质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 [答案] D[解析] 依题意得，a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或B ＝2π3，选D. 3．(2011·厦门模拟)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4[答案] D[解析] 由三角函数的定义， tan θ＝yx ＝cos3π4sin 3π4＝－1.又∵sin 3π4>0，cos 3π4<0，∴P 在第四象限．∵θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.4．(文)(2011·郑州一模)要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A ．向右平移π4个长度单位B ．向左平移π4个长度单位C ．向右平移π8个长度单位D ．向左平移π8个长度单位[答案] B[解析] ∵y ＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2， ∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，可得y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos2x . 故选B.(理)(2010·全国卷Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位[答案] B[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6向右平移π12＋π6＝π4个长度单位． 5．(2011·太原期末)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2[答案] D[解析] 由余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos120°＝a 2＋2－622a ，整理得a 2＋2a －4＝0，∵a >0，∴a ＝ 2.6.(2011·马鞍山二中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2012)的值为( )A ．2011 B.40232C ．2012 D.40252[答案] C[解析] 由f (x )的图像可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋1，再由点⎝⎛⎭⎫1，32在f (x )的图像上，可得φ＝2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝12sin πx 2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4.所以f (1)＋f (2)＋…f (2012)＝2012. 7．(2011·丽水期末)已知cos2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，0<x <π，则tan x 为( ) A ．－43B ．－34C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos2xcos x －sin x ＝cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x ，∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方可得1＋2sin x cos x ＝125，∴sin x cos x ＝－1225，∴π2<x <π，由⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝15sin x cos x ＝－1225解得sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.[点评] 也可由sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x＝－1225，分子分母同除以cos 2x ，解方程求得tan x . 8．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位．若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能．．．等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12[答案] B[解析] 本题主要考查三角函数图像的平移变换等知识． y ＝f (x )向左平移π2个单位得到函数y ＝f (x ＋π2)的图像，即y ＝sin(ω(x ＋π2)＋φ)＝sin(ωx ＋φ＋π2ω)的图像，所以有π2ω＝2k π，(k ∈Z )，即ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不可能等于6.9．(2011·连云巷调研)若a 、b 、c 是△ABC 的三边，直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相离，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[答案] D [解析] 由题设知|c |a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，即a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以∠C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．10．(2011·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________.[答案] －247[解析] 本题考查倍角公式和三角函数求值问题，考查计算能力和等价变换的技能． ∵α是第二象限，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－341－916＝－247.12．(2011·连云港调研)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形．[答案] 等边[解析] 由已知条件及正弦定理，得tan A ＝tan B ＝tan C ，又0<A <π，0<B <π，0<C <π，故A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形．13．(2010·福建卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．[答案] ⎣⎡⎦⎤－32，3 [解析] 对称轴完全相同即周期也相同． 2πω＝2π2，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6) ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－32≤f (x )≤3.14．(2011.3·潍坊一模)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．[答案] 10 6[解析] 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°＋15°＝105°，∴∠CBD ＝30°. 由正弦定理得10sin30°＝BC sin45°，∴BC ＝10 2.在Rt △ABC 中，又因为∠ACB ＝60°，所以AB ＝3BC ＝10 6.15．(2011·沈阳模拟)给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tan β＝13，则α＋2β＝π4；③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且sin A <sin B ，则BC <AC ；④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2－c 2<0，则△ABC 是钝角三解形．其中真命题的序号是________． [答案] ②③④[解析] ①中，S 扇形＝12α·R 2＝12×12×22＝1，∴①不正确．②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝13＋121－13×12＝1，又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12>0，∴0<α＋β<π2，又由tan β＝13<1，得0<β<π4，∴0<α＋2β<34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．③中，由sin A <sin B ⇒BC 2R <AC2R (2R 为△ABC 的外接圆半径)⇒BC <AC .∴③正确．④中，由a 2＋b 2－c 2<0知cos C <0， ∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形， ∴④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·泰和一模)(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．[解析] (1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αcos 2α＋cos 2α ＝23tan 2α＋14tan 2α＋1 ＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57.17．(本小题满分12分)(2010·湖北卷)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin2x －14.(1)函数f (x )的图像可由函数g (x )的图像经过怎样的变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．[解析] 本小题主要考查三角函数的恒等变换，图像变换以及最值等基础知识和运算能力．(1)f (x )＝12cos2x ＝12sin(2x ＋π2)＝12sin2(x ＋π4)所以要得到f (x )的图像只需要把g (x )的图像向左平移π4个单位长度，再将所得到的图像向上平移14个单位长度即可．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14当2x ＋π4＝2k π＋π(k ∈Z )时，h (x )min ＝1－224此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋3π8，k ∈Z }． 18．(本小题满分12分)(2011·南昌一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．[解析] (1)由图知A ＝2， T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)g (x )＝[f (x －π12)]2＝4sin 2(32x ＋π8)由x ∈[－π6，π3]得(32x ＋π8)∈[－π8，5π8]，则当32x ＋π8＝π2，即x ＝π4时g (x )max ＝4.19．(本小题满分13分)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)一个周期的图像如图所示．(1)求函数f (x )的表达式；(2)若f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2425，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．[解析] (1)由图知，函数的最大值为1，则A ＝1，函数f (x )的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π. 而T ＝2πω，则ω＝2，又x ＝－π6时，y ＝0，∴sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0. 而－π2<φ<π2，则φ＝π3，∴函数f (x )的表达式为 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2425得： sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2425，化简得：sin2α＝2425.∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝4925.由于0<α<π，则0<2α<2π，但sin2α＝2425>0，则0<2α<π，即α为锐角，从而sin α＋cos α>0，因此sin α＋cos α＝75. 20．(本小题满分13分)(2011·长沙模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由． [解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由已知得，b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12， ∵0<A <π，故A ＝π3. (2)∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B . 由sin B sin C ＝34得，sin B sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝34，即sin B ⎝⎛⎭⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34， ∴32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， ∴34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34， 32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝1. 又∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6， ∴2B －π6＝π2，即B ＝π3. ∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形． 21．(本小题满分13分)(2011·江西宜春模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的长；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．[解析] (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin B cos A ＝2sin2A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝233b ＝433.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝233.。

2021-2022年高考数学分项汇编专题4 三角函数与三角形(含解析)理

2021-2022年高考数学分项汇编专题4 三角函数与三角形（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国新课标，理5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )A．－B．－ C． D．【答案】B2. 【xx全国1，理8】为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】A.3. 【xx全国，理5】函数的单调增区间为（）（A）（B）（C ）Z k ∈+),4k ,43-k (ππππ（D ）Z k ∈+),43k ,4-k (ππππ 【答案】C4. 【xx 课标全国Ⅰ，理15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ＝__________.【答案】：5. 【xx 课标全国Ⅰ，理17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .6. 【xx全国，理17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋a sin C－b－c＝0．(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．7. 【xx全国，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，，求C.8. 【xx全国卷Ⅰ，理17】在ΔABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知a2－c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b.9. 【xx全国1，理17】（本小题满分10分）设的内角所对的边长分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值．10. 【xx 高考新课标1，理2】oooosin 20cos10cos160sin10 =( )（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【考点定位】三角函数求值. 二．能力题组1. 【xx 课标Ⅰ，理6】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数，则的图像大致为（）【答案】CPOAMDPOAMD2. 【xx课标Ⅰ，理8】设且则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C3. 【xx全国，理9】已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( ) A． B． C．(0，］ D．(0,2］【答案】A4. 【xx新课标，理9】若cosα＝－，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+－＝( )A．－ B. C．2 D．－2【答案】：A5. 【xx全国卷Ⅰ，理8】如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点（,0)中心对称，那么|φ|的最小值为…（）A. B. C. D.【答案】：A6. 【xx全国，理6】的内角A、B、C的对边分别为若成等比数列，且c=2a，则cosB=（）（A）（B）（C）（D）【答案】B7. 【xx全国1，理6】当时，函数x xx xf2sinsin 82cos1)(2 ++=的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C8. 【xx新课标，理16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝__________.【答案】：60°9. 【xx全国，理17】（本小题满分12分）的三个内角为A、B、C，求当A为何值时取得最大值，并求出这个最大值。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》复习试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》复习试卷及答案解析一、选择题1．sin215°－cos215°等于()A.－12B.12C．－32D.32答案C解析sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)＝－cos30°＝－32.故选C.2．若sinα＝45，则－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425答案A解析－22 cosα＝sinαcos π4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.3．已知sinα＝－45α是第四象限角，则sin()A.52 10B.325C.7210D.425答案C解析由同角三角函数基本关系可得cosα＝1－sin2α＝＝35，结合两角差的正弦公式可得sin π4cosα－cosπ4sinα＝7210.故选C. 4．函数f(x)＝sin x的最大值为()A.3B．2C．23D．4答案A解析函数f(x)＝sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos xx ＋12cos＝3sin ≤3.故f (x )的最大值为3.故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－＞0，|φ|y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x －π8，φ的取值范围是()A.－π12，0－π8，－π24C.－π12，D.0，π12答案B解析由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x －π8，时，32x ＋φ－3π16＋φ，3π8＋因为f (x )＞0，即＋＞12，φ≥－π3＋2k π，≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象()AB C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案A解析因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝x＋π6，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α－π2<β边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sinα2·α2－sin ＋12的值为()A ．－513 B.1213C ．－1213D.513答案B解析由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β.由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3，即α＝π3＋β.则sinα2－sin ＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为()A.3B.2C ．1D ．0答案C解析由图象得3T 4＝2π3－－π12∴T ＝π，ω＝2πT＝2，由2sin π6×2＋φ＝2sin π3＋φ＝2，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f π3＝2sin 2×π3＋π6＋2k π1，故选C.9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f π3－x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是()A.k π，k π＋π2(k ∈Z )B.k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )C.k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )D.k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )答案A解析∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2，由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点，∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)，又f (x )＝f π3－x ∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈0，π2∴θ＝π6，∴f (x )＝x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin 2＋π6＝cos 2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos 2x 的单调递减区间是k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A.10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤|，则φ的最小正值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案B解析由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝＋3f (x )＝sin 2φ＋3sin(2x ＋φ)＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝x ＋φ∴g (x )＝x ＋φ又g (x )≤|，∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于()A ．27B ．4C ．23D ．33答案C 解析∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6＝2，＝4＝4，＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是()，112∪14，23，16∪13，23C.14，23 D.13，23答案B解析易知函数y ＝sin x 的单调区间为k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z .由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f(x )＝ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以π，2π，k ∈Z ，解得k ＋13ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω，16∪13，23.故选B.二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________.答案－35解析由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35.14．(2019·山师大附中模拟)已知＝14，则x ________.答案78解析根据三角函数诱导公式，得＝14，x x 2cos 1＝78.15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________．答案2＋1解析令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x＝2sin t ∈[－2，2]，则t 2＝1＋2sinx cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1－54，对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．答案③④解析f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin 2x 1＝－12sin 2x 2，由f (x )图象(图略)可知，①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π，②错误；由f (x )的图象可知，③正确；＝12sin 3π2＝－12④正确．故填③④.三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ>0，|φ的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值．解(1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又×π4＋sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4.所以f (x )＝x (2)因为x ∈0，7π8，所以2x －π4∈－π4，3π2，当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝ 1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x a ·b ＝－54，求cos 2x 的值．解(1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x＝32sin 2x －cos 2x ＋12＝x －12，∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵a ·b ＝x －12＝－54，∴x ＝－34.∵x∴2x －π6∈，∴x ＝－74，∴cos 2x ＝x ＋π6＝x cos π6－x sinπ6＝－74×32－×12＝3－218.。

专题4三角函数与解三角形四大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(原卷版)

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练考点一：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．（2022·贵州·模拟预测（文））已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos cos 3sin αααα+=-（） A ．3-B ．35C ．17-D ．152．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 315，1b c -=，1cos 4A =，则=a （）A ．10B ．3C 10D 33．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））若tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2x =（） A ．35B ．35C ．13-D ．134．（2022·贵州·模拟预测（理））已知tan()34πα+=-，则cos2=α（） A ．35B ．35C ．34-D ．34二、多选题5．（2022·河北·模拟预测）已知tan 2θ=，则下列结论正确的是（） A ．tan()2πθ-=-B ．tan()2πθ+=-C ．sin 3cos 12sin 3cos 7θθθθ-=-+D ．4sin 25θ=6．（2022·福建·模拟预测）已知函数()sin 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．f （x ）在[0,]π上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移12π个单位长度，得到的图象关于直线8x π=-对称三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭，且1sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=__________，tan α=__________．8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知角θ的终边过点()4,A a ，且3sin(π)5θ-=，则tan θ=___________.9．（2022·全国·模拟预测）定义运算：12142334a a a a a a a a =-.若22cos 21sin 5αα-=，()0,απ∈，则tan α=___________.10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 11．（2022·陕西·二模（理））角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线20x y +=上，则sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.12．（2022·陕西榆林·三模（理））已知2sin 5cos αα=，则2sin 2cos αα+=________.四、解答题13．（2022·福建龙岩·一模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 是三个连续的正整数，且a b c <<，2C A =．(1)求a ；(2)将线段AB 绕点A 顺时针旋转3π到AD ，求ACD △的面积．考点二：三角函数的性质与应用一、单选题1．（2022·天津河北·一模）将函数()sin 23f x x x =的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．（2022·广东梅州·二模）已知函数()1cos (0)f x x ωω=+>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位长度，所得图象关于直线π3x =对称，则实数m 的最小值为（） A ．6πB ．π4C ．π3D ．2π33．（2022·陕西榆林·三模（理））已知0>ω，函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且对任意,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()0f x ≥，则ω的取值范围为（）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,3]D ．(1,3)4．（2022·广东佛山·二模）已知函数()sin (0)f x x ωω=>图象上相邻两条对称轴之间的距离为32π，则ω=（）A ．32B ．43C ．23D ．13二、多选题5．（2022·天津五十七中模拟预测）已知函数()3cos 2f x x =的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列选项不正确的是（）． A ．最小正周期为π B ．2()3cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()g x 是偶函数D ．当()12x k k ππ=-∈Z 时()g x 取得最大值6．（2022·湖南师大附中一模）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，0A >），若3x π=为()f x 的一个极值点，且()f x 的最小正周期为π，则（）A ．3A f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．6k ϕπ=π-（k ∈Z ） C ．()f x 的图象关于点（712π，0）对称 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数7．（2022·江苏连云港·二模）已知函数()23sin cos 222x x xf x =-，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．点2π33⎛- ⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．将函数()f x 图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y 轴对称 D ．函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减8．（2022·海南·模拟预测）已知函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.则（） A ．()5cos 612g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于58x π=对称 C ．()g x 的最小正周期为3π D ．()g x 在（58π，178π）上单调递减9．（2022·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于y 轴对称，若()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则下列说法正确的是（）A ．()cos2g x x =B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 在[]0,π上的单调增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[2π3,π]D ．()f x 的图象关于点17,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称三、填空题10．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点(01)A -,，且()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大整数值为________.11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.12．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.13．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数()f x ，①函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称，②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的取值范围是[2,1]-，则同时满足条件①②的函数()f x 的一个解析式为________.14．（2022·北京朝阳·一模）已知直线3x π=和56x π=是曲线()()sin 0y x ωϕω=+>的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个ϕ的值是___________.15．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象关于x 轴翻折，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在[0,2]π上的单调递增区间为________；16．（2022·山西太原·一模（理））设函数()3sin cos f x x x -，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的值域为3⎡-⎣；③()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； ④()f x 在[],ππ-上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题17．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））设()()23sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程；(2)求()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．考点三：三角恒等变换一、单选题1．（2022·重庆·二模）已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π62．（2022·河南焦作·二模（文））已知cos 2323x x =x 的值可以是（）A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cos θ=，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知()2sin cos 3παα++=，则sin2α= （） A ．79B ．59C ．49D ．295．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．247B ．247-C ．3117D ．3117-二、多选题6．（2022·广东江门·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点(,)P x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值r x、r y、xy 分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α、csc α、cot α，把sec y x =、csc y x =、cot y x =分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是( ) A ．cos sec 2αα+≥B ．sec y x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈C ．2cot 1cot 22cot ααα-=D ．22(sec cos )(csc sin )9αααα+++≥7．（2022·福建莆田·模拟预测）已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，则（） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 的图象关于点()π,0对称D ．()f x 的图象关于直线5π3x =-对称 8．（2022·山东临沂·一模）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把()f x 的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心C ．()g x 是奇函数D ．()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,2三、填空题9．（2022·广东佛山·二模）已知sin π2α4⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=___________.10．（2022·山东青岛·一模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______．11．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．12．（2022·陕西陕西·二模（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()226c a b =-+，若ABC 33sin sin A B ⋅的取值范围为______. 13．（2020·四川·模拟预测（理））已知cos()2cos 2παα+=，则tan2α=________．四、解答题14．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒(1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.15．（2022·重庆·二模）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，ππ1cos sin sin sin 632C A C A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求B ；(2)若△ABC 的周长为43b .16．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22,2,sin b c A a c ===>． (1)求a 的值；(2)求cos()cos A B C -+的值．考点四：解三角形一、单选题1．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题:p 不等式()lg 110x x ⎡⎤⎣-⎦+>的解集为{}1|0x x <<，命题:q 在ABC 中，A B >是22cos cos 2424A Bππ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ∧⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则△ABC 的面积的最大值（） A ．1B 3C ．2D ．23二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，()()cos 2cos cos a C B A ab c -=-，则以下四个命题中正确的是（）A ．2b c =B ．△ABC 面积的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．已知M 是边BC 的中点，则MA MB ⋅的取值范围为1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当2A C =时，ABC 的周长为23+三、填空题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2A Ca b c=-，则A =___________. 5．（2022·河南焦作·二模（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin 12cos cos A C A C =+，3sin a c B +=，则b 的最小值为_______.6．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________． 7．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin∠CBD ：sin∠BDC ：sin∠BAD =1：1：3AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．四、解答题8．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2cos a b BC-=，且2c =． (1)求角C ；(2)若D 为AB 中点，求CD 的最大值．9．（2022·广东佛山·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos21A B C C ++=(1)求证53a c =；(2)若ABC 的面积为153c .10．（2022·山西临汾·二模（文））ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5C =，sin sin 2sin A C B +=. (1)求b a； (2)求cos B 的值.11．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AC 的中点，若2cos 2b C a c =+． (1)求B ；(2)若6a c +=，求BD 的最小值．【真题训练】一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473 3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A =，则tan A 等于（） A ．3B ．13-C ．3或13-D ．-3或136．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需要sin y x =将的图象（） A ．向上平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向下平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 8．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（） A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=9．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最大值为2 C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98二、多选题10．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 三、填空题12．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．13．（2020·山东·高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .14．（2021·湖南·高考真题）已知tan 3α=-α为第四象限角，则cos α=____________15．（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.四、解答题16．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+；条件③：ABC 3317．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.19．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π712π56πx ωϕ+0 2π π32π2πsin()A x ωϕ+30 -3 0根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.。

2022届北师大版高三数学一轮复习练习：第四章三角函数、解三角形第2讲 Word版含解析

基础巩固题组 (建议用时：30分钟) 一、选择题1.(2021·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝( ) A.－513B.513C.－125D.125解析由于α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.答案 C2.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( )A.－55 B.55 C.255D.－255解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15，∴sin α＝－55. 答案 A3.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( ) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A4.(2021·甘肃省质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )A.－13B.13C.－23D.－223解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 A5.(2021·芜湖二测)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( )A.13 B.223 C.－13D.－223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13.答案 A6.(2021·孝感模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12B.2C.－12D.－2解析原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2.答案 B7.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.－35C.15D.35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35. 答案 B8.(2021·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则 f (2 017)的值为( ) A.－1B.1C.3D.－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 D 二、填空题9.(2022·四川卷)sin 750°＝________. 解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 1210.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.解析由于α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案－7411.化简：sin 2（α＋π）·cos （π＋α）·cos （－α－2π）tan （π＋α）·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin （－α－2π）＝________.解析原式＝sin 2α·（－cos α）·cos αtan α·cos 3α·（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案 112.(2022·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案－43 力量提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6D.π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 D14.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1± 5D.－1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5. 又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B15.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案 91216.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________.解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案 0。

2021-2022年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质习题

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质习题理新人教A 版(I)一、填空题1.(xx·徐州检测)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________. 解析当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) 2.已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________. 解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 3.(xx·云南统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________.解析因为f (x )＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π6. 答案 π64.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________. 解析由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案 π65.(xx·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________. 解析由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可知函数图象关于直线x ＝π4对称，则在x ＝π4处取得最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±2. 答案 ±26.(xx·南通调研)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________. 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ). ∴函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π67.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________. 解析要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ）， ∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) 8.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________.解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，则有y＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 二、解答题9.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1. 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (i)当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ii)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5， ∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.10.(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ). ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________.解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 3212.(xx·豫南九校质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6， ∵当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12， ∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 13.(xx·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－ (－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.答案 π214.(xx·嘉兴一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12时，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域. 解 (1)f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x .所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2].。

高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)

高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于()A.35B.45C ．－35D ．－45答案A解析∵点P (－4,3)是角α终边上的一点，∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为()A.3B ．2C ．23D ．4答案C解析由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x＝x ＋12cos 23sin∵－1≤1，∴－23≤23sin23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3.故选C.3．cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°等于()A.12B ．－22C ．－12D.22答案B解析根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos15°＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－22，故选B.4．若角α满足＝35，则sin 2α等于()A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案A解析α2cos 1＝2－1＝－725，又αsin 2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2α等于()A.35B ．－35C ．－35或1D ．1答案D解析sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1，又∵tan α＝2，∴sin 2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin x ()A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案B解析y ＝sin 2x ＝sin2＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B.7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )，整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°.故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案A解析观察图象知，A ＝1，T ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)得×π3＋0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝x 故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()π－14，k πk ∈Zk π－14，2k πk ∈Z－14，k k ∈Zk －14，2k k ∈Z 答案D解析由题意可得函数的周期为2，∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝x 令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，12，则ω的取值范围为()A.23，43 B.0，43C.0，23D ．[0,1]答案A解析函数f (x )＝ω>0)，当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈0，ωπ＋π3，由题意－1≤≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为()A.1036 B.536 C.103D.203答案A解析如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB .在△ABC 中，cos ∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心，∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c ，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin ∠BAC ＝256·1－125＝563，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m x ＝π3对称，在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋mx ＝π3对称，即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝x －12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，－1＋m )>12＋m ，m >0，∴m >52D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos 2θ＝________.答案79解析cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2＝79.14．已知＝－17，αsin ________．答案33＋410解析∵＝－17，α∴tan α＝＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴＝32sin α＋12cos α＝33＋410.15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的面积等于________．答案3154解析∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B ，∴a ＝b .又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154，S △ABC ＝12ab sin C ＝3154.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m2cosn若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____．答案23解析根据题意，有sin 2A 1＋cos 2A2cos A2·1＋cos A 2＝12，整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A－2cos 2A 2＝12，从而求得cosA 2＝12A ∈(0，π)，所以A 2∈，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin ＋3cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解f (x )＝1－2＋3cos 2x －1＝sin 2x ＋3cos 2x ＝x (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间0，2π3上的取值范围．解(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝ωx ＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝x ＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤x1，因此0≤x ＋12≤32，即f (x )的取值范围为0，3219．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解(1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ，因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cosC ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ，cos C ＝22(sin A －cos A )＝210.20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)>0，|φf (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A，求f (A )的取值范围．解(1)∵f (x )，∴f (x ＋π)＝－f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝x ＋π3＋g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝x (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3，∴A (0,1]，即f (A )＝sinA (0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝ωx ＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝x ＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝x ＋32＋b ，∵x ∈0，7π12，∴2x ＋π6∈π6，4π3，∴当2x ＋π6∈π6，π2，即x ∈0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈π2，4π3，即x ∈π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝∴当0<f 0时，函数f (x )有且只有一个零点．即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴满足条件的b 2，3－32∪22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos ∠ACP 的值．解(1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos 120°，整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin 60°＝AP sin ∠ACP，解得sin ∠ACP ＝2×32534＝45.因为2<534，所以AP <AC ，从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos ∠ACP ＝＝35.。

2021-2022年高考数学第四章三角函数与解三角形专题15三角函数的性质与应用考场高招大全

2021年高考数学第四章三角函数与解三角形专题15三角函数的性质与应用考场高招大全考点32 三角函数的奇偶性、对称性、周期性考场高招1 两法(整体求解法、代入验证法)解决三角函数的对称问题解读高招2.典例指引1(1)(xx四川资阳一诊)函数y=sin 2x-cos 2x的图象的一条对称轴方程为()A.x=B.x=-C.x=D.x=-(2)下列各点中,能作为函数y=tan的图象的一个对称中心坐标的是()A.(0,0)B.C.(π,0)D.(3)(xx河北石家庄一检)若函数f(x)=sin (2x+θ)+cos (2x+θ)(0<θ<π)的图象关于对称,则函数f(x)在上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-方法二:因为对称中心的横坐标使原函数无意义或函数值为0,所以当x=0时,y=tan≠0,(0,0)不是对称中心;当x=时,y=tan≠0,不是对称中心;当x=π时,y=tan≠0,(π,0)不是对称中心,当x=时,y=tan,无意义,是对称中心,故选D.(3)因为f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,则由题意知f=2sin=0,又0<θ<π,所以θ=,则f(x)=-2sin2x,且在上是减函数,所以函数f(x)在的最小值为f=-2sin=-,故选B.【答案】 (1)B(2)D(3)B3.亲临考场1.(xx课标Ⅲ,理6)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减【答案】D由f(x)=cos的解析式知-2π是它的一个周期,故A正确;将x=代入f(x)=cos,得f=-1,故y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;f(x+π)=cos,当x=时,f(x+π)=cos=0,故C正确;当x∈时,x+,显然f(x)先单调递减再单调递增,故D错误.2.(xx课标Ⅱ,理7)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=(k∈Z)B.x=(k∈Z)C.x=(k∈Z)D.x=(k∈Z)考场高招2 由三角函数的奇偶性、周期性、对称性求参数的解题规律 1.解读高招步骤解读第一步:三角化简利用三角公式将函数的解析式写成A sin(ωx+φ)+b 或A cos(ωx+φ)+b 或A tan(ωx+φ)+b 的形式第二步:借助性质抓住题设需要满足的条件,充分利用三角函数性质,借助公式、区间范围关系等将参数表示出来第三步:求解参数得到含有参数的等式或不等式求解2.典例指引2(1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( ) A.B.C.D.(2)将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的最小值为( ) A.B.C.D.【解析】 (1)∵y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称, 即3cos =0,∴+φ=+k π,k ∈Z ,∴φ=-+k π, ∴当k=2时,|φ|有最小值.(2)将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数y=sin =sin 的图象,则由+φ=k π+(k ∈Z ),得φ=k π+(k ∈Z ),所以φ的最小值为,故选C . 【答案】 (1)A (2)C 3.亲临考场1.已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，232．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的最大值是________．【答案】5π18 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18. 考点33 三角函数的单调性与最值考场高招3 求解三角函数单调性的方法 1.解读高招方法解读适合题型典例指引整体代入法将ωx+φ(ω>0)看作一个整体,代入三角函数的单调区间解x 的取值范围,即为所求y=sin(ωx+φ)(ω>0) y=cos(ωx+φ)(ω>0)y=tan(ωx+φ)(ω>0)典例导引3(1)同增异减法对于复合函数单调区间的确定,应明确:对复合过程中的每一个函数而言,同增或同减则为增,一增一减则为减,即同增异减y=f (-ωx+φ)(ω>0)典例导引 3(2)图象法若函数的图象能够容易画出来,可利用图象的直观性迅速求解.同时注意函数的周期性带有绝对值的三角函数典例导引 3(3)2.典例指引3(1)(xx 四川自贡一诊)将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为f (x ),则函数f (x )的单调递增区间为( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)(2)函数y=sin的单调递减区间为;(3)函数y=|tan x|在内的单调递减区间为单调递增区间为(k∈Z),故选A.(2)(同增异减法)y=-sin,它的减区间是y=sin的增区间.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故其单调减区间为,k∈Z.(3)(图象法)如图,观察图象可知,y=|tan x|在内的单调递减区间为.【答案】(1)A(2)(k∈Z)(3)3.亲临考场1.(xx广东惠州二调)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1),则函数f(x)=sin (ωx+φ)()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增2.(xx湖北荆州一检)已知函数f(x)=sin x cos x-cos2x-.(1)求函数f(x)图象的对称中心;(2)求f(x)在[0,π]上的单调区间.考场高招4 灵活应用三法(图象法、换元法、几何法)搞定三角函数最值1.解读高招方法解读适合题型典例指引2.典例指引4(1)已知函数f(x)=cos x sin 2x,则函数f(x)的最大值为.(2)函数y=的最大值为.(3)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x,求f(x)在区间上的最大值和最小值.(2)【解析】解析式表示过A(cos x,sin x),B(3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k,则直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,=1,∴k=,∴k max=.【答案】(1)(2)(3)【解】因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin x cos x+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,当x∈时,.由正弦函数y=sin x在上的图象知,当2x+,即x=时,f(x)取最大值+1;当2x+,即x=时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.3.亲临考场1.(xx安徽,理10)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)【答案】A由周期T==π,得ω=2.当x=时,f(x)取得最小值,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=A sin.所以f(0)=A sin>0,f(2)=A sin A sin4+cos4<0,f(-2)=A sin=-A sin4+cos4.因为f(2)-f(-2)=A sin4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-A sin=-A,因为π<4-<π+π,所以sin>sin=-,即sin>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.2.(xx课标Ⅱ,理14)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.考点34与三角函数相关的综合问题考场高招5 求解三角函数单调性的方法1.解读高招思想解读典例指引转化化归思想求三角函数的值域(最值)、单调性、周期性等,常常要通过三角恒等变换先将三角函数的解析式化简为y=A sin(ωx+φ)+b或y=A cos(ωx+φ)+b的形式,再根据函数y=sin x或y=cos x的性质进行求解典例导引5(1)整体讨论三角函数y=A sin(ωx+φ)+b(ω>0)的性质时,首先要将思想“ωx+φ”视为一个整体,然后结合基本初等函数y=sin x的图象与性质,去研究该函数的性质数形结合思想研究与三角函数相关零点问题、函数图象的交点问题、方程根问题时,往往需要先画出三角函数的部分图象,再进行探索分析典例导引5(2)温馨提醒在求解过程中必须注意未知数x的取值范围2.典例指引5(1)(改编自xx山西五校二联)已知函数f(x)=2sin x cos x-cos 2x(x∈R),记函数f(x)在上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a的最小值.∴[aπ,2π]⊆,∴-+2π≤aπ<2π,∴a min=.(2)已知函数f(x)=2sin2cos 2x.若关于x的方程f(x)- m=2在x∈上有两个不同的解,求实数m的取值范围.3.亲临考场1.(xx课标Ⅰ,理12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5【答案】B由题意得解得φ=π+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.∵|φ|≤,∴φ=或φ=-.∵f(x)在上单调,∴,T≥,即,ω≤12.∵ω>0,∴0<ω≤12.若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.若ω=9,则f(x)=sin上单调递减,符合题意.若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.若ω=11,则f(x)=sin上递增,在上递减,不符合题意.综上,ω的最大值为9.2.(xx山东,理16)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节简单的三角恒等变换课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]．因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43，故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2，可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第二课时简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

(浙江专用)2021年高考数学总复习第四章三角函数解三角形第4

（浙江专用）2021年高考数学总复习第四章三角函数解三角形第4（浙江专用）2021年高考数学总复习第四章三角函数、解三角形第4内部文件，版权追踪内部文件，版权追踪第4课函数y=asin（ωx＋φ）图像和应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、多项选择题π1.（2022年第二卷）如果函数y=2sin2x的图像向左移动一个单位长度，则平移后的图像对12称轴为()a.x＝c.x＝kπkππkππ－(k∈z)b.x＝＋(k∈z)2626πkππ－(k∈z)d.x＝＋(k∈z)212212π解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝12π? πkπ？2分钟？2x＋从2x+=kπ+，函数的对称轴是x=+（k∈ z）那么B.6呢？6226? 答案Bπ2.（2022年衡水中学黄金卷）如果函数y=sin（ωx－φ）（ω>0，|φ|2? π? 间隔？－，π? 如图所示，ω，φ的值为（）？2.πa.ω＝2，φ＝31πc.ω＝，φ＝232πb.ω＝2，φ＝－312πdω＝φ＝二十三2ππ?π?ππ?解析由图可知，t＝2?－?－??＝π，所以ω＝＝2，又sin?2×－φ?＝0，所以6t36?3??πππ－φ＝Kπ（K∈ z），即φ＝Kπ（K∈ z），和|φ|323答案a3.（2022昆明市两区七校模拟）如果函数f（x）=3sinx cosx的图像沿x轴右移a （a>0）个单位，图像围绕Y轴对称，则a的最小值为（）πa.6πc.2b、 d。

π32π3-1-π??π??解析依题意得f(x)＝2sin?x－?，因为函数f(x－a)＝2sin?x－a－?的图象关于y轴对6.6.π? πππ? 那么sin a－呢±1，a+=kπ+，k∈ Z、也就是说，a=kπ+，k∈ Z、那么正数A6是多少？623? π的最小值是，选b.3答案Bπ4.（2022泰州模拟）函数f（x）=3sinx-log1x的零点数为（）22a。

2021-2022年高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换练习

2021-2022年高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换练习一、选择题(6×5分＝30分)1．(xx·淮南模拟)已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sinα＋cosα等于( )A．－15B.15C．－75D.75解析：(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－2425＝125.又α∈(－π4，0)，∴sinα＋cosα>0.∴sinα＋cosα＝15.答案：B2．函数f(x)＝sin4x＋2sin x cos x＋cos4x的最小值是( )A.32B.12C．－12D．－32解析：f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＋2sin x cos x＝－2sin2x cos2x＋2sin x cos x＋1＝－12(sin2x)2＋sin2x ＋1＝－12(sin2x－1)2＋32，∴当sin2x＝－1时，f(x)min＝－1 2 .答案：C3．已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2等于( )A.25B.75C.145D．－25解析：原式＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos2α＋2sinαcosαcosα＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝145.答案：C4.sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α等于( )A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cos α解析：原式＝－sin2α·cos2α1＋cos2α·－sinα＝2sinα·cosα·cos2α2cos2α·sinα＝cosα.答案：D5．已知tanα和tan(π4－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是( )A．b＝a＋c B．2b＝a＋c C．c＝b＋a D．c＝ab解析：错误!∴tan π4＝tan[(π4－α)＋α]＝－ba1－ca＝1，∴－ba＝1－ca，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.答案：C6．(xx·东城模拟)已知5sin2α＝sin2°，则tanα＋1°tanα－1°的值是( )A．－2 B．－32C.32D．2解析：由5sin2α＝sin2°得5sin[(α＋1°)＋(α－1°)]＝sin[(1°＋α)＋(1°－α)]，整理得2sin(α＋1°)cos(α－1°)＝－3cos(α＋1°)·sin(α－1°)，所以sinα＋1°·cosα－1°cosα＋1°·sinα－1°＝－32，即tanα＋1°tanα－1°＝－32.答案：B二、填空题(3×5分＝15分)7．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3 .答案：π38.3－sin60°2－cos215°＝________.解析：3－sin60°2－cos 215°＝3－322－1＋cos30°2＝6－33－32＝2. 答案：29．(xx·郑州检测)若1＋tan α1－tan α＝2 010，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：∵1＋tan α1－tan α＝2 010，∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α ＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α ＝tan α＋11－tan α＝2 010. 答案：2 010三、解答题(共37分)10．(12分)已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos2x 2cosπ4＋x·sin x的值．解析：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，得tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)原式＝cos 2x －sin 2x 222cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x cos x －sin x sin x＝cos x ＋sin xsin x＝1＋1tan x ＝1＋(－34)＝14.11．(12分)已知sinα2－cosα2＝105，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．解析：∵sinα2－cosα2＝105，∴1－sin α＝25， ∴sin α＝35，又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，从而tan α＝－34， ∵tan(π－β)＝－tan β＝12，∴tan β＝－12，∴tan2β＝2×－21－－122＝－43.∴tan(α－2β)＝－34－－431＋－34－43＝724.12．(13分)在△ABC中，A，B，C为它的三个内角，设向量p＝(cos B2，sinB2)，q＝(cos B2，－sinB2)，且p与q的夹角为π3.(1)求角B的大小；(2)已知tan C＝32，求sin2A·cos A－sin Asin2A·cos2A的值．解析：(1)由题设得：|p|＝1，|q|＝1，由|p||q|cos π3＝cos2B2－sin2B2得：cos B＝12.又0<B<π，所以B＝π3 .(2)由(1)知：A＋C＝2π3，有tan A＋tan C1－tan A·tan C＝tan(A＋C)＝－3，解得tan A＝3 3.∵0<A<π，∴cos A＝27.∴sin2A·cos A－sin Asin2A·cos2A＝2cos2A－12cos A·cos2A＝12cos A＝7.{aJ27664 6C10 氐21329 5351 卑\27580 6BBC 殼E404449DFC 鷼t33469 82BD 芽Sm29812 7474 瑴24008 5DC8 巈。

2021-2022年高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第二节三角函数的图象与性质模拟创新题文新

2021年高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第二节三角函数的图象与性质模拟创新题文新人教A 版一、选择题1.(xx ·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4B.π4C.0D.－π4解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象.又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选B.答案 B2.(xx·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6解析横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案 B3.(xx·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D.偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称解析当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，选D.答案 D4.(xx·山东泰安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A.函数f (x )的最小正周期为πB.函数f (x )是偶函数C.函数f (x )是图象关于直线x ＝π4对称D.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4不对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在[0，π2]上是增函数，D 正确，故选C. 答案 C 二、填空题5.(xx·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________.解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ，即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )三角函数图象的变换问题6.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－π12B.x ＝π12C.x ＝π6D.x ＝π3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位后，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当x ＝π12时，函数取得最大值1，故选B.答案 B三角函数图象解析式的确定问题7.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A.y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2. 由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－56π，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.答案 D专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(xx·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z解析依题意得T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1；又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ，故选B.答案 B9.(xx·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称解析由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，故2πω＝π，ω＝2.把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ为奇函数，∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).故点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 二、解答题10.(xx·广东惠州调研)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x .(1)求当x ∈[－π，0]时，f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图； (3)求当f (x )≥12时x 的取值范围.解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x ).而当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∵f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ， ∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x . (2)如图.(3)∵f (x )的最小正周期为π， ∴先在[－π，0]上来研究f (x )≥12，由－sin x ≥12，得sin x ≤－12，∴－5π6≤x ≤－π6.由周期性知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－56π，k π－π6，k ∈Z 时，f (x )≥12.11.(xx·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x .∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3). ∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12，∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32.∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角.∴∠OQP ＝π6.创新导向题三角函数图象的逆向变换问题12.已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2 x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a ·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A.向左平行移动π6个单位.向右平行移动π6个单位C.向左平行移动π12个单位.向右平行移动π12个单位解析由题意得：f (x )＝a ·b ＝2cos 4x －2sin 4x ＝2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x ＝2sin(2x ＋π2)，而y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π12）＋π2，故只需将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可. 答案 D三角函数求值及性质的综合求解问题13.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值.解 (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且0<α－π4<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－45＝45.(2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，则当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.。

2021-2022年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.4简单的三角恒等变换真题演练集训理新

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.4简单的三角恒等变换真题演练集训理新人教A 版1．[xx·新课标全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15D ．－725答案：D解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4·sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．[xx·新课标全国卷Ⅰ]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.3．[xx·浙江卷]已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A＝2，b ＝1.4．[xx·重庆卷]已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 课外拓展阅读给值求角忽视角的范围致误[典例] [xx·江苏模拟]已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________. [错解] ∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.又∵sin(α＋β)＝5314，∴cos(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝－1114.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3.[错因分析] (1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．[解析] 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.[答案]π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。

2021-2022年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲函数y=Asin(ωx+φ

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用习题理新人教A 版一、选择题1.(xx·济南模拟)将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( ) A.y ＝sin 2xB.y ＝sin 2x ＋2C.y ＝cos 2xD.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4解析将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 答案 A2.(xx·遵义联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A.12和π6B.12和－π3C.2和π6D.2和－π3解析由图可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－512π＝π，∴ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2代入解析式可得2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ，∴5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－π3，∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.答案 D3.(xx·河南六市联考)将奇函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )A.6B.3C.4D.2解析由函数为奇函数得φ＝k π(k ∈Z )，又－π2＜φ＜π2，∴φ＝0，y ＝A sin ωx .由函数图象向左平移π6个单位得到函数y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6ω，其图象关于原点对称，∴有π6ω＝k π(k ∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，故选A.答案 A4.(xx·南昌调研)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度.故选C.答案 C5.(xx·承德一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.(－∞，－2]∪[6，＋∞)D.(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.答案 D 二、填空题6.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.答案227.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.解析据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6 8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6） (x ＝1，2，3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析由题意得⎩⎨⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎨⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5.答案 20.5 三、解答题9.(xx·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图象.解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)列表：x 0 π6 5π122π3 11π12π2x ＋π6π6π2π 3π22π13π6f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π61 2 0 －2 0 1画图如下：10.函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示.(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值.解 (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0＜φ＜π2，故φ＝π6. 由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2，故7π6＜πx 0＋π6＜13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cosπ6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(xx·哈尔滨模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B.f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D.把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象解析对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时， 2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错. 答案 C12.(xx·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)解析由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6).于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin(4＋π6)，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.答案 A13.(xx·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.答案π214.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域. 解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，实用文档所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1. ∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1，2].。

2021-2022年高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4节三角恒等变换模拟创新题理

2021年高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4节三角恒等变换模拟创新题理一、选择题1.(xx·广东揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则sin 2x ＝( )A.－35B.105C.35D.1解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x ＝2，所以tan x ＝13，则sin 2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝35.答案 C2.(xx·安徽淮北一模)sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A.2B.22C. 2D.12解析 sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.答案 D3.(xx·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A. 答案 A4.(xx·山东实验中学月考)若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( ) A.5B.－1C.6D.16解析令sin αcos β＝m ，cos αsin β＝n ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝12，m －n ＝13，解得m ＝512，n ＝112. ∴tan αtan β＝m n＝5，故选A.答案 A5.(xx·开封二模)若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A.－15B.－12C.15D.12解析若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos θ＋2sin θ＝0，即 tan θ＝－12.故cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A.答案 A 二、填空题6.(xx·河南豫东豫北模拟)已知sin α＝3cos α，则cos 2α1＋sin 2α＝ .解析由sin α＝3cos α得tan α＝3.所以cos 2α1＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12.答案－127.(xx·山东滨州5月)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝ .解析法一由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，得sin α＋cos α＝12213，两边平方，得1＋2sin αcos α＝288169，∴2sin αcos α＝119169，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α>0，∴cos α－sin α＝（cos α－sin α）2 ＝1－2sin αcos α＝5213，∴cos 2αsin （π4＋α）＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013.法二 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0<π4－α<π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝120169， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1013.答案1013三角恒等变换与向量的综合问题8.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A.－34B.－14C.34D.14解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.答案 B专项提升测试模拟精选题一、选择题9.(xx·广东湛江模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A.－235B.235C.45D.－45解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 D10.(xx·昆明一中一模)化简sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的结果为( )A.sin 2αB.cos 2αC.sin αD.cos α解析 4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2α， ∴sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.答案 A 二、解答题11.(xx·长春检测)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，3cos x 3，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.解 (1)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，3cos x 3，则函数f (x )＝a·b ＝sin x 3cos x 3＋3cos 2x3 ＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，令2k π－π2≤2x 3＋π3≤2k π＋π2，(k ∈Z ).解得3k π－54π≤x ≤3k π＋π4，(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－54π，3k π＋π4，(k ∈Z ).(2)∵b 2＝ac .∴cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又－1<cos x <1，∴12≤cos x <1，∴0<x ≤π3，∴π3<2x 3＋π3≤5π9，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3≤1， ∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32≤1＋32，即函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 12.(xx·菏泽模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得，2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B.∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∵B ＋C ＝2π3，0<B <π2，0<C <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴3<y ≤2，即函数的值域为(3，2].13.(xx·广东茂名模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R ，0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值.解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32，可得到sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝32，所以cos φ＝32，又∵0<φ<π，∴φ＝π6. 所以f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＋π6＝513，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝513，所以cos α＝－513，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝1213×22－513×22＝7226.14.(xx·浙江协作体三模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值.解 (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1，3].(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋2232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－222.15.(xx·成都诊断题)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.求：(1)tan 2α的值；(2)β的值. 解 (1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－（43）2＝－8347. (2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 创新导向题三角恒等变换与三角函数，数列综合问题16.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求S △ABC 及a 的值.解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)最小正周期为2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，(2)f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，又0<A <π，∴π6<2A ＋π6<2π＋π6， ∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3，由b ，a ，c 成等差数列得2a ＝b ＋c ，由AB →·AC →＝9得bc cos A ＝9，∴12bc ＝9，即bc ＝18， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×18×32＝932. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，即a 2＝4a 2－54，∴a 2＝18，解得a ＝3 2.。