72动量矩定理解析
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
动量矩定理
动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
3、动量矩定理及其守恒定律
3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。
下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。
现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。
动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。
在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。
对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。
这就是质点组动量矩的定义式。
与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。
可以证明这项矢量和必定等于零。
为了推算简单起见。
先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。
证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。
动量矩定理授间
动量矩定理简介动量矩定理是物理学上的一项重要理论，用来描述物体在外力作用下的运动规律。
它是力学中的一个基本定理，与牛顿第二定律密切相关。
本文将介绍动量矩定理的概念、数学表达式以及应用场景。
概念动量矩定理是基于牛顿第二定律的推论，它描述了外力对物体运动产生的影响。
按照牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，反比于物体的质量。
而动量矩定理则考虑了物体的转动，不仅关注线性运动的改变，还关注物体的角速度和矩阵矩的变化。
动量矩定理表达了力矩对物体转动产生的影响。
力矩（也称为转矩）是一个旋转力对物体产生的转动效果的测量值，描述了力对物体造成的转动。
动量矩定理表示，力矩的变化率等于力矩产生的外力矩和物体自身的角动量矩之和。
数学表达式动量矩定理的数学表达式如下：Σ(M) = dL/dt其中，Σ(M)表示所有力矩的矢量和，dL/dt表示角动量的时间导数。
动量矩定理也可以写成分量形式：Σ(Mx) = dLx/dtΣ(My) = dLy/dtΣ(Mz) = dLz/dt其中，Σ(Mx)、Σ(My)和Σ(Mz)表示力矩在x、y、z轴上的分量，dLx/dt、dLy/dt和dLz/dt表示角动量在x、y、z轴上的时间导数。
应用场景动量矩定理的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 刚体转动动量矩定理在刚体的转动运动中有着重要的应用。
对于刚体的转动，我们可以通过计算合力矩和角动量矩的变化率，来推导刚体的运动规律。
动量矩定理使我们能够分析刚体在外力作用下的旋转速度和方向。
2. 车辆安全动量矩定理在车辆安全领域也有着重要作用。
当车辆发生碰撞时，外力对车辆产生的力矩会改变车辆的角动量，进而影响车辆的运动轨迹和姿态。
通过应用动量矩定理，我们可以研究车辆碰撞事故的发生机理，为车辆设计和交通安全提供参考。
3. 飞行器稳定性对于飞行器而言，稳定性是十分重要的一个因素。
动量矩定理可以帮助我们分析飞行器的稳定性问题。
外力矩对飞行器姿态的影响可以通过动量矩定理得到，并根据这些分析结果进行改进和优化。
动量矩定理
动量矩定理当两个物体间的相互作用力是由一种性质不同，方向相反，大小相等而且不能抵消的其他外力来决定时，它们之间的相对位置关系就称为“相对运动”。
下面我们通过动量矩定理与牛顿第二定律、达朗贝尔原理三者结合起来分析研究问题，即在保证每个矢量都具有同样的大小和方向条件下，受到力的物体必然会产生一个随着力的变化而改变的速度，从而使得物体做加速或减速直线运动。
如果再将这些因素考虑进去，那么就更容易发现：只要给出了初始状态，并且知道后续各阶段的情况，则任何一个微小的力都足够引起整个系统的突变。
我们所学习到的机械能守恒定律就可以帮助解释这个现象。
例如：假设某人正站立于地球表面上，此刻他脚底所承受的重力为 G，身高为 h，手臂伸长为 L，手掌张开为 V，手指弯曲为 S，手心朝前为 N，手背朝后为 M，手腕转动角速度为ω，手肘抬升为φ，手臂摆动幅度为 a，那么他的总机械能守恒公式为： W= mgh- GmH- GnL- NvS- MwN-φA。
根据动量矩定理，这里的 m 是单位质量的物体所拥有的质量，H 是物体的静止质量， g 是万有引力常数， v 是物体的速率， a 是物体的转动惯量，ω是角速度，ω是角频率， A 是物体的加速度。
在动量矩定理中，动量矩是描述物体在受到力的作用时，其内部各点处的动量变化的物理量；动量矩定理是研究物体的平均动量及其变化规律的基本定理。
动量矩定理揭示了物体在力的作用下，内部各点处的动量变化规律，说明了物体在力的作用下，动量矩的变化规律。
该定理还告诉我们，物体的动量矩越大，其惯性也越大。
另外，动量矩定理还告诉我们，物体的动量矩与其质量成正比，与其形状无关。
但是我认为，虽然这个定理很简洁，却仍旧存在缺陷。
首先，动量矩定理仅适用于匀速圆周运动，而非匀速直线运动。
其次，动量矩定理只适用于刚体，而非弹簧。
最后，动量矩定理没有涉及到摩擦力。
尽管如此，动量矩定理依然是一个伟大的科学定理！它是我们学习物理的基础，也是探索宇宙奥秘的钥匙。
7-2动量矩定理解析
O
v A vB
vA
A B
vB
设绳子移动的速率为u
v A u1 u v B u2 u
u (u1 u2 ) / 2
解
动量矩守恒
dLA (e) MA dt (e) MA 0
LA C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该 点的动量矩保持不变。
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和 称为质系对点O的动量矩，也称角动量 （Angular Momentum）
LO ri mi vi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的 夹角为 ，轴AB转动角速度为 ，角加速度为 ，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。
m l ( cos 2 sin ) X A 2 m l ( sin 2 cos ) YB mg 2 1 ml 2 Y l sin X l cos B A 12 2 2
(a) (b) (c)
3 g 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l d d 3g 2 d dt (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
dLCz (e) M Cz dt
(e) M Cz 0
LCz const
当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时， 质系对于该轴的动量矩保持不变。
实例分析
花样滑冰：起旋、加速
实例分析
卫星姿态控制：动量矩交换
动量矩定理
动量矩定理
动量矩定理是动力学普遍定理之一，它给出质点系的动量与质点系受机械作用的冲量之间的关系。
动量定理有微分形式和积分形式两种。
1）积分形式
设质点系中任一质点的质量为mi，受外力的合力和内力的合力作用，加速度为，沿曲线轨迹运动到Q点时的速度为（见图）。
根据牛顿第二定律，有：
将式（1）向轨迹的切线方向投影，得式
因
，
代入式（2）可得：。
上式可以改写为：
式中为质点i的动能；和分别为质点i上外力和内力的元功。
对于整个质点系则应为：
式中为质点系的总动能。
对式（4）进行积分，可得：
式中T1，为质点系在过程开始时的动能；T2为质点系在过程结束时的动能。
式（5）是以积分形式表示的质点系的动能定理，它表明:质点系的总
动能在某个力学过程中的改变量，等于质点系所受的诸外力和诸内力在此过程中所做功的总和。
2）微分形式
将式（4）两边除以dt，得：
式中为外力的功率；为内力的功率。
式（6）是以微分形式表示的质点系的动能定理，它表明；质点系的总动能随时间的变化率等于质点系所受诸外力和诸内力在单位时间内所作功的总和。
质点是质点系的一个特殊情况，故动能定理也适用于质点。
但是，对于质点和刚体，诸内力所做功的总和等于零，因为前者根本不受内力作用，而后者的内力则成对出现，其大小相等，方向相反，作用在同一直线上，且刚体上任两点的距离保持不变，故其内力作功总和等于零。
动量矩定理
m1,r O
J o F3r F2r
m2
m3
α
m3 a3 m3 g F3
F1
m2a2 F2 m2 g
运动量关系
a3 a2 r
O
求支座约束力
m1 0 3 F3
m3 g
F2 m1 g F2
z z
y
x x
y
称过质心的三根主轴为中心惯性主轴
动量矩计算
Loz l ozi
ω m ,r
1
J z m 2 v 2 r J z m2r r
O
m2 v 2
J z m2 r 2
动量矩计算
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
对固定轴
E dLz M z ( Fi ) dt
注意：与质心运动定理和动量定理不 同，动量矩定理是有限制的。
例：质量m的质点从半径为r的半圆形光滑轨道上无初速地 滑下，试给出其运动微分方程，并计算质点与轨道间的作 用力。
解：1.用牛顿定律解之
动力学方程
θ
ma t mg sin ma n FN mg cos
rC
C
ri ri
O
mi v ri mv rc 0
mi ri mrC 0
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
刚体平面运动时
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
M O1
m1,r1
动量矩定理公式总结
动量矩定理公式总结
动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
在本文中，将介绍动量矩定理的概念和公式，并探讨其在物理学研究中的应用。
动量矩定理是指，物体在受到外力作用时，它的动量随时间的变化率等于作用在物体上的合外力矩。
换句话说，动量矩定理描述了物体受到外力矩作用时的转动运动状态变化。
动量矩定理的公式为：dL/dt = M，其中dL/dt表示物体动量的变化率，M表示作用在物体上的合外力矩。
这个公式可以用来计算物体运动时的动量变化情况，以及外力矩对运动状态的影响。
除了上述公式，动量矩定理还可以用向量形式表示。
具体而言，物体的角动量L等于它的动量p与位置向量r的叉积，即L = r × p。
在这种情况下，动量矩定理可以表示为dL/dt = M × r，其中M表示外力矩。
动量矩定理在物理学研究中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，动量矩定理可用于计算机械系统的运动状态，以及预测其运动轨迹。
在天体物理学中，动量矩定理可用于研究行星、恒星等天体的旋转运动状态。
总之，动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
通过了解动量矩定理的概念和公式以及其在物理学研究中的应用，我们可以更好地理解物体的运动状态变化和物理规律。
理论力学_12.动量矩定理
故：
d dt
(r m v ) r F ,
d dt
[ m O ( m v )] m O ( F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
例3 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
r
i
i
m iv
C
ri ) m i v
i
rC m i v i
ri m i v i
i
rC m v C
ri m i v
其中 L C ri m i v i 为质点系相对质心C的动量矩。 （注意：vi为质点的绝对速度。） 即 质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩， 与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
L z J z m 2 vr 1 2 ( m1r
2
J ，z
1
m1r ；
2
v r
m 2 vr
1 2
m 1 m 2 ) rv
系统所受外力对转轴z的矩为
M z ( Fi
(e)
) M
(e)
O
Fr M
O
f m 2gr
dL dt
z
M z (Fi
)
d 1 ( m m 2 ) rv M 2 1 dt
例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。
O1 B C
vr vr
vr
L O L O 1 rO 1 m v O 1 3 mv r R l 3 m l 0 3m (vr R l 0 )
动量矩定理公式
动量矩定理公式动量矩定理公式是经典力学中最为重要的定理之一，也是描述质点、力和角动量之间关系的基本公式。
它在物理学和工程学中的应用非常广泛，例如在机械设计中，我们需要利用动量矩定理公式来计算旋转惯量、角加速度等参数，以便进行机器的性能设计和优化。
在本文中，我们将深入探讨动量矩定理公式的含义、意义和应用。
一、动量矩定理的定义动量矩定理公式是描述质点或物体角动量的变化率与施加于物体的力矩之间的关系。
在经典力学中，动量矩定理的形式可以表示为：L = Iω其中，L 表示物体的角动量，I 表示物体的旋转惯量，ω 表示物体的角速度。
动量矩定理的本质是质点或物体的动量守恒定律和角动量守恒定律的延伸和综合。
动量守恒定律和角动量守恒定律分别是描述质点和物体在运动过程中动量和角动量不变的规律。
而动量矩定理则是将它们集成在一起，明确了物体动量和角动量与施加于它的力和力矩之间的关系。
在动量矩定理中，旋转惯量起到了很重要的作用。
旋转惯量是物体绕不同轴旋转时所具有的转动惯性，是物体旋转惯性的度量。
不同形状和密度的物体，其旋转惯量也会有所不同。
例如，某个物体绕它的质心旋转时，它的旋转惯量是最小的。
因为在质心系下，物体的动量为零，只有转动部分的动量和角动量。
二、动量矩定理的应用动量矩定理的具体应用非常广泛。
下面将分别就质点的动量矩定理、刚体的动量矩定理以及动量与角动量的守恒作一些说明。
1. 质点的动量矩定理对于一个质量为 m 的质点，在施加力 F 时，它的动量矩定理为：Ft = Δ(mv)其中，Ft 为施加于物体上的力矩，v 表示质点的速度，Δ(mv) 表示质点动量的变化。
2. 刚体的动量矩定理对于一个刚体在施加力矩 M 时，它的动量矩定理可以表示为：M = Iα其中，M 为施加于刚体上的力矩，I 表示刚体的转动惯量，α 表示刚体的角加速度。
在实际应用中，我们经常需要利用动量矩定理来计算旋转惯量、角加速度等参数。
例如，当我们想设计一个能够快速旋转的机器时，就需要通过动量矩定理来确定机器的转动惯量和角加速度等参数，并根据这些参数来设计机器的各个部分。
理论力学之动量矩定理
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对同一点的力矩。
B 固定轴
d M O (mv ) M O ( F ) dt
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)： d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv) M y (F ) dt d M z (mv) M z (F ) dt 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用 于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。 质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
动量矩定理公式
动量矩定理公式标题：动量矩定理公式作为物理学中的重要定理之一，动量矩定理公式（也被称为角动量定理）在解释运动过程中起着至关重要的作用。
它描述了物体的力矩对其角动量变化的影响。
本文将详细介绍动量矩定理的基本原理、公式的推导过程以及其在实际物理现象中的应用。
动量矩定理的基本原理源于牛顿第二定律和角动量的定义。
根据牛顿第二定律，一个物体所受的合外力等于物体的质量乘以加速度。
而角动量是描述物体旋转运动的量度，其定义为物体的质量乘以线速度与转轴之间的距离乘积。
根据动量矩定理，当一个物体所受的力矩不为零时，物体的角动量将发生变化。
推导动量矩定理的公式相对简单明了。
设一个物体的角动量为L，力矩为τ，那么根据牛顿第二定律和角动量的定义可以得到：τ = dL/dt其中，τ表示力矩，L表示角动量，dt表示时间的微元。
根据微积分的知识，可以将上式进行积分，得到：∫τdt = ∫dL即∫τdt = L2 - L1其中，L1和L2分别表示起始时刻和结束时刻的角动量。
这个就是动量矩定理的基本公式。
动量矩定理的公式可以用于解释许多物理现象。
例如，在刚体的旋转问题中，一个刚体受到的力矩将会导致角动量的变化。
通过应用动量矩定理，可以计算出刚体在旋转过程中的加速度、转动角速度等信息。
这对于分析刚体运动的特性非常有帮助。
此外，动量矩定理公式还可以应用于解释守恒定律。
根据动量矩定理，当一个物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量将保持不变。
这是因为合外力矩为零意味着物体不受到外部力矩的扰动，因而物体的角动量不会发生改变。
这就是角动量守恒定律的数学表达。
在实际应用中，动量矩定理的公式常常被用于设计和分析机械系统的工作原理。
例如，在车辆制动系统中，物体的角动量变化与制动力矩直接相关。
通过对动量矩定理的应用，可以计算制动力矩对车辆速度和行驶方向的影响，从而确保车辆在制动过程中的稳定性和安全性。
此外，动量矩定理的公式还可以用于解释许多自然现象。
理论力学10动量矩定理
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
动量矩定理
动力学的一般定理之一，它给出了粒子系统的动量矩与受到机械作用的粒子系统的冲量矩之间的关系。
动量矩定理有两种形式：微分形式和积分形式。
整体形式令粒子系统中任何粒子的质量为MI并承受外力的合力和内力加速度为0当沿着曲线移动到点Q时，速度为（见图）。
根据牛顿第二定律：将公式（1）投影到轨道的切线方向因为，通过代入等式（2），我们可以得到以下结果：。
上面的公式可以重写为：粒子I的动能在哪里？分别是粒子I的外力和内力的元素功。
对于整个粒子系统，应为：哪里是粒子系统的总动能。
通过对等式（4）进行积分，我们可以获得以下结果：其中T1是过程开始时粒子系统的动能；T2是过程结束时粒子系统的动能。
等式（5）是以积分形式表示的粒子系统的动能定理。
它表明，在某个机械过程中，粒子系统的总动能的变化等于在此过程中作用于粒子系统的所有外力和内力之和。
差异形式将公式（4）的两侧除以DT哪里是外力的力量；是内力的力量。
式（6）是粒子系统的动能定理，用微分形式表示，表明粒子系统的总动能随时间的变化率等于外力和力的总和。
单位时间内作用在粒子系统上的内力。
粒子是粒子系统的特例，因此动能定理也适用于粒子。
但是，对于粒子和刚体，由内力完成的功的总和等于零，因为前者根本不受内力的影响，而后者则成对出现，且大小相同且相反的方向，作用在同一条直线上，并且刚体的任意两个点之间的距离保持不变，因此内力完成的总功等于零。
扩展数据：在机械过程的时间间隔中，粒子系统的一点动量矩的变化等于在同一时间间隔中作用在同一点上的所有外力的冲击矩的矢量和。
当刚体以角速度ω（惯性矩为iz）绕固定轴Z旋转时，可以将其投影到z轴上。
也就是说，在一定的时间间隔内，刚体在Z轴上的动量矩（izω）的变化等于作用在Z上的刚体上的所有外力的冲击矩的代数和。
同一时间间隔中的轴。
质点是质点系统的特例，因此动量矩定理也适用于质点。
动量矩定理
LO = (LOx
LOy
pky
pk = ( pkx
pkz )
LOz )
T
T
rk = (xk
yk
zk )
T
4
矢量动力学基础/动量矩定理/对定点的动量矩
• 平动刚体对定点的动量矩 r r 平动刚体 质心 vk = vC
n n r r r r r LO = ∑ rk × mk vk = ∑ rk × mk vC k =1
12
矢量动力学基础/动量矩定理/对定点的动量矩定理/解 系统对z轴的动量矩 系统对 轴的动量矩
& LOz = m R2 + m2r2 + JOz ϕ 1
主动力的对点O主矩 主动力的对点 主矩
(
)
rb y
r FAy
r y
rb x
ϕ
r r FOx x
(m R
1
M Oz = m1 gR − m2 gr . L Oz = M Oz
r3 x
ϕ
r r FOx x
定义正向 & ω =ϕ & 对z轴动量矩 L3Oz = JOzω = JOzϕ 轴动量矩 重物m 重物 1与m2平动 v1 = ωR v2 = ωr z轴动量矩 对z轴动量矩
L1Oz = m v1R = m1ωR 1 L2Oz = m2v2r = m2ωr2
2
B1
r v1 r m1 g
2011年6月7日 理论力学CAI 矢量动力学基础 5
矢量动力学基础/动量矩定理/对定点的动量矩
• 定轴转动刚体对该轴动量矩 r r ω = ωz 定轴转动刚体
r z
P k
r rk
ρ kz
ω
动量矩定理
x
d d r mv v mv 0 mv F dt dt
d M O (mv ) M O (F ) dt
1、质点的动量矩定理 （1）质点对定点的动量矩定理
★ 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同
一点的矩。
d M O (mv ) M O (F ) dt
i =1，2，…，n
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则
d M O (mi vi ) M O (Fi (e ) ) M O (Fi(i ) ) dt
0
d M O (mi vi ) M O (Fi (e ) ) dt d LO M O (Fi (e ) ) dt
z
J Oz mi ri 2 mR2
（3）均质圆板（轮、柱）
R
O
J Oz mi ri 2
R
0
m 2 2 d R 2
O
d
R
z
R
1 mR 2 2
2、惯性半径（或回转半径）
惯性半径的定义： 转动惯量与质量的比值的平方根，常用表示。
z
讨论：
Jz m
dr 常量 dt
dr 常量 即 r dt
因此， dA 常量
dt
r dr 2dA
质点在有心力作用下的面积速度定理
二、质点系的动量矩定理
设质点系内有 n 个质点，作用在第 i 个质点上的力有内力
和外力 Fi i ，Fi e 按质点的动量矩定理，有
d M O (mi vi ) M O (Fi (e ) ) M O (Fi (i ) ) dt
质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等 于质点系对该轴的动量矩。 对于平面问题，动量矩矢总是垂直于该平面，则可视为代数量。
力学动量矩原理
力学动量矩原理力学动量矩原理是力学中的基本原理之一，它描述了物体在力的作用下产生的动量变化。
动量是物体运动的重要属性，它是物体质量与速度的乘积。
根据动量矩原理，当物体受到外力作用时，它的动量会发生变化，而动量的变化率等于受力的大小和方向。
本文将从动量的概念出发，详细阐述力学动量矩原理的内涵及其应用。
我们来了解一下动量的概念。
动量是物体运动状态的量度，它的大小与物体的质量和速度有关。
动量的方向与物体运动的方向一致。
一个物体的动量越大，说明它的运动状态越强。
根据动量的定义，我们可以得出动量的计算公式：动量（p）等于质量（m）乘以速度（v），即p=mv。
动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s）。
动量矩原理是指物体受到外力作用时动量发生变化的规律。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以推导出动量变化率与力的关系。
根据牛顿第二定律和动量定义的关系，我们可以得到力和动量的关系式：F=ma=mdv/dt=d(mv)/dt=dP/dt。
即力的大小等于动量的变化率。
这就是力学动量矩原理的核心内容。
动量矩原理的应用非常广泛。
在物体碰撞过程中，动量守恒定律可以帮助我们分析碰撞前后物体的运动状态。
根据动量守恒定律，碰撞前后物体的总动量保持不变。
这意味着在碰撞过程中，如果一个物体获得了一部分动量，那么另一个物体就会失去相同大小的动量。
这种动量的转移使得碰撞过程中物体的运动状态发生了改变。
动量矩原理在火箭发射过程中也有重要应用。
火箭发射时，燃料的喷射产生了一个向下的冲量，而火箭本身则受到了一个向上的冲量。
根据动量矩原理，火箭的动量变化率等于喷射出去的燃料的动量变化率，即火箭的质量乘以速度的变化率等于燃料的质量乘以速度的变化率。
通过控制燃料的喷射速度和喷射方向，我们可以改变火箭的运动状态，实现火箭的加速和转向。
动量矩原理还可以解释物体受到外力作用时的运动规律。
根据动量矩原理，当物体受到一个持续作用的力时，它的动量会随时间的推移而改变。
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i 1
i 1
i 1 n
x
n
mi ρi mρC 0
LC ρi mivir
i 1
i 1
x ' vC
y
质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系的
动量矩，质心速度没有贡献。
平面运动圆盘对质心的动量矩
vir ω ri
LO ri mivir
i
ri mi (ω ri )
rO1O mvO mr2ω
y
O vo x
r rO1O
O1
LO1 (JO mr 2 )ω
对任意点的动量矩定理
n
LA ρi mivi i 1
mi ai
F (i) i
F (e) i
dLA
dt
n i 1
dρi dt
mivi
n i 1
ρi miai
dLA dt
i 1
i 1
LO LA + rA mvC
x
z
A ρi rA
ri O
mivi
y
例2
一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。
已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，试求
圆盘对水平面上O1点的动量矩。
解： LO1 LO rO1O mvO
LO JOω vO ri
芭蕾舞演员
花样滑冰运动员
起旋、加速、减速、停止的分析
对质心的动量矩定理
dLA dt
M (e) A
vA mvC
vA vC
dLC dt
M (e) C
质系对质心C的动量矩的变化率等于 作用在质系上的外力对同点的主矩。
M (e) C
M
(e) Cx
i
+
M (e) Cy
j+
M
(e) Cz
k
LC LCxi LCy j LCz k
M (e) A
M
(e) Ax
i
+
M (e) Ay
j+
M
(e) Az
k
LA LAxi LAy j LAz k
dLAx dt
M
, (e)
Ax
dLAy dt
M
, (e)
Ay
dLAz dt
M (e) Az
刚体定轴转动运动微分方程
刚体对定轴z的动量矩：
n
n
LOz miri ri (miri2 ) JOz
i
miri2ω JOω
i
y
rOO
vo ri
x
可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。
问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？
对两点动量矩之间的关系
ri = ρi + rA
n
LO ( ρi + rA ) mivi
i 1
n
n
ρi mivi rA mivi
D
y
C
mg
vC ω rC l sini
vD ω rD l sini
由质系的动量矩的定义可得
mg B
YB ZB
LO rC mvC rD mvD 2ml2 sink
定轴转动圆盘对圆心的动量矩
vi ω ri
LO ri mivi
i
ri mi (ω ri )
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和 称为质系对点O的动量矩，也称角动量 （Angular Momentum）
LO ri mivi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的
O
vA
vB
AB
解
取滑轮与A和B两人为研究对象， 系统对O点动量矩守恒：
r (mvA mvB 速率为u
vA u1 u
vB u2 u
u (u1 u2 ) / 2
O
vA
vB
AB
解
动量矩守恒
dLA dt
M (e) A
M (e) A
i
miri2ω JOω
i
r O ri
问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？
质系对质心的动量矩
n
LC ρi mivi i 1
vi — 质点的绝对速度
i vi z '
vi = vC + vir
z ri ρi
vir — 相对质心平动系速度
rC C y '
n
n
n
LC ρi mi (vC + vir ) ρi mivC ρi mivir O
M (e) A
vA mvC
dρi dt
=
vi
vA
z
质系动量矩的变化仅取决 于外力主矩，内力不能改 变质系的动量矩。
下面介绍两种常用的特殊情况：
A ρi rA
ri
O
mivi
y
x
对固定点的动量矩定理
dLA dt
M (e) A
vA mvC
vA 0
dLA dt
M (e) A
质系对固定点A的动量矩的变化率等于 作用在质系上的外力系对A点的主矩。
夹角为 ，轴AB转动角速度为 ，角加速度为 ，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。
ω
A
C
o
D
B
解
以两个小球为研究对象，建立固连坐标系Oxyz
ω
CD杆的角速度向量
ω (cos j sink)
YA
z
A
两小球对O点的向径
LO
o
rC lj rD lj
小球的速度
F1
i 1
i 1
质系对定轴z的动量矩定理：
JOz MOz
JOz MOz
给定MOz用此方程求解刚体转动规律。
给定刚体转动规律不能用此方程求
解约束反力。可用刚体一般运动的
动力学方程(6个)求解。
x
z
F2
vi O1 ri
mi
e
w
Fn
O
y
例3
质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A 的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于 B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的 移动速率u。
dLCx dt
M (e) Cx
,
dLCy dt
M
(e) Cy
,
dLCz dt
M (e) Cz
Cxyz为质心平动系。
质系对质心平动系各轴的动量矩的变化率等于 外力对相同坐标轴的合力矩。
例4
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间
0
LA C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该 点的动量矩保持不变。
dLOz dt
M (e) Oz
LOz const
M (e) Oz
0
当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于 该轴的动量矩保持不变。
实例分析
通过改变转动惯量来控制角速度。 卫星展开太阳能帆板有一定消旋作用。
实例分析