恒定总流的动量方程详解
水力学恒定总流的动量方程
5.7 恒定总流的动量方程
对复杂的水流运动分析,特别是涉及分析水流和其固 体边界之间的作用力问题,应用动量方程进行分析和 计算更简便,直接.
如:求动水总压力,求水流作用于管道弯头上的动 水压力及射流冲击力等.
5.7 恒定总流的动量方程
一、恒定总流动量方程的推导
推导的原理： 动量定律
5.7 恒定总流的动量方程
一、恒定总流动量方程的推导
元流的动量: ρu1∆tdA1u1
所 以:
M11 A1 u1tdA1 u1 t A1 u1u1dA1 t Q u1dQ
用断面平均流速v代u,所产
生的误差用动量修正系数
α'修正.
于是
5.7 恒定总流的动量方程
一、恒定总流动量方程的推导
A1 1 1 1
(如c):作求1用动于水脱总离压体力内,求水水体流上作的用重于力管. 道弯头上的动水压力及射流冲击力等.
Qtv Qtv v v A 为动2解计量：恒算 定 因定方律弯总便：管流,单水动将位平量动时放方量间置程方内，的程物故1应写体此用成动弯三量管坐的液标变体轴化所上等受的于重投作力影1用在式于平该面物内体投上影的分1所量1有等外于1力零的，总沿和管轴线取基准面，则：
动量方程的应用条件及注意事项: 动量方程的应用条件与能量方程的应用条件相同: (1)必须是恒定流,且为不可压缩的均质流体.
(2)作用于流体上的质量力只有重力,所研究的流 体边界是静止的.
(3)所取的两个过流断面必须是均匀流断面或渐 变流断面,但两个断面之间可以不是渐变流. (4)一般地,所取两个断面间没有流量的汇入和分 出;也无能量的输入和输出.
(c5)作动用量于方脱程离只体能内求水解体一上个的未重知力数.,两个以上时,要与连续性方程以及能量方程联合求解.
恒定总流的动量方程
恒定总流的动量方程利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。
动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。
一、动量方程式的推导及适用条件（一）动量方程式的推导由物理学可知，物体的质量m 与速度υ的乘积称为物体的动量。
动量是矢量，其方向与流速方向相同。
物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。
动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。
现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。
图3-29在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。
设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dA dA 和1u 、2u ，经过dt 时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21'-'处，从而发生了变化。
设其动量的变化为dk ，它应等于流段21'-'与流段1—2内的动量之差。
因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21-'段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。
这样，在dt 时段内，21'-'段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22'-段的动量与11'-段的动量之差。
在dt 时段内，通过11'-段的水体质量为11dtdA u ρ，通过22'-段的水体质量为22dtdA u ρ，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdt dtdA u dtdA u ρρρ==2211，则微小流束段的动量变化为)(12u u dQdt k d -=ρ设总流两个过水断面的面积分别为21A A 与，将上述微小流束的动量变化k d 沿相应的总流过水断面进行积分，即可得到总流在dt 时段内动量的变化量为)()()(121112221212a dA u u dA u u dt u dQdt u dQdt u u dQdt k d A A QQ Q ⎰⎰⎰∑⎰⎰-=-=-=ρρρρ 由于实际液体过水断面上的流速分布均匀，且不易求得，故考虑用断面平均流速υ来代替断面上不均匀分布的流速u ，以便计算总流的动量。
恒定流动量方程
流体在过流断面上的平均流速，用v表示，单位为 m/s。
过流断面面积
流体流过管道或明渠的横截面积，用A表示，单位为 m²。
02
恒定流动量方程建立过程
质量守恒定律在流体中应用
80%
质量守恒定律
在任何物理或化学过程中，系统 的质量始终保持不变。
100%
在流体中的应用
对于流动的流体，流入和流出的 质量必须相等，以保持质量守恒 。
方式对能量守恒的影响。
03
恒定流动量方程求解方法
解析法求解步骤及技巧
01
02
03
04
设定未知数并建立方程
根据实际问题，设定未知数， 并根据物理定律建立恒定流动 量方程。
方程化简与整理
通过数学变换和化简技巧，将 方程转化为更易于求解的形式 。
求解方程
运用数学方法（如代数法、分 离变量法等）求解方程，得到 未知数的解。
的影响。
06
总结与展望
恒定流动量方程研究意义和价值
揭示流体运动规律
恒定流动量方程是描述流体在管道中稳定流 动时各物理量之间关系的方程，对于揭示流 体运动规律具有重要意义。
工程应用广泛
恒定流动量方程在水利工程、市政工程、环境工程 等领域有着广泛的应用，为工程设计提供了重要的 理论依据。
推动相关学科发展
案例二
复杂管网流动问题。由于问题复杂性增加，解析法难以直接 应用。采用数值法进行求解，通过调整迭代参数和网格密度 ，得到较为准确的计算结果。这表明数值法在复杂问题求解 中具有优势。
04
恒定流动量方程在工程中应用
水利工程中水流计算
流量计算
通过恒定流动量方程计算水库、 河流等水域的流量，为水利工程 设计提供基础数据。
恒定总流的动量方程详解课件
动量方程的推导
根据牛顿第二定律和质量守恒定律，可以推导出动量方程。 将牛顿第二定律的表达式F=dp/dt和质量守恒定律的表达 式ρvdρ/dt=0代入动量方程中，得到：ρv(dv/dt)=F，其 中v为流体的速度，t为时间。
流体在弯管处的流动
总结词
当流体流经弯管时，动量方程可以帮助我们理解流体的速度和压力变化，以及弯管对流 体流动的影响。
详细描述
弯管是流体输送和分配系统中常见的元件，它可以改变流体的流动方向。动量方程可以 帮助我们预测流体在弯管处的速度和压力分布，以及弯管对流体流动的影响。此外，通 过分析动量方程，我们可以优化弯管的几何形状和操作条件，以实现更好的流体控制效
描述物质运动变化过程的物理量，单 位为秒（s）。在动量方程中，时间表 示流体微团运动状态随时间的变化。
力
改变物体运动状态的作用量，单位为 牛顿（N）。在流体动力学中，力主 要指流体受到的外部作用力，如重力、 压力等。
动量方程在流体动力学中的应用
流体动力学基本方程 动量方程是流体动力学的基本方程之一，用于描述流体运 动规律。通过求解动量方程，可以了解流体在不同外力作 用下的运动状态和变化趋势。
在恒定总流中，由于流体的速度和密度不随时间变化，因此惯性力为零。因此， 流体微元的运动方程可以简化为：F=dp/dt，其中F为外力，p为流体微元的动量， t为时间。
质量守恒定律的应用
质量守恒定律是流体动力学的基本定律之一，它指出在封闭 系统中，质量不随时间变化。在恒定总流中，流体的质量不 随时间变化，因此可以忽略质量的变化。
流体力学3-5动量方程
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
P2
r
r
rr
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
2
❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
sin
60o
Ry'Fra bibliotekQ(2v2
恒定总流动量方程
恒定总流动量⽅程恒定总流动量⽅程1．流体为恒定流，且流体是不可压缩的。
2．流体运动符合连续原理；3．所取的两个断⾯为渐变流流动，但在两个断⾯之间可以不是渐变流。
4．两个断⾯之间的流体没有外界能量的加⼊或内部能量的取出。
5．能量⽅程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断⾯是指同⼀股液流。
§2-4-2 应⽤伯努利⽅程应注意的问题1. 分析流动，选取好过⽔断⾯；2. 选择好计算点和基准⾯；3. 压强⼀般以相对压强表⽰，单位要⼀致；4. 全⾯分析和考虑所取两过流断⾯之间的能量损失。
§2-4-3 伯努利⽅程的应⽤1．毕托管测流速图3-28①驻压强：流动流体中加⼀障碍物后，驻点处增⾼的压强，即动能转化⽽来的压强②动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。
③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。
④单孔测速管制作原理：当⽔流受到迎⾯物体的阻碍，被迫向四周分流时，在物体表明上受⽔流顶冲的A点流速等于零，称为⽔流滞⽌点（驻点）。
驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和毕托管就是根据这⼀原理制成的⼀种测速仪。
如图，1管测的是动压强，2管测的是总压强，则驻压强测得理论流速：实际流速：（ µ：修正系数，Ｈ：为两管⽔头差。
）2. ⽂丘⾥流量计（Venturi Meter）如图，主管路直径为,喉管直径；在定流条件下，测压管⽔头差为，推导管路中实际⽔流量的计算式。
对过⽔断⾯1-1、2-2列能量⽅程运⽤连续⽅程有：得主管流速理想情况下的流量实际流量式中——流量系数，主要与管材、尺⼨、加⼯精度、安装质量、流体的粘性及其运动速度等有关，——结构常数. ⼀般⽔⼒计算问题【例3-3】⼀虹吸管，已知a=1.8m,b=3.6m,，由⽔池引⽔⾄Ｃ端流⼊⼤⽓，若不计损失，设⼤⽓压为10m⽔柱，求：（１）管中流速，及Ｂ点之绝对压强。
（２）若Ｂ点绝对压强下降到0.24m⽔柱以下，将发⽣汽化，设Ｃ端保持不动，问欲不发⽣汽化，a不能超过多少？解：引⽔时，⽔池中⽔⾯可认为⼀过流截⾯，流体经吸⽔⼝进⼊虹吸管（１）以Ｃ端为基准⾯，对Ａ、Ｃ截⾯写伯诺⾥⽅程，Ａ截⾯流速很⼩，可忽略，则有：(a)V=8.4m/s对ＡＢ截⾯应⽤伯诺⾥⽅程，以Ａ为基准⾯：（b）（⽔柱）（２）为不发⽣汽化，必须（⽔柱），将此关系代⼊（b）得：（⽔柱）例4 如图所⽰⽔泵管路系统,已知：流量Q=101m3/h,管径d=150mm，管路的总⽔头损失hw1-2=25.4m,⽔泵效率η=75.5%，试求：（1）⽔泵的扬程Hp（2）⽔泵的功率Np解：(1) 计算⽔泵的扬程Hp以吸⽔池⽔⾯为基准写1-1,2-2断⾯的能量⽅程即∴(2)计算⽔泵的功率Np此题主要说明在⽔流中有能量输⼊或输出时能量⽅程的应⽤。
动量方程
8.动量方程应用注意事项：
(1) 作好“三步”：
(a)控制体的选取：－－总流 一般选取总流边界为控制体边界， 横向边界一般取过水断面；
9.动量方程的应用
•求解固体边界的水流作用力 •求解射流冲击力
•求解水跃
恒定总流动量方程式应用举例
一、弯管内水流对管壁的作用力
弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水 压强不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯 管中液体对管壁的作用力。
取如图所示控制体，作用 于控制体上的力包括两端 断面上的 动水压力，还有 管壁对水流的反作用力。
Fp1 -Fp2cos α + R x =ρ Q (v2cosα -v1)
α R x= α -v1) -Fp1+Fp2 cos ρ Q (v 2cos
= -1983 N（方向与图示相反）
y方向的动量方程：
-F p2sin α + R y=ρ Q (v 2 sinα -0)
R y =ρ Q v 2 sinα +Fp2sinα
(b)绘计算简图：正确标示流速和作 用在水体上的力，注意各流速和 力矢量的投影方向及其正负号； (c)动量方程是矢量方程，建立坐标 系； (2)流出动量减去流入动量，未知力 的方向可以假设；
(3)∑F包括作用在控制体上的全部
外力，不能遗漏，也不能多选。当 未知力的方向不能事先确定时，可
以先假设其方向进行求解。如果求
水轮机： －HP= Pg/(γ Q ηg) （出力）
小 结：
恒定总流的动量方程详解
3.1
描述液体运动的两种方法
3.2 3.3
3.4 3.5
流体运动的基本概念 恒定总流的连续方程
恒定总流的能量方程 恒定总流的动量方程
3.5 实际液体恒定总流的动量方程 3.5.1 动量方程的推导
3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点
3.5.4 动量方程的应用
3.5 实际液体恒定总流的动量方程 3.5.1 动量方程的推导
A1
K 2- 2' dt u2 u2dA2 Q2 2 v 2dt Q 2 v 2dt
A1
K
dt uudA Q vdt
A
1
A1
u u dA
1 1
1
for a gradually varied flow
v1Q
A2
A1
u u dA
1 1
1
v1Q
dt 时间内水流动量变化Δ K
1’
1
2
2’
1’
K K 1'-2 ' K 1-2 K 1'-2 ' K 1'-2 K 2-2 ' K 1-2 K 1-1' K 1'-2
2
2’
1
K K 1'-2 ' K 1-2 ＝ K 2-2 ' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2 ' K 1-1'
3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点
3.5.4 动量方程的应用
θ 水利工程中经常遇到求解作用力的问题, 如平面弯管要求知道制作镇墩的作用力
03恒定总流动量方程验证实验报告
恒定总流动量方程验证实验报告一、实验原理1.恒定总流动量方程对恒定总流运用动量守恒原理，可以得到动量方程ρααQ v v F ()-+=∑011022，它表明总流中上游1-1断面和下游2-2断面之间控制体内流体所受外力之矢量和等于单位时间经两断面流出控制体的动量。
利用动量方程我们往往可以求出所需的作用力，包括边界对流体的作用力或者其反作用力（流体对边界的作用力）。
水流从圆形喷嘴射出，垂直冲击在距离很近的一块平板上，随即在平板上向四周散开，流速方向转了900，取射流转向前的断面1-1和水流完全转向以后的断面2-2（是一个圆筒面，它应截取全部散射的水流）之间的水流区域为控制体，运用动量方程可求出平板对水流的作用力'R .2.具体计算公式推导不考虑水流扩散、板面和空气阻力，由恒定总流能量方程可得：gv g v g p z g p z 22)()(21222211-=+-+ρρ控制面中除了水流和平板的交界面外压强都为零，即P 1=P 2，喷嘴距离平板很近，可认为Z 1=Z 2，于是： v v v 12==.若射流方向水平，重力沿射流方向无分量,沿射流方 向的动量方程投影式为: ραQ v R ()0011-=-'， 取动量修正系数α0110=.,则 '=R Qv ρ.若射流冲击的是一块凹面板,则沿射流方向的动量方程投影式为: ραβαQ v v R (cos )022011-=-'， 取动量修正系数αα010210==.，v v v 12== 仍满足，所以 '=-R Qv ρβ(cos )1.本实验装置设计的射流方向是铅垂向上的，重力沿射流方向有分量，考虑到重力的减速作用，射流冲击到实验板上的速度小于喷嘴出口流速，为v v v gz 1222==-， 故将实验板受力公式改为R Q v gz =--ρβ221(cos )，其中z 为射流喷射高程（喷嘴出口到实验板的距离）二、实验装置实验设备与仪器见下图。
恒定总流的动量矩方程
恒定总流的动量矩方程利用上节介绍的动量方程，只能确定水流与边界之间相互总用里的大小和方向，不能给出作用点的位置。
要解决这一问题，可运用动量矩方程求得。
水流通过水轮机或水泵等水力机械时是在叶片所构成的通道内流动的，这时水流与叶片之间有力的作用，受水流作用的转轮叶片本身又绕一固定轴转动，在分析这类问题时需要了解动量矩变化与外力之间的关系。
利用微小流束的动量方程对某固定点取矩，可得到微小流束的动量矩方程F r u r u r dQ ⨯=⨯-⨯)(1122ρ (3-41)式中 r 1、r 2分别是从固定点到流速矢量u 1、u 2的作用点的矢径。
再在总流过水断面上求矢量积分则得恒定总流的动量矩方程)(1111222212F r dA u u r dA u u r A A ⨯∑=⨯-⨯⎰⎰ρρ (3-42)这就是说，单位时间里控制面内恒定总流的动量矩变化(流出的动量矩与流入的动量矩之矢和差)等于作用于该控制面内所有液体质点的外力矩之和。
动量矩方程的一个最重要的应用是利用它导出叶片式流体机械(泵、风机、水轮机及涡轮机等)的基本方程。
现以离心泵或风机为例作推导。
如图3-37（a ）所示，流体从叶轮的内缘流入，经叶片槽道于外缘流出。
叶轮中流体质点作复合运动：一方面，在离心力的作用下相对叶片流动(相对运动)；另一方面，流体质点受旋转叶片的作用作圆周运动(牵连运动)。
流体质点的绝对速度c 应等于其相对速度w 与牵连速度(又称为圆周速度)u 的矢量和，即c =w +u (3-43)离心泵或风机的进出口速度三角形如图所示。
其中a 1与a 2分别是进出口绝对速度与相应圆周速度的夹角。
图3-37取进出口轮缘(两圆柱面)为控制面。
此时，尽管对于固结在机壳上的惯性坐标系来说，叶轮中流体是非恒定流，但控制面内的动量矩不随时间改变，故仍可运用恒定总流的动量矩方程(3-42)。
假定断面流速分布是均匀的(一元流动)，注意到对轮心的外力矩中，重力的合力矩等于零，叶轮进出口圆柱面上的动水压强p 1与p 2因通过轮心，其力矩也等于零，流体与叶片间的切应力指向轮心，其力矩仍等于零，只有叶片对流体的作用力对转轴产生了力矩M 。
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
ux
uy
uz
dxdydzdt
x
y
z
3
连续性方程
由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因 为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变 化而产生的六面体内的流体质量变化相等。
设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
(x, y, z, t dt) dt
量力，其余均为表面力。即
ur ur ur ur ur
R
F P1 P2 G R
P2 v2
P1 v1
G
15
恒定总流的动量方程
Hale Waihona Puke qv qv( 2 v2 x (2v2 y
1v1x ) 1v1y )
Fx Fy
qv (2v2z 1v1z ) Fz
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三 个坐标方向的投 影（不包括惯性 力）。
动量定理： 质点系的动量在某个方向的变化，等于作用于该 质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。 即
K F •t
7
恒定总流的动量方程 1. 恒定总流动量方程的建立
在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。
A1 1
A2
2
v1 v2
1
uuuur
K 断面1-1至2-2所具有的动量
12
8
恒定总流的动量方程
16
按照动量定律原理，则
uur uur uur
uur
ur
ur
K＝K 22' K11'＝qv22 v2dt qv11v1dt＝ Fdt
14
恒定总流的动量方程
恒定流动量方程
为流段新占有的2—2’体积内的流体所具有
的动量减流段退出的1—1’体积内流体所具
有的动量；而dt前后流段共有的空间1-2内
的流体，尽管不是同一部分流体，但它们
在相同点的流速大小和方向相同，密度也
未改变，因此，动量相同。动量增量为：
d
(mvr
)
22QA222dtdtr2r2
1 A11 1Q1 dt
2）动量方程是矢量式，应适当选取投影轴，注意力和速度 的正负号；
3）外力包括作用在脱离体上的所有的质量力和表面力。固 体边界对流体的作用力方向可事先假设，若最后得到该力 的计算值为正，则说明假设方向正确；若为负，则说明与 假设方向相反；
4）应是输出动量减去输入动量；
5）动量方程只能求解一个未知数，若未知数多于一个时， 应联立连续性方程和能量方程求解。
根据伯努利方程
z1
p1
V12 2g
z2
p2
V22 2g
∵ V1 V2 截面积不变
z1 z2
∴ p1 p2 p 9807 N m2
y x 1
P1
1
2
P2
2
60°
α
R壁-水
由动量方程：
Fx p1A1 p2A2cos60 R壁水cosα
ρQ(V2x V1x )ρV1A1(V2cos60 V1)
y
x 1
2
P2
2
P1 1
60°
α
R壁-水
解：1）取控制体，进口、出口及管壁组成1122；
2）选择坐标系，如图x轴与弯管进口前管
道轴线一致；
y
F G P1 P2 R
由于不考虑重力，∴
G0
管壁→水作用力为 R壁水 ,
恒定总流的动量方程详解课件
在供水系统中，恒定总流可以保证用户获得稳定的水压和水量，确保供
水质量和供水安全。
02
石油输送
在石油输送过程中，恒定总流可以保证石油的稳定输送，避免输送过程
中的泄漏和浪费。
03
工业生产
在工业生产中，恒定总流可以保证生产设备的正常运行，确保生产效率
和产品质量。例如，在化工生产中，恒定总流可以保证反应釜内液体的
充分混合和反应。
体力学中，当流体流经某一管道 或在某一区域内流动时，若其流速、 压强、密度等物理量均保持不变，则 称该流动为恒定总流。
动量方程
描述流体在管道或某一区域内流动时 ，动量变化与外力之间的关系。
动量方程推导过程
控制体选取
在推导过程中，需要选取一个控 制体，该控制体可以是一段管道 、一个阀门或一个泵等。
实例三：扩散器中流体扩散
扩散器结构
扩散器为扩张型扩散器，入口直径为D1，出口直径为D2，扩张角为θ。
流速变化
流体在扩散器中经历减速过程，出口流速小于入口流速。
动量方程应用
恒定总流的动量方程可表示为∑F=ρQ(v_2-v_1)+ρgA(z_2-z_1)，在扩散器中，外力主要 为压力差。忽略重力和其他外力后，动量方程简化为ΔP=ρQ(v_1-v_2)。通过该方程可求 解流体在扩散器中的压力恢复和流速分布。
未来发展趋势预测与展望
数值模拟技术发展
随着计算机技术的不断进步，数值模拟方法在恒定总流动 量方程研究中的应用将越来越广泛，为工程实践提供更准 确、高效的解决方案。
多学科交叉融合
恒定总流动量方程的研究将越来越多地涉及到其他学科的 知识和技术，如材料科学、环境科学等，促进多学科交叉 融合和创新发展。
绿色环保理念
流体力学讲义 第四章 恒定总流基本方程
第四章恒定总流基本方程本章是流体力学在工程上应用的基础。
它主要利用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程在工程应用上的分析计算方法。
第一节总流分析法一、概念1.流管（stream tube ):在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。
判断：棱柱形明渠不存在流管。
错图4-1 流管与元流图4-22.元流（tube flow)流管中的液流称为元流或微小流束（图4-1）。
元流的极限是一条流线（图4-2）。
3.总流（total flow）：把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。
4.过水断面（cross section）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，如图4-3中的1-1，2-2断面。
判断：均匀流过水断面是一平面，渐变流过水断面近似平面。
对5.控制体：即在流场中划定的一个固定的空间区域，该区域完全被流动流体所充满。
6.控制断面：即控制体（流管）有流体流进流出的两个断面，如图4-4中的3-3，4-4断面。
图4-3 过水断面图4-4 总流、控制体与控制断面判断：恒定总流的能量方程可通过元流的能量方程在整个总流上积分而得。
对二、控制断面的选取1.渐变流的性质渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于平行直线的流动。
均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静压强的规律（2-11）式分布，如图4-5，即图4-5求证：在恒定渐变流的同一过流断面上各点动水压强按静水压强规律分布，即：。
证明：列出z1方向的N—S方程有：对恒定流，当地加速度为0；对渐变流，迁移加速度近似为0，故根据欧拉加速度的定义：又如图4-6所示：图4-6积分得：即证。
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
恒定总流动量方程及其工程应用
恒定总流动量方程及其工程应用咱们聊聊一个听起来挺高大上，但其实跟咱们日常生活息息相关的话题——恒定总流动量方程。
哎，你别一听这名字就觉得头疼，咱们慢慢聊，保证让你觉得它既有趣又实用。
想象一下，你手里拿着一杯咖啡，正悠闲地走在上班的路上。
突然，你发现前面有个水坑，为了避免溅湿鞋子，你加快了脚步。
这时候，你其实就无意识地运用了“恒定总流动量方程”的原理。
听起来玄乎吧？咱们继续往下说。
恒定总流动量方程，说白了，就是描述流体流动时，它那股子“冲劲儿”是怎么保持不变的。
流体嘛，可以是水、风，也可以是你咖啡杯里的热咖啡。
这个“冲劲儿”，咱们可以想象成是流体流动的力量和速度的综合体现。
就像你跑步一样，如果你跑得快，那股子风驰电掣的劲儿肯定大；但如果你跑慢了，那股劲儿就相对小了。
不过，要是有个什么神秘力量，让你跑快的时候力量小点，跑慢的时候力量大点，最后你整体的“冲劲儿”还是一样的，这就是恒定总流动量方程在起作用了。
在工程中，这个方程可有大用场。
工程师们在设计管道、水坝、风力发电站这些玩意儿的时候，都得考虑流体流动的问题。
如果流体流动得太快，可能会把管道冲坏；流动得太慢，又可能达不到预期的效果。
这时候，恒定总流动量方程就像个贴心的助手，帮工程师们找到那个完美的平衡点。
比如说，设计一条输油管道吧。
你得确保油在管道里流动得既快又稳，还不能把管道给冲坏了。
这时候，你就可以用恒定总流动量方程来算一算，看看什么样的流速和流量最合适。
这样一来，你既能保证输油效率，又能保证管道的安全。
再比如说，风力发电站里的风车吧。
你得让风车在风大的时候转得快一点，风小的时候转得慢一点，这样才能保证发出的电力稳定。
这时候，恒定总流动量方程又能派上用场了。
你可以根据风的流速和力量，来调整风车的转速和角度，让它始终保持在最佳工作状态。
你可能会说：“这些我都懂，但跟我有什么关系呢？”嘿，关系可大了去了！咱们平时用的自来水、天然气，还有那些大大小小的水电站、核电站，哪个不是靠这些原理来运行的？要是没有了这些工程应用，咱们的生活还不知道得乱成啥样呢！所以你看，恒定总流动量方程虽然听起来有点专业，但其实跟咱们的生活息息相关。
恒定总流动量方程的物理意义
恒定总流动量方程的物理意义1. 引言嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个听起来有点高深，但其实挺简单的物理概念——恒定总流动量方程。
别担心，不用把自己搞得像在解数学题，咱们把这玩意儿说得轻松点，像喝茶闲聊一样。
说到流动量，你可能会想起水流、汽车、甚至是人流。
没错，流动量就是描述这些东西在运动时的一种方式。
就像我们在超市里推购物车，车子走得快慢、方向全是流动量在起作用。
2. 什么是流动量？2.1 流动量的定义流动量，听着是不是很酷？它其实就是物体的质量乘以它的速度。
简而言之，想象一下你拿着一个重重的包，走路的时候你会发现，这个包越重，你移动的速度就越慢。
这就是流动量的影响。
说得直白点，就是你越重，动起来就越费劲。
这种质量和速度结合的方式就是流动量。
2.2 恒定流动量的概念而“恒定”这个词，意思就是流动量在一段时间内保持不变。
比如说，你在河里漂流，水流的速度和你身体的重心保持平衡，这时你就可以安安稳稳地漂下去。
如果有个小朋友突然扔了个石头进水里，河水的流动状态可能就会改变，但如果没有外力影响，那你的流动量就可以保持恒定。
这可真是个简单又有趣的现象呢。
3. 恒定总流动量方程的物理意义3.1 守恒定律说到恒定总流动量方程，其实就是在说一个守恒定律。
科学家们发现，在一个封闭系统内，流动量是不会自己消失的。
就好比一场足球比赛，虽然球在场上转来转去，但它的总“流动量”——即球员们的速度和方向总是保持一致。
你可能会问，为什么会这样？因为大自然总是喜欢保持一种平衡，像是个老练的调酒师，不让酒杯里的液体溢出来。
3.2 生活中的应用那么，咱们怎么把这个概念用到生活中呢？比如说，想象一下你在马路上开车。
你的车速、车重都在影响着你和周围交通的流动量。
如果你突然急刹车，后面的车可能会因为你的流动量改变而发生碰撞。
这就像一颗石子投进水里，激起了层层涟漪，影响着周围的一切。
这也是为什么在开车时，我们要遵守交通规则，保持流动量的稳定，以免引发混乱。
稳定流的动量方程表达式
稳定流的动量方程表达式稳定流是指在流体流动过程中，流速和流动性质保持不变的状态。
稳定流动的特点是流体的速度分布、压力分布和密度分布都是恒定的。
在稳定流动中，动量守恒定律成立，可以用动量方程来描述。
动量方程是研究流体力学中非常重要的方程之一，它描述了流体中动量的变化情况。
动量方程的一般形式为：∂(ρv)/∂t + ∇(ρv^2)/∂x = -∇P + ∇τ其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度，t是时间，P是流体的压力，τ是应力张量，∇是偏导数算子。
动量方程的左边描述了流体动量的变化率，右边描述了外力对流体动量的影响。
第一项∂(ρv)/∂t表示单位时间内单位体积内动量的变化率，即流体动量的时间变化率。
第二项∇(ρv^2)/∂x表示由于速度梯度引起的动量传输，即流体动量的空间变化率。
这两项合起来描述了流体动量的变化。
第三项-∇P表示压力梯度对流体动量的影响。
压力梯度越大，流体受到的压力力越大，动量变化越明显。
最后一项∇τ表示流体受到的剪切力对动量的影响。
剪切力是由于流体内部分子之间的相互作用而产生的一种力，它会改变流体的速度分布，从而对动量产生影响。
动量方程的形式简洁明了，但是具体应用时需要根据实际情况进行适当的简化和修正。
在稳定流动中，流速和流动性质保持不变，所以动量方程可以简化为：0 = -∇P + ∇τ这意味着在稳定流动中，压力梯度和剪切力之间存在平衡关系。
压力梯度和剪切力的大小和方向决定了流体的流动方式。
当压力梯度和剪切力平衡时，稳定流动就能够保持下去。
动量方程是流体力学研究中的重要工具，它可以用于分析流体流动的特性和行为。
通过求解动量方程，可以得到流体速度、压力和密度的分布情况，从而揭示流体流动的规律和机理。
稳定流的动量方程是描述流体动量变化的方程，它包含了动量的时间变化率、空间变化率以及压力梯度和剪切力对动量的影响。
通过求解动量方程，可以揭示流体流动的规律和机理，对于理解和研究流体力学问题具有重要意义。
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Hale Waihona Puke 1’ 1t+dt2
2’
t
uur uur uur
uur uur uur uur uur uur
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2' K 1-1'
dt 时间内水流动量变化ΔK
1’ 1
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1’
uur uur uur K K 1'-2' K 1-2
2 1
2
1
在恒定总流中，取一流段
进行研究，如图所示，分析
其运动的变化。把这块流体
加以放大，便于分析。
1 1
2 2
A1 1
u1
dA1
1
A2 2
u2 2 dA2
1 1
2 2
1’ 1
2 2’
1’ 1
2
2’
经过时间Δt 后，流体从1-2运动至1’－ 2’
1’ 1
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1’ 1
2
2’
经过时间Δt 后，流体从1-2运动至1’－ 2’
1
for auKurs1'-t2e' auKdury2-2f'louKwur1':-2
t+dt
K 1'uKur21-(2tuKurd1-t1')uKur1K'-2 1'2 (t )
2
2’
t
uur uur uur
uur uur uur uur uur uur
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2' K 1-1'
3.5 实际液体恒定总流的动量方程
3.5.1 动量方程的推导 3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点 3.5.4 动量方程的应用
θ
水利工程中经常遇到求解作用力的问题, 如平面弯管要求知道制作镇墩的作用力
1 z
1 Δz
2 立面弯管要求知道 固定弯管的作用力 O
2 x
1
h
v1
Q
1
2
Q
v2 ht
dt 时间内水流动量变化ΔK
1’ 1
2 2’
uur uur uur K K 1'-2' K 1-2
uur uur uur K 1'-2' K 1'-2 K 2-2' uur uur uur K 1-2 K 1-1' K 1'-2
1’ 1
2
2’
uur uur uur
uur uur uur uur uur uur
dQ d t u
1’ 1
u1dt
udAdt u
uudAdt
2 2’ A2
u2
2 2’
u2dt dA2
dt 时间内水流动量的变化
1’ 1
A1
u1
1’
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1
for an entirebody :
u1dt
K uudAdt dt uudA
A
A
2 2’ A2
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2 2’
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u2dt dA2
uur
uur
uur
K 11' u1u1dtdA1 dt u1u1dA1
A1
A1
uur
uur
uur
K 22' u2u2dtdA2 dt u2u2 d A2
A2
A2
因为断面上的流速分布一般 不知道，所以上述积分不能完成。 如何解决这个积分问题？
用断面平均流速代替 点流速分布，造成的误差 用一个动量修正系数 (常 系数）修正，则
dt 时间内水流动量的变化
1’ 1
A1
u1
1’
dA1
1
K K 22' K 1‘1
uur
uur
uur u1dt
K 11' u1u1dtdA1 dt u1u1dA1
uur
A1 uur
A1 uur
K 22' u2u2dtdA2 dt u2u2dA2
A2
A2
2 2’ A2
u2
2 2’
dt 时间内水流动量的变化
1’
1
A1
u1
2 2’
A2
u2
1’
2 2’
dA1
1
uur uur uur K K 1'-2' K 1-2
uur uur uur K 1'-2' K 2-2' K 1'-2 uur uur uur K 1-2 K 1-1' K 1'-2
u1dt
u2dt
dA2
uur uur uur
3 流体动力学理论基础
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.5 实际液体恒定总流的动量方程
3.5.1 动量方程的推导 3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点 3.5.4 动量方程的应用
uur uur uur uur uur uur
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K ＝ 1'-2 K 2-2' K 1-1'
dt 时间内水流动量的变化
1’ 1
A1
u1
for an infinitelysmall body :
K mu
dA1 V u
A1
K dt uudA Q vdt
A
u1u1dA1
1 A1
v1Q
for a gradually variedflow
u1u1dA1
A1
v1Q
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2 A2
for a gradually variedflow
u2u2dA2
A2
ur
uur
ur
ur
K 1-1' dt u1u1dA1 Q11v1dt Q1v1dt
2
溢流坝要进行稳定性校核
y O
v
1
1
0
R
x
v0
0 射流对墙壁的作用力
2
2
v
作用力与物理学上什么定律有关呢？
由物理学、理论力学可知质点系的动量定律: 质点系的动量在某个方向的变化，等于作用在质 点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。
依据这个原理，推求液体 运动的动量变化规律。
在恒定总流中，取一流段进 行研究，如下图所示，分析其 运动的变化。
K 1-1' dt u1u1dA1
A1
dt (1v1 )u1dA1
A1
dt1 v1 u1dA1
A1
dt1 v1Q1
Q11 v1dt
in thesameway :
K 1-1' dt u1u1dA1 Q11 v1dt Q1 v1dt
A1
K 2-2' dt u2u2dA2 Q2 2 v2dt Q 2 v2dt
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K ＝ 1'-2 K 2-2' K 1-1'
dt 时间内水流动量变化ΔK
1’ 1
2 2’
uur uur uur K K 1'-2' K 1-2
uur uur uur K 1'-2' K 2-2' K 1'-2 uur uur uur K 1-2 K 1-1' K 1'-2