微积分(第五章)多元函数微分学复习

df ( x, y0 ) dx df ( x0 , y )
dy
y y0
f x ( x0 , y0 , z0 )
df ( x, y0 , z0 ) dx
x x0
偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可
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2[ f11
u1 y
f12
2
] 2xf 2 2 xy[ f 21
u1 y
2 yg y ( g
)
3
2 2 2[3 f11 x f12 ] 2xf 2 2 xy[3 f 21 x f 22 ] 2 yg 2xy g
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例3 验证函数 z arctan
z x
2 2
y x
满足拉普拉斯(Laplace)方程
证
z x
2

1 1 ( ) x y
2
y y y ( 2 ) 2 2 x x y

z
2
2
0.
z x
z y
2 2

2 xy (x y )
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则
内容提要
可微函数最值的求法 将函数在有界闭区域 D内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就 是最小值 • 如果函数的最值一定在 D的内部取得, 而函数在 D内只有一 个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数在 D上的最值 拉格朗日乘数法 函数 u f(x, y, z) 在条件 j(x, y, z)0 下的可能极值点为 拉格朗日函数 L(x, y, z, l) 的驻点, 其中
0
• 曲面 zf(x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为
0
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内容提要
极值点的必要条件 具有偏导数的极值点必为驻点 极值的充分条件 设f(x, y)具有二阶连续偏导数, (x0, y0)为f(x, y)的驻点, 令 fxx(x0, y0)A, fxy(x0, y0)B, fyy(x0, y0)C, (1) ACB20时, f(x0, y0)为极值: 当A0时为极大值, 当A0时为极小值 (2) ACB20时, f(x0, y0)不是极值 (3) ACB20时, f(x0, y0)可能为极值, 也可能不是极值
x2 y 0 2
; (2) lim
x 0 y 0
xy x y
2 2
.
解 (1)
(1 cos xy ) ln(1 xy ) ( 1 xy 1) sin y
2
2
( xy ) lim
x2 y 0
xy
2 xy 2
lim x 4
2
y
2
x 2 y 0
(2)

| y| x y
2 2
1, xy x y
2 2
lim x 0
x 0 y 0
lim
x 0 y 0
0
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例2 证明极限 lim
x 0 y 0
x y x y
6 2
3
不存在.
分析: 当点(x, y)在直线 ykx 上时, 有
x y x y
6 2 3

x kx
z u z v x u x v x
z
vu
v 1
1 u ln u y
xy 1
v
y( x 2 y)
z
[ x ( x 2 y ) ln( x 2 y )]
z u z v y u y v y
vu
x 0 y 0
x y x y
6 2
3
不存在.
注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在
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例2 解1
f ( x, y ) x ( y 1) arctan
f x ( x, y ) 2 x ( y 1) 1 1 y x
2[ f11
u1 y
f12
2
] 2xf 2 2 xy[ f 21
u1 y
2 yg y ( g
)
3
2 2 2[3 f11 x f12 ] 2xf 2 2 xy[3 f 21 x f 22 ] 2 yg 2xy g
T ( Fx , Fy , Fz ) (G x , G y , G z ).
曲面的法向量 • 曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为
n ( Fx , Fy , Fz ) |M n ( f x , f y , 1) |M
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2 2
解 (1) D {( x, y ) | y x 2 0, 2 x y 0}
y
x y2
yx
2
O
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x
结束
典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1) z y x ln(2 x y );
2
(2) z ln(
z xy
2
z xy
2
.
z
2
f1 y
2 xf 2 2 xy
f 2 y
2 yg y
2
g y
3
2 2 2[3 f11 x f12 ] 2xf 2 2 xy[3 f 21 x f 22 ] 2 yg 2xy g 2 3 3 6 f11 (2 x 6 xy ) f12 2xf 2 2x yf 22 2 yg 2xy g
L ( x, y , z , l ) f ( x, y , z ) lj ( x, y , z ).
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典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1) z y x ln(2 x y );
2
(2) z ln(
y x)
4 x y .
z x
2
f u
u1 x
f1 y
1
f u
u2 x
2
gu
u x
2 2 f1 2 xyf 2 y g
z xy
2
2 xf 2 2 xy u2 y u y
f 2 y
2 yg y
2
g y f 22 u2 y ]
1
2
2
2 2

1 x
1 ( ) x
2
y

x x y
2 2
,
z y
2
2

2 xy (x y )
2 2 2
z x

z y
2
2
0
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例3 求函数 z ( x 2 y ) xy 的偏导数.
v 解 令 u x 2 y , v xy , 则 z u
v 1
2 u ln u x
xy 1
v
x( x 2 y )
[2 y ( x 2 y ) ln( x 2 y )]
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知识点
例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求
z xy
2
.
解 记 u1 2 x 3 y , u2 x 2 y , u xy 2
内容提要
全微分 函数zf(x, y)在点(x, y)可微分:
z z x ( x , y ) x z y ( x , y ) y o ( ) (
( x ) ( y ) )
2 2
•计算公式:dz
重要关系

z z dx dy x y
函数连续 函数可微 偏导数连续
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函数可导
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结束
内容提要
复合函数求导公式 设 zf(u1,…, un) 可微, ui(x, y,…)偏导数存在, 则有
z x z u1 u1 x z un un x .
全微分形式不变性 设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分
6 f11 (2 x 6 xy ) f12 2xf 2 2x yf 22 2 yg 2xy g
2 3 3
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知识点
例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求
z xy
2
.
解 记 u1 2 x 3 y , u2 x 2 y , u xy 2
3
x ( kx )
6
2

kx
4
2 2
x k
0( x 0)
点(x, y)沿不同的直线 ykx 趋于点(0, 0)时, 函数都趋于0. 若点(x, y)在曲线 ykx3 上, 则
x y x y
6 2 3

x kx
3 6
3 3 2
x ( kx )

k 1 k
2
注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在
2
y x
(
,
求 f x (2,1).
y x ) x
2 x ( y 1)
x
x y 2 x 1

1
x
( ) x y x ( y x
2
y
2 x ( y 1)
x y
x y 2
)
f x (2,1) 4
解2 f ( x,1) x 2 , f x ( x,1) ( x 2 )x 2 x, f x (2,1) 4.
y x)
4 x y .
2 2
解 (2) D {( x, y ) | y 0, y x 0, 4 x 2 y 2 0}
y
x
y
x y 4
2 2
O
x
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结束
例2 求下列极限.
(1) lim
x2 y 0
(1 cos xy ) ln(1 xy ) ( 1 xy 1) sin y lim
多元函数微分学复习
一、内容提要 二、典型例题
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内容提要
偏导数
f x ( x , y ) lim f ( x x, y ) f ( x, y ) x
x x0
x 0

注: (1) (2) (3)
f x ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
Fy Fx z z , y Fz x Fz
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内容提要
曲线的切向量 • 光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为
T ( x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )).
• 曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为
dz z z du dv u v
无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微 分形式是一样的
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内容提要
隐函数求导公式
F(x, y)0 确定 yf(x) 的导数公式
dy dx Fx Fy

F(x, y, z)0 确定 zf(x, y) 的偏导数公式
z x
2
f u
u1 x
f1 y
1
f u
u2 x
2
gu
u x
2 2 f1 2 xyf 2 y g
z xy
2
2 xf 2 2 xy u2 y u y
f 2 y
2 yg y
2
g y f 22 u2 y ]
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例2 证明极限 lim
x 0 y 0
x y x y
6 2
3
不存在.
证明 当点(x, y)在曲线 ykx3 上时, 有
x y x y
6 2 3

x kx
3 6
3 3 2
x ( kx )

k 1 k
2
点(x, y)沿不同的曲线 ykx3 趋于点(0, 0)时,函数趋于不同的值. 因此, 极限 lim
6 f11 (2 x 6 xy ) f12 2xf 2 2x yf 22 2 yg Hale Waihona Puke Baidu2xy g
2 3 3
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例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求 解
u1 u2 u 2u1 2 xyff2 y g g u ff u 1 2 x x x x