17第六章多元函数微分学
第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数微分学
多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。
在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。
在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。
而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。
多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。
用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。
首先，我们来看一下多元函数的导数。
多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。
偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。
用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。
全导数可以用向量∇f表示。
接下来，我们来看一下多元函数的微分。
微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。
多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。
在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。
方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。
梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。
方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。
最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。
在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。
例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。
总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。
第6章 多元函数微分学
6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )
多元函数微分学
多元函数微分学一：全微分函数在处可微的充分条件：(,)z f x y =00(,)x y ''22(,)(,)()()x y z f x y x f x y y x y ∆-∆-∆∆+∆22()()0x y ∆+∆→当时是无穷小量222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例1：函数在[(0,0)(0,0)]()x y z f x f y o ρ∆-∆+∆＝（0，0）处是否可微？0(0,0)(0,0)lim x y z f x f yρρ→∆-∆-∆22222201[()()]sin ()()lim ()()x y x y x y ρ→∆+∆∆+∆=∆+∆0=即函数f (x , y )在原点(0,0)可微.sin 2yz y x e μ=++例2：计算的全微分11,cos ,22yz yz u u y u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂解：1(cos )22yz yz y du dx ze dy ye dz =+++所求全微分：二：复合函数求偏导1、偏导数求法(1) 求关于x的偏导数，把z=f (x , y) 中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2) 求关于y的偏导数，把z=f (x , y) 中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.2：链式法则的几种情况：1:),(,),(,),(,)x y x y x y z f u f v f w x u x v x w xz f u f v f w y u y v y w yμυωμμυυωω===∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂中间变量多于两个的情况：设z=f(,,''2:),(,)(),()x y z f u u z f u u f u f u x u x x y u y yμμμ=∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂中间变量只有一个的情况：设z=f(3:,),(),(),v x v v x z x z f u f v x u x u xμμμ==∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂自变量只有一个的情况：设z=f(则是的一元复合函数，它对x 的导数称为全导数，有(,,),(,),(,),,z f x y t x x s t y y s t z f x f y z f x f y f s x s y s t x t y t t===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4:设则例3：).1())),(,(,()(,)1,1(,)1,1(,1)1,1(,),(2ϕϕ'=='='=求，可微x x f x f x f x b f a f f y x f y x解⋅='))),(,(,(2)(x x f x f x f x ϕ⋅'+'))),(,(,())),(,(,({21x x f x f x f x x f x f x f ⋅'+')),(,()),(,([21x x f x f x x f x f ))]},(),((21x x f x x f '+')]}([{12)1(b a b a b a +++⋅⋅='ϕ)(232b ab ab a +++=解：3个方程, 4个变量的方程组,)(),(),(x z z x y y x u u ===确定3个1元函数:方程组两边对x 求导=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=xz h z d d ⋅+0=⎪⎩⎪⎨⎧===.0),(,0),,(),,()(z x h z y x g y x f u x u 由方程组设函数例4：,0,0,≠∂∂≠∂∂zh y g 且所确定.d d x u 求=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +)1(x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=)2(x z h z d d ⋅+0=)3(代入可得：d d y x y z x x y y zf g f g h u f x g g h ⋅⋅⋅=-+⋅三：高阶偏导定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．215()(),y z z f xy xf f y x x y ∂=+∂∂例：有连续二阶偏导数，求'()'()'()z y y y f xy f f x x x x ∂=+-∂解：2()z z x y y x ∂∂∂=∂∂∂∂11''()''()'()''()y y y y xf xy f f f x x x x x x=+--22222222(0,0)(0,0)22(),06:(,),|,|0,0xy x y x y f f f x y x y x y y x x y ⎧-+>∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪+=⎩例求22232222222222()(3)2(),0()0,0x y x y y x y x y x y f x y x x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩解：2(0,)(0,0)(0,0)0|||lim 1y y f f f x x x y y →∂∂-∂∂∂==-∂∂22322222222222()(3)2(),0()0,0x y x xy xy x y x y f x y y x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩(,0)(0,0)2(0,0)0|||lim 1x y f f f y y y x x→∂∂-∂∂∂==∂∂注：对不连续的函数求导，用定义法四：隐函数求导1：一个方程的情况:1．1 显化法:(一元隐函数）把一元隐函数化为显函数后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即(,)0F x y =()y y x ='()xdy dy x y dx dx==2'ln()0,(x y x xy y x+-=例7：设求一元隐函数）22ln()x y y x xy xy e x x -=--⇒-=21x e y x x -⇒=-利用显函数求导方法，有：22222'211(12)(12)11()()x x x e x y x x y x x x x -----==--1．2公式法: .x yF dy dx F =-1．3对数求导法:80,,x zz z z y x y ∂∂-=∂∂例：设求（多元隐函数）ln ln x zz y x z z y ==解：原方程可化为，方程两边同时取对数得:2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2：方程组的情况：2.1直接对方程两边求偏导，再解关于偏导数的方程sin ,,cos uu x e u v u u x y y e u v ⎧=+∂∂⎪⎨∂∂=-⎪⎩例9：设求1sin cos 0s cos (sin )u u x u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂两个方程两边关于求偏导，得：(1)(2)(1)sin (2)cos v v v x ∂⨯-⨯∂，消去得22sin (sin cos )(sin cos )uu u v e v v v v x x ∂∂=-++∂∂sin 1sin cos u u u v x e v e v∂=∂+-同理可求：cos 1sin cos u u u v y e v e v∂-=∂+-Thanks for your listening!。
多元函数微分学
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C .
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
x
(
x4
f1
x2
f2)
4 x3 f1
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f
22
(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4 yf11
yf
22
.
例4 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
(
f
,
具有一阶连续偏导数
)，且
z
0, 求
du . dx
解
du dx
f x
f y
dy dx
f z
dz dx
,
显然 dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2 ,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(
2
x
1
esin x
cos
x
2
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
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线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
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记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
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证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
多元函数微分学
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
y
O
x
例 6 求二元函数 z ln(9 x2 y2 ) x2 y2 1的定
如果一个区域D 内任意两点之间的距离都不超过某 一常数M ，则称D 为有界区域，否则称 D 为无界区域．
常见区域有矩形域：a x b,c y d ,
圆域:(x x0 )2 ( y y0 )2 2 ( 0).
圆域 (x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 2 一般称为平面
上点P0 (x0 , y0 )的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域．
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 4 求二元函数 z a2 x2 y2 的定义域．
过 D 域中的任一点M (x, y) 作垂直于xOy 平面的有向线段
MP，使P 点的竖坐标为与(x, y)对应的函数值 z．当 M 点在
D中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数z f (x, y) 的几何
图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在
xOy 平面上的投影．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
O X
x
P
Y
y
MD
解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 x2 y2 a2的x, y, 即定义域为
多元函数微分学—全微分及其运用(高等数学课件)
典 型 例 题 讲 解
例2 求函数 z ( x y )e xy 在点（1，2）处的全微分.
z
解： e xy y ( x y )e xy (1 xy y 2 )e xy，
x
z
例2
e xy 求函数计算函数，在点（1，2）处的全微分。
x( x y )e xy (1 xy x 2 )e xy，
用公式(1):
z dz f x( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
二、典型例题讲解
例1 有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由20 cm 增大到
20.05 cm ，高由50 cm 增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.
解: 设圆柱体的半径、高和体积分别为 、ℎ 和, 它们的增量分别记为
多元函数的微分学
多元函数的全微分
知识点讲解
1.全微分的定义
2.可微、连续、可偏导之间的关系
3.全微分的求法
全微分的定义
1.全改变量
设函数 z f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,自变量、在0 、0
的改变量分别为 x, y ，全增量:
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
x
y
z
由公式知：求全微分的步骤如下：
1.求偏导数；
2.套公式得全微分.
f ( x, y )
典 型 例 题 讲 解
例1 求函数 z x 2 y xy 2 的全微分.
解:
z
z
2 xy y 2 , x 2 2 xy
x
y
dz (2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy.
多元函数微分学
多元函数微分学
多元函数微分学是研究多元函数多变量之间关系及其变化性质的
数学分支。
它不仅仅是研究函数的变化性质，而且它还为数学分析奠
定了坚实的基础。
利用多元函数微分学，我们能够描述和分析函数多
变量之间的关系，从而有效地定义和研究函数的变化性质。
多元函数微分学的基本原理是求导原理或微分原理，即对多元方
程求导，使用梯度来描述其变化性质，以及如何利用线性算法解决系
统的微分方程。
多元函数微分学的实际应用可以概括为数学物理学中
的各种多元函数场解和最优化问题，数学统计学中的概率分布估计，
模式识别和控制中的数学建模以及机器学习算法等等。
多元函数微分学是一门应用广泛，理论深入的数学学科，在解决
实际问题中发挥着重要作用，是工程数学中不可或缺的重要组成部分。
它不仅用于理解函数的变化性质，而且用于分析系统运行特征，找出
系统内因素的影响，并在做出有效的决策及其实现方式中发挥关键作用。
第六章-多元函数微分学基础
z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
第六单元 多元函数微分学
(应用题) 2)求 曲 面 z xy 在 点 (1, 2 , 2 ) 处 的 切 平 面 方 程 .
解
1)点 (1, 1, 1) 处 t 1, x t 1, y t 2 t , z t 3 t ,
' ' ' 2
当 t 1时 ， x t 1, y t 2 , z t 3, 切 线 方 向 为 (1, 2 , 3 )
lim
f ( x0 x , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) x
x 0
f x ( x , y ) lim
f ( x h, y ) f ( x, y ) h
h 0
2 z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ), 2 2 x x x y y y
y x
z.
证
1)
z x
f (
'
y x
)(
y x
2
)
y x
2
f (
'
y x
)，
z y
f (
'
)(
1 x
)
1 x
f (
'
y x
)，
x
z x
y
z y
xy x
2
f (
'
y x
)
y x
f (
'
y x
) 0.
16
z x
z x F ' 2
y z
11
3
3) 1 2 2 4
n1 {1, 2, 1}, n 2 {2, 4, 2} 2 n1 , n1 与 n 2 平 行 ， 而 1 -1 3 6 ，所以两平面不重合.
考研数学高数真题分类—多元函数微分学
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第六章多元函数微分学综述：本章是对⼀元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推⼴，主要考点是围绕偏导数的⼀系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要⼤于⼀元函数，考试在微分学中的⼤题⼀般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.本章的主要知识点有：⼆重极限的定义及其简单的性质，⼆元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，⽅向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平⾯，曲⾯的切平⾯与法线.其中学习的难点是⼆重极限、⼆元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这⼀部分考查的频率不⾼，且以⼩题为主，考⽣在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与⼀元函数的相关概念进⾏⽐较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应⽤上：⾸先，偏导数的计算与⼀元函数的求导并⽆本质区别，考⽣只需将⼀元函数求导的相关知识进⾏推⼴，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全⾯掌握了偏导数的计算⽅法之后，考⽣还需要掌握偏导数的各种应⽤，包括多元函数的极值（⽆条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平⾯、曲⾯的切平⾯与法线，对于它们，考⽣只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.⽅向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平⾯，6.空间曲⾯的切平⾯与法线.常考题型⼀：连续、偏导数与全微分1．【1994-1 3分】⼆元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）()A 充分条件⽽⾮必要条件()B 必要条件⽽⾮充分条件 ()C 充分必要条件()D 既⾮充分条件⼜⾮必要条件2．【1997-1 3分】⼆元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ?≠ += =?，，，在点(0,0)处（）()A 连续，偏导数存在 ()B 连续，偏导数不存在()C 不连续，偏导数存在()D 不连续，偏导数不存在3．【2002-1 3分】考虑⼆元函数(,)f x y 的下⾯4条性质，正确的是（）①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在()A ②?③?①()B ③?②?①()C ③?④?①()D ③?①?④4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极⼩值，则下列结论正确的是()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数⼤于零. ()C ),(0y x f 在0y y =处的导数⼩于零. ()D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.5．【2007-1 4分】⼆元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的⼀个充分条件是（）()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.()B 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.()C ((,)0,0lim0x y →=.()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→''''-=-=且. 6．【2008-3 4分】已知(,)f x y =()A (0,0)x f '，(0,0)y f '都存在()B (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()C (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?则使得1122(,)(,)f x y f x y <成⽴的⼀个充分条件是(A) 1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >> (C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =满⾜010x y →→=，则(0,1)dz=________。
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lim f (x, y) A或lim f (x, y) A
xx0
0
y y0
2.二元函数连续定义
定义 设函数f (x, y)在点P0 (x0, y0 )的某个邻域内有定义, P(x, y) 是邻域内的任意一点,如果
lim
xx0
f (x, y)
f (x0 , y0 )
y y0
则称函数f (x, y)在点P0 (x0 , y0 )连续.
2.全微分与偏导数的关系
定理 如果函数z f (x, y)的两个偏导数在点(x,y) 处存在且连续,则函数z f (x, y)在该点可微且.
dz
z x
dx
z y
dy
例 求函数z e2x sin y的全微分.
解
因为 z x
2e2 x
sin
y,
z y
e2 x
cos
y
所以dz 2e2x sin ydx e2x cos ydy e2x (2sin ydx cos ydy).
1
1 x y
解 要使式子有意义，则须1 x y 0
D: x y 1
y
x
2.二元函数的几何意义
已经知道,一元函数y f (x)的图形,是平面上的一条曲线; 对于二元函数z f (x, y)的图形,则为空间的一个曲面.
二 二元函数的极限和连续
1.二元函数极限定义
定义 设z f (x, y)在点P0 (x0 ,y0 )附近有定义[在点P0 (x0 ,y0 )可 以没有定义].如果当P(x, y)趋向点P0 (x0 ,y0 )时, 对应的函数值f (x, y) 总是趋向于一个确定的常数A,则称A为函数f (x, y)当x x0 , y y0 时的极限, 记作
x
y
所以
z x
(1,2)
312 6 1 2 15
z y
(1,2) 3 12 4 23 35
例2
设z
x sin(x
y), 求
z x
,
z y
.
解
z x
sin(x
y)
x
cos(
x
y),
z y
x cos(x
y)
四 全微分 1.全微分的定义
一元函数y f (x)在点x 处的微分是指,如果函数在x处的增 量y可以表示成y f '(x )x o(x)式中,o(x)是x高阶的无 穷小,则dy f '(x )x为函数y f (x)在点x 处的微分. 类似地,二元函数全微分的定义如下.
z Fx
x
Fz
z Fy
y
Fz
例
设x 2
y2
z2
4
z,
求
z x
,
z y
.
解 令F (x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2(z 2),
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z y
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zy (x0 ,y0 )或f y (x0 ,y0 )等.
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数
都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y)
第六章 多元函数微分学
一 多元函数的概念 二 二元函数的极限和连续 三 偏导数 四 全微分 五 复合函数的偏导数 六 隐函数的偏导数 七 二阶偏导数 八 二元函数的无条件极值
一 多元函数的概念
1.二元函数的定义
定义 设有变量x,y,z,如果当变量x,y,在一定范围内任意 取定一对数值时,变量z按照一定法则,总有惟一确定的数值 与之对应,则称z是x, y的二元函数,记作z f (x, y)
,
如果极限
lim
x0
f
( x0
x, y0 ) x
f
(x0 ,y0 )
存在,则称此极
限值为函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对x的偏导数,记作
z x
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zx (x0 ,y0 )或fx (x0 ,y0 )等
同样,函数z f (x, y)在点(x0 ,y0 )处对y的偏导数定义为
定义 如果二元函数z f (x, y)在点(x , y )处的全增量
z f (x , y y) f (x, y) Ax By o( )
其中，A、B与x、y无关，（ o ）是比 x2 y2 较高阶的无穷小量.
则称 : dz df (x, y) Ax By
是z f (x, y)在点x, y处的全微分.
对自变量x的偏导函数.记作
z x
,f x
,
zx或f
x
(
x,
y)
同样,函数z f (x, y)对自变量y的偏导函数记作
z y
,f y
,
z y或f
y
(
x,
y)
偏导函数也简称为偏导数.
例1 求函数z x3 3x2 y y4 2在点(1,2)处的两个偏导数.
解 因为 z 3x2 6xy, z 3x2 4 y3
五 复合函数的偏导数
设： z f (u,v),u u(x, y),v v(x, y)
z f u(x, y),v(x, y)
则： z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
例2 设z ex2 y ,而x sin t, y t 3 , 求 dz . dt
解 由公式得
dz z u z y ex2 y cos t 2ex2 y 3t 2 dt u t y t
ex2 y (cos t 6t 2 ) esint2t3 (cos t 6t 2 )
六 隐函数的偏导数
设z f (x, y)是由方程F(x, y, z) 0惟一确定的隐函数,
如果Fx , Fy , Fz连续,且Fz 0,则隐函数的两个偏导为：
三 偏导数 1.偏导数的定义及求法
对于二元函数z f (x, y),若固定y,只让x变化,则z就成为x 的一元函数,比如说, z f (x, y0 ).这样的一元函数对x的导数 就称为二元函数z对x的偏导数.
定义 设函数z f (x, y)在点(x0,y0 )的某一个邻域内有定义.
固定y
y0
式中,x, y叫作自变量; z叫作因变量.x, y的变化范围叫作函数
的定义域. 记为：D( f ) 类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n元函数统称为多元函数.
例 求下列函数的定义域：
（1）z xy
解 由于根式函数，要求偶次方根好下的被开方式
必须大于或等于0 D : xy 0
y
o
x
（2）z