北京工业大学 线性代数 期末试题

一. 填空题（每小题3分，共30 分. 注意：所有题目需给出计算结果； a a =型答案无效）

1. 100121201224680011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2. 记

121113231

5

4

9

17827

----第二列四个位置的代数余子式分别是12223242,,,A A A A .若

23122232420A aA a A a A +++=，且0a >，则a =

3. 在行列式22

3121

x x x x x -的完全展开式中，合并同类项后，3x 的系数是

4. 3阶实方阵A 和非零向量123,,ααα满足：112233,2,A A A αααααα===-.若

记以123,,ααα为列向量组的矩阵为()123P ααα=，则1P AP -⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

（写出具体的矩阵）.

5. 若32⨯型、23⨯型实矩阵,A B 满足112211817AB ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，则,A B 的秩之和

()()R A R B +=

6. A 是2阶实方阵. 若齐次线性方程组()0A E X -=和(2)0A E X -=均有非

零解，则行列式*12A A E -++=

7. 若12,,

,m ααα是齐次线性方程组123112301012012700x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的解空间中

的线性无关向量组，则m 能取到的最大值是

8. 若3阶实方阵123()A ααα=的列向量组123{,,}ααα与线性无关向量组

12{,}ββ满足1122123

12325αββαββαββ

=-⎧⎪

=+⎨⎪=-⎩ ，则A 的阶梯化矩阵中非零行的行数是

9. 方程1

23

4

26801

1

1x x x

+-+=--的根123,,x x x 之和123x x x ++= 10. 若Q 是n （1n >）阶实方阵，且齐次线性方程组0QX =只有零解，

T A Q Q =，则A 的特征值 0（填“,,><=”之一）.

二（10分）. 计算行列式01523

1

3110

1

8

3810113132510

D ----=------（要求出具体数值）.

三（10分）. 用初等变换的方法，解方程101110110011101110X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

.

四（10分）.a 取何值时，线性方程组123412341

23422320574x x x x x x x x x x x x a

-++=⎧⎪

+-+=⎨⎪-+-=⎩ 有解？

有解时，写出其通解.

五（12分）. 已知288828882A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

. 求一个可逆矩阵P ，使得1P AP -

是对角矩阵；并求出这一对角矩阵.

六（12分）. 给定列向量组

12345(0,1,2,1,0),(1,1,1,0,3),(1,0,2,1,2),(5,2,3,7,11),(9,5,5,14,19).

T T T T

ααααα=-=-=-=--=--

1 求该向量组的秩；

2 求该向量组的一个极大线性无关组；

3 把其余向量用问题2中求出的极大线性无关组线性表出.

七（8分）.

八（8分）.