多元函数求最值问题专题 - 副本

多元函数求最值问题

一.【问题背景】

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。

二.【常见的方法】

导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等

主要思想方法：数形结合、化归思想等

三.【范例】

例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则

213x y x y

++-的最小值为 。

例2： 已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为____．

变式练习：()

22222x xy m x y ++≤对于一切正数,x y 恒成立，则实数m 的最小值为 。

例3：设实数,,a b c 满足22

1a b c +≤≤，则a b c ++的最小值为 。

变式练习：已知,,x y z ∈R ，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 。

例4：已知正实数,a b 满足2291a b +=，则

3ab a b

+的最大值为 .

四．巩固练习

1.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n m n m 34

4-的最小值为 .

2．已知{}max 32,42,16M x x y y =-+-，则M 的最小值为 。

3．已知 1,1,,,222=++=++∈c b a c b a R c b a ，则a 的最小值为___________。

4．已知{}n a 是等差数列，若221510a a +≤，则56789a a a a a ++++的最大值是 ．

5．ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，并满足a b c ≤≤，记min ,b c K a b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

，则K 的取值范围是 。