17第六章多元函数微分学

第六章 多元函数微分学
一 多元函数的概念 二 二元函数的极限和连续 三 偏导数 四 全微分 五 复合函数的偏导数 六 隐函数的偏导数 七 二阶偏导数 八 二元函数的无条件极值
一 多元函数的概念
1.二元函数的定义
定义 设有变量x,y,z,如果当变量x,y,在一定范围内任意 取定一对数值时,变量z按照一定法则,总有惟一确定的数值 与之对应,则称z是x, y的二元函数,记作z f (x, y)
五 复合函数的偏导数
设： z f (u,v),u u(x, y),v v(x, y)
z f u(x, y),v(x, y)
则： z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
例2 设z ex2 y ,而x sin t, y t 3 , 求 dz . dt
,
如果极限
lim
x0
f
( x0
x, y0 ) x
f
(x0 ,y0 )
存在,则称此极
限值为函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对x的偏导数,记作
z x
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zx (x0 ,y0 )或fx (x0 ,y0 )等
同样,函数z f (x, y)在点(x0 ,y0 )处对y的偏导数定义为
三 偏导数 1.偏导数的定义及求法
对于二元函数z f (x, y),若固定y,只让x变化,则z就成为x 的一元函数,比如说, z f (x, y0 ).这样的一元函数对x的导数 就称为二元函数z对x的偏导数.
定义 设函数z f (x, y)在点(x0,y0 )的某一个邻域内有定义.
固定y
y0
1
1 x y
解 要使式子有意义，则须1 x y 0
D: x y 1
y
x
2.二元函数的几何意义
已经知道,一元函数y f (x)的图形,是平面上的一条曲线; 对于二元函数z f (x, y)的图形,则为空间的一个曲面.
二 二元函数的极限和连续
wenku.baidu.com1.二元函数极限定义
定义 设z f (x, y)在点P0 (x0 ,y0 )附近有定义[在点P0 (x0 ,y0 )可 以没有定义].如果当P(x, y)趋向点P0 (x0 ,y0 )时, 对应的函数值f (x, y) 总是趋向于一个确定的常数A,则称A为函数f (x, y)当x x0 , y y0 时的极限, 记作
解 由公式得
dz z u z y ex2 y cos t 2ex2 y 3t 2 dt u t y t
ex2 y (cos t 6t 2 ) esint2t3 (cos t 6t 2 )
六 隐函数的偏导数
设z f (x, y)是由方程F(x, y, z) 0惟一确定的隐函数,
如果Fx , Fy , Fz连续,且Fz 0,则隐函数的两个偏导为：
定义 如果二元函数z f (x, y)在点(x , y )处的全增量
z f (x , y y) f (x, y) Ax By o( )
其中，A、B与x、y无关，（ o ）是比 x2 y2 较高阶的无穷小量.
则称 : dz df (x, y) Ax By
是z f (x, y)在点x, y处的全微分.
2.全微分与偏导数的关系
定理 如果函数z f (x, y)的两个偏导数在点(x,y) 处存在且连续,则函数z f (x, y)在该点可微且.
dz
z x
dx
z y
dy
例 求函数z e2x sin y的全微分.
解
因为 z x
2e2 x
sin
y,
z y
e2 x
cos
y
所以dz 2e2x sin ydx e2x cos ydy e2x (2sin ydx cos ydy).
x
y
所以
z x
(1,2)
312 6 1 2 15
z y
(1,2) 3 12 4 23 35
例2
设z
x sin(x
y), 求
z x
,
z y
.
解
z x
sin(x
y)
x
cos(
x
y),
z y
x cos(x
y)
四 全微分 1.全微分的定义
一元函数y f (x)在点x 处的微分是指,如果函数在x处的增 量y可以表示成y f '(x )x o(x)式中,o(x)是x高阶的无 穷小,则dy f '(x )x为函数y f (x)在点x 处的微分. 类似地,二元函数全微分的定义如下.
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z y
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zy (x0 ,y0 )或f y (x0 ,y0 )等.
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数
都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y)
lim f (x, y) A或lim f (x, y) A
xx0
0
y y0
2.二元函数连续定义
定义 设函数f (x, y)在点P0 (x0, y0 )的某个邻域内有定义, P(x, y) 是邻域内的任意一点,如果
lim
xx0
f (x, y)
f (x0 , y0 )
y y0
则称函数f (x, y)在点P0 (x0 , y0 )连续.
式中,x, y叫作自变量; z叫作因变量.x, y的变化范围叫作函数
的定义域. 记为：D( f ) 类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n元函数统称为多元函数.
例 求下列函数的定义域：
（1）z xy
解 由于根式函数，要求偶次方根好下的被开方式
必须大于或等于0 D : xy 0
y
o
x
（2）z
对自变量x的偏导函数.记作
z x
,f x
,
zx或f
x
(
x,
y)
同样,函数z f (x, y)对自变量y的偏导函数记作
z y
,f y
,
z y或f
y
(
x,
y)
偏导函数也简称为偏导数.
例1 求函数z x3 3x2 y y4 2在点(1,2)处的两个偏导数.
解 因为 z 3x2 6xy, z 3x2 4 y3
z Fx
x
Fz
z Fy
y
Fz
例
设x 2
y2
z2
4
z,
求
z x
,
z y
.
解 令F (x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2(z 2),