球面与共轴球面系统共24页
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1.2球面和共轴球面系统的理想成像
① 规定角特指锐角。顺时针为正， 反之为负。 ② 孔径角是由光轴转到光线；
物方孔径角-U 像方孔径角U'
A
n
E
n'
I'
h
I
-U
o
φ
c
U'
A'
① 其它角（入射角、-反射角、 折射角）是由光线转到法线。
L
r
L'
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.1单球面成像的不完善性
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.2近轴区的完善成像
y‘ nl' β ' y nl
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.1从L= -∞，即无穷远处的光线平行于光轴 入射，被折射球面所成的像点称为像方焦点， 也称后焦点或第二焦点。OF2称像方焦距或后焦 n 距或第二焦距。由单球面高斯公式，L= -∞时， ≈0，则可得像方焦距为 l
n n n -n ' l l r
A' B'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（2）薄透镜的成像作图
B' A'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.2公式法求像
（1）牛顿公式 pp’=ff’ β=y’/y=- f/p=-p’/f’ （2）高斯公式 N’/l’-n/l=n’/f’ β=nl’/n’l
'
'
nr ' OF2 = f = ' l n -n
'
'
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.3在单球面的高斯公式 中 ，
物方孔径角-U 像方孔径角U'
A
n
E
n'
I'
h
I
-U
o
φ
c
U'
A'
① 其它角（入射角、-反射角、 折射角）是由光线转到法线。
L
r
L'
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.1单球面成像的不完善性
1.3单球面近轴区的物像关系
1.3.2近轴区的完善成像
y‘ nl' β ' y nl
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.1从L= -∞，即无穷远处的光线平行于光轴 入射，被折射球面所成的像点称为像方焦点， 也称后焦点或第二焦点。OF2称像方焦距或后焦 n 距或第二焦距。由单球面高斯公式，L= -∞时， ≈0，则可得像方焦距为 l
n n n -n ' l l r
A' B'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（2）薄透镜的成像作图
B' A'
3. 理想（高斯）光学系统
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.2公式法求像
（1）牛顿公式 pp’=ff’ β=y’/y=- f/p=-p’/f’ （2）高斯公式 N’/l’-n/l=n’/f’ β=nl’/n’l
'
'
nr ' OF2 = f = ' l n -n
'
'
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.3在单球面的高斯公式 中 ，
第2章-球面和球面光学系统
9
L -r sin U r n sin I = sin I ' n' U ' =U +I -I' sin I ' = + L' r r sin U '
sin I =
说明：大L、小l公式组的特点和使用 严格的，用于光线追迹，求解像差。
（第七章 像差理论的计算基础）
l - r u i= r n = i' i n' u '= u + i - i ' i' l'=r + r u'
n2'=n3 C2
-y1' -y2
-l1
r1
B1'(B2) l1' d1
-l2
B2' y2 ' -u2' A2'
r2
l2'
已知：1、各球面的曲率半径 r1，r2，……，rk 2、各表面顶点的间隔 d1，d2，…... ，dk-1 3、各空间区域折射率 n1， n2， ……， nk+1 求：光线或物经共轴球面系统后的光路计算和成像计算问题。
5
§2.2、 单个折射球面成像 （一）、实际光线的光路计算
I A -U -L O
E
h I' φ r
n'>n C L' U' A'
问题：由折射球面的入射光线求出射光线 即：已知：r， n， n'，L， U 求 ： L', U' 6
利用正弦定理、折射定律及U+I=U'+I'=φ 可得：
L -r sin I = sin U r n sin I sin I ' = n' U ' =U +I -I' sin I ' = + L' r r sin U ' n
L -r sin U r n sin I = sin I ' n' U ' =U +I -I' sin I ' = + L' r r sin U '
sin I =
说明：大L、小l公式组的特点和使用 严格的，用于光线追迹，求解像差。
（第七章 像差理论的计算基础）
l - r u i= r n = i' i n' u '= u + i - i ' i' l'=r + r u'
n2'=n3 C2
-y1' -y2
-l1
r1
B1'(B2) l1' d1
-l2
B2' y2 ' -u2' A2'
r2
l2'
已知：1、各球面的曲率半径 r1，r2，……，rk 2、各表面顶点的间隔 d1，d2，…... ，dk-1 3、各空间区域折射率 n1， n2， ……， nk+1 求：光线或物经共轴球面系统后的光路计算和成像计算问题。
5
§2.2、 单个折射球面成像 （一）、实际光线的光路计算
I A -U -L O
E
h I' φ r
n'>n C L' U' A'
问题：由折射球面的入射光线求出射光线 即：已知：r， n， n'，L， U 求 ： L', U' 6
利用正弦定理、折射定律及U+I=U'+I'=φ 可得：
L -r sin I = sin U r n sin I sin I ' = n' U ' =U +I -I' sin I ' = + L' r r sin U ' n
几何光学 第二章 球面和球面系统
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
第2章球面和球面系统
作业： 作业：
双胶合透镜
视场 2W = 6 入瞳直径 2a = 20 第一近轴光线： 第一近轴光线： h1 i1 = = 0.16 l1 = −∞ u1 = 0 h1 =10 r1 第二近轴光线： 第二近轴光线：l1 = 0 u1 = sin (− 3o ) = −0.052336
o
n1 =1 n = n2 = 1.51637 ' ' n2 = n3 = 1.67268 n3 = 1
可得
nyu = n' y' u' = J
一对共轭面内， 成像的物高、 一对共轭面内 ， 成像的物高 、 成像光束的 孔径角和所在介质的折射率三者的乘积为 一常数。 一常数。 它是表征光学系统性能的重要参数
§3-3 反射球面—球面镜 反射球面— 一、物像公式
1 1 2 + = l' l r 1、r<0, φ>0会聚 φ>0会聚 − 2n φ= r
§2-3 物平面以细光束经折射球面成像 一、物平面以细光束成像
细光束， 细光束，A—》A’ 完善成像 同心球面A 曲面A 同心球面A1AA2—》曲面A1’A’A2’ 完善成像 由公式， 变小， 也变小，平面B 由公式，l变小，l’也变小，平面B1AB2—》 曲面B 曲面B1’A’B2’ n' n n'−n − = 不再是平面： 不再是平面：像面弯曲 l' l r
L−r sin I = sin U r
n sin I = ' sin I n
'
U =U + I − I
'
'
sin I L = r +r sin U '
'
+第2章球面和共轴系统
说明：1）β>0，y与y’同号，成正像，反之倒像。
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
球面和共轴球面系统的理想成像
2019/5/22
yy
54
n
n'
F
H
UJ
xH = - f xJ = f '
H'
UJ '
F'
J J'
xJ' = f xH' = - f '
2019/5/22
yy
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节面(Nodal Planes)
分为物方节平面（也称前节面）和 像方节平面（也称后节面）。
2019/5/22
yy
56
过节点的光线 平行出射
yy
22
概 念
5、屈光力（光焦度）F
光焦度表征光学系统偏折光线的能力。
光焦度F （-）表起发散作用 （+）表示起 会聚作用
单位：屈光度D——以米为单位的焦距的倒 数。
2019/5/22
yy
23
眼镜的度数=屈光度数×100
2019/5/22
yy
24
二、转面（过渡）公式：
1
2019/5/22
于是，高斯公式可表示为 V′– V = F
即光学系统的光焦度等于一对共轭点之间的光 束会聚度之差值，单位为屈光度（D）。
2019/5/22
yy
66
光学系统的光焦度：
光学系统中折合焦距的倒数 以F 表示，也称屈光力或焦度或度数
n' n F= =-
f' f
2019/5/22
yy
67
在空气中，n′= n = 1，此时，光焦度则是
yy
29
演示一下
2019/5/22
yy
30
这里F与F’是不是共轭点呢？
第2章 共轴球面系统
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积 ds并 把它的细光束像记为ds′ ，当面积足够小时，可 近似认为物和像均为在两球面的切平面上。 结论： 结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 只有位于近轴 区的物体才能成完善像。 区的物体才能成完善像。 二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
y′ nl′ β= = y n′l
lu = l ′u ′ = h
nyu = n′y ′u ′ = J
——拉格朗日赫姆霍兹定理，J为拉赫不变量 拉赫不变量 结论：实际光学系统在近轴区内成像时，对于一 对共轭平面来说，物高、物方孔径角和物方介质 折射率的乘积是一个常数。 阿贝不变量： 1 1 阿贝不变量 1 1
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点 是 的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 ∑′ 面是 ∑ 面的细光束像。 根据物像位置关系公式知，B点的像在 ∑′ 面左侧 面左侧. B 结论： 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个 折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 ∑′ 面更弯曲的曲面，成像不完善 成像不完善— 成像不完善 —像面弯曲 像面弯曲。 像面弯曲
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
4.物像位置关系公式（ 4.物像位置关系公式（l ′与l ) 物像位置关系公式
第01章 球面和球面系统
第一篇几何光学在工农业、国防、科学技术以及人类生活的各个领域，使用着种类繁多的光学仪器，尽管其中的光学系统千差万别，但其基本功能是共同的，即传输光或对所研究的目标成像。
因此，研究光的传播和光学成像的规律对于设计光学仪器具有实际的意义。
从本质上讲，光是电磁波，它按波动理论传播，这已为光的干涉、衍射、偏振等诸多现象所证实。
按着这种理论，光的传播就是波面的传播，但用波面的观点来讨论光经过透镜或者光学系统时的传播规律和成像问题将会造成计算和处理上的很大困难，在解决实际的光学技术问题时应用不方便。
按照近代物理的观点，光具有波粒二象性。
如果只考虑光的粒子性，把光源或物体看成是由许多几何点组成，并把由这种点发出的光抽象为象几何线一样的光线，那么，只要按照光线的传播来研究这种点经过光学系统的成像，问题就会变得非常方便和实用。
这种撇开光的波动本性，仅以光的粒子性为基础来研究光的传播和成像问题的光学学科分支称为几何光学。
因此，几何光学所研究的只是一种对真实情况的近似处理方法。
尽管如此，按此方法所解决的有关光学系统的成像、计算和设计等方面的光学技术问题，在大多数场合下与实际情况相符。
所以，几何光学有很大的实用意义，是研究光学仪器理论必不可少的基础。
光学工程，或称光学设计，就是以几何光学为基础，研究光学仪器的设计和优化。
第一章球面和球面系统§1、基本概念和符号规则用于光学成像或收集和传递光能的光学系统，绝大部分都由折射球面组成。
由于反射面/时的特殊情况，平面是半径为无穷大的球面，故首先讨论球面系统是只是折射面在nn-=最具有普遍意义的。
基本概念：光轴：构成透镜的球面或非球面的球心的连线，叫光轴。
共轴光学系统：构成光学系统的各个透镜，如果球心均在一条公共直线上，或者说，各个透镜的光轴重合，那么这类光学系统就叫共轴光学系统。
非共轴光学系统：构成透镜的球面或非球面的球心不完全在一条直线上，则这类光学系统叫非共轴球面系统。
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
1.2.2球面和共轴球面系统的理想成像
n' l'
n l
n' - n r
OF1
=
f
=
-
n'r n' -n
l
1.4单球面的焦距和焦度
1.4.3在单球面的高斯公式 中 ，
n' - n
是一个表征球面光学特性的量，叫单折射球面的
r
屈光力，也称光焦度，简称焦度，用字母F表示，其单位是屈光度，符号是D。1屈光度定义为在
空气中焦距为1m的单折射球面的屈光力。1屈光度=100度
3. 理想（高斯）光学系统
N
N'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（1）厚透镜的成像作图
A
B
3. 理想（高斯）光学系统
B' A'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
（2）薄透镜的成像作图
3. 理想（高斯）光学系统
A' B'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.1作图法求像
第一章 几何光学相关基础知识
单折射球面成像和共轴球面系统的理想成像
共轴球面系统与单折射球面
共轴球面系统由多个单折射球面 构成
1.单折射球面的成像
• 光轴AA' • 子午面（无数个） • 物距OA • 像距OA' • 物方孔径角∠EAO或U • 像方孔径角∠EA'O或U'
1.1单折射球面的相关术语
（2）薄透镜的成像作图
3. 理想（高斯）光学系统
B' A'
3.3理想光学系统的物像关系
3.3.2公式法求像
（1）牛顿公式 pp’=ff’ β=y’/y=- f/p=-p’/f’ （2）高斯公式 N’/l’-n/l=n’/f’ β=nl’/n’l
第二章 球面和球面系统
（4）r = -40mm, L’ = 200mm, U’ = -10° （5）r = -40mm, L = -100mm, U = 10°, L’= -200mm
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
球面与共轴球面系统
y l r n l
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
第二章共轴球面系统
dx' x' α= = dx x
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
第二章 球面和共轴球面系统
2）物体移动有限距离
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
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