平方差完全平方定律(培优)
平方差完全平方公式(培优)
平方差完全平方公式•选择题（共1小题）二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方：X 2+4X +=(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算：(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ；(4) .10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算：◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普，其中整式有（ A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知：x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x 2 - 1； (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ； (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得：(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ；(其中n 为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足x 丄=3，则x 2丄的值为 ___________________________20 . （2007?天水）若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a 2±2ab+b 2= （a ± b ） 2.例如：（x - 1） 2+3、（x - 2） 2+2X 、（*X -2） 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、 一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a 2+ab+b 2配方（至少两种形式）;（3） 已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +，223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2，求 一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1，求下列各式的值：(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）29 -宀11x+1=0，求x2+；的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点：整式.分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评：主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2,x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯—A）.点评：考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. （2004?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点：多项式．分析：按照x 的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幕排列是x3+2x2—3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题(共26 小题)5．计算：(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式；完全平方公式．分析：(1) (x—y)与(x+y)结合，可运用平方差公式，其结果再与(x2+y2)相结合，再次利用平方差公式计算；( 2 )先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2)，=( x2—y2)( x2+y2)，=x4—y4；( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c)，2—( 2b—c)2，=a=a2—4b2+4bc—点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算：1232- 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.解答：解：1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算：2004 20042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)]，再运用平方差公式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式．专题：计算题．分析：(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式，利用平方差公式计算；(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算．解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]，=x2-y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考点：平方差公式.分析：把(m+n)看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是- 2 与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4. 点评：本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x- 2y 当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，2- 4xy+4y2-=x2.m点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2，(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13 ．计算：20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+… +2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1 ，所有两数的和组成自然数求和．14 ．利用乘法公式计算：◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评：考点：平方差公式；完全平方公式.分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94 写成2X 47 后，可用完全平方公式计算.解答：解：①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2；②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知：x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2- 1；(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得：(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ；(其中n为正整数)；(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答：解：(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得：2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式，关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式，点评:考点：专题：分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（1 -丄）2 =1 —2寺（1-解答: 丄22--,依此类推，从而得出结果.解：原式=（1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ；）考点： 完全平方公式.专题： 计算题.分析： 将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答： 解：由题意得，1 o x+—=3,两边平方得：«+2+ ：=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为：7.点评： 此题考查了完 全平方公式的知识，掌握完全点评: （1+二）24-■）.1210-■）210=1-本题考查了平 方差公式的反 复应用，是基础 知识要熟练掌 握.(1+(1+(1+(1+19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.20 . （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1）2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为：2.点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a± b）2.例如：（x- 1）2+3、（x-2）2+2X、（丄x-2）2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值. 解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . '：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:'：)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式，即可求值.解答：解：•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严-命的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a -b= - 2代入计算即可.解答：解：原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式把（x+y） 2 和（x- y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值.解答：解：由题意知：(x+y)2_x2+y2+2xy_49①，(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②，①+②得：(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25；①-②得：4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评：25 .已知考点：分析：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算.解：•••二4,X••• x2+ - =142 ，(x-—)X2=12,点评：26 .已知考点：--x -二= .\本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解：••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2，求a2+b2, (a- b) 2的值.考点：完全平方公式.分析：先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答：解：T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5；•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评：本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点：完全平方公式.专题：整体思想.分析：先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答：点评：29. x2考点：分析：代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解：•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解：••• X M 0 ,• X+ 二亠，X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式，关点评:键是知道隐含 条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同 除X 得到 X+二=11，利用 X 和丄互为倒数乘 积是1,利用完 全平方公式来 进行解题.完全平方公式. 本题是完全平 方公式的应用， 两数的平方和， 再加上或减去 它们积的2倍， 就构成了一个 完全平方式.使 分式中含有 x 十！的形式，代 入求值. 解:（ 1） /宀 X =（X -丄）2 - 2， X =42 - 2， =14;2 30 .已+， (1)y H ；X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点：分析：解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。
平方差公式与完全平方公式(培优)
平方差公式和完全平方公式复习题一、1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．(x+1）（1+x ）B ．（12a+b ）（b —12a ） C ．(—a+b)（a-b ） D ．（x 2—y ）(x+y 2）2．下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）(3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b)=4a 2－b 2;③（3－x ）（x+3）=x 2－9;④（－x+y)·（x+y)=－（x －y ）(x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－54.│5x-2y │·│2y-5x │的结果是（ ）A ．25x 2—4y 2B ．25x 2-20xy+4y 2C ．25x 2+20xy+4y 2D ．—25x 2+20xy —4y 2二、计算：1.(—2x —y ）(2x —y) 2、（y —x)(-x —y ） 3.（-2x+y ）（2x+y) 4。
(4a —1）（—4a —1）5。
（-p 2+q)（—p 2-q ）; 6。
(—x+2y ）2； 7.（—2x —12y ）2． 8.（a+b)2－(a －b ）2 9。
（12x+3）2-（12x-3)2 10．（－3x 2+2y 2)（______)=9x 4－4y 4． 11、（a+b ）（a —b)(a 2+b 2） 12、(a+2）(a —2)（a 2+4） 13、（x — 12)（x 2+ 14）(x+ 12） 三、1.若22)2(4+=++x k x x ,求k 值. 2.若k x x ++22是完全平方式，求k 值3．若（x —5）2=x 2+kx+25,则k=（ ）A ．5B ．—5C ．10D ．—104．如果x 2+4x+k 2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（ )A ．4B ．2C ．-2D ．±25、如果x 2+kx+9恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（ ）A ．6B ．—4C ．3D ．±6四．1.若a —b=2，a-c=1，则（2a-b —c ）2+（c-a)2的值为（ ）A ．10B ．9C ．2D ．12．若a 2+2a=1，则（a+1）2=_________．五．1.a 2+b 2=(a+b)2+______=（a-b ）2+________．2．已知a+1a =3，则a 2+21a的值是 。
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。
首先，我们来了解一下平方差公式。
平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。
简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。
这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。
那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。
假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。
我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。
根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。
通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。
接下来，我们将介绍完全平方公式。
完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。
它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。
与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。
我们来看一个应用完全平方公式的例子。
假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。
带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。
通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。
在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。
(完整版)平方差完全平方公式(培优1)52940
实用标准文案平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）2+x﹣，），，其中整式有（1．（1999?烟台）下列代数式，x 3个个4个C．D．A．1个B．2二．填空题（共3小题）2 _________ 项式．是_________ 次﹣2．（2011?湛江）多项式2x3x+5 ．（答案不唯一，只要写出一个），y的四次单项式_________ 3．（2010?毕节地区）写出含有字母x12222）内江）配方：32 _________ ．按x的降幂排列是．（42004?南平）把多项式2x﹣3x+xx+4x+___=(x+___）配方：x-x+ ___=(x-19995．（?226小题）三．解答题（共5．计算：22）x+y（1）（x﹣y）（x+y）（c）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣2 6．计算：123﹣124×122．7．计算：．x+2y+z）．．（x﹣2y+z）（﹣89．运用乘法公式计算．22﹣（）；x﹣y（1）（x+y）y+2）；﹣）（2（x+y﹣2）（x 80.2；79.8（3）×2 19.9（4）．10．化简：（．m+n+2）m+n﹣2）（x﹣2y+m）（2y11．（x﹣﹣m）．计算12 ﹣d﹣）；ba）﹣1（）（ab+c﹣d（c﹣4224（2）（+16y8xx（﹣y）．﹣（x+2y）x2y）222222 1+2+﹣2007200813．计算：﹣+20062005…﹣．．利用乘法公式计算：14 ﹣a+3b（2c））3b+2c﹣①（a22 94﹣47②27+27×．文档．22的值．_________ x﹣y =2015．已知：x﹣y，x+y=4，求433222 1﹣…+x+x+1）=x）（x+x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x（16．观察下列各式：（x﹣1）x+1）=x﹣1；（x﹣13m﹣1m﹣2m﹣；；_________ （其中n为正整数））根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x+x+x+…+x+1）= （16968234的值．…+2+2 （2）根据这一规律，计算1+2+2+2+2+ ．先观察下面的解题过程，然后解答问题：1742）．（题目：化简（2+1）2+1）（2+18442424224﹣1）（2+1）=2﹣1．=）（2+1）（2+1=（2﹣1）（2+1）（2+1）（2）=（解：（2+1）2+1）（2+1）（2﹣1）（2+164248 +1）．3+1）（3+1）…（问题：化简（3+1）（3+1）（3．18．2的值为+ _________ ．．19（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2的值．．求代数式?天水）若a﹣2a+1=0（20．20072配（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．阅读材料：．（2009?佛山）把形如ax+bx+c 的二次三项式21222．（a±2ab+b=a±b）方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即22222的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2x+4﹣x（例如：x﹣1）+3、（﹣2）+2x、（x2）+x是x﹣一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：2三种不同形式的配方；x﹣4x+21（）比照上面的例子，写出22 +ab+b配方（至少两种形式）；（2）将a222 3b﹣2c+4=0a+b+c的值．，求﹣+b（3）已知a+c﹣ab2222的值．+b）b=25，求a+ab（a+ba（22．2004?太原）已知实数、b满足（）=1，a﹣的值．，求2a（23．2001?宁夏）设﹣b=﹣22 =1，求下列各式的值：）﹣=4924．已知（x+y），（xy22．）；（2xy+y）（1x﹣，求x+25．已知=4x的值．22，求，．已知：26x+y=3xy=2x+y的值．222 27的值．）b﹣（+b，求ab=2，．已知a+b=3a，a22（），且（x+y=2．若28x+2，求=5）+xy+yx的值．y+2 菁优网?2010-201322的值．+11x+1=0，求x ﹣29．x，求下列各式的值：30．已；（1））．2（菁优网?2010-2013平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）2），?，其中整式有（烟台）下列代数式，x+x ﹣，（1．1999 个．3D．B． A 1个．2个4个C整式．考点：解决本题关键分析：是搞清整式的紧扣概念概念，作出判断．2解答：+x解：整式有x2，﹣共个．故选B．主要考查了整点评：式的有关概要能准确的念．分清什么是整整式是有理式．在式的一部分，有理式中可以乘，包含加，减，但除四种运算，在整式中除式不能含有字单项式和多母．项式统称为整单项式是字式．母和数的乘积，没有只有乘法，多项式加减法．是若干个单项有加减式的和，法．二．填空题（共3小题）2三项式．次是湛江）多项式（2011?2x﹣3x+5 二．2多项式．：考点计算题．专题：根据单项式的分析：菁优网?2010-2013系数和次数的定义，多项式的定义求解．解：由题意可解答：22x知，多项式二次﹣3x+5是三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．223．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式xy ．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数3，y的指数和∴x322等都是xyy，x 四次单项式．根据四次单解：解答：项式的定义，3322xy，yxy，x等都符合题意（答案不唯．一）点评：考查了单项式的次数的概只要两个字念．母的指数的和的单项式等于4 都符合要求．22334．（2004?南平）把多项式2x﹣3x+x按x的降幂排列是x+2x﹣3x ．菁优网?2010-2013考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂32﹣+2x排列是x3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：22）+y））（x+y（x（1）（x﹣y（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再22）相结+y与（x合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）22），+y （x+y）（x22）y﹣=（x22），（x+y44；y=x ﹣（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），22，）2b﹣（﹣=ac22+4bc﹣=a﹣4b2．c点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．菁优网?2010-2013平方差公式：（a+b）（a﹣b）22．完全平﹣=ab方公式：（a±b）222．±=a2ab+b2﹣124×123122．6．计算：考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．2解答：﹣124解：123×122，2﹣（123+1）=123（123﹣1），22123﹣（=1232），﹣1=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．．计算：．7考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，=菁优网?2010-2013，=，．=2004本题考查平方点评：差公式的实际注意要构运用，造成公式的结利用公构形式，式达到简化运算的目的．．x+2y+z））（x﹣2y+z（﹣8．平方差公式．：考点计算题．：专题[z+把原式化为分析：﹣][z2y）（x﹣，再）2y]（x﹣运用平方差公式计算．）﹣2y+z 解：（x解答：），（﹣x+2y+z ﹣（x=[z+﹣﹣（x2y）][z ]，2y）22 2y）=z，﹣（x﹣22﹣﹣（=zx2）4xy+4y，22﹣=z+4xy ﹣x2．4y本题考查了平点评：整体方差公式，思想的利用是利用公式的关注意运用公键，式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．22；﹣（x﹣y）1（）（x+y））；﹣2（x+y﹣）（xy+2）（2 ×80.2；79.83（）菁优网?2010-20132．19.9 （4）考点：平方差公式．专题：计算题．2分析：﹣x+y）1）（（2可以y）（x﹣利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利用平方差公式计算；2可以19.94）（转化为（20﹣2进行简便）0.1计算．解答：解：（1）（x+y）22=y）﹣（x﹣（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，22+4y﹣4﹣y；=x（3）79.8×80.2，=（80﹣0.2）（80+0.2），=6399.96；2=（20（4）19.92=400﹣）20.1﹣×20×0.1+0.01，=396.01．菁优网?2010-2013点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），22，2m+n）﹣=（22+2mn﹣4+n．=m点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）22b）=a﹣（a﹣b计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），22，﹣m）﹣（=x2y菁优网?2010-201322﹣﹣4xy+4y=x2 m．点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；4224）．+16y2y）（x﹣8xy（2）（x+2y）（x﹣平方差公式．考点：计算题．专题：根据平方差公分析：式以及完全平方公式即可解答本题．）原式（1解答：解：）db=[（c﹣﹣）d+a][（c﹣b﹣a]﹣2）d﹣b﹣=（c2 a﹣222﹣+2bd+b+d=c2，﹣a2bc﹣2cd4﹣x2）∵（2422x（+16y=8xy22 4y）﹣2﹣（x∴原式=222）﹣4y4y）（x3222 4y）（x﹣=232）x﹣3（=（x）?222+3x4y）（222）4y﹣（（4y）36﹣=x4224﹣+48xy12xy6 64y．本题考查了平点评：方差公式以及完全平方公式难度适的运用，中．22222213．计算：2008﹣2007+2006﹣2005+…+2﹣1．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用菁优网?2010-2013自然数求和公式解题．2解答：2008（解：原式=2）+﹣20072﹣2006（222（+…2005+）2），1 ﹣=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）22．94×②4727+27﹣考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2﹣（]=a）3b2c﹣2c）22+12bc﹣=9b2；4c2﹣=472②原式2=27+27×47×菁优网?2010-2013（47﹣27）2=400．本题考查了平点评：方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．2215．已知：x﹣y=20，x+y=4，求x﹣y的值．5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．22解答：解：a﹣b=（a+b）（a﹣b），22xx+y）（x﹣y=（=20﹣y）代入求把x+y=4 y=5．得x﹣运用平方差公点评：关键式计算时，要找相同项和其结果相反项，是相同项的平方减去相反项的平方．把代入求得x+y=4 5．﹣y的值，为x42332216．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x+x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x+x+x+1）=x﹣1…m﹣1m﹣2m﹣3m（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x+x+x+…+x+1）= x﹣1 ；（其中n为正整数）；2346869（2）根据这一规律，计算1+2+2+2+2+…+2+2 的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；菁优网?2010-2013（2）先根据上面的式子可得：23…+x+1+x+x n+1n）﹣1+x=（x，从1）÷（x﹣而得出2…+1+2+269+169682（+2+2=，）（2﹣1﹣1）÷再进行计算即可．解答：x﹣1）解：（1）（﹣﹣1m﹣2mm+x+x （x m23=x+x+1）+…+x 1；﹣）根据上面（2的式子可得：32…1+x+x+x+n+1n）﹣1+x=（x ，）÷（x﹣12…∴1+2+2+69+168692+2=（+2）﹣11﹣）÷（270．=2﹣1本题考查了平点评：认真方差公式，根据观察各式，指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：24）．+1）（2+12题目：化简（2+1）（8442422424﹣1．）（2+1）=22+1﹣1）（2）（2+1）=（﹣1=（（）（22（解：2+1）（+1）（+1）=2﹣1（2+1）2+1）2+1）（264248．3+1）…（+1）（）（3+1）3+1）（3问题：化简（3+1平方差公式．考点：整式根据题意，分析：的第一个因式可以根据平方差公式进行化然后再和后简，面的因式进行运算．解答：3=解：原式（﹣1）（3+1）42）（3+1+1（3）648，3+1））+1（3（菁优网?2010-2013（4分）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）64+1）3，（4﹣1（3）=48+1）（3（3+1）64+1），（3 8﹣13）=（864+1），+1（）（3364﹣1）=（364+1），（8分）（3128﹣（3=1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，．．18平方差公式．考点：计算题．专题：由平方差公式，分析：）（1﹣（1+）﹣，（1=1﹣=11+（）），依此类﹣从而得出结推，果．﹣（解：原式=1解答：）1+）（）（1+）（1+菁优网?2010-20131+（））﹣=（1）（1+）1+（（）1+）1﹣=（）（1+1+（））1=（﹣1+）（=1﹣．本题考查了平点评：方差公式的反是基础复应用，知识要熟练掌握．2的值为7 x+．（19．2012?黄冈）已知实数x满足=3x+，则完全平方公式．：考点计算题．专题：分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解：由题意得，解答：=3，x+两边平方得：2=9x+2+，2=7．故x+故答案为：7．此题考查了完点评：全平方公式的知识，掌握完全菁优网?2010-2013平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．2的值．．求代数式﹣2a+1=0 20．（2007?天水）若a完全平方公式．：考点根据完全平方分析：公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．2解答：﹣a解：由﹣a2a+1=0得（2）=0，1 ∴a=1；代入把a=1=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完灵全平方公式，活运用完全平a方公式先求出是解决本的值，题的关键．221．（2009?佛山）阅读材料：把形如ax+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配222方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a±2ab+b=（a±b）．22222的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、﹣2x+4x是x+2x+3、（x﹣2）、+（x ﹣2））（例如：x﹣1 一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：2 4x+2三种不同形式的配方；﹣（1）比照上面的例子，写出x22；）将（2a+ab+b配方（至少两种形式）222 a+b+c的值．3b﹣2c+4=0，求aba（3）已知+b+c﹣﹣考点：完全平方公式．阅读型．：专题）本题）分析：（1（2考查对完全平方公式的灵活由题应用能力，中所给的已知2﹣材料可得x22+ab+ba4x+2和的配方也可分菁优网?2010-2013别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．2解答：﹣x4x+2解：（1）的三种配方分别为：2﹣4x+2=（xx﹣2﹣2，2）2﹣x4x+2=2﹣x+（）2+4）x，（2（x﹣4x+2=x22；﹣x﹣）22=）a+ab+b（22﹣ab，（a+b）22=a+ab+b22；b）+b（a+222﹣+c3）a+b（ab﹣3b﹣2c+4，22）aab+﹣b=（2﹣3b+3）（b+2﹣2c+1），c+（22）﹣b=（aab+2﹣4b+4b）+（2﹣2c+1），+（c2+（﹣b）=（ab2+（c﹣1）﹣2）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公菁优网?2010-201322=2ab+b式：a±2进行）a±b（配方的能力．2222的值．a+b+ab（满足（a+b）=1，a﹣b）=25，求a22．（2004?太原）已知实数、b 完全平方公式．考点：先由已知条件分析：展开完全平方的值，式求出ab22转+b+ab再将a化为完全平方2ab和式（a+b）即可求的形式，值．2解答：，=1a+b）解：∵（2，）=25（a﹣b22，+b+2ab=1∴a22 2ab=25．a+b﹣，24∴4ab=﹣，ab=﹣622+ab=+b∴a2ab=1a+b（）﹣）=7．﹣（﹣6点评：本题考查了完利全平方公式，用完全平方公式展开后建立再整体方程组，代入求解．，求的值．﹣2 2001（?宁夏）设a﹣b=23．完全平方公式．考点：对所求式子通分析：分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解：原式解答：==，菁优网?2010-2013∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．本题考查了完点评：全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．2224．已知（x+y）=49，（x﹣y）=1，求下列各式的值：22（1）x+y；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方2）x+y公式把（2展）﹣y和（x然后相加即开，22的x可求出+y相减即可求值，出xy的值．解答：解：由题意知：）（x+y222+2xy=49+y=x ①，222+y=x（x﹣y）2xy=1﹣②，）①+②得：（x+y22，y）（+x﹣222+y+2xy+x=x+y2 2xy﹣，22），=2（x+y =49+1，=50，22 =25；∴x+y4xy=①﹣②得：2x （x+y）﹣（2﹣=49y）﹣1=48，．∴xy=12点评：本题考查了完灵全平方公式，活运用完全平熟记公方公式，式是解题的关键．菁优网?2010-2013﹣的值．x x+=4，求25．已知考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出2+的值，再x根据完全平方公式整理成（x2的形式并﹣）代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，2+=14，∴x﹣）∵（x22+=x﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．22的值．x +y26．已知：x+y=3，xy=2，求考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，22+2xy=9，x∴+y∵xy=2，菁优网?2010-201322﹣x+y=9∴﹣4=5．2xy=9点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．22227．已知a+b=3，ab=2，求a+b，（a﹣b）的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可22的值，a+b求出根据完全平方）﹣b 公式把（a2展开，再代入数据求解即可．解：∵a+b=3，解答：22，∴a+2ab+b=9 ，∵ab=222×﹣2∴a+b=9 2=5；22=ab）∴（a﹣22﹣﹣2ab+b=5 ．×2=1点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．2228．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x+xy+y的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出22 x+xy+y的值．菁优网?2010-2013解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，22=x+xy+y∴22xy=2）﹣（x+y﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．22+的值．，求x．29x ﹣11x+1=0完全平方公式．考点：2分析：﹣先把x两边同11x+1=0（由题意可x除，得到）x≠0知然后把，x+=11该式子两边平方即可得到2的值．x+ 0，解答：解：∵x≠x+∴，2，x+）（=121∴2，+2+x2．∴x+本题考查了完点评：关全平方公式，键是知道隐含2x≠0，条件x两边11x+1=0﹣得到同除x x，利用x+=11菁优网?2010-2013互为倒数乘和，利用完积是1全平方公式来进行解．已30，求下列各式的值：；（1）2．）（完全平方公式．考点：本题是完全平分析：方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去倍，2它们积的就构成了一个使完全平方式．分式中含有代的形式，入求值．解答：）解：（1，2，﹣2=（x）﹣2，﹣2=4 ；=14）（2，，=．=本题主要考查点评：完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全并利平方公式，菁优网?2010-2013 用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．菁优网?2010-2013菁优网?2010-2013。
完全平方公式变形的应用培优
完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。
通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。
因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式x_1x_2=c/ax_1+x_2=-b/a其中，a、b、c为方程的系数。
平方差公式可以帮助我们在解二次方程时，通过已知的一根求出另一根。
它的推导基于第二个根是解得方程ax^2+bx+c=0的一个根，记为x_2、那么我们可以将二次方程表示为(x-x_2)(x-x_1)=0，展开：x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。
比较系数即可得到平方差公式。
举例来说，假设有一个二次方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式来解题。
根据平方差公式，我们可以得到：x_1x_2=6/1=6x_1+x_2=-(-5)/1=5因此，方程的两个根分别为2和3二、完全平方公式完全平方公式是指对于一个一次方程x^2+2ax+a^2=b，可以转变为(x+a)^2=b的形式。
完全平方公式可以帮助我们在解一次方程时，简化计算。
它的推导基于二次方程与一次方程的关系：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它有两个相等的根x_1=x_2=x，那么x也是对应的一次方程bx+c=0的一个解。
举例来说，假设有一个一次方程x^2+6x+9=25，我们可以使用完全平方公式来解题。
根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=25因此，方程的解为x=-3±√25总结：平方差公式和完全平方公式是高中数学中非常基础和重要的概念，它们在解二次方程和一次方程时非常有用。
通过掌握和熟练应用这两个公式，我们可以简化计算，提高解题效率。
因此，在数学学习中，我们要加强对这两个公式的理解和应用。
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。
本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。
具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。
平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。
例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。
根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。
进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。
平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。
通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。
具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。
完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。
以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。
我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。
这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。
例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。
根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。
因此，方程的解为 x = -3。
总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。
我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。
本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。
一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。
它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。
例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。
如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。
同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。
例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。
三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。
例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。
数学七年级下期培优学案-平方差公式和完全平方公式
数学七年级下期培优学案(3)----平方差公式和完全平方公式一、平方差公式1. 公式：22)()a b a b a b +-=-（2. 公式的特征：（1）左边是两个二项式的乘积，存在一组相同的量和一组相反的量（2）右边是相同量的平方与相反量平方的差；3. 公式的顺用例1. 用平方差公式计算22224433(1)(4)(4)22(2)()()()()a a y x y x y x y x -+--+-++练习1计算(1)(1)(1)(1)x x x x +-+- (2)(23)(23)x y x y --- (3)()()x y z x z y +-+-4. 公式逆用例2计算2211(5)(5)22x x +--练习2填空(1)(1)ab -+（ ）=221a b - (2)()()a b a b -+（）=44a b - 2(3)6,3,b a b -=-=2若a 且则a+b= ；5. 利用平方差公式计算例3.利用平方差公式计算2(1)9991001(2)39.840.2(3)200420032005⨯⨯-⨯练习3计算22222242222222007(1)2007200820061111(2)(1)(1)(1)...(1)23410(3)3(41)(41)(41)1(4)2012201120102009...21-⨯----⨯++++-+-++-二、完全平方公式1. 公式及其变形 22222222222222222222)2()())22()()()()22()()4,()()411()2a b a ab b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab x x x x±=±+++-+=±=+-++--==+=-+-=+-±=±+ （（ 2. 口诀：（1）展开式：首平方，尾平方，首尾二倍在中央（2）中间项口诀：同正异负3.公式的识别与求完全平方的展开式例4.计算2(1)(25)x -+ 2(2)(38)x --2(3)(2)(2)x y x x y --+ 22(4)()()()2m n m n m n m +-++-(5)(21)(21)a b a b +++- 22(6)(21)(21)x x -+2(7)498 2(8)199202198-⨯（9）（－21ab 2－32c ）2 210()a b c -+（）4.结合完全平方公式特征，完善公式例5.(1)(5x+2y)2-(5x-2y)2＝ （2）( -2)2＝ 1-2x+ （3）( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2练习4. （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－______＝（a －b ）2－__________．（2） 如果4a 2－m ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则m = .（3） x 2－xy ＋________＝（x －______）2．22222(4)4___,412 ____.(5)()2,____.x ax a x xy m m x y M x xy y M ++=++=-+=++=是完全平方公式，则是一个完全平方式，则则 5.利用完全平方公式求值例6.（1） 已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值（2） 已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值（3） 若x+y=a,xy=b,求x 2+y 2,x 4+y 4的值.练习5.（1） 已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值 （2） 已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值 （3） 已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
2024年北师大版数学七(下)重难点培优训练2 平方差公式和完全平方公式(学生版)
2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练2 平方差公式和完全平方公式一、选择题1．（2024八上·黔西南期末）若4y2+my+9是完全平方式，则m的值是（）A．−12B．12C．−12或11D．−12或12 2．（2023七下·石家庄期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”() A．56B．66C．76D．863．（2023七下·大渡口期中）若a+b=5，ab=−1，则(a−b)2等于（）A．25B．1C．21D．294．（2023七下·济南高新技术产业开发期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A．(a+b)(a−b)=a2−b2B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a−b)2=a2−2ab+b2D．(a−b)2=a2−2ab−b25．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．(x-2y)(2y+x)B．(x-2y)(-x-2y)C．(x+2y)(-x-2y)D．(2y-x)(-x-2y)6．（2023七下·江阴期中）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62-32，63＝82-12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（）A．31B．41C．16D．547．（2023七下·沭阳期中）计算(a−b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)的结果是（）A．a8−b8B．a8−2a4b4+b8C．a8+2a4b4+b8D．a8+b88．下列运算中，错误的运算有（）.①(2x+y)2=4x2+y2②(a-3b)2=a2-9b2③(-x-y)2=x2-2xy+y2④(x-12)2=x2-2x+14A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2023七下·南山期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算(a+b)9的展开式中第三项的系数为（）A．28B．36C．45D．5610．（2023七下·通州期中）下列运算：①(a+b)2=a2+b2；②(x+2)2=x+2x+4；③(x−3)(x+ 3)=x2−3；④(x+5)(x−1)=x2+4x−5，其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④二、填空题11．（2023七下·通州期中）计算：2023×2021−20222=．12．（2023七下·云岩期中）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，则a2+b2的值为．13．（2023七下·石阡期中）若(x−2023)(x−2021)=2，则(x−2023)2+(x−2021)2的值为．14．（2023七下·石家庄期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝．15．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：1×3=22−1；3×5=42−1；5×7=62−1；7×9=82−1…请将发现的规律用含n的式子表示为．16．（2023七下·石家庄期中）已知N=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，则N的个位数字是．三、计算题17．（2023七下·金溪期中）运用乘法公式计算：（1）(2m −3n)(−2m −3n)−(2m −3n)2（2）1002−992+982−972+⋯+22−12．18．（2023七下·即墨期中）计算：（1）(12)−2−π0+(−3)2． （2）2m 3⋅3m −(2m 2)2+m 6÷m 2．（3）(2a −b)2−4(a −b)(a +2b)．（4）20212−2020×2022．（用简便方法计算）四、综合题19．（2023七下·凤翔期中）聪聪和同学们用2张A 型卡片、2张B 型卡片和1张C 型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A 型卡片是边长为a 的正方形；B 型卡片是长方形；C 型卡片是边长为b 的正方形．（1）请用含a 、b 的代数式分别表示出B 型卡片的长和宽；（2）如果a =10，b =6，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．20．（2022七下·义乌期中）你会求（a －1）（a 2012＋a 2011＋a 2010＋‥‥a 2＋a ＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（a －1）（a ＋1）＝a 2－1（a －1）（a 2＋a ＋1）＝a 3－1；（a －1）（a 3＋a 2＋a ＋1）＝a 4－1；（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a －1）（a 2012＋a 2011＋a 2010＋……a 2＋a ＋1）＝ .（2）利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是 .（3）求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值.21．（2023七下·深圳期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：．（2）如图1中，a，b满足a+b=9，ab=15，求a2+b2的值．（3）如图2，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=14，两正方形的面积分别为S1，S2，且S1+S2=40，求图中阴影部分面积．22．（2023七下·宝安期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2−2x+3进行配方解：x2−2x+3=x2−2x+1+2=(x2−2x+1)+2=(x−1)2+2我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2，（x，y是整数）所以M也是“完美数”（1）【问题解决】下列各数中，“完美数”有．（填序号）①10 ②45 ③28 ④29（2）若二次三项式x2−6x+13（x是整数）是“完美数”，可配方成(x−m)2+n（m，n为常数），则mn的值为；（3）【问题探究】已知S=x2+9y2+8x−12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．（4）【问题拓展】已知实数x，y满足−x2+7x+y−10=0，求x+y的最小值．23．（2023七下·石阡期中）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1=，S2=；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表示）．（2）依据这个公式，康康展示了“计算：(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)”的解题过程．解：原式=(2−1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)=(22−1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)=(24−1)×(24+1)×(28+1)=(28−1)×(28+1)=216−1．请仿照康康的解题过程计算：2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)+1．（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．24．（2023七下·英德期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）如图2，需要张边长为a的正方形，张边长为b的正方形，张边长为a、b的长方形．（2）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：．（3）用多项式乘多项式的法则验证（2）中得到的等式．25．（2023七下·龙岗期中）如图(a)所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图(a)中的阴影部分拼成一个如图(b)所示的长方形．（1）通过观察比较图(b)与图(a)中的阴影部分面积，可以得到乘法公式(用含a，b的等式表示)（2）(应用)请应用这个公式完成下列各题：①若a+2b=3，2b-a=2，则a2-4b2的值为②若4m2=12+n，2m+n=4，则2m-n的值为（3）(拓展)计算：1002-992+982-972+……+42-32+22-12．26．（2022七下·咸阳期中）阅读材料：若满足（8-x）（x-6）=-3，求（8-x）2+（x-6）2的值．解：设8-x=a，x-6=b，则（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2所以（8-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-3）=10请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3-x）（x-2）=-10，求（3-x）2+（x-2）2的值；（2）若（6-x）2+（x-4）2=8求（6-x）（x-4）的值；（3）类比探究：若x满足（2022-x）2+（2021-x）2=2020；求（2022-x）（2021-x）的值；27．（2021七下·娄底期中）阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①或图②中图形的面积表示.（1）请写出图③所表示的代数恒等式；（2）试画一个几何图形，使它的面积可用（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2表示；（3）请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形.28．（2022七下·连云港期中）（1）【知识情境】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）.把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是；（2）【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块.用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：；（3）已知a+b=4，ab=2，利用上面的恒等式求a3+b3的值.29．（2022七下·定远期中）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（1）【理解应用】观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；（2）【拓展升华】利用（1）中的等式解决下列问题①已知a2+b2=20，a+b=6，求ab的值；②已知(2021−c)(c−2019)=1，求(2021−c)2+(c−2019)2的值．答案解析部分1．【答案】D【知识点】完全平方式【解析】【解答】∵4y2+my+9是完全平方式，∴4y2+my+9=（2y±3）2=4y2±12y+9，∴m=±12，故答案为：D.【分析】根据完全平方式的特点将4y2+my+9写成某一个多项式的平方的形式，从而求解. 2．【答案】C【知识点】平方差公式及应用【解析】【解答】∵76=202-182，∴76是神秘数；故答案为：C。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是数学中一条重要的公式，也是学习平方差的基础。
它可以帮助我们快速计算两个数的平方差，而不必一个一个去计算。
完全平方公式是数学中求解一元二次方程的方法之一，它可以帮助我们快速找到方程的解。
下面将详细介绍这两个公式。
一、平方差公式设两个数分别为a和b，它们的平方差可以表示为(a+b)(a-b)。
我们可以通过拆分(a+b)(a-b)来计算平方差。
拆分后得到的是一个差式，可以简化计算。
例如，计算25的平方差时，我们可以使用平方差公式：(25+5)(25-5)=30×20=600。
同样地，计算8的平方差时，使用平方差公式：(8+2)(8-2)=10×6=60。
通过平方差公式，我们可以快速准确地计算两个数的平方差。
二、完全平方公式完全平方公式是一种用来求解一元二次方程的方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
完全平方公式是由求解一元二次方程的根的公式推导而来。
若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实数根，那么根可以表示为一个平方数。
利用完全平方公式，可以直接找到方程的解。
完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)利用完全平方公式，我们可以求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2-2x-3=0，我们可以直接套用完全平方公式：x=(-(-2)±√((-2)^2-4×1×(-3)))/(2×1)化简得：x=(2±√(4+12))/2即：x=(2±√16)/2化简得：x=(2±4)/2分别计算得到两个根：x1=(2+4)/2=6/2=3x2=(2-4)/2=-2/2=-1通过完全平方公式，我们可以直接得到方程的根。
总结：平方差公式和完全平方公式是数学中重要的计算工具，它们可以帮助我们快速计算平方差和求解一元二次方程。
平方差完全平方公式(培优1)
平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）2二．填空题（共3小题）2．（2011•）多项式2x2﹣3x+5是_________次_________项式．3．（2010•地区）写出含有字母x，y的四次单项式_________．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004•）把多项式2x2﹣3x+x3按x5．（1999•江）配方：x2+4x+___=(x+___）2三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=_________；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．18．．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________．20．（2007•）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009•）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004•）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001•）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）2二．填空题（共3小题）2．（2011•）多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．3．（2010•地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004•）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．516．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=x m﹣1；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，18．．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．解答：解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）=1﹣．点评：本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．点评：此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是20．（2007•）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009•）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004•）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001•）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．。
(完整版)七年级平方差公式和完全平方公式-培优
变形公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+-+=+2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 个性化教学辅导教案知识点一、多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
由多项式乘多项式法则可以得到：bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())((知识点二、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
1、即：=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：))((22b a b a b a +-=-。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2知识点三、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
知识点四、变形公式例题讲解1、计算(22)(22)a b c a b c +++-10199⨯2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 2982、公式的逆用(1) 如果x 2-y 2=12，x +y=3，则x -y 的值是（2）已知a+b=3，ab=1，则a 2+b 2的值为（3）若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=（4）已知a+b=5,ab=6，则(a-b)2的值为( )(A)1 (B)4 (C)9 (D)16（5）已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，求=+22b a ________，=ab ________ （6）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于( )(A)64 (B)48 (C)32 (D)16（7）已知4x 2+4mx+36是完全平方式，则m 的值为( )(A)2 (B)±2 (C)-6 (D)±6基础巩固一、选择题1、下列等式能够成立的是（ ）A ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xB ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xC ．412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x D ．41)21(22+=-x x 2、下列等式能够成立的是（ ）A ．222)(y xy x y x +-=-B ．2229)3(y x y x +=+C ．2224121y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- D ．9)9)(9(2-=+-m m m 3、如果9x 2+kx+25是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A ．15B ．±5C ．30D ．±30 4、若a ﹣b=，且a 2﹣b 2=，则a+b 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．1D ．2 5、已知x y = 9，x －y=－3，则x 2+3xy+y 2的值为（ ）A 、27B 、9C 、54D 、186、将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b2 7、若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A ﹣2003的末位数字是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 8、（x+2）（x ﹣2）（x 2+4）的计算结果是（ ）A ．x 4+16B ．﹣x 4﹣16C ．x 4﹣16D ．16﹣x 4 9、（﹣x+y ）（ ）=x 2﹣y 2，其中括号内的是（ ）A ．﹣x ﹣yB ．﹣x+yC ．x ﹣yD ．x+y10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）A ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2D ．a 2﹣ab=a （a ﹣b ） 11、如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形．（a ＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（ ）A. （2a 2+5a ）cm 2 B ．（3a+15）cm 2 C ．（6a+9）cm 2 D ．（6a+15）cm 212、如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）A ．a 2+4B ．2a 2+4aC ．3a 2﹣4a ﹣4D ．4a 2﹣a ﹣2 13、若4x 2﹣2（k ﹣1）x+9是完全平方式，则k 的值为（ ）A ．±2B ．±5C ．7或﹣5D ．﹣7或5 14、已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 15、若a ﹣=2，则a 2+的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6 16、设（2a+3b ）2=（2a ﹣3b ）2+A ，则A=（ ）A ．6abB ．12abC ．0D ．24ab 17、已知x 2﹣3x+1=0，那么的值是（ ） A ．3B ．7C ．9D ．1118、当n 是整数时，（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2是（ ）A ．2的倍数B ．4的倍数C ．6的倍数D ．8的倍数 19、已知x+y=7，xy=﹣8，下列各式计算结果正确的是（ ）A ．（x ﹣y ）2=91B ．x 2+y 2=65C ．x 2+y 2=511D ．x 2﹣y 2=567二、填空题 1、若2210a a --=，则221a a+=____________． 2、=⨯123457123455-1234562______ =⨯4394110______ 3、=++⋅⋅⋅++⋅1)12()12)(12(36442______4、已知121=+x x ，则22-+x x = ，已知101=-x x ，则22-+x x =5、已知0162=+-x x ，则22-+x x =6、已知100)(2=+b a ，4)(2=-b a ，则22b a += ，ab =7、已知8=+b a ，12=ab ，则22b a += ，2)(b a -=8、（a+b ﹣1）（a ﹣b+1）=（ ）2﹣（ ）2 9、若a+b=8，a ﹣b=5，则a 2﹣b 2= ．10、已知a+b=8，a 2b 2=4，则﹣ab=11、已知实数a 、b 满足a+b=5，ab=3，则a ﹣b=12、已知x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，那么x y =13、已知m 2+n 2﹣6m+10n+34=0，则m+n=14、已知m 2﹣5m ﹣1=0，则= 15、若m=2n+1，则m 2﹣4mn+4n 2的值是16、若|x+y ﹣5|+（xy ﹣6）2=0，则x 2+y 2的值为三、计算题 )53(2322ab ab a --)23)(25(y x y x -+ ()()2()x y x y x y --+-)4)(1()3)(3(+---+a a a a22)1()1(--+xy xy)4)(12(3)32(2+--+a a a (1)(2)(2)(21)2(2)x x x x x x -+----+四、解答题1、先化简，再求值: (x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.52、已知0132=+-x x ，求221x x +和441xx +的值3、已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值。
平方差公式课时培优练 2022—2023学年北师大版数学七年级下册
1.5平方差公式课时培优练七年级数学下册北师大版一、单选题1．下列式子中，可以用平方差公式计算的是（）A．(2a+b)(a-b)B．（2a-3b）(3b+2a)C．(3a-2b)(2b-3a)D．(2a-b)(2b+a)2．在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．3．若，，则的值是（）A．-3B．-2C．-1D．04．运用乘法公式计算的结果是（）A．B．C．D．5．下列运算错误的是()A．b2·b3=b5B．(a-b)(b+a)=a2-b2C．a5+a5=a10D．(-a2b)2=b2a46．记则x+1=（）A．一个奇数B．一个质数C．一个整数的平方D．一个整数的立方7．如图，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b ),把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是()A．a2 - b2 = (a + b)(a - b)B．(a + b)2= a2 + 2ab + b2C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2D．a2 - ab = a(a - b)8．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2D．a2＋ab＝a（a＋b）9．如图所示，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，佳佳将阴影部分通过割拼，拼成了图①和图②两种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②都能D．①②都不能二、填空题10．．11．在括号内填入适当的整式：（2a+b）（）=b2-4a2．12．计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝.13．的结果是．14．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为．三、解答题15．原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积. 16．能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．引入负数后，如1，-3等是奇数，0，-2等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗？写出你的判断并证明．17．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）.18．已知圆环的面积为，其中大圆与小圆周长的和为，求圆环的宽度（大圆半径与小圆半径的差）.19．已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．20．（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中n为正整数，且）．（3）利用（2）猜想的结论计算：①②四、计算题21．计算：（1）（2）22．计算.（1）（m-）（m+）；（2）（-2y2-3x）（3x-2y2）；（3）（x+3）（x2+9）（x-3）.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：,符合平方差公式.故答案为：B.【分析】相乘的两个二项式中，如果有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可使用平方差公式进行计算，从而即可一一判断得出答案. 2．【答案】C【解析】【解答】A、能用平方差公式计算；B、能用平方差公式计算；C、不能用平方差公式计算；D、能用平方差公式计算；故答案为：C．【分析】利用平方差公式判断各选项即可。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。
平方差公式就提供了一个简单的方法。
例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。
根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。
例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。
设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。
例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。
从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。
例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。
1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。
根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。
2019-2020学年人教版八年级数学上册14.2平方差与完全平方公式培优专题( 解析版 )
2019-2020平方差与完全平方公式培优专题（含答案）一、单选题1．()()()()248323212121211+++⋯++的个位数是 （ ） A.4B.5C.6D.82．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为 （ ） A.6B.6-C.6±D.无法确定3．()()()()242212121 (2)1n++++=（ ）A.421n -B.421n +C.441n -D.441n +4．已知n 16221++是一个有理数的平方，则n 不能取以下各数中的哪一个 （ ） A.30B.32C.18-D.95．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34，则a ﹣b=（ ） A ．1 B ．﹣52C ．±1D ．±526．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________．8．若m+1m =3，则m 2+21m=_____． 9．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______．10．已知3a b +=，2ab =-， （1）则22a b +=____；（2）则a b -=___．11．已知1＜x ＜2，，则的值是_____．12．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+12）×(1+212)×(1+412)×(1+812)×(1+1612)×(1+3212)×(1+6412)，结果是_____． 13．如果实数a ，b 满足a+b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．14．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．15．若214x x x++=，则2211x x ++= ________________.16．已知（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，则（a ﹣2017）2的值是 .17．计算：（a+1）2﹣a 2=_____．三、解答题18．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn nnn -++-+=，∴()()2220m n n -+-=，∴()20m n -=，()220n -=，∴2n =，2m =． 根据你的观察，探究下面的问题：（1）2262100a b a b ++-+=，则a =__________，b =__________． （2）已知22228160x y xy y +-++=，求xy 的值．（3）已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC △的周长． 19．如图，将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m 或n 的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．20．已知7a b -=，12ab =-． （1）求22a b ab -的值；（2）求22a b +的值； （3）求+a b 的值； 21．已知120153a m =+，120163b m =+，120173c m =+，求222a b c ab bc ac ++---的值． 22．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a=﹣2，b=12． 23．先化简，再求值：已知代数式 化简后，不含有x 2项和常数项. （1）求a 、b 的值；（2）求 的值.24．先化简，再求值：（a+b ）2+b （a ﹣b ）﹣4ab ，其中a=2，b=﹣12． 25．先化简，再求值：（x+y ）（x ﹣y ）+y （x+2y ）﹣（x ﹣y ）2，其中x=2+3，y=2﹣3．26．计算:211-2⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-3⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-4⎛⎫ ⎪⎝⎭×…×211-9⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-10⎛⎫⎪⎝⎭. 27．阅读题.材料一：若一个整数m 能表示成a 2-b 2(a,b 为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，3=22-12，9=32-02，12=42-22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p、q是正整数，且p≤q)．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F(n)＝pq.例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18)＝3162.请解答下列问题：(1)8______（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)= ______.(2)如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”.(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值. 28．如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．29．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．30．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三：31．请认真观察图形，解答下列问题：如图①，1号卡片是边长为a 的正方形，2号卡片是边长为b 的正方形，3号卡片是一个长和宽分别为a ，b 的长方形．（1）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张，可拼成一个正方形，如图②，能用此图解释的乘法公式是______________；（请用字母a ，b 表示）（2）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则能用此图解释的整式乘法运算是____________________；（请画出图形，并用字母a ，b 表示）（3）如果图中的a ，b （a ＞b ）满足a 2+b 2=57，ab=12，求a+b 的值；（4）已知（5+2x ）2+（3+2x ）2=60，求（5+2x ）（2x+3）的值．32．已知：x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，求x +y 的值．33．已知a b 、是等腰△ABC 的边且满足2284200a b a b +--+=，求等腰△ABC 的周长。
平方差公式与完全平方公式提高训练
教学过程提高训练一、选择1.假设(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，那么k的值为( )2.A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是( )4.A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y35.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，那么()6.A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确信7.假设0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是()8.A．必然为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定9.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是()10.A．2(a2＋2)B．2(a2－2)C．2a3D．2a611.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是()12.A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝4013.假设2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为()14.A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－115.C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝21.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________．2.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，那么a＝__________，b＝__________．3.若a2＋a＋1＝2，那么(5－a)(6＋a)＝__________．4.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．5.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，那么a＝_______，b＝_______．一、假设(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a，b．二、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；（3）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （4）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；（4）（5）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2．例一、完全平方式1、若k x x ++22是完全平方式，那么k =二、.假设x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、若是4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，那么N =4、若是224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 例二、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,那么a 2004+b 2005=_____.二、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 知足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，那么z y x ++= ．例3、完全平方公式的变形技术1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
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实用标准文档 文案大全 平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）1．（1999•烟台）下列代数式，x 2+x ﹣，，，其中整式有（ ） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题（共3小题）2．（2011•湛江）多项式2x 2﹣3x+5是 _________ 次 _________ 项式．3．（2010•毕节地区）写出含有字母x ，y 的四次单项式 _________ ．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004•南平）把多项式2x 2﹣3x+x 3按x 的降幂排列是 _________ ．5．（1999•内江）配方：x 2+4x+___=(x+___）2 配方：x 2-x+ ___=(x-21）2 三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x ﹣2y+z ）（﹣x+2y+z ）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）= _________ ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．18．．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________ ．20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（1999•烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：整式．分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．解答：解：整式有x2+x﹣，共2个．故选B．点评：主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．二．填空题（共3小题）2．（2011•湛江）多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．考点：多项式．专题：计算题．分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．解答：解：由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2010•毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯一）．点评：考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．4．（2004•南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x ．考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），=（x2﹣y2）（x2+y2），=x4﹣y4；（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），=a2﹣（2b﹣c）2，=a2﹣4b2+4bc﹣c2．点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．6．计算：1232﹣124×122．考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．解答：解：1232﹣124×122，=1232﹣（123+1）（123﹣1），=1232﹣（1232﹣12），=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．7．计算：．考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，=，=，=2004．点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．解答：解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，=z2﹣（x﹣2y）2，=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），=z2﹣x2+4xy﹣4y2．点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利用平方差公式计算；（4）19.92可以转化为（20﹣0.1）2进行简便计算．解答：解：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，=x2﹣y2+4y﹣4；（3）79.8×80.2，=（80﹣0.2）（80+0.2），=6399.96；（4）19.92=（20﹣0.1）2=400﹣2×20×0.1+0.01，=396.01．点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．考点：平方差公式．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），=（m+n）2﹣22，=m2+n2+2mn﹣4．点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），=（x﹣2y）2﹣m2，=x2﹣4xy+4y2﹣m2．点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=（20082﹣20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；②原式=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）2=400．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值． 5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20把x+y=4代入求得x﹣y=5．点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平x+y=4代入求得x﹣y的值，为5．16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）= x m﹣1 ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；（2）先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出（269+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可．解答：解：（1）（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x2+x+1）=x m﹣1；（2）根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），∴1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1）=270﹣1．点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．考点：平方差公式．分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算．解答：解：原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），（4分）.（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），=（34﹣1）（34+1）（38+1）（364+1），=（38﹣1）（38+1）（364+1），=（364﹣1）（364+1），（8分）=（3128﹣1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，考点：平方差公式．专题：计算题．分析：由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．解答：解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）=（1﹣）=1﹣．点评：本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．点评：此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．解答：解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．考点：完全平方公式．专题：阅读型．分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．解答：解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．考点：完全平方公式．分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值．解答：解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=25．∴4ab=﹣24，ab=﹣6，∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=1﹣（﹣6）=7．点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解．23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．考点：完全平方公式．分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解答：解：原式==，∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．点评：本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．解答：解：由题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，=2（x2+y2），=49+1，=50，∴x2+y2=25；①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，∴xy=12．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．25．已知x+=4，求x﹣的值．考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，∴x2+=14，∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，∴x2+y2+2xy=9，∵xy=2，∴x2+y2=9﹣2xy=9﹣4=5．点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．解答：解：∵a+b=3，∴a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9﹣2×2=5；∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣2×2=1．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值．解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=22﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．考点：完全平方公式．分析：先把x2﹣11x+1=0两边同除x（由题意可知x≠0），得到x+=11，然后把该式子两边平方即可得到x2+的值．解答：解：∵x≠0，∴x+，（x+）2=121，∴x2+2+，∴x2+．点评：本题考查了完全平方公式，关键是知道隐含条件x≠0，x2﹣11x+1=0两边同除x得到x+=11，利用x和互为倒数乘积是1，利用完全平方公式来进行解题．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．考点：完全平方公式．分析：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．使分式中含有的形式，代入求值．解答：解：（1），=（x﹣）2﹣2，=42﹣2，=14；（2），=，=，=．点评：本题主要考查完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．。