高阶变系数线性微分方程
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
高阶常系数线性微分方程【精选】
特征方程的根
微分方程通解中的对应项
单实根r
给出一项: Cerx
一对单虚数根r1,2 i 给出两项: e x (C1 cos x C2 sin x)
k重实根r
给出k项: ( C1 C2 x Ck xk1 ) er x
一对k重虚数根
r1,2 i
给出2k项:
e x[ ( C1 C2 x ( D1 D2 x
Ck xk1 )cos x Dk xk1 )sin x ]
15
例6 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
10
总之 y py qy 0， r 2 pr q 0
特征根情况
通解的表达式
实根r1 r2
y C1e r1x C2e r2 x
实根 r1 r2 r y (C1 C2 x)erx
复根r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
4
10-5 高阶常系数线性微分方程
定义 在n阶线性方程y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y f ( x)中,
如果未知函数y及其各阶导数y, y, , y(n)的系数全都是常数时,
则称该方程为常系数线性微分方程. 一般形式 : y(n) p1 y(n1) p2 y(n2) pn1 y pn y f ( x),
练习：设y e x (C1 sin x C2 cos x) (C1、C1为任意常数)
常微分方程论文_高阶变系数微分方程的求解
高阶变系数微分方程的求解探讨摘要：本文探讨了高阶变系数微分方程的求解方法，通过对系数的变化和一些巧妙方法的运用，使得变系数方程也能求得通解，补充了我们所学的空白之处。
关键词：常微分方程；通解；变系数方程；高阶方程； 前言：我们已经学习了二阶及高阶常微分方程的求解，其中包含了可降阶的微分方程求解，线性微分方程的通解结构和求通解的方法，不过在实际应用的时候，我们会发现大多数要求解通解的方程都是变系数的，这个带给我们新的思考，如何才能求解高阶变系数微分方程。
本文从二阶线性变系数微分方程说起，通过一定的变量代换将二阶变系数微分方程的通解求出，然后扩展到三阶，四阶以及更高阶的变系数微分方程求解，文章的最后还给出了一种在解题过程中的小窍门供各位参考一用。
一 二阶变系数线性微分方程的探讨首先，我们知道二阶非变系数齐次线性微分方程的基本形式形如012'''0a x a x a x ++=,所以我们可以将变系数的二阶线性微分方程的表达式先粗略地归类为012()''()'()0a t x a t x a t x ++=。
我们自然而然地会去想如何才能将()a t 这些变系数化为常系数，这样方程就能解出来了。
这里采用的方法的是变量代换的方法，将()a t 通过变量代换转化到x 中去，从而得到一个新的变量z 。
下面给出具体的代换方法：首先，我们给出这样的变换：()x z t ϕ=。
而我们之前想要的式子形式是012'''0a z a z a z ++=，所以我们将()x z t ϕ=代入原方程中。
得到00()''()(())''a t x a t z t ϕ=00()((())')'()('()'())'a t z t a t z t z t ϕϕϕ==+0()(''()2''()''())a t z t z t z t ϕϕϕ=++同理可得11()'()(())'a t x a t z t ϕ=1()('()'())a t z t zt ϕϕ=+22()()()a t x a t z t ϕ=分别关于/'/''z z z 进行整理可得00()()''''a t t z a z ϕ=011[2()'()()()]''a t t a t t z a z ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t z a z ϕϕϕ++=由上面三个式子左右两侧同时约去z 我们可以得出00()()a t t a ϕ=011[2()'()()()]a t t a t t a ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t a ϕϕϕ++=所以只要通过上述的变化，将变量换成z ，并得到三个系数，便可以将原来的那个方程化为我们所熟悉的线性非变系数微分方程012'''0a z a z a z ++=，然后通过这个式子解出来关于z 的通解，之后再讲x 代入式子中，便能得到关于x 的通解，至此问题就被解决了，而对于二阶变系数非齐次线性微分方程而言，只要先利用上述方法求出对应的齐次方程的通解，然后按照我们之前所学利用常数变易法得出方程的解即可。
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
高阶线性微分方程
"丿第51讲高阶线性微分方程一一线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程
y" + p(x)y' + q(x)y = 0
(*)
定理1若函数和y2(x)是二阶齐次线性方程(*)的两个解, 则它们的线
性组合y =。1无3) +。2光3 )也是该方程的解，其中 和C2是任意常
数.--叠加原理
(CM ++ P(Gyi + C2y^ + q(Ciyi + C2y-^
例1 (1)函数1, COs2的sin2%在整个实轴冊上是线性相关的函数.
(2)函数1, x, x2在任何区间QM)都是线性无关的.
＞两个函数在区间/上线性相关与线性无关的充要条件： %3)，，2(乂)线性相关 存在不全为0的k 1, k2,使
313) + *2,2 3)三 0
% 3) 短 ，亠
布三—稣(无妨设* 1葺)
1)+ …+ Qn_i(x)y' + Qn3)y = f(x) 二阶
线性微分方程
y〃 + p(x)y' + q(x)y = f(x)
— 「 、 「一阶线性方程y' + p(x)y = q(x)的通解为：
[p(X)dX -[p(X)dX
/
[p(X)dX y =
Ce， + q(X)e dX
ft
____
齐次方程通解丫 非齐次方程特解y *
=(。1无"+。2,2〃) + 0(Ciyi' +。2、2‘) + q(Cl、l +。2、2)
B=+ py/ + qyi) + py^ + q，2)= o
微分方程要点概要
4、 全微分方程（恰当方程 ）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解 得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根； 其中k １ ， 若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
添加标题
添加标题
汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
高阶变系数线性微分方程可解的充分条件
Ｐ１
—
３ ） （ ＋ ２
） ＋ Ｐ３＋
ｃ －
Ｃ２Ｃａ
鲁 （） ） 鲁 ＋ Ｐ 一 ）ｃ３ 。 ＋ ＋ 一
则方 程 （ ）可通过 变换 — 一 （。 Ｐ ） 转化 为 ５ ｃ 一
４பைடு நூலகம்
＋ ｆ ＋ ３
４ ｆ 一ｆ（ ） Ｐ （ ≠ Ｏ －ｌ ｘ ／ ４ Ｐ４ ）
Ｙ 一 ＋ “
（） １
１ ２， ） ， …
＋ （ ｕ ４ ） ４ （ ４ ５ ｕ ４ 。 ４ ［ ４ ３ 甜） － ４ ｕ － ６ ４ ／ ］ ３ － － ３ － ｕ － ） － 甜 － （ ４ ｕ ４ ｕ － Ａ ４
、 ”、 、 、 ｚ … ｚ 、 Ｙ线性 表示 ， 表示 规 律如 下 ：
．
（ ）在 Ａ ｊ ２ ）中： 一０（ 日 ＞ ） ＋） — ｆ Ｉ （ 一 １ ２ … ， ， 定 ｃ ； Ｊ 一ｆ ｌ ｆ ， ， ） 规 一１ 一ｏ ， ． （ ）由 ａ （ ３ ｉ 一１ ２ … ， Ｊ一 １ ２ … ， ） 成一 个 ｎ阶方 阵 Ｂ ｊ ， ， ； ，， ， 构 ｚ 一 （ ， 方阵关 于 副对 角线对 称． ｎ） 该
过 变 换 ＝ 一 （一 一 ＝ ＝ ｃ
ｚ一 ＋ ｆ （
） ． 化 为 ｙ转
＋… ＋ｆ ＋ｆ ２ １ — ｆ ｘ） Ｐ （ ／ （ Ｐ ≠ Ｏ （ ） 忌一 ０， ， ， ， １ 一 １ ２ … ， （ ０ １ ２ … ”一 ； ， ， ） １ ）
以 下陈 述 被 （ ｎ１ ｃ ＿ ）… 与常数 １ Ｐ 线性 表 出 的表 示 系数要 求 满足 的规 律 （ 一ｏ １ ２ … ， ｌｍ＝ｌ 志 ， ， ， — ； ，
系数 线 性 微 分 方 程 的 一 个 新 的 可 积 类 型 ， 后 给 出 了相 应 的 实例 ． 最
高阶常系数线性微分方程、欧拉方程 ppt课件
故当特征方程有一对共轭复根
1 i ，2 i
时，原方程的通解可表示为
y e x (C1 cos x C2 sin x) 。
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10
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程
y p y q y 0
x
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k 移项，并记 a ，则有 m
2
它能正确描述 我们的问题吗？
d2 x 2 a x 0 ， (a 0) 。 2 dt 记拉长后，突然放手的时刻为 t 0，则有初始条件：
初始位移 x
t 0
x0 ，
初始速度
dx dt
0。
t 0
我们要找的规律是下列初值问题的解：
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
3) 特征方程有一对共轭复根：1 i ，2 i ，则
y1 e1x e( i ) x， y2 e2 x e( i ) x
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为
y C1 y1 C2 y2 C1e ( i ) x C2 e ( i ) x。
开始拉长， 当点 O 的位移为 x x0 时， 突然放手， 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
解
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。 （ 恢复力与运动方向相反 ）
O
x0
由牛顿第二定律，得
d2 x m 2 k x 。 dt
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高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
高阶线性微分方程
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分 布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值 解法
对于难以找到解析解的非线性微 分方程，数值方法成为求解的主 要手段，如有限元法、有限差分 法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定 义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方 程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛 应用于物理、工程、经济等领域。高阶 线性微分方程作为微分方程的一种特殊 类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解， 则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解， 则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应齐次方程的通解加上一个特解。
变系数线性微分方程
变系数线性微分方程在微积分学中，我们学习了线性微分方程。
其中最常见的是一阶线性微分方程，它可以写成下面这个形式：$$y' + p(x)y = q(x)$$这个方程可以通过积分因子法来求解。
但是有时候，我们遇到的微分方程中的$p(x)$和$q(x)$并不是常数，而是$x$的函数。
这时候我们就需要考虑变系数线性微分方程：$$y'(x) + p(x)y(x) = q(x)$$这个方程的求解比较困难，但是它的解法和一阶常系数线性微分方程的解法有很多相似之处。
首先，我们需要找到一个积分因子来消掉$p(x)$的影响。
这个积分因子可以写成一个函数$u(x)$的指数形式，即$u(x)^{-p(x)}$。
将$y(x)$乘以这个积分因子，得到：$$u(x)^{-p(x)}y'(x) + u(x)^{-p(x)}p(x)y(x) = u(x)^{-p(x)}q(x)$$这个方程的左边可以写成乘积法的形式：$$(u(x)^{-p(x)}y(x))' = u(x)^{-p(x)}q(x)$$我们可以对两边同时积分，得到:$$u(x)^{-p(x)}y(x) = \int u(x)^{-p(x)}q(x)dx + C$$其中$C$是一个常数，可以通过初始条件来确定。
这个方程的解法比较复杂，需要先找到一个合适的积分因子，然后解一个一阶常系数微分方程。
但是它的解法也有一些特殊情况。
当$p(x)$和$q(x)$都是多项式函数或者指数函数时，可以使用常数变易法。
这种方法是假设$y(x)$是一个与$x$有关的常数$C$的函数，然后将这个函数$C$代入原方程中，得到一个关于$C$的代数方程，通过求解这个方程来得到$y(x)$的表达式。
另外一种情况是当$p(x)$和$q(x)$都是三角函数、指数函数或者多项式函数的乘积时，可以使用待定系数法。
这种方法是假设$y(x)$是一个多项式函数的形式，然后将这个多项式函数代入原方程中，通过求解多项式系数来得到$y(x)$的表达式。
高等数学高阶线性微分方程
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
第四章-4.1线性微分方程的一般理论
推论 若函数组x1 (t ), x2 (t ) , xn (t )的Wronsky行列式
在区间 [a, b]上某点t0处不等于零,即W (t0 ) 0, 则该函 数组在[a, b]上线性无关 .
(2)定理4 如果方程(4.2)的解x1 (t ), x2 (t ) , xn (t )在区间
a t b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在 [ a, b] 上任何点都不等于零 ,即W (t ) 0(a t b)
解： c1 1, c2 1, c3 1
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t ) sin 2 t cos2 t 1 0, t ( , )
12
例3 函数组 1, t, t ,, t , 线性无关。 分析：我们假设存在
2 n
2
n
t [a, b]
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0
对于所有 t [a, b] 都成立，则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数在区间[a,b]上是线性无关的。
11
例2
考虑函数组的线性相关性
x1(t ) sin2 t, x2 (t ) cos2 t, x3 (t ) 1, t (, )
8
证明: 由于xi (t )(i 1,2,k )是方程(4.2)的k个解
故有
d n xi (t ) d n1 xi (t ) a1 (t ) an (t ) xi (t ) 0 n n 1 dt dt i 1,2, k
n n 1
上面的k个等式中 , 第i个乘ci , 然后相加得
其系数行列式为W (t0 ) 0 , 故它有非零解 c1 , c2 ,cn ,
高阶线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2( x) 的特解, 那么 y1 y2 就是原方程的特解.
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.
是(2)的通解.
如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x 是两个解,
且
y2 y1
tan x
常数, 通解 y C1 cos x C2 sin x.
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程.
推论 如果函数y1( x), y2( x),, yn( x) 是n 阶齐次 线性方程
y(n) P1( x) y(n1)P( x) y Q(x) y f (x) (1)
两个解, 那么, y y1 y2就是齐次线性微分方程
y P(x) y Q(x) y 0
的一个解.
（2）
思考题 已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
都是微分方程
( x2 2x) y ( x2 2) y (2x 2) y 6x 6
的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x),
其中 C1,C2 ,,Cn 为任意常数.
y P( x) y Q( x) y 0 (2)
3. 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (1)
称为二阶线性齐次微分方程. n阶线性微分方程的一般形式为 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x).
高阶线性微分方程的一般理论
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
2 c t 1 c2 0 0 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 2 c 0 c t 0 2 1
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
2019/3/9 6 常微分方程 -重庆科技学院-李可人
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
/General Theory of Higher-Order Linear ODE/
本节要求/Requirements/
理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构
理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构
5
2019/3/9
常微分方程-重庆科技学院-李可人
4.1.1 引言 /Introducation/
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
高阶变系数微分方程的解
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微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解
微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解高阶变系数线性偏微分方程的求解方法之一是分离变量法。
我们以二阶变系数线性偏微分方程为例进行说明。
设二阶变系数线性偏微分方程为：\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]其中，\(a(x,y)\)，\(b(x,y)\)，\(c(x,y)\)为已知函数，\(f(x,y)\)为已知的具有连续二阶偏导数的函数。
设\(u(x,y)\)是该方程的解，根据分离变量法的思想，我们假设可以通过分别定义两个函数\(X(x)\)和\(Y(y)\)来求解该方程，即：\(u(x,y)=X(x)Y(y)\)。
将\(u(x,y)=X(x)Y(y)\)代入原方程，得到\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]将上式展开，得到\[a(x,y)X''(x)Y(y)+2b(x,y)X'(x)Y'(y)+c(x,y)X(x)Y''(y)=f(x,y) \]再将上式变形，得到\[ \frac{{a(x,y)X''(x)}}{{X(x)}} +2\frac{{b(x,y)X'(x)}}{{X(x)}}\frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\frac{{c(x,y)Y''(y)}}{{Y(y)}} = \frac{{f(x,y)}}{{X(x)Y(y)}} \]观察上式，可以发现等式左边的第一项和第三项只与\(x\)有关，而第二项只与\(y\)有关。
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y1v1 y2v2 0
③
ห้องสมุดไป่ตู้
于是 y y1 v1 y2 v2 y1v1 y2v2
将以上结果代入方程 ①:
y1, y2 是对应
齐次方程的解
y1v1 y2v2 (y1 P y1 Q y1 )v1
( y2 P y2 Q y2 )v2 f (x)
得
y1v1 y2v2 f (x)
④
因 y1, y2 线性无关, 故③, ④的系数行列
作代数运算后，得
D3 y 2D2 y 3Dy 3e2 ，t
即
d3 y dt3
2
d2 dt
y
2
3dd
y t
3e2 ，t
(1)
这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
特征方程 3 22 3 0， 特征根 1 0， 2 1， 3 3 ,
方程 (1) 对应的齐方程的通解为
y C1 C2e t C3e3t。 由于 f (t ) 3e2 ，t 2， n 0，且 2 不是 特征根，故
只有一个必须满足的条件即方程①, 因此必需再附加 一 个条件, 方程③的引入是为了简化计算.
情形2. 仅知①的齐次方程的一个非零特解
y1(x).令 y u(x) y1(x) , 代入 ① 化简得
y1 u (2 y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f 令 z u
y1 z (2y1 P y1 ) z f (一阶线性方程)
y* b0e2 t
为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得
( 8 b 8b 6b )e2 t e2，t
0
0
0
从而
b0
1， 2
y* 1 e2 t。 2
故原欧拉方程的通解为
y y y* C C e t C e3 t 1 e2 t
1
2
3
C1
C
2
1 x
C3
x
3
1 2
x2。
2
由观察可知它有特解: y1 x , 令 y xu( x), 代入非齐次方程后化简得
u u x (二阶常系数非齐次方程) 此题不需再作变换. 特征⑤根: r 0, r 1,
设⑤的特解
u x( Ax B)
为 代入⑤可 得: 于是得⑤的通 解: 故原方程通
A
1 2
,
B 1
u C1 C2ex (12x2 x)
高阶变系数线性微分方程
一、常数变异法 二、欧拉方程
一、常数变易法
复习: y p(x) y f (x)
y1(x) e p( x) d x
对应齐次方程的通解: y C y1(x)
常数变易法: 设非齐次方程的解为 y y1(x) u(x)
代入原方程确定 u(x).
对二阶非齐次方程
y P(x) y Q(x) y f (x)
设其通解为 z C2Z (x) z (x)
积分得
u C1 C2U (x) u (x)
由此得原方程①的通解:
y C1y1(x) C2U (x) y1(x) u (x) y1(x)
例1. 已知齐次方程 (x 1) y x y y 0 的通解为
Y C1x C2ex , 求(x 1) y x y y (x 1)2 的通解. 解: 将所给方程化为: y x y 1 y x 1 x 1 x 1 令 y xv 1( x) e xv2(x), 利用③, ④建立方程 xv1 exv2 0 组: v1 exv2 x 1 解得 v1 1, v2 x ex , 积分得
①
一、常数变易法
情形1. 已知对应齐次方程通解: y C1 y1(x) C2 y2 (x)
设①的解 为
y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x) ② (v1(x),v2 (x)待定)
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
y y1v1 y2v2 y1 v1 y2 v2
为使 y中不含 v1,v2 , 令
Dk dk ( k 1, 2,) 。 d tk
Dk
y
dk dt
y
k
令 x et，则有
y d y d y d t 1 d y ， dx dtdx xdt
xy Dy
y d2 y 1 d2 y d y ， d x2 x2 dt2 dt
x2 y D(D 1) y
y d3 y 1 d3 y 3 d2 y 2 d y ， d x3 x3 d t3 d t2 d t
v1 C1 x, v2 C2 (x 1)e x
故所求通解为 y C1x C2ex (x2 x 1) C1x C2ex (x2 1)
例2. 求方程 x2 y ( x 2)( x y y) x4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x2 y ( x 2)( x y y) 0
y xu C1x C2 x ex (21 x3 x2)
二、欧拉方程
形如
xn y( n) p xn1 y( n1) 1
p n1
xy
pn y
f (x)
的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 pi ( i 1, 2,,n ) 为常数。
令 x et
关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
引入算子记号：
式
W
y1 y1
y2 y2
0
于是得
v1
1 W
y2
f
,
v2
1 W
y1 f
积分得:
v1 C1 g1(x), v2 C2 g2 (x)
代入② 即得非齐次方程的通解:
y C1y1 C2 y2 y1g1(x) y2 g2 (x)
说明: 将①的解设为
y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x)
由数学归纳法可以证明：
x3 y D(D 1)(D 2) y
xn y(n) D(D 1)(D 2)(D n 1) y 。
例1 求方程 x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解.
解 这是三阶欧拉方程，令 x e，t 原方程化为
D(D 1)(D 2) y D(D 1) y 4Dy 3e2t，