第五章梁的应力
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线垂直的横向直线和
m 变形后仍保持为直线 ，且仍与弯曲后的梁 轴线保持垂直。
O
纯弯曲直梁的受力变形的两个假设 ：
（） 平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保 持为平面，Hale Waihona Puke Baidu仍与变形后的梁轴线保持垂直。
（）单向受力假设：认为梁的各纵向纤维之间没 有因纯弯曲而引起相互挤压作用，则横截面上 各点处的纵向线段均处于单向应力状态。
梁横截面上正应力的最大值： 永远出现在梁截面的上、下边缘处
ma x tma xcma xM Izmyax
令Wz
Iz ymax
则
——抗弯截面模量
M
ma x tma xcma xWz
不同梁横截面的抗弯截面模量：
b
y m a x y m a x
z
d
y m a x y m a x
章梁的应力
§梁横截面上的正应力
概念：
纯弯曲与横力弯曲
横力弯曲梁段——梁的横截面上既有剪力，又有弯 矩，这种梁段叫横力弯曲梁段。
纯弯曲梁段——剪力，而弯矩常数，这种梁段称为 纯弯曲梁段。
P
P
a
a
纯弯曲梁段：段
P 计算简图A C
Q图 P Pa
M图
DB P
横力弯曲梁段： 、段
纯弯曲直梁段横截面上的正应力
发生在梁跨中截面上、下边缘处。
§ 梁横截面上的剪应力
矩形截面梁的剪应力
当梁在其纵向对称平面内受有横向荷载时， 梁的横截面上有剪力存在，相应地横截面上必 然有剪应力 。
如下图所示矩形截面梁上两截面上同一个坐标点处 的正应力值不相等(图)，但两截面上的剪力值相等( 图) 。
P1
P2
P1 1 2 P 2
aM Im zp ayxa375 16305(56 261 00 2 08)11 03
14.08M 9 Pa
（）考虑自重时，把自重化为均布荷载，查 型钢表中 理论重量。
由自重引起的最大弯矩:
M m q aq 8 x l2 1 8 1 .0 4 121 2 1.7 8 k4 N m (发生在梁跨中截面处)
(e) m
y
mn O
d
mn O1 dxO2 x aa
微段梁上处沿 轴线方 向应变为
x
m
（
y）d d
d
y ky
（）
中性层处曲率半径
k 1
——曲率
（）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤 维距中性层的距离成正比。
. 物理关系
(f) M
纯弯曲直梁上有正应力 ，而 。若梁内的应
由自重引起的的最大正应力:
m q a xM W m qz a x2 1.3 7 8 4 4110 0 3 608.0M 6 Pa
自重和荷载共同作用下的最大正应力
m am x q am q x a 8 .x 0 1 6.1 6 1 2 0 .1 6 M 8 8Pa
E
A ydA
E
Sz
0
因为
E
0Sz
0
（）
My 0
M yA zd A A E yz E dA y Az E d Iy A z0 （）
由（ 4I）yz0
Mz M
Mz AydA AE y2dA E Ay2dA E Iz M
12
q(x )
q(x )
x 1 x 21 d2x d x
1
2
1
2
M = 1M 1 2 M + d M = M 2
1
2
M = M 1 Q QM + d M = M 2
QQ
x
x
x
x
aa b b
危险截面应在梁段中任一截面。
利用型钢表，可查得号工字钢的截面几何性 质：
Iz 656c0m04 Wz 234cm 04
危险截面上的最大正应力
m p axM W m p z a x2337 4 1 1 53 0 0 0 616 .10 M 2 Pa
（）危险截面上翼缘与腹板交界处点的正应力
(c)
560 560
166
166
1 2.5
z
12.5
a
z21
ay ( m m )21
(b)
A C
D
B
1 2.5
560
解 （）首先不考3 m 虑梁自重6 m ，作出3梁m 的弯矩图（），有 z
(a) a
M
21
375kN .m (c)
y (m m ) (b)
M m p a 1 x 2 3 53k 7N 5 m
1M
()
EzI
等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一 式为
x
My Iz
点处正应力公
上式中
Iz Ay2dA—为梁的横截面图形对中性轴的
惯性矩； EI z —为梁的抗弯刚度。
的符号确定方法：
() 将弯矩和坐标的正负号同时代入； () 以中性层为界，变形后梁凸出边的应力必为拉应力， 而凹入边的应力则为压应力。
x
M(x)y Iz
例题 如图（）所示的简支梁为号工字型钢，截面简化尺寸 如图（）所示。若梁上作用有集中力＝，试求： （）不计梁自重时，该梁危险截面上的最大正应力；
（）不计梁自重时，该梁危险截面上翼缘与腹板交界处点的 正应力。
P
P
PA
CP
D
B
A
C
3m D 6m
B3m
(a)
3m
M6m
3m
(a)
M
375kN .m
z 力不超过材料的比例极限
x
，且材料的拉伸与压缩弹性模 量相同时，胡克定律，即得
y y
x
E
y
kEy
（）
该式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的 距离成正比，而且距中性轴等远处的各点正应力相等。
y
. 静力学关系
(g ) M
z
dA
x
dA
y zy
x0
N
AdA
A
E
ydA
z
h
y
y
Wz
Iz h
b h3 12
h
b h2 6
22
Wz
Iz d
d4
64 d
d3
32
22
D d
y m a x y m a xz
y
Wz
Iz D
64
(D4 d 4) D
2
2
D 3[1 ( d ) 4 ]
32
D
纯弯曲梁段横截面上的正应力
当 l/h5时，横截面上的剪力对正应力 分布和最大值的影响一般在％以内，因此横力 弯曲时横截面上的正应力 采用下式
综合考虑：几何关系 物理关系 静力学
. 几何关系
梁横截面上的变形
(a)
纵向对称轴
mn
(b)
bb
aa mdx n
z x
O
y
( c ) m
( d ) m
( e )
中性层 梁横截面上的变形 z 规律：
m x（）纵向线和，由变形
中 性 层 O y
前的直线弯曲为直线 。
m n bb
aa mn
（）在变形前，与梁轴
m 变形后仍保持为直线 ，且仍与弯曲后的梁 轴线保持垂直。
O
纯弯曲直梁的受力变形的两个假设 ：
（） 平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保 持为平面，Hale Waihona Puke Baidu仍与变形后的梁轴线保持垂直。
（）单向受力假设：认为梁的各纵向纤维之间没 有因纯弯曲而引起相互挤压作用，则横截面上 各点处的纵向线段均处于单向应力状态。
梁横截面上正应力的最大值： 永远出现在梁截面的上、下边缘处
ma x tma xcma xM Izmyax
令Wz
Iz ymax
则
——抗弯截面模量
M
ma x tma xcma xWz
不同梁横截面的抗弯截面模量：
b
y m a x y m a x
z
d
y m a x y m a x
章梁的应力
§梁横截面上的正应力
概念：
纯弯曲与横力弯曲
横力弯曲梁段——梁的横截面上既有剪力，又有弯 矩，这种梁段叫横力弯曲梁段。
纯弯曲梁段——剪力，而弯矩常数，这种梁段称为 纯弯曲梁段。
P
P
a
a
纯弯曲梁段：段
P 计算简图A C
Q图 P Pa
M图
DB P
横力弯曲梁段： 、段
纯弯曲直梁段横截面上的正应力
发生在梁跨中截面上、下边缘处。
§ 梁横截面上的剪应力
矩形截面梁的剪应力
当梁在其纵向对称平面内受有横向荷载时， 梁的横截面上有剪力存在，相应地横截面上必 然有剪应力 。
如下图所示矩形截面梁上两截面上同一个坐标点处 的正应力值不相等(图)，但两截面上的剪力值相等( 图) 。
P1
P2
P1 1 2 P 2
aM Im zp ayxa375 16305(56 261 00 2 08)11 03
14.08M 9 Pa
（）考虑自重时，把自重化为均布荷载，查 型钢表中 理论重量。
由自重引起的最大弯矩:
M m q aq 8 x l2 1 8 1 .0 4 121 2 1.7 8 k4 N m (发生在梁跨中截面处)
(e) m
y
mn O
d
mn O1 dxO2 x aa
微段梁上处沿 轴线方 向应变为
x
m
（
y）d d
d
y ky
（）
中性层处曲率半径
k 1
——曲率
（）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤 维距中性层的距离成正比。
. 物理关系
(f) M
纯弯曲直梁上有正应力 ，而 。若梁内的应
由自重引起的的最大正应力:
m q a xM W m qz a x2 1.3 7 8 4 4110 0 3 608.0M 6 Pa
自重和荷载共同作用下的最大正应力
m am x q am q x a 8 .x 0 1 6.1 6 1 2 0 .1 6 M 8 8Pa
E
A ydA
E
Sz
0
因为
E
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（）
My 0
M yA zd A A E yz E dA y Az E d Iy A z0 （）
由（ 4I）yz0
Mz M
Mz AydA AE y2dA E Ay2dA E Iz M
12
q(x )
q(x )
x 1 x 21 d2x d x
1
2
1
2
M = 1M 1 2 M + d M = M 2
1
2
M = M 1 Q QM + d M = M 2
x
x
x
x
aa b b
危险截面应在梁段中任一截面。
利用型钢表，可查得号工字钢的截面几何性 质：
Iz 656c0m04 Wz 234cm 04
危险截面上的最大正应力
m p axM W m p z a x2337 4 1 1 53 0 0 0 616 .10 M 2 Pa
（）危险截面上翼缘与腹板交界处点的正应力
(c)
560 560
166
166
1 2.5
z
12.5
a
z21
ay ( m m )21
(b)
A C
D
B
1 2.5
560
解 （）首先不考3 m 虑梁自重6 m ，作出3梁m 的弯矩图（），有 z
(a) a
M
21
375kN .m (c)
y (m m ) (b)
M m p a 1 x 2 3 53k 7N 5 m
1M
()
EzI
等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一 式为
x
My Iz
点处正应力公
上式中
Iz Ay2dA—为梁的横截面图形对中性轴的
惯性矩； EI z —为梁的抗弯刚度。
的符号确定方法：
() 将弯矩和坐标的正负号同时代入； () 以中性层为界，变形后梁凸出边的应力必为拉应力， 而凹入边的应力则为压应力。
x
M(x)y Iz
例题 如图（）所示的简支梁为号工字型钢，截面简化尺寸 如图（）所示。若梁上作用有集中力＝，试求： （）不计梁自重时，该梁危险截面上的最大正应力；
（）不计梁自重时，该梁危险截面上翼缘与腹板交界处点的 正应力。
P
P
PA
CP
D
B
A
C
3m D 6m
B3m
(a)
3m
M6m
3m
(a)
M
375kN .m
z 力不超过材料的比例极限
x
，且材料的拉伸与压缩弹性模 量相同时，胡克定律，即得
y y
x
E
y
kEy
（）
该式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的 距离成正比，而且距中性轴等远处的各点正应力相等。
y
. 静力学关系
(g ) M
z
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x
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2
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32
D
纯弯曲梁段横截面上的正应力
当 l/h5时，横截面上的剪力对正应力 分布和最大值的影响一般在％以内，因此横力 弯曲时横截面上的正应力 采用下式
综合考虑：几何关系 物理关系 静力学
. 几何关系
梁横截面上的变形
(a)
纵向对称轴
mn
(b)
bb
aa mdx n
z x
O
y
( c ) m
( d ) m
( e )
中性层 梁横截面上的变形 z 规律：
m x（）纵向线和，由变形
中 性 层 O y
前的直线弯曲为直线 。
m n bb
aa mn
（）在变形前，与梁轴