边界元法在断裂力学中综述
计算SIF的分区边界元法
Ｕｉ＝ ａｌ ｒ２ ＋ ａ ｉ ｌ ２ ｒ＋ ａ ｉ ２ ３ｒ
。
Ｉ
性质 ， 如果我们选取合适 的形函数 ， 裂纹尖端
ｔ＝ｂｉ ｊ＋ｂｉ ３ ＋… Ｊ ｉ ｌ— ｒ ２＋ｂｉ
、 （ ７ ， ）
式 中 （） （） 的上脚 标 表示 区域 ， ３ 、４ 中 下脚 标 表
一
ｅｒｅｌ ｏｅｔｓｅｉ ｒｓＢ ｎ ｎｒ１９ ， １） ｌｌ ｏｆａ ｎ ｓ ａ ｏｅＭｉｅ，９０ （ １ ：ｌ ｉ ｂ ｉｕ ｎ ｔ
３ 过帮辅 编译 ． 临床骨 科生物 力学基础 ． ： 上海 远东出
版 社 ，９３ ２ １９ ：１
种 系统性 骨 骼 疾 病 。实验 结 果 表 明 ， 大 给
示 交界 面 ， 图 ｌ 示 ， 交 界 面上 必须 满 足 如 所 在 相 容 条件及 平 衡条 件 ， 即
上式 虽 与 Ｗｉｉ ｓ 式 有 所 不 同 ， 已 ｌａ 公 ｌｍ 但 基本描 述 出 了 裂 纹 尖 端 场 的特 性 ， 比我们 用
普通的形函数描述的好得多。
ｖ ） Ｕ ） ， ） １） ｌ ＝ ｛， ｒ ＝一 ｛ ：
单 元难 以描 述它 的这 种性 质 。 由于在 边 界元
法 中可 以分 别形 成 Ｈ和 Ｇ矩 阵 ， 这样 就 可 以 用不 同的插 值 函数 来描 述 位移 和 面力 的这 种
平衡条件进行求解 ：
删 １ ＝１］ （ 的位移场和应力场可以描述成 ： ） ［ ３ ］ Ｇ ） ） Ｉ 一 ｌ Ｉ ［； ＝ ］ ）４ 。 ” ［ ｛ ， Ｈ｛） ， ｃ ］
由此可 以看 出 ， 在裂纹尖端 应力具有｛
４ｒ
的方法 之 一 便 是将 问题 分成 几 个 区 域 ， 这样 便可 用分 区的 边 界元 法 求 解 ， 时 可 以 分 区 此 形 成 其 Ｈ和 Ｇ矩 阵 ， 然后 再 利 用 相 容 条 件及
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
流体力学的数学方法偏微分方程边界元法和网格方法等
流体力学的数学方法偏微分方程边界元法和网格方法等流体力学的数学方法：偏微分方程、边界元法和网格方法等流体力学是研究液体和气体运动的科学。
在解决流体流动问题时，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将介绍流体力学中常用的数学方法，包括偏微分方程、边界元法和网格方法等。
一、偏微分方程偏微分方程是研究自变量和函数的偏导数之间关系的数学方程。
在流体力学中，我们经常使用偏微分方程来描述流体的运动。
其中最常见的方程是纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），它能够描述流体的动量守恒和质量守恒。
纳维-斯托克斯方程是一个非线性偏微分方程组，包括连续方程和动量方程。
连续方程描述了流体的质量守恒，而动量方程描述了流体的动量守恒。
通过求解纳维-斯托克斯方程，我们可以得到流体的速度场和压力场分布。
二、边界元法边界元法是一种数值解法，用于求解偏微分方程的边界条件。
边界元法将求解问题转化为求解边界上的积分方程，从而避免了网格离散化和内部节点的计算。
边界元法广泛应用于流体力学中的流动和结构问题。
边界元法的优点是高效、准确且适用于复杂几何形状。
它能够精确地描述边界上的物理现象，并且不需要求解整个计算域的解。
然而，边界元法在处理壁面边界条件和流体流动相关问题时，可能会受到网格剖分的影响。
三、网格方法网格方法是一种常用的数值求解方法，在流体力学中被广泛应用。
它将计算区域分割成网格单元，并使用离散化方法来近似偏微分方程。
网格方法主要包括有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）。
有限差分法采用离散化的方法来逼近偏微分方程中各项的导数，从而将偏微分方程转化为代数方程组。
它简单易实现，适用于规则网格和简单几何形状的问题。
然而，由于离散化误差和稳定性问题，有限差分法在某些情况下可能不准确。
有限元法是一种更通用的数值方法，它适用于复杂几何形状和非结构化网格。
断裂力学综述
断裂力学概述关键词：断裂力学；现状；阶段性问题；发展趋势中文摘要：本文主要介绍了断裂力学的4个方面，包括对断裂力学的简单介绍，相关的理论和方法，现阶段存在的问题及技术关键，发展趋势。
英文摘要：Four aspects of fracture mechanics are referred in this paper, including brief introduction about fracture mechanics, related theories and methods, problems and key technologies existing at the present stage, and the development.1.引言断裂力学是近几十年才发展起来了的一门新兴学科，主要研究承载体由于含有一条主裂纹发生扩展（包括静载及疲劳载荷下的扩展）而产生失效的条件。
断裂力学应用于各种复杂结构的分析，并从裂纹起裂、扩展到失稳过程都在其分析范围内。
由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。
断裂力学研究的方法是：从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。
2.国内外相关研究现状目前，断裂力学总的研究趋势是：从线弹性到弹塑性；从静态断裂到动态断裂；从宏观微观分离到宏观与微观结合；从确定性方法到概率统计性方法。
所以就断裂力学本身而言，根据研究的具体内容和范围，它又被分为宏观断裂力学（工程断裂力学）和微观断裂力学（属金属物理范畴）。
宏观断裂力学又可分为弹性断裂力学（它包括线性弹性断裂力学和非线性弹性断裂力学）和弹塑性断裂力学（包括小范围屈服断裂力学和大范围屈服断裂力学及全面屈服断裂力学）。
工程断裂力学还包括疲劳断裂、蠕变断裂、腐蚀断裂、腐蚀疲劳断裂及蠕变疲劳断裂等工程中重要方面。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法应力强度因子是用来描述裂纹尖端应力场的重要参数，它在研究裂纹扩展、断裂行为等问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
一、解析方法解析方法是指通过求解弹性力学方程，得到应力场的解析表达式，进而计算应力强度因子。
常见的解析方法有：1. 爱尔兰函数法：该方法适用于轴对称问题，通过引入爱尔兰函数，将弹性力学方程转化为常微分方程，进而得到应力强度因子的解析表达式。
2. 奇异积分法：该方法适用于不规则裂纹形状或复杂载荷情况。
通过奇异积分的性质，将应力场分解为奇异和非奇异两部分，进而得到应力强度因子的解析表达式。
3. 线性弹性断裂力学方法：该方法通过建立合适的应力强度因子与裂纹尺寸之间的关系，利用裂纹尖端应力场的奇异性，通过分析弹性力学方程的边界条件，得到应力强度因子的解析表达式。
二、数值方法数值方法是指通过数值计算的方式，求解弹性力学方程，得到应力场的数值解，从而计算应力强度因子。
常见的数值方法有：1. 有限元法：有限元法是一种广泛应用的数值方法，通过将结构离散为有限个单元，建立节点间的关系，利用数值方法求解离散方程组，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
2. 边界元法：边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，通过将边界上的应力场表示为边界积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
3. 区域积分法：区域积分法是一种基于区域积分方程的数值方法，通过将应力场表示为积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
以上介绍了应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
解析方法适用于问题简单、载荷条件规则的情况，可以得到解析表达式并具有较高的精度；数值方法适用于问题复杂、载荷条件不规则的情况，通过数值计算可以得到应力场的数值解，并利用数值解计算应力强度因子。
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
边界元在热压电断裂力学分析中的应用
Fracture analysis of cracked thermopiezoelectric materials by BEM
3 BEM for thermopiezoelectric problem
Consider a two-dimensional thermoelectroelastic solid inside of which there are a number of cracks. The numerical approach to such a thermoelectroelastic problem will involve two steps: (1) solve a heat transfer problem first to obtain the steady-state T field; (2) calculate the SED caused by the T field, then derive an isothermal solution to satisfy the corresponding mechanical and electric boundary conditions, and finally, solve the modified problem for the EDEP and SED fields. The details are as follows.
Qing-Hua Qin
Department of Mechanics, Tianjin University, Tianjin, 30ail: Qhqin@ Abstract
边界元法
∂φ (
−
q )φ *dΓ
−
(φ − φ ) ∂φ * dΓ
Ω
Γ2 ∂n
Γ1
∂n
（2.3a）
上式中最后一项是用边界 Γ1 上的条件加权得到的。对上式中的关于区域 Ω 内的积分项，进
行两次分部积分运算后，得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (∇2φ * )φ ds = φ ∂φ * dΓ − ∂φ φ *dΓ + φ ∂φ * dΓ − qφ *dΓ
边界元法有直接法和间接法两种。直接法通常是用格林恒等式或加权残值理论来表述， 采用的变量物理意义明确，并能通过边界积分方程数值离散后直接求解，是边界元法的主要 方法。间接法则是利用位势理论来推导公式，使用的变量物理意义不太清楚。当然，间接法 仍有它的可取优点。
本章将介绍这两种方法的主要思想和实现过程。
ε →0 Γε ∂n
ε →0 Γε ∂n 4πε
ε →0 Γε ∂n 4π
（2.10a）
∫ ∫ lim
ε →0
φ ∂ ( 1 )dΓ = − lim
Γε ∂ε 4πε
ε →0
Γε
φ
1 4πε
2
dΓ
=
−
θi 4π
ui
（2.10b）
上式中利用了 d Γ = ε 2 dθ ，θi 表示鼓起部分球面对点 i 所张的立体角。当 ε → 0 时，部分 球面收缩于点 i 时，边界 Γ′ 趋向于原来的 Γ 。对于二维问题，可以类似地进行处理。
最后，（2.9）可以表示为
∫ ∫ ciφi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
（2.11）
并且
ci
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
边界元法
∫Ω (∇ 2φ * )φ ds = −φi
（2.7）
从而（2.3b）式可写成
∫ ∫ ∫ ∫ φi +
φ ∂φ * dΓ + Γ1 ∂n
φ ∂φ * dΓ = Γ2 ∂n
∂φ φ *dΓ + Γ1 ∂n
qφ *dΓ
Γ2
（2.8a）
或者
∫ ∫ φi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
边界元法的研究在经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没有能够得到满意的 计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一试就灵的。较为完 整的、可以实际应用的边界元法是 20 世纪 70 年代才建立起来的。先后解决了边界积分方程 中含有的奇异积分的精度问题，对于不带奇异性的积分，只要用普通的高斯数值积分法就可 以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精度得以显露出来。20 世纪 80 年代可称是边 界元法蓬勃发展和丰收年代。
程，方程中全部的量均为边界上的物理量。
§3 间接边界元法
在边界解法中，最简单的一种解法即为间接法。这种方法简单而且适用，对于许多实际 问题能够给出较好的结果。但直接法与之比较，则更为一般，应用范围更加广泛。
岩石断裂韧度理论及测试方法研究综述
岩石断裂韧度理论及测试方法研究综述发布时间：2022-07-21T09:21:21.305Z 来源：《中国科技信息》2022年6期作者：李立卫国[导读] 实际工程中常涉及到岩体的断裂问题，岩石断裂韧度则是表征岩石抵抗裂纹扩展能力的物理量，断裂韧度的测试仍然是岩石断裂力学中极其重要的一部分。
李立卫国李立卫国，重庆交通大学，重庆市，400074）摘要：实际工程中常涉及到岩体的断裂问题，岩石断裂韧度则是表征岩石抵抗裂纹扩展能力的物理量，断裂韧度的测试仍然是岩石断裂力学中极其重要的一部分。
目前测试岩石断裂韧度的方法有很多，本文首先介绍了岩石断裂力学基本原理，主要包括断裂力学基本参数以及断裂准则两部分；然后分别对岩石Ⅰ型和Ⅱ型断裂韧度不同的测试方法和试样进行了介绍，并且对比分析了每种试样的优缺点，为今后的试验研究提供参考。
关键词：岩石力学；断裂韧度；Ⅰ型断裂；Ⅱ型断裂；测试方法中图分类号：TU458 文献标识码：A 引言岩石是一种由很多矿物颗粒通过胶结物的胶结作用连接在一起的复杂的集合体，因此岩石内部通常具有孔隙、裂纹等缺陷[1]。
这些缺陷为岩体破坏提供了初始条件，在外界荷载作用下，裂纹会逐渐扩展、汇集和贯穿，最终导致岩体宏观上的破坏。
岩石边坡的稳定、深部岩体的岩爆和分区破裂、隧道的掘进以及巷道开挖都涉及到对岩体断裂性状的研究。
要想对这些工程问题进行深入了解，必须对岩石的断裂机制进行研究。
因此岩石断裂力学作为岩石力学和断裂力学的交叉学科被逐渐建立起来。
岩石断裂力学主要以断裂韧度作为基本参数，并通过试验观察岩石断裂过程来建立断裂准则。
岩石断裂韧度是岩石断裂力学中最为基本的参数和指标，是岩石的固有属性，表征岩体本身克服裂纹产生或已有裂纹扩展的能力[2]。
岩石的断裂韧度由于受到温度、加载速率、试样尺寸效应、岩石材料性质等多种因素的影响，准确获取岩石的断裂韧度变为众多学者研究的一个课题。
对于岩石断裂韧度的测试方法目前尚无统一标准，主要是由于岩石本身各向异性所决定的。
弹塑性断裂力学的J积分理论
弹塑性断裂力学的J积分理论
目录
断裂力学背景 J积分理论应用 全文总结
一、背景
断裂力学
线弹性断裂 弹塑性断裂
Dugdale理论
J理论
COD理论
有限元法
边界元法
无网格法
小波数值法
对材料和结构的安全性评估
一、背景
理论发展
1960年Dugdale 运用 Muskhelishvil i的方法，研究 了裂纹尖端的 塑性区 (D-M模型)
一、背景
计算理论4：
小波理论作为一种新的数学工具正在迅速的发展起来，被广泛应 用于信号处理、图像压缩、模式识别、微分方程求解等。他以同时 在时频两空间具有良好的局部化性质而优于傅立叶分析，并可以随 着小波空间的提高聚焦到对象的任意细节，这对奇异性分析具有重 要的意义，小波分析已用于奇异性探测、微分方程数值求解等方面。 小波数值方法是一种较新的数值方法，目前用于断裂力学问题的研 究还处于初始阶段。
一、背景
计算理论3：
无网格法起源于20世纪80年代，现在已经得到工程界的广泛关 注。该方法将整个求解域离散为独立的节点，而无须将节点连成单 元，它不需要划分网格，从而克服了有限元法在计算过程中更新网 格很麻烦的缺陷。另外，无网格法只需要计算域的几何边界点及计 算点，不需要单元信息，因此具有边界元的优点，而且无网格法的 基本方程和数学基础与有限元法相同，所以它又具有有限元法的优 点，还具有比边界元法更广泛的应用范围。
二、J积分理论应用
高组配焊接接头表面裂纹积分试验研究
试验原理：
1.焊接表面裂纹本质上属于三维裂纹体，积分公式如下：
2.对于半椭圆的表面裂纹，其最深点最有最大的J积 分值，即最容易引起裂纹和扩展。 3.理论表明：裂纹最深点的JA和JГ 积分相比较小。
boundary element methods journal -回复
boundary element methods journal -回复什么是边界元法（Boundary Element Method，BEM）？边界元方法（Boundary Element Method，BEM）是一种计算力学中常用的数值方法，用于求解偏微分方程问题。
它的主要特点是在计算区域的边界上建立问题的数学模型，通过求解边界上的积分方程来得到问题的近似解。
本文将详细介绍边界元方法的原理、应用和优势。
边界元方法的原理边界元方法的原理基于格林函数的性质。
格林函数是偏微分方程的解，描述了在特定边界条件下，单个单位源的响应。
边界元方法通过将问题的数学模型转化为边界上的积分方程，然后利用格林函数的性质，在边界上的每个点上建立积分方程，将问题的求解转化为求解这些积分方程的问题。
边界元方法的应用边界元方法广泛应用于力学、电磁学和数值分析等领域。
在力学领域，边界元方法常用于求解弹性力学、声学和热传导等问题。
在电磁学领域，边界元方法可用于求解电场、磁场和电磁波传播等问题。
此外，边界元方法还可用于流体力学、电力系统分析和声学等其他领域的数值模拟。
边界元方法的优势相比于有限元法等常见数值方法，边界元方法具有以下优势：1. 减少计算域：边界元方法只需在问题的边界上建立离散点，因此在处理二维或三维问题时，可以大大减少计算域的规模。
2. 简化网格生成：边界元方法不需要生成整个计算区域的网格，仅需要定义边界上的离散点即可。
相比之下，有限元法需要生成整个计算区域的网格。
3. 容易处理无穷远区域：边界元方法基于积分方程求解，可以很容易地处理无穷远区域的问题。
而有限元法等其他方法在处理无穷远问题时会面临困难。
4. 精确度高：由于边界元方法将问题的数学模型转化为边界上的积分方程，因此在边界上的解是精确的。
这使得边界元方法在一些问题中比其他方法更加精确。
5. 并行计算优势：边界元方法在求解积分方程时，各个积分方程之间是相互独立的。
边界元法在断裂力学中的研究综述
边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法引言在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（SIF）。
应力强度因子(SIF)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
边界元法在断裂力学数值计算中的应用研究
边界元法在断裂力学数值计算中的应用研究边界元法是一种适用于边界条件已知的问题求解的数值计算方法。
它将问题的解表示为边界上的函数，并通过边界积分方程求解问题。
在断裂力学数值计算中，边界元法被广泛应用于求解裂纹问题、断层力学问题、地质应力场和地质物理场问题等。
边界元法在裂纹问题中的应用主要包括：求解裂纹大小、裂纹扩展路径和应力强度因子等。
对于单裂纹问题，采用边界元法可以得到较精确的解析解，同时也可以对多裂纹问题进行数值求解。
在应力场中，边界元法可用于计算裂纹尖端处的应力强度因子，用于分析裂纹扩展的趋势和影响因素。
在断层力学问题中，边界元法可用于分析断层面应力场分布、应力强度因子以及滑动分布等。
这些信息有助于了解可能发生的地震活动，对地震危险度评估和预测具有重要意义。
在地质应力场和地质物理场问题中，边界元法的应用主要涉及到地质体（如岩体）内部的应力场分布和变化、岩石的压缩性质以及油气藏中的流体分布等。
这些问题都是地质学和工程力学领域的重要问题，在研究中得到了广泛的应用。
总之，边界元法在断裂力学数值计算中的应用非常广泛，具有较高的准确性和精度。
随着计算机技术的不断发展和完善，边界元法在该领域的应用将会变得更加普遍和重要。
用边界轮廓法求解断裂力学L积分
收稿日期:1998-01-21第一作者 男 1966年10月生 硕士学位 讲师用边界轮廓法求解断裂力学L 积分陈颂英 唐委校 冷 霞 郑 雯(山东工业大学化工系,济南,250061)摘 要 证明断裂力学L 积分方程的被积函数的散度等于零,将面积分转化为线积分,使求解问题的维数降低两维。
利用边界轮廓法的结果,使平面断裂问题L 积分的求解转化为边界点的位移和面力线性迭加,避免了求解数值积分。
关键词 断裂力学;边界元法;L 积分中图分类号 T V 313L 积分作为断裂力学的不变积分之一,体现了断裂力学的能量守恒定律,描述了裂纹尖端应力奇异性的不变特性,积分回路中只要包含裂纹尖端的应力奇异性,其值均与路径无关。
Rice [1]将其解释为绕坐标轴转动时的能量释放率,H emnann [2]给出了在特定条件下,L 积分与J 2积分的关系式,Sun Shux un [3]推导了L 积分的守恒性。
目前,关于L 积分研究的文献报导还较少,尚未涉及其计算问题。
本文推证L 积分方程的被积函数的散度等于零,将被积函数表达为某一矢量场的旋度,再代入积分方程中,应用Stokes 公式,将平面断裂问题的L 积分转化为边界点积分势函数的点值计算,从而使求解问题的维数降低两维。
利用陈颂英[4]所建立的边界轮廓法的结果,将L 积分的计算转化为已求得的边界点的位移和面力的代数和,避免了求解奇异积分。
文中给出平面问题的算例。
1 边界轮廓法传统的无体力边界积分方程[5]为:C ik (P )u i (P)=Q 5B U i k (P ,Q )R ij (Q)-E ijk (P ,Q )u i (Q ac)e j #dS (1) 式中C ik 为角张量,P 为源点,Q 为场点,u i 和R ij 分别为位移和应力分量,e j 为Cartesian 单位矢量,5B 为弹性体边界,dS 为边界变元矢量,U ik 和E ij k 为Kelvin 核函数。
边界元法发展综述
边界元法发展综述刘娅君学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。
但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。
有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。
然而，有限元法本身还存在一些缺点。
例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。
边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。
它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。
在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。
同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。
正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。
边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。
其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。
第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。
所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。
固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系 2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1)什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3)二、边界元法[5] (4)1)概述 (4)2)基本解 (4)3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5)4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6)5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7)三、结束语 (8)参考文献 (9)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。
近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。
关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法AbstractThis paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications.Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm一、引言1)什么是边界元法[1]边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。
用边界元法解圆柱体半椭圆形表面裂纹问题
用边界元法解圆柱体半椭圆形表面裂纹问题
李春雨
【期刊名称】《石家庄铁道大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1990(000)004
【摘要】本文用3维弹性静力学直接边界元法对圆柱体半椭圆形表面裂纹问题进行了初步研究。
在裂纹前缘附近区域使用了面力奇异的“边中节点”裂纹单元,提出了计算应力强度因子的位移应力共截距法。
考虑了圆柱体受纯拉伸和纯弯曲两种载荷情况,计算结果与有关文献作了比较。
【总页数】7页(P13-19)
【作者】李春雨
【作者单位】石家庄铁道学院建筑工程系
【正文语种】中文
【中图分类】N
【相关文献】
1.圆柱体表面横向椭圆裂纹问题探讨 [J], 徐小兵;袁祥忠
2.边界元法计算厚板表面裂纹问题的应力强度因子 [J], 刘云忠
3.一维正方准晶中半无限裂纹问题的解析解 [J], 高健;刘官厅
4.各向异性平面内双边半无限裂纹问题的基本解 [J], 高存法;樊蔚勋
5.有限高狭长压电体中共线双半无限裂纹问题的解析解 [J], 卢子兴;刘萍;郭俊宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法
引言
在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状
断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（sif）。
应力强度因子(sif)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步
骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
目前的解决方法有两种:直接法和特殊单元法。
1.1直接法
直接法可以利用常规边界元程序，通过在裂纹尖端附近区域细分单元，然后用位移(或应力)外推法得到应力强度因子。
但此法要求密布单元，不太经济。
汪冬华，龚朴，谭运猛[3]由位移边界积分方程和面力边界积分方程, 推导出对偶边界积分方程在一般裂纹问题中的具体表达式。
利用对偶边界元法, 计算了含裂纹构件的应力强度因子。
孙雁，韩震,刘正兴[4]将裂纹应力计算问题导向哈密顿体系,利用分离变量法及本征函数向量展开等方法,推导出裂纹尖端的应力奇性解的计算公式。
结合变分原理,提出一种解决应力奇性计算的奇点分析单元。
将此分析单元与有限元法相结合,可
以进行某些断裂力学或复合材料等应力奇性问题的计算及分析。
roberto brighenti[5]应用无网格的边界元法(efg)研究弹性断裂问题的三维问题。
余会琴,陈梦成[6]建立以裂纹表面位移为未知函数的超奇异积分方程,利用有限部积分原理和边界元法来求解该方程. 运用该方法计算出矩形裂纹的i型应力强度因子。
b.aour,o.rahmani,m.nait-abdelaziz[7]利用边界元和有限元的各自优点，把它们耦合起来能在更少自由度更精确的计算断裂力学中的裂纹问题的应力强度因子。
1.2特殊单元法
特殊单元法是在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，用特殊单元模拟裂尖位移场和应力场。
特殊单元法较之直接法可以减少单元数目，提高计算效率。
国内外许多断裂力学工作者提出了各种类型的特殊单元。
比较有代表性的如:barsoum.r.s提出的1/4节点奇异等参元；tracey.d.m,wilson.w.k等人用各种插值多项式部分模拟裂纹尖端位移场中存在的奇异性构造单元都属这类单元；
pian.t.h,atluri.s.n和国内的一些学者提出的应力杂交奇异元、位移杂交奇异元、杂交混合奇异元等也属这类单元；
luchi,rizzuti[8,9]利用边界元法解决三维断裂力学裂纹问题，提出了三维特殊裂尖单元；portela,aliabadi[10]采用二次非协调元技术分析二维和三维一般裂纹问题，使双重边界元法逐步进入实用阶段，并进一步应用于分析二维和三维裂纹扩展问题；
s.h.lo,c.y.dong,y.k.cheung[11]用8节点的1/4面单元能更好地
模拟三维问题的裂纹表面,计算出的三维断裂弹性问题裂纹尖端处的应力强度因子。
柯黎，王乘，詹福良[12,13]提出一种新的边界单元:单节点二次元. 利用这种单元,位移及其沿边界的切向导数
在正规单元端点的连续条件自然得到满足. 单节点二次元能很好
地模拟角点处面力多值条件. 特殊裂纹尖端单节点二次单元包括
近裂纹尖端位移近似级数展开第二项. 由于每个单元只有一个节点,计算程序大大简化. 对直裂纹、圆弧裂纹和边裂纹进行了计算；肖洪天，岳中琦[14]利用层状材料的广义klevin基本解, 建立了计算三维层状材料中的裂纹边界元方法。
采用边界元方法中的多区域方法和能反映均匀介质中裂纹尖端应力场和位移场特征的面力
奇异单元。
裂纹的应力强度因子由裂纹面上的位移经插值计算得到；闫相桥[15]提出了一种简单而有效的平面弹性裂纹应力强度因子的边界元计算法。
该方法由crouch与starfield建立的常位移不连续单元和他自己提出的裂尖位移不连续单元构成。
在该边界元方法的实施过程中,左、右裂尖位移不连续单元分别置于裂纹的左、右裂尖处,而常位移不连续单元则分布于除了裂尖位移不连续单元占据的位置之外的整个裂纹面及其它边界。
2．边界元法研究断裂力学的关键问题
虽然通过在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，能够较好的模拟边界条件，求得精度较高的应力强度因子，但是由于断裂力学裂纹问题本身复杂性和边界元法这一数值方法自身存在一些缺陷，故还存在很多待研究的关键问题。
1）奇异性问题
对含裂纹的问题,常采用超奇异边界积分方程，在边界的奇异点,位移切向导数不存在或不连续，导致超奇异边界积分方程中出现的hadamard主值积分对连续性的要求得不到满足；portela等采用间断元来克服这种困难,但在这些奇异点位移的连续性也一同丧失[12];最近提出了一种边界轮廓法(boundary contour method)，它是由以mukherjee为首的研究小组提出的。
mukherjee的学生lutz 在研究奇异积分的计算进程中，发现laplac问题和弹性力学问题的直接法边界积分方程中，当表示成矢量函数积分的形式时，被积矢量函数具有散度为零的特性，基于这种特性，他提出了轮廓积分的概念。
nagarajan等将这一思想进一步发展应用于弹性力学问题，提出一种新型的边界元法，即边界轮廓法。
它避免了以上提到的在奇异边界点上存在的困难,且在单元的边界上位移是连续的,但这
种方法的形函数的形成非常麻烦[16]。
2）角点问题
在边界元法中处理弹性体角点处面力的多值性是一个困难的问题. 若与某角点相连的所有单元的边界条件都为位移给定,则从边界积分方程离散得到的线性代数方程组不足以解决问题,还需要补充一组代数方程早期的边界元法中,剪应力张量的对称性(σij =σji ) ,被当作可用的补充方程之一,但根据弹性力学,剪应力张量的对称性仅在弹性体内部成立,在弹性体的边界上并不一定成立,正
确的补充方程需从应力应变关系中寻找。