寒假数学第3讲《比例应用题》
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1 6 1 3 220 30 厘米，宽为 220 15 厘米， 4 63 2 4 63 2
1 2 220 10 厘米， 高为 所以这个长方形的体积为 4 63 2
30 15 10 4500 立方厘米.
例2
-------------------------------------------------------------------------------------------
3x 4 8 ，解得x=20，因此薇儿的钱数为2× 20=40(元). 2x 5
(2)法1:一个人给另一个人，则总数不变．开始时，两人共 8+7=15份， 而之后变成18+17=35份． 前后份数统一到[15， 35]=105 份．则 8:7=56:49 ； 18:17=54:51 ．发现艾迪少了 56-54=2份，这2份就是4张，因此1份是2张，艾迪原有56 份，即原有56× 2=112(张).
16 :12 : 9 .
例4
------------------------------------------------------------------------------------------五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
3
（1）甲、乙、丙三个班的总人数之比为 6:7:8，甲班男女 人数比为 2:3，乙班男女人数比为 4:3， 丙班男女人数比为 3:1，那么甲、乙、丙三个班的男生人数比是多少? （2）在某次数学联考中，甲、乙、丙三个班总分之比为 8:9:11，甲、乙、丙三个班人数之比为 3:4:5，那么三个班 的平均分之比是多少?
4
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
多少钱? (2)艾迪和薇儿原有的积分卡张数之比为 8:7，若艾迪给薇 儿 4 张，则两人的张数之比将变成 18:17，则艾迪原有多 少张? (3)艾迪和薇儿家里的课外书之比为 5:4，大宽问艾迪和薇 儿各借了 5 本课外书后， 艾迪和薇儿的课外书之比变成了 9:7，则艾迪和薇儿原来的课外书共有多少本? [比中的不变量]★ ★ 【分析】 (1)法1:不变量的第一种情况，单量不变．艾迪 得到4元钱后，薇儿的钱数不改变．因此可以统一薇儿的 钱数．[2，5]=10，3:2=15:10；8:5=16:10，即16-15=1份为 4元．薇儿有10份，所以薇儿有10× 4=40(元). 法2:出现两个比的应用题中，利用一个比设未知数，利用 另一个比列出比例方程是一种万能的方法． 设艾迪原来的钱数为3x元．则薇儿的钱数为2x元．
3
例1
比例应用题
+
-------------------------------------------------------------------------------------------
(1)艾迪、大宽和薇儿一共有 45 块糖，而且三人糖数之比 为 4 :5 :6 ， 那 么 艾 迪 有 块糖，薇儿有 块糖. 块糖，大宽有
甲 班 共 有 5x 人 ， 乙 班 共 有 9y 人 ， 总 人 数 之 比 为 5x:9y=5× 3:9× 2=5:6.
例7
-------------------------------------------------------------------------------------------
加工某种零件，甲 2 分钟加工 1 个，乙 3 分钟加工 1 个， 丙 4 分钟加工 1 个．现在三人在同样的时间内一共加工 143 个零件．问:甲、乙、丙三人各加工多少个零件? [按比分配]★ ★ ☆ 【分析】 法 1:[2，3，4]=12，则 12 分钟内，甲，乙，丙 分别加工 6， 4， 3 个零件， 即总共加工 13 个零件． 143÷ 13=11， 最终甲加工 11× 6=66(个)；乙加工 11× 4=44(个)；丙加工 11× 3=33(个). 法 2:甲乙丙三人的效率之比为:
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
有一个长方体，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2．已
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
1
知这个长方体的全部棱长之和是 220 厘米， 求这个长方体 的体积． [按比分配]★ ★ ★ 【分析】 由条件长与宽的比为 2 :1 6 : 3，所以这个长方 体的长、宽、高的比为 6 : 3: 2 ，由于长方体的所有棱中， 长、宽、高各有 4 条，所以长方体的长为
例5
1 1 : 7 :10 . 10 7
-------------------------------------------------------------ຫໍສະໝຸດ Baidu-----------------------------
(1) 艾迪和薇儿身上的钱数之比为 3:2，妈妈又给艾迪 4 元钱后，艾迪与薇儿的钱数之比变成 8:5，则薇儿身上有
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
5
法2: 设艾迪原有8x张，则薇儿原有7x张.
8 x 4 18 8=112(张)． 7 x 4 17 ，解得:x=14，因此艾迪原有14×
(3)法1:两人都减少了5本，差不变．原来两人的份数差为 5-4=1份．后来变成9-7=2份．[1，2]=2，将5:4变成10:8， 可看出前后两人都减少了10-9=1份．即1份为5本．两人原 有课外书为: (10+8)× 5=90(本). 法2:设艾迪和薇儿原有5x和4x本课外书.
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
7
5x 3 y 7 ，得到:11x=13y，所以x:y=13:11. 8x 2 y 9
甲 棋 盒 共 有 13x 枚 ， 乙 班 共 有 5y 枚 ， 总 数 之 比 为 13x:5y=13× 13:5× 11=169:55.
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
两个长方体的长之比为 4:7，宽之比为 5:3，体积之比为 2:3，求两个长方体高的比。 【分析】 高的比为 (2 4 5) : (3 7 3)
6
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
例6
-------------------------------------------------------------------------------------------
(1)甲乙两人原有的钱数之比为 6 : 5 ， 后来甲又得到 180 元， 乙又得到 30 元，这时甲、乙钱数之比为 18 :11 ，求原来两 人的钱数之和为多少? [方程解比例应用题]★ ★ 【分析】 法1:设原来甲有6x元，则乙有5x元．根据题意可 列出如下方程:
5x 5 9 ，解得 x=10．因此两人原有 (5+4)× 10=90(本)课 4x 5 7
外书．
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
水池中插了甲、乙、丙三根竖直的柱子，刚开始甲、乙、 丙三根柱子露在水面上的部分长度之比为 5:8:9，水面上 升一定高度后，甲、乙两根柱子水上长度之比变为 3:5， 如果水面再上升相同的高度， 三根柱子水上长度之比变为 多少? [比中的不变量]★ ★ ★ 【分析】 柱子的水上长度差不变，所以5:8:9=10:16:18， 3:5=9:15，说明水面高度上升了1份，如果再上升1份，就 变为8:14:16=4:7:8.
2 （2）甲的一半、乙的2倍、丙的 3 这三个数的比为 1:1:1 ，
1 2 1 : 1 2 : 1 即 所以甲、乙、丙这三个数的比为 2 3
1 3 2 2 : : ，化简为 4 :1: 3 ，那么甲的 、乙的2倍、丙的一 3 2 2
2 8 3 1 4 : 1 2 : 3 : 2 : 半这三个数的比为 3 2 ，化简为 2即 3
4 4 2 2 【分析】 （1） 甲班男生占 2 3 5 ， 乙班男生占 4 3 7 ，
3 3 丙班男生占 3 1 4 ，所以甲、乙、丙三个班的男生人数
2 4 3 12 6 : 7 : 8 : 4 : 6 6 :10 :15 。 比为 5 7 4 5
8 9 11 (8 3) : (9 4) : (11 5) : : 160 :135 :132 . （2）平均分之比为 3 4 5
2
1 1 1 : : 6 : 4 : 3 ，时间相 2 3 4
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
同时，工作量之比也为 6:4:3，总量为 143，由按比分配可 知，三人各加工 66，44，33 个零件．
例3
-------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 (1)甲的 3 等于乙的 4 ，则甲:乙=______.
(2) 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等
2 2 于丙的 3 ，那么甲的 3 、乙的 2 倍、丙的一半，这三个数
的比为多少?
1 1 【分析】 （1）甲的 3 与乙的 4 的比是1:1，所以甲、乙的
1 1 (1 ) : (1 ) 3: 4 比为 3 4
有甲、乙两个班，甲班男女人数之比为 2:3，乙班男女人 数之比为 5:4，两个班的男女人数之比为 16:17.求这两个 班的人数之比。 [方程解比例应用题]★ ★ ★ 【分析】 设甲班男生有2x人，女生有3x人；乙班男生有5y 人，女生有4y人，根据题意列出方程:
2 x 5 y 16 ，得到:2x=3y，所以x:y=3:2. 3x 4 y 17
(2)艾迪、大宽的糖数之比为 3:2，大宽、薇儿的糖数之比 为 3:4，并且知道艾迪比薇儿多 10 块糖，那么三人共有 块糖. （3）艾迪、大宽、薇儿一共有 45 块糖，艾迪吃掉 1 块， 大宽吃掉 2 块，薇儿吃掉 3 块后，三个人剩下的糖数之比 是 4:3:6，那么艾迪原有 块糖。 [按比分配]★ ★ 【分析】 (1)1份是45÷ （4+5+6）=3块糖， 艾迪有3× 4=12 块糖，大宽有3× 5=15块糖，薇儿有3× 6=18块糖； (2)统一比为9:6以及6:8,艾迪比薇儿多9-8=1份，对应10块 糖，所以共有（9+6+8）× 10=230块糖； (3)1 份是 (45-1-2-3)÷ (4+3+6)=3 块糖，艾迪原有 3× 4+1=13 块糖。
6 x 180 18 x 60 ，因此两人的钱数之和为 660 5 x 30 11 ，解得 :
元． 法 2:由于甲、乙得到的钱数不同，所以差并非不变。为了 让得到的钱数相同， 可以考虑将乙原有的钱数和得到的钱 数都翻 6 倍，那么甲、乙原有钱数之比变为 1:5，现有钱 数之比变为 3:11，统一差，变为 2:10 以及 3:11，一份就 是 180 元，所以原有钱数之和为(2+10÷ 6)× 180=660. (2)有甲、乙两个棋盒，甲盒内黑白棋子数之比为 5:8，乙 盒内黑白棋子数之比为 3:2，两个棋盒混合在一起的黑白 棋子数之比为 7:9，求原来这两个棋盒内棋子总数之比。 [方程解比例应用题]★ ★ 【分析】 设甲棋盒黑棋有5x枚， 白棋有8x枚； 乙棋盒黑棋 有3y枚，白棋有2y枚，根据题意列出方程:
1 2 220 10 厘米， 高为 所以这个长方形的体积为 4 63 2
30 15 10 4500 立方厘米.
例2
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3x 4 8 ，解得x=20，因此薇儿的钱数为2× 20=40(元). 2x 5
(2)法1:一个人给另一个人，则总数不变．开始时，两人共 8+7=15份， 而之后变成18+17=35份． 前后份数统一到[15， 35]=105 份．则 8:7=56:49 ； 18:17=54:51 ．发现艾迪少了 56-54=2份，这2份就是4张，因此1份是2张，艾迪原有56 份，即原有56× 2=112(张).
16 :12 : 9 .
例4
------------------------------------------------------------------------------------------五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
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（1）甲、乙、丙三个班的总人数之比为 6:7:8，甲班男女 人数比为 2:3，乙班男女人数比为 4:3， 丙班男女人数比为 3:1，那么甲、乙、丙三个班的男生人数比是多少? （2）在某次数学联考中，甲、乙、丙三个班总分之比为 8:9:11，甲、乙、丙三个班人数之比为 3:4:5，那么三个班 的平均分之比是多少?
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五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
多少钱? (2)艾迪和薇儿原有的积分卡张数之比为 8:7，若艾迪给薇 儿 4 张，则两人的张数之比将变成 18:17，则艾迪原有多 少张? (3)艾迪和薇儿家里的课外书之比为 5:4，大宽问艾迪和薇 儿各借了 5 本课外书后， 艾迪和薇儿的课外书之比变成了 9:7，则艾迪和薇儿原来的课外书共有多少本? [比中的不变量]★ ★ 【分析】 (1)法1:不变量的第一种情况，单量不变．艾迪 得到4元钱后，薇儿的钱数不改变．因此可以统一薇儿的 钱数．[2，5]=10，3:2=15:10；8:5=16:10，即16-15=1份为 4元．薇儿有10份，所以薇儿有10× 4=40(元). 法2:出现两个比的应用题中，利用一个比设未知数，利用 另一个比列出比例方程是一种万能的方法． 设艾迪原来的钱数为3x元．则薇儿的钱数为2x元．
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例1
比例应用题
+
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(1)艾迪、大宽和薇儿一共有 45 块糖，而且三人糖数之比 为 4 :5 :6 ， 那 么 艾 迪 有 块糖，薇儿有 块糖. 块糖，大宽有
甲 班 共 有 5x 人 ， 乙 班 共 有 9y 人 ， 总 人 数 之 比 为 5x:9y=5× 3:9× 2=5:6.
例7
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加工某种零件，甲 2 分钟加工 1 个，乙 3 分钟加工 1 个， 丙 4 分钟加工 1 个．现在三人在同样的时间内一共加工 143 个零件．问:甲、乙、丙三人各加工多少个零件? [按比分配]★ ★ ☆ 【分析】 法 1:[2，3，4]=12，则 12 分钟内，甲，乙，丙 分别加工 6， 4， 3 个零件， 即总共加工 13 个零件． 143÷ 13=11， 最终甲加工 11× 6=66(个)；乙加工 11× 4=44(个)；丙加工 11× 3=33(个). 法 2:甲乙丙三人的效率之比为:
练一练
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有一个长方体，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2．已
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
1
知这个长方体的全部棱长之和是 220 厘米， 求这个长方体 的体积． [按比分配]★ ★ ★ 【分析】 由条件长与宽的比为 2 :1 6 : 3，所以这个长方 体的长、宽、高的比为 6 : 3: 2 ，由于长方体的所有棱中， 长、宽、高各有 4 条，所以长方体的长为
例5
1 1 : 7 :10 . 10 7
-------------------------------------------------------------ຫໍສະໝຸດ Baidu-----------------------------
(1) 艾迪和薇儿身上的钱数之比为 3:2，妈妈又给艾迪 4 元钱后，艾迪与薇儿的钱数之比变成 8:5，则薇儿身上有
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
5
法2: 设艾迪原有8x张，则薇儿原有7x张.
8 x 4 18 8=112(张)． 7 x 4 17 ，解得:x=14，因此艾迪原有14×
(3)法1:两人都减少了5本，差不变．原来两人的份数差为 5-4=1份．后来变成9-7=2份．[1，2]=2，将5:4变成10:8， 可看出前后两人都减少了10-9=1份．即1份为5本．两人原 有课外书为: (10+8)× 5=90(本). 法2:设艾迪和薇儿原有5x和4x本课外书.
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
7
5x 3 y 7 ，得到:11x=13y，所以x:y=13:11. 8x 2 y 9
甲 棋 盒 共 有 13x 枚 ， 乙 班 共 有 5y 枚 ， 总 数 之 比 为 13x:5y=13× 13:5× 11=169:55.
练一练
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练一练
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两个长方体的长之比为 4:7，宽之比为 5:3，体积之比为 2:3，求两个长方体高的比。 【分析】 高的比为 (2 4 5) : (3 7 3)
6
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
例6
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(1)甲乙两人原有的钱数之比为 6 : 5 ， 后来甲又得到 180 元， 乙又得到 30 元，这时甲、乙钱数之比为 18 :11 ，求原来两 人的钱数之和为多少? [方程解比例应用题]★ ★ 【分析】 法1:设原来甲有6x元，则乙有5x元．根据题意可 列出如下方程:
5x 5 9 ，解得 x=10．因此两人原有 (5+4)× 10=90(本)课 4x 5 7
外书．
练一练
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水池中插了甲、乙、丙三根竖直的柱子，刚开始甲、乙、 丙三根柱子露在水面上的部分长度之比为 5:8:9，水面上 升一定高度后，甲、乙两根柱子水上长度之比变为 3:5， 如果水面再上升相同的高度， 三根柱子水上长度之比变为 多少? [比中的不变量]★ ★ ★ 【分析】 柱子的水上长度差不变，所以5:8:9=10:16:18， 3:5=9:15，说明水面高度上升了1份，如果再上升1份，就 变为8:14:16=4:7:8.
2 （2）甲的一半、乙的2倍、丙的 3 这三个数的比为 1:1:1 ，
1 2 1 : 1 2 : 1 即 所以甲、乙、丙这三个数的比为 2 3
1 3 2 2 : : ，化简为 4 :1: 3 ，那么甲的 、乙的2倍、丙的一 3 2 2
2 8 3 1 4 : 1 2 : 3 : 2 : 半这三个数的比为 3 2 ，化简为 2即 3
4 4 2 2 【分析】 （1） 甲班男生占 2 3 5 ， 乙班男生占 4 3 7 ，
3 3 丙班男生占 3 1 4 ，所以甲、乙、丙三个班的男生人数
2 4 3 12 6 : 7 : 8 : 4 : 6 6 :10 :15 。 比为 5 7 4 5
8 9 11 (8 3) : (9 4) : (11 5) : : 160 :135 :132 . （2）平均分之比为 3 4 5
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1 1 1 : : 6 : 4 : 3 ，时间相 2 3 4
五年级 第 3 讲 比例应用题 （C 版）
同时，工作量之比也为 6:4:3，总量为 143，由按比分配可 知，三人各加工 66，44，33 个零件．
例3
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1 1 (1)甲的 3 等于乙的 4 ，则甲:乙=______.
(2) 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等
2 2 于丙的 3 ，那么甲的 3 、乙的 2 倍、丙的一半，这三个数
的比为多少?
1 1 【分析】 （1）甲的 3 与乙的 4 的比是1:1，所以甲、乙的
1 1 (1 ) : (1 ) 3: 4 比为 3 4
有甲、乙两个班，甲班男女人数之比为 2:3，乙班男女人 数之比为 5:4，两个班的男女人数之比为 16:17.求这两个 班的人数之比。 [方程解比例应用题]★ ★ ★ 【分析】 设甲班男生有2x人，女生有3x人；乙班男生有5y 人，女生有4y人，根据题意列出方程:
2 x 5 y 16 ，得到:2x=3y，所以x:y=3:2. 3x 4 y 17
(2)艾迪、大宽的糖数之比为 3:2，大宽、薇儿的糖数之比 为 3:4，并且知道艾迪比薇儿多 10 块糖，那么三人共有 块糖. （3）艾迪、大宽、薇儿一共有 45 块糖，艾迪吃掉 1 块， 大宽吃掉 2 块，薇儿吃掉 3 块后，三个人剩下的糖数之比 是 4:3:6，那么艾迪原有 块糖。 [按比分配]★ ★ 【分析】 (1)1份是45÷ （4+5+6）=3块糖， 艾迪有3× 4=12 块糖，大宽有3× 5=15块糖，薇儿有3× 6=18块糖； (2)统一比为9:6以及6:8,艾迪比薇儿多9-8=1份，对应10块 糖，所以共有（9+6+8）× 10=230块糖； (3)1 份是 (45-1-2-3)÷ (4+3+6)=3 块糖，艾迪原有 3× 4+1=13 块糖。
6 x 180 18 x 60 ，因此两人的钱数之和为 660 5 x 30 11 ，解得 :
元． 法 2:由于甲、乙得到的钱数不同，所以差并非不变。为了 让得到的钱数相同， 可以考虑将乙原有的钱数和得到的钱 数都翻 6 倍，那么甲、乙原有钱数之比变为 1:5，现有钱 数之比变为 3:11，统一差，变为 2:10 以及 3:11，一份就 是 180 元，所以原有钱数之和为(2+10÷ 6)× 180=660. (2)有甲、乙两个棋盒，甲盒内黑白棋子数之比为 5:8，乙 盒内黑白棋子数之比为 3:2，两个棋盒混合在一起的黑白 棋子数之比为 7:9，求原来这两个棋盒内棋子总数之比。 [方程解比例应用题]★ ★ 【分析】 设甲棋盒黑棋有5x枚， 白棋有8x枚； 乙棋盒黑棋 有3y枚，白棋有2y枚，根据题意列出方程: