青海省西宁市第五中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

青海省西宁市第五中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是 A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为1(0,)16 C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是()0,2，那么实数k 的值为（ ） A ．25-B ．25C ．1-D ．14．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a=, 11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点坐标为A （3，1，0），B （－1，3，0），若点C 满足OC ＝αOA ＋βOB ，其中α，β∈R ，α＋β＝1，则点C 的轨迹为 A ．平面B ．直线C ．圆D ．线段6．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆8．已知条件p ：|1|2x -<，条件q ：2560x x --<，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f(x)=2743kx kx kx +++，若x R ∀∈，则k 的取值范围是A ．0≤k<34B ．0<k<34C ．k<0或k>34D ．0<k ≤3410．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③1{2x y >>是3{2x y xy +>>=a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题11．已知28a b i j k +=-+,8163a b i j k -=-+- (,,i j k 为两两互相垂直的单位向量)，那么a b ⋅= .12．以()1,1-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为： ．13．在△ABC 中，BC 边长为24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39．若以BC 边中点为原点，BC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为： ．12M M 24MM OM15．下列命题：①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件； ②“am 2<bm 2”是“a<b”的充分必要条件； ③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假； ④在中，“”是三个角成等差数列的充要条件； ⑤中,若sin cos A B =,则为直角三角形.判断错误的有___________.16．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC A C ．有下列条件：①AB AC BC ==；②AB AC ⊥；③AB AC =．其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是（填上该条件的序号）________．三、解答题17．求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．18．已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f(x)=－(5－2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围19．如图，在平行六面体ABCD-A 1BC 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C∥面ODC 1。

20．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、B 两点．（1）求AB 的长度；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．21．如图,直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC 中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,棱12AA =,M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点.（1）求BM 的长; （2）求11cos ,BA CB 的值; （3）求证:11A B C N ⊥.参考答案1．B 【解析】解：因为抛物线24y x =，可知化为标准式为抛物线24yx =，2p=1/4，故焦点在y 轴上，开口向上，焦点坐标为1(0,)16，选B 2．B 【解析】解：因为A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，说明了集合A 含于集合B ，那么则利用等价命题B ⌝一定是A ⌝的充分条件，因此说一定是必要条件．选B 3．D 【分析】先把椭圆的方程化成焦点在y 轴上的标准方程，再求k 的值. 【详解】由题得2222+1,155y y x x k k=∴+=， 因为椭圆的一个焦点是()0,2，所以2512,1k k-=∴=. 故答案为D 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，注意交点在y 轴上，属于基础题. 4．A 【解析】如图，由向量的三角形法则可得1112B M B B BD =+，即11111()222B M A A BA BC c a b =++=-+，应选答案A 。

5．B 【详解】设点C 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 (,,)(3,3,0)x y z αβαβ=-+， 再由α＋β＝1可得，250x y +-=， 故点C 的轨迹方程为250x y +-= 故选：B ． 6．D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则63525a b c ++== 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确；又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=， 而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ． 7．C 【解析】解：因为[]0,απ∈，则方程2222sin cos 1111sin cos x y x y αααα+=⇔+=当0α=，则表示直线， 当(0,),24ππαα∈≠，则表示椭圆当4πα=表示圆当(,)2παπ∈，表示双曲线．当απ=，则不表示任何轨迹， 故不表示抛物线，选C 8．B 【详解】:212,13p x x -<-<-<<；:16q x -<<，所以p 是q 的充分而不必要条件. 故选：B. 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 9．A【解析】当0k =时， ()73f x =显然符合题设条件，故应选答案A 。

点睛：由于本题是选择题，因此采用了上述排除法分析求解，使得问题获解。

其实若本题是解答题可分类求解如下：当0k =时， ()73f x =显然符合题设条件；当0k >时，函数()243h x kx kx =++是开口向上的抛物线，当且仅当判别式231412004k k k -<⇒<<时，对于一切实数函数()2743kx f x kx kx +=++有意义；当0k <时，函数()243h x kx kx =++是开口向下的抛物线，当且仅当判别式231412004k k k -<⇒<<时，对于一切实数函数()2743kx f x kx kx +=++有意义，但与0k <矛盾，故不存在。

综上所求实数k 的取值范围。

应选答案A 。

10．C 【解析】①一个命题的逆命题和否命题是等价命题，正确；②一个命题的否命题为假，则它本身不一定为为假，错误；③1{2x y >>是3{2x y xy +>>的充分不必要条件，错误；④如果,0a b <则=a b =是不等价的，错误；⑤当3x =-时，3x =，故是不充分的，错误，因此有4个命题是错误的． 11．–65 【解析】试题分析：由28a b i j k +=-+,8163a b i j k -=-+-可以解得342(3,4,2)a i j k =-+-=--，5122(5,12,2)b i j k =-+=-，所以65.a b ⋅=-考点：本小题主要考查向量的运算.点评：由已知条件可以求出向量的坐标，进而根据向量是数量积运算公式可以求解，难度较低，运算要仔细. 12．430x y +-=【解析】解：此弦不垂直于X 轴，故设点（1，-1）为中点的抛物线y 2=8x 的弦的两端点为A （x 1，y i ）B （x 2，y 2） 得到y i 2=8x 1，y 22=8x 2两式相减得到（y i + y 2）（y i - y 2）=8（x 1-x 2） ∴k=y i - y 2/ x 1-x 2=-4∴直线方程为y+1=-4（x-1），即4x+y-3=013．22116925x y +=（0y ≠）【解析】设AC 和AB 边的中点分别是D,E,22,33BG BD CG CE ==,22()39262433BG CG BD CE ∴+=+=⨯=>, 所以重心G 的轨迹是长轴长为26，焦距为24的椭圆，故方程为22116925x y +=，因A,B,C不能在同一条直线上，故0y ≠14．1119,,442⎛⎫--⎪⎝⎭ 【解析】由题设可得()1224M M OM OM=-，即1243OM OM OM=+，也即12131119,,44442OM OM OM ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，故应填答案1119,,442⎛⎫-- ⎪⎝⎭。