高阶变系数线性微分方程

由数学归纳法可以证明：
x3 y D(D 1)(D 2) y
xn y(n) D(D 1)(D 2)(D n 1) y 。
例1 求方程 x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解.
解 这是三阶欧拉方程，令 x e，t 原方程化为
D(D 1)(D 2) y D(D 1) y 4Dy 3e2t，
高阶变系数线性微分方程
一、常数变异法 二、欧拉方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、常数变易法
复习: y p(x) y f (x)
y1(x) e p( x) d x
对应齐次方程的通解: y C y1(x)
常数变易法: 设非齐次方程的解为 y y1(x) u(x)
代入原方程确定 u(x).
对二阶非齐次方程
y P(x) y Q(x) y f (x)
作代数运算后，得
D3 y 2D2 y 3Dy 3e2 ，t
即
d3 y dt3
2
d2 dt
y
2
3dd
y t
3e2 ，t
(1)
这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
特征方程 3 22 3 0， 特征根 1 0， 2 1， 3 3 ,
方程 (1) 对应的齐方程的通解为
y C1 C2e t C3e3t。 由于 f (t ) 3e2 ，t 2， n 0，且 2 不是 特征根，故
v1 C1 x, v2 C2 (x 1)e x
故所求通解为 y C1x C2ex (x2 x 1) C1x C2ex (x2 1)
例2. 求方程 x2 y ( x 2)( x y y) x4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x2 y ( x 2)( x y y) 0
只有一个必须满足的条件即方程①, 因此必需再附加 一 个条件, 方程③的引入是为了简化计算.
情形2. 仅知①的齐次方程的一个非零特解
y1(x).令 y u(x) y1(x) , 代入 ① 化简得
y1 u (2 y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f 令 z u
y1 z (2y1 P y1 ) z f (一阶线性方程)
由观察可知它有特解: y1 x , 令 y xu( x), 代入非齐次方程后化简得
u u x (二阶常系数非齐次方程) 此题不需再作变换. 特征⑤根: r 0, r 1,
设⑤的特解
u x( Ax B)
为 代入⑤可 得: 于是得⑤的通 解: 故原方程通
A
1 2
,
B 1
u C1 C2ex (12x2 x)
设其通解为 z C2Z (x) z (x)
积分得
u C1 C2U (x) u (x)
由此得原方程①的通解:
y C1y1(x) C2U (x) y1(x) u (x) y1(x)
例1. 已知齐次方程 (x 1) y x y y 0 的通解为
Y C1x C2ex , 求(x 1) y x y y (x 1)2 的通解. 解: 将所给方程化为: y x y 1 y x 1 x 1 x 1 令 y xv 1( x) e xv2(x), 利用③, ④建立方程 xv1 exv2 0 组: v1 exv2 x 1 解得 v1 1, v2 x ex , 积分得
Dk dk ( k 1, 2,) 。 d tk
Dk
y
dk dt
y
k
令 x et，则有
y d y d y d t 1 d y ， dx dtdx xdt
xy Dy
y d2 y 1 d2 y d y ， d x2 x2 dt2 dt
x2 y D(D 1) y
y d3 y 1 d3 y 3 d2 y 2 d y ， d x3 x3 d t3 d t2 d t
y1v1 y2v2 0
③
于是 y y1 v1 y2 v2 y1v1 y2v2
将以上结果代入方程 ①:
y1, y2 是对应
齐次方程的解
y1v1 y2v2 (y1 P y1 Q y1 )v1
( y2 P y2 Q y2 )v2 f (x)
得
y1v1 y2v2 f (x)
④
因 y1, y2 线性无关, 故③, ④的系数行列
y xu C1x C2 x ex (21 x3 x2)
二、欧拉方程
形如
xn y( n) p xn1 y( n1) 1
p n1
xy
pn y
f (x)
的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 pi ( i 1, 2,,n ) 为常数。
令 x et
关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
引入算子记号：
①
一、常数变易法
情形1. 已知对应齐次方程通解: y C1 y1(x) C2 y2 (x)
设①的解 为
y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x) ② (v1(x),v2 (x)待定)
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
y y1v1 y2v2 y1 v1 y2 v2
为使 y中不含 v1,v2 , 令
式
W
y1 y1
y2 y2
0
于是得
v1
1 W
y2
f
,
v2
1 W
y1 f
积分得:
v1 C1 g1(x), v2 C2 g2 (x)
代入② 即得非齐次方程的通解:
y C1y1 C2 y2 y1g1(x) y2 g2 (x)
说明: 将①的解设为
y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x)
y* b0e2 t
为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得
( 8 b 8b 6b )e2 t e2，t
0
0
0
从而
b0
1， 2
y* 1 e2 t。 2
故原欧拉方程的通解为
y y y* C C e t C e3 t 1 e2 t
1
2
3
C1
C
2
1 x
C3
x
3
1 2
x2。
2