二重积分习题
二重积分习题
a:=0..1;
b:=x-1..-x+1;
f:二exp(x+y);
int(f,y=b);
in t(i nt(f,y二b),x二a);
simpliW)；
3、如果二重积分f (x,y)d的被积函数f (x, v)是两个函数f'x)及f2(v)的乘积，即
D
f (x, V) f1(x)f2(v),积分区域D {( x, v) |a x b,c y d},证明这个二重积分等于两个单 积分的乘积，即
bd
f (x, v)df1(x)dxf2(v)dv.
ac
D
精心整理
bdb
f)(x)f2(y)dy dxf1(x)dx
ln2 2
0dyeyf (x,y)dx.
所围成的闭区域
2 2
ay
0f(x, y)dx.
y 3
图形
于是
D
(II)由于D {( x, y) | x2
y.R
D
2x2
y2d
2
y
0
R2}关于x轴对称，且f(x,y) y_R2x2y2为y的奇函数，于是
(III)
{(x,y)|x2y2
R2}关于x轴对称,且f(x,y)
3
y
1x y
3
y cosx
d1 x2y2
3
,
精心整理
(1)Il(x y)2d与I2(X y)3d，其中D是由x轴、y轴与直线x y 1所围成；
2
I1ln(x y)d [lnΒιβλιοθήκη x y)] d I2.DD
4
(1)I xy(x y 1)d,
D
其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 2}；
计算下列二重积分
习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域; (2)⎰⎰-+D d x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域. 3. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;(2)由直线y =x , x =2及双曲线xy 1=(x >0)所围成的闭区域; (3)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.4. 改换下列二次积分的积分次序:(1)⎰⎰ydx y x f dy 010),(; (2)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy; (3)⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ; (4)⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(;5. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量.6. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.7. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.8. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是:(1){(x , y )|x 2+y 2≤2x };(2){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.9. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)⎰⎰1010),(dy y x f dx ; (2)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ; 10. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax a dy y x dx ; (2)⎰⎰-+xx dy y xdx 212210)(; 11. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+D y x d eσ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域; (2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;12. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)dxdy yx D 22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. (2)⎰⎰++--Dd y x y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域; 13. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.14. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.。
考研数学二重积分练习
习题8 二重积分 一、填空题1、若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。
2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分，在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分 。
3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰＝ 。
4、设{}222(,)D x y x y a =+≤，若Dπ=，则a = 。
5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成，则()51Dx y dxdy -⎰⎰＝ 。
二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则（ ）。
A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数，则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰（ ）。
A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。
3、设D 是第一象限中由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰（ ）。
A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成：（ ） A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。
二重积分习题及答案
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
2 2 ( x y ) dxdy , D : x y 1 D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号. 解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
D
1
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
解
x r cos 在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为 r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
8
计算 ( x y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 ， y 3 x 0 所围成的平面闭区域. 解 y 3x 0 2
3
x y 4 y r 4 sin
2 1
4. 计算二重积分
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰= （A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x ydxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)111(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)11(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xx dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 22(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( )(4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyIx y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( )(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=?,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分 (A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰ (B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxe xy dxdy =⎰⎰ (A) e; (B) e －1; (C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1 332334 312 答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
二重积分(习题)
第九章 二重积分习题9-11、设⎰⎰+=13221)(D d y x I σ,其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;又⎰⎰+=23222)(D d y x I σ,其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰Dd y x f σ;(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=.(I)⎰⎰D d xy σ4;(II)⎰⎰--D d y x R y σ222;(III)⎰⎰++Dd y x xy σ2231cos . 解：令⎰⎰=Dd y x f I σ),(,⎰⎰=1),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分,(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积为1I -,于是0=I ;(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积也为1I ,于是12I I =.(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数,于是04=⎰⎰Dd xy σ;(II)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰Dd y x R y σ;(III)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2231cos ),(y x x y y x f ++=为y 的奇函数,于是01cos 223=++⎰⎰Dd y x xy σ. 3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)⎰⎰+=Dd y x I σ21)(与⎰⎰+=Dd y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;解：由于在D 内,10<+<y x ,有23)()(0y x y x +<+<,所以1232)()(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.(2)⎰⎰+=Dd y x I σ)ln(1与⎰⎰+=Dd y x I σ22)][ln(,其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D . 解：由于在D 内,63<+<<y x e ,有1)ln(>+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以221)][ln()ln(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++=Dd y x xy I σ)1(,其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++<y x xy ,那么1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x xy σ.(2)⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22,其中}4|),{(22≤+=y x y x D ；解：由于D 的面积为π4,且在D 内,25313949222≤+≤++≤y y x ,那么ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x .(3)⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ；解：由于D 的面积为200,且在D 内, 1001cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100200cos cos 1001022005110022=<++<⎰⎰D y x d σ＝. 习题9-21、计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是矩形区域:1||,1||≤≤y x ；解：38)31(2)()(11211112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x Dσ. (2)⎰⎰+Dy xd xye σ22,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；解：⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d badcy xDdx xe e e dy xye dx d y x 22222)(21)()(22σ.))((412222c d a b e e e e --=. (3)⎰⎰+Dd y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；解：320)224()23()23(22220=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x xDσ.(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭区域.解：πσππ23)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x D.2、画出积分区域,并计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域；解：556)(321044712=+==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx d y x xx Dσ.(2)⎰⎰Dd xyσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：492321212===⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x y dx d x y x x Dσ. (3)⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域；解：619)112()2()2(2122211=--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy d y x y y Dσ.(4)⎰⎰+Dy x d e σ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域.解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+-+--+++=10110111x x y x x x y x Dy x dy e dx dy e dx d e σe e e e e e dx e e dx e e x x 1212232)()(101201112-=++-=-+-=⎰⎰---+. a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1x f 及)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即12(,)()()b d a c Df x y d f x dx f y dy σ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 证明：1212()()()()b d b da c a c f x f y dy dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.4、化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是：(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域；>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰==2ln 0221ln 0),(),(y ex dx y x f dy dy y x f dx I .(2)由y 轴及右半圆22y a x -=所围成的闭区域；>plot([(1-x^2)^(1/2),-1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-----==aay a ax a x a dx y x f dy dy y x f dx I 22222200),(),(.(3)由抛物线2x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.>plot([x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1); 解：319201(,)(,)y y yyI dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰.5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)⎰⎰10),(y y dx y x f dy ；解：⎰⎰=12),(x xdy y x f dx I .(2)⎰⎰10),(eey dx y x f dy ；解：⎰⎰=e xdy y x f dx I 1ln 0),(.(3)⎰⎰-+-11122),(y ydx y x f dy ；解：⎰⎰--=21222),(x x xdy y x f dx I .(4)⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(2xx dy y x f dx dy y x f dx ；解：⎰⎰-=102),(y ydx y x f dy I .(5)⎰⎰-π0sin 2sin),(xx dy y x f dx ；>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰---+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy I ππ.(6)⎰⎰⎰⎰--+21202022),(),(2xa ax x ax dy y x f dx dy y x f dx .>plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+--+=aay a a ay a a ay dx y x f dy dx y x f dy I 020222222),(),(⎰⎰+a aaay dx y x f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.>plot([2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+==10222)(),(x yDdx y x dy d y x m σρ34)384438(1032=-+-=⎰dy y y y . 7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.>with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y =0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED, scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);解：⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=-++=-102101031)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V x Dσ.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20sin 500sin 10ππ+=,试计算所需挖掉的土方量.>plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解：)(70028)20sin 500sin10(32005000m dy x y dx zd V D =+==⎰⎰⎰⎰ππσ. 9、画出积分区域,把积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：(1))0( }0,|),{(222>≥≤+=a x a y x y x D ；>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：⎰⎰-=22)sin ,cos (ππθθθardr r r f d I .(2)}2|),{(22y y x y x D ≤+=；>plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1); 解：y y x 222=+⇔θsin 22r r =⇔θsin 2=r ,于是⎰⎰=πθθθθ0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .(3)}|),{(2222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0；>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1); 解：⎰⎰=πθθθ20)sin ,cos (bardr r r f d I .(4)}0,10|),{(2x y x y x D ≤≤≤≤=.>plot([x^2,[[1,0],[1,1]]],x=0..1,color=1);解：2x y =⇔θθ22cos sin r r =⇔θθtan sec =r ,1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθθθθrdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ；>plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,1=y ⇔1sin =θr ⇔θcsc =r ,于是⎰⎰⎰⎰+=24csc 040sec 0)sin ,cos ()sin ,cos (ππθπθθθθθθθrdrr r f d rdr r r f d I . (2)⎰⎰--+1011222)(x xdy y x f dx ；>plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：x y -=1⇔θθcos 1sin r r -=⇔θθcos sin 1+=r ,于是⎰⎰+=201cos sin 1)(πθθθrdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值： (1)⎰⎰-+ax ax dy y x dx 2020222)(；>plot((2*x-x^2)^(1/2),x=0..2,color=1);解：22x ax y -=⇔θθθ22cos cos 2sin r ar r -=⇔θcos 2a r =,于是4204420cos 20343cos 4a adr r d I a πθθππθ===⎰⎰⎰.(2)⎰⎰+103221xxdy yx dx ；>plot([3^(1/2)*x,x],x=0..1,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0++===⎰⎰⎰ππππθθθθd dr d I . (3)⎰⎰⎰⎰-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 23022233302222.>plot([3^(1/2)*x/3,(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是36036002183a d a dr r d I a πθθππ===⎰⎰⎰.12、利用极坐标计算下列各题：(1)⎰⎰--Dd y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R )；>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：Rx y x =+22⇔θcos 2Rr r =⇔θcos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=⎰⎰-πθππθR rdr r R d I R .(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；>plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解：)12ln 2(4)1ln(20102-=+=⎰⎰πθπrdr r d I .(3)⎰⎰Dd x yσarctan ,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1); 解：240402164323πθθθθππ===⎰⎰⎰d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题：(1)⎰⎰D d y x σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域；>plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解：49)(21321122=-==⎰⎰⎰dx x x dy y x dx I x x .(2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ；>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1); 解：22026sin πθπππ-==⎰⎰rdr r d I .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域；>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);解：4332232214)32()(a dx a y a ay dx y x dy I a a a a y a y =+-=+=⎰⎰⎰-.(4)⎰⎰--Dd y x σ|1|22,其中D 为圆域422≤+y x .>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);解：πππθθππ5292)1()1(2021220102=+=-+-=⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d I . 14、计算以xOy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：ax y x =+22⇔θcos 2ar r =⇔θcos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y x V a Dπθθθσππππθ===+=⎰⎰⎰⎰⎰--. 15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为215r +米,试求该水池的蓄水量. >plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=⎰⎰πθπrdr r d V (米3). 16、讨论并计算下列广义二重积分： (1)⎰⎰Dq p y x d σ,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ； 解：))(1(11111011111p q q dx x q dy yx dx I q p q p q x q p --===-====>-+∞+->+∞+∞⎰⎰⎰. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且))(1(1q p q I --=. (2)⎰⎰+Dp y x d )(22σ,其中}1|),{(22≥+=y x y x D ； 解：1111220112-=====>-+∞-⎰⎰p dr r d I p p πθπ. 即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I π.。
二重积分部分练习题
题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分） （3分）［2］二重积分 xydxdy （其中D :D2(3 分)[3]若区域 D 为 0W y w X 2,|X|W 2,则xy dxdy =Df(x 2, y 2)dxdyD2 2f(x , y )dxdyD1(3分)[5]设f(x,y)是连续函数, 0 dx1一、选择（2 分）［1］ （16小题,共53.0分）(A)1(C ) 21(D )- 4答()3264(A ) 0;( B )(C )(D ) 25633答（（3分）［4］设D 1是由ox 轴， oy 轴及直线 x+y=1所圈成的有界闭域, 的连续函数，则二重积分)f 是区域D : |x|+|y|w 1上(A) 2(B) 4(C ) 8(D)-2(A) (B) 1 dy 0 J1dy 0丿 f(x,y)dx 2 1dy y 2 1 1 f(x,y)dx (C) 1 0d y (D) 2°dy f(x, y)dx f(x, y)dx . :产 f(x, y)dx -2 1 dy y~1 1 f (x, y)dx （3分）［6］设函数f （x,y ）在区域D : y 2W — x ）,y > x 2上连续，则二重积分f (x, y) dxdy可D化累次积分为 0(A) dx 1 1(C) 0dyx 2-f(x,y)dyy 2y f (x,y)dxy(B) dx1 1(D) 0dyx 2 x f (x, y)dyy 2y f (x, y)dx0< y W x 2,0< X W 1)的值为 则二次积分f (x, y)dy（3分）［7］设f （x,y ）为连续函数，则二次积分 ；dy 1；2—2yf （x, y ）dx 可交换积分次序为1 、页 (3)：^3 x 2(A) dx 0 0 f (x,y)dy 1 dx 0f (x,y)dy127、21、3rv(B) 2dx 00 f (x, y)dy1dx 0 f(x, y)dy2dx 02'13 x 2(C) dx 0 厶 f （x,y ）d y(D) ?d 0 32cos f (r cos ,r sin )rdr2sin f (x,y)dy（3分）［8］设f （x,y ）为连续函数，则积分 dx f (x,y)dy dx f (x, y)dy可交换积分次序为1 y2 2 y(A) dy 0丿 0 f(x,y)dx 1 dy 0 f(x,y)dx 1 x 2 2 2 x (B) dy 0 J 0 f (x,y)dx 1 dy 0 f (x, y)dx1 2 y(C) dy 0 J曲f (x,y)dx1 2 x (D) dy 0丿x 2 f (x,y)dx（4分）［9］若区域D 为（x - -1）2+y 2< 1,则二重积分 2 0 02cos 2 i （A ）0d1 0 x2 ） f （x, y ）dxdy 化成累次积分为 F(r, )dr (B) 2cos0 F(r, )dr 2cos F(r, )dr(D) ；d 2cosF(r, )dr 其中 F(r, B )=f(rcos 9 ,rsin 0 )r. （3分）［10］若区域D 为x 2+y 2w 2x ,则二重积分 (x______ 答（ ）y ）'.x 2 y 2 dxdy 化成累次积分为 (A) [d 2 2cos0 (cossin ) 2r cos rdr(B) 0 (cos sin )d2cos 3 r 3drD2cos 3(C) 2 02 (cos sin )d 0 r dr答()(3 分)[15]若区域 D 为 |x|w 1,|y|w 1,则xe cos(xy) sin(xy)dxdyD(A) e; (B) e 1; (C) 0；(D) n .答（(4 分)[16]设 D : x 2+/w a 2(a >0),当 a=时，Ja 2 x 2 y 2 dxdy(D) 2 2 (cos2sin )d2cosr 3dr(4 分)[11]设 h答()[ln(x y)]7dxdy,l 2 (x y)7dxdy,l 3sin 7(x y)dxdy 其中 D 是DDD由 x=0,y=0, x y-,x+y=1所围成的区域，贝U 11, 12, 13的大小顺序是2(A) IK |2V |3； (C)l l V l 3 V l 2；(B) |3V l 2V l i ; (D)l 3V l i V I 2.(5分)[12]设I弊—，则I 满足ix |y 11cos X sin y2 , c(A )3 l21 (C) DI- 2 (B)2 I 3 (D) 1 I 0(4 分)[13]设 x y1其中D 是由直线x=0,y=0,及x+y=1所围成的区域,2则I 1, 12，13的大小顺序为(A) 13V I 2V I 1; (C)l 1V I 3V I ；(B)l 1V l 2V l 3；V V（3分）［14］设有界闭域 D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1A D 2= ,f （x,y ）是定义在D 1U D 2上的连续 函数，则二重积分2f (x , y)dxdyD2(A) 2 f (x , y)dxdyD12(B) 4 f (x , y)dxdyD 22(C) 4 f (x , y)dxdyD 11(D)2D 2 2f(x , y)dxdy(A)1(B )32(3分)[6]设D : O W x w 1,0 < y w 2(1 — x)，由二重积分的几何意义知■y dxdy = ____________三、计算(78小题,共331.0分)(3分)[1]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分2 y0dy 亠 f (x, y)dx2 y 的积分次序。
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
第十章二重积分练习题
D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ，则 f (x) （ ）
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为（ ）
2
(A) 1 x2 y2 dxdy； x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ； x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ； x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ，则将该二次积分化为直角坐标形式为（
0
）
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ，其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy ， D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。
二重积分练习题
二重积分练习题一、定义和性质在微积分中，二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
它可以看作是对一个平面区域上的函数进行求和。
1. 定义设函数 f(x,y) 在闭区域 D 上有界，将 D 分成若干个小区域ΔDi(i=1,2,...,n)，其中ΔDi 的面积为ΔSi，选定任意一点(xi*, yi*) 属于ΔDi，作数值ΔZi= f(xi*, yi*)ΔSi，当ΔSi 的最大值趋于 0 时，如果和 I 的极限存在，则称 I 为 f(x,y) 在区域 D 上的二重积分，记作：∬ D f(x,y)dS = limΣΔZi2. 性质二重积分具有以下性质：（1）线性性质：对于常数 a 和 b，有∬ D (af(x,y) + bf(x,y))dS = a∬D f(x,y)dS + b∬ D f(x,y)dS（2）可加性：若 D = D1 ∪ D2，则有∬ D f(x,y)dS = ∬ D1 f(x,y)dS + ∬ D2 f(x,y)dS（3）保号性：若f(x,y)≥0，那么∬ D f(x,y)dS ≥ 0二、计算方法1. 求解一般二重积分对于一般的二重积分∬D f(x,y)dS，可以根据具体情况使用极坐标、直角坐标或变量代换等方法进行计算。
下面以几个实例为例进行说明。
例1：计算二重积分∬ D (x^2 + y)dS，其中 D 的边界由直线 y = x和 y = 2 - x 所确定。
解：根据题意，D 的边界可以表示为D = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2- x}。
使用直角坐标系计算时，可以将 f(x,y) 中的 x 和 y 分别看作是自变量，然后将 D 投影到 xy 平面得到关于 x 和 y 的积分限。
在本例中，可以先固定 y，让 x 遍历从 0 到 1 的范围，再让 y 遍历从 x 到 2 - x 的范围。
因此，二重积分可以表示为：∫(0,1)∫(x,2-x)(x^2 + y)dydx接下来按照一定的顺序进行积分运算，最终得到结果。
二重积分部分习题
(A) 0 dy0 f (x,y)dx 1 dy0 f (x, y)dx
1
x2
2
2x
(B) 0 dy0 f (x,y)dx 1 dy0 f (x, y)dx
1
2 y
(C) dy f (x,y)dx
0
y
1
2x
(D) dy f (x,y)dx
0
x2
9、若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分 f (x, y)dxdy 化成累次积分为
sin
d
3 2
r
2
dr
=
19 6
(
2 1) .
7． x2 y 2 dxdy, D与 y x与 y x4 与与 .
D
解：设 x r cos ， y r sin ，则积分区域 D 在极坐标下为
D
(r, ) : 0 r
3
sin cos4
,0
4
.
因此，所求二重积分为
x2 y2 dxdy
解：所围成立体的图形如图
(注：图形省略，自行补充)，它为以平面 x 2 y z 12 为顶，以区域 D 为底的曲顶
柱体，其中 D 为 xOy 平面上以直线 y x , y 0 , x 3 及 x 2 y 12 所围成的区域。
利用二重积分的几何意义，
6
V (12 x 2y)dxdy .
dx f (x, y)dy 1 x1
1
y 1
2
y2 1
(A) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0
1
1
1
1
y 1
(B) dy f (x, y)dx
0
1
二重积分练习题
二重积分练习题一、选择题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是圆x^2+y^2=1的内部区域。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π2. 以下哪个选项是计算二重积分∬D(x^2-y^2)dA的正确方法？A. ∫∫(x^2-y^2)dxdyB. ∫∫(x^2-y^2)dAC. ∫∫(x^2+y^2)dxdyD. ∫∫(x^2+y^2)dA3. 如果D是正方形区域，其顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)，计算∬D(x-y)dA的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是单位圆盘，结果为________。
2. 计算二重积分∬D(x+y)dA，其中D是区域x^2+y^2≤4，结果为________。
3. 如果D是区域0≤x≤1，0≤y≤x^2，计算∬D(2x+y)dA的结果为________。
三、解答题1. 计算二重积分∬D(3x^2-2y^2)dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=x围成的区域。
2. 计算二重积分∬D(1/(x^2+y^2))dA，其中D是单位圆盘x^2+y^2≤1。
3. 计算二重积分∬D(xy)dA，其中D是区域由直线y=x，y=2x和x轴围成。
四、证明题1. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内部区域，其结果为πab。
2. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(1/√(x^2+y^2))dA，其中D是圆x^2+y^2≤a^2和x^2+y^2≤b^2的交集区域，其结果为1/2π*ln(b/a)。
五、应用题1. 一块矩形金属板的厚度为t，其面积为A，密度为ρ。
如果金属板的重心位于板的几何中心，求金属板的质量。
2. 一个圆环的内半径为a，外半径为b，圆环的密度为ρ。
如果圆环的重心位于圆环的几何中心，求圆环的质量。
二重积分的例题及解析
二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。
下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。
例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。
解析：首先，我们需要确定积分的上下限。
由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。
因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。
例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。
解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。
因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
二重积分的计算习题
变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化 计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换， 可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计 算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特 点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计 算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成 的闭区域。首先，确定积分区域D， 并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将 二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到 结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长 （即小矩形的边长）的大小。步 长越小，精度越高，但计算量也 越大。
任意区域上数值求积公式应用
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D {( x, y)a x b,1( x) y 2( x)},
其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
f ( x, y)d
D
y
y 2(x)
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y 1(x)
σ为D的面积, 则
m f ( x, y)d M
D
几何意义 设f ( x, y) 0,( x, y) D,则曲顶
柱体的体积介于以D为底,以m为高和以M为高的 两个平顶柱体体积之间.
6
性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区 域D上连续,σ为D的面积, 则在D上至少存在一点 ( ,), 使得
证 所求立体在xOy面上的投影区域为 y
y x
D : x2 y2 c2. 有:
V
D
a
( (
x) x)
b( y ( y)
)dxdy
O
x
x2 y2 c2
1 2
D
[
a
( (
x) x)
b( y) ( y)
D
a ( (
y) y)
b( x)]dxdy (x)
直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:
(2x 3 y)d 0
x2 y2a2
而
x2d
y2d 1
( x2 y2 )d
x2 y2a2
x2 y2a2
2 x2 y2a2 极坐标
1
2π
d
a r 3dr πa4 .
20
y2
1)dy
D2
1 0
x
2
y
y3
3
1 y
dx
1 x2
1
[
x
2
2
2 (1
x2
3
)2
]dx
0
33
1
(
x2
2)dx
2
1
(1
3
x2 )2 dx
1
2I
π
1.
0
3
30
33 83
其中 I
1
(1
3
x2 )2 dx
x sin t
D
D
(4)若将D分成两部分 D D1 D2,
D1, D2分别为D在y x的上方与下方部分,则
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy. y
D1
D2
D1
D2
O
y x
x
10
二、在直角坐标系中化二重积分为 累次积分
(1) 设f (x, y)在平面有界区域D上连续.D {( x, y) 0 x 1,0 y 1}.
解 将D分成D1与D2两部分.
y
1
D2
D1 x2 y2 1
| x2 y2 1 | d
O
1x
D
(1 x2 y2 )d ( x2 y2 1)d
D1
极坐标
由于 (1 x2 y2 )d
y
d D
x 1( y)
c
x 2( y)
先对x 后对y的二次积分. O
x
12
三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.
D {( x, y) ,1( ) r 2( )}
其中函数 1( )、2( )在区间[ , ]上连续. r 2( )
密度为连续函数( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
3
（二）二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
性质1(线性运算性质) 设、 为常数, 则
[f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d
π 2
cos4
tdt
3
1
π
3π
.
0
0
4 2 2 16
因此 |
x2
y2
1 | d
π 8
π 8
1 3
π 4
1. 3
D
24
例 选择适当的坐标计算: | y x2 | max{x, y}dxdy,
D
其中 D {( x, y) 0 x 1,0 y 1}. y
Oa
bx
11
(2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
D
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
c
1( y)
D
D1
其中 D1 D { y 0};
8
(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于 y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则
f ( x, y)dxdy 0,
D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
0
4
又
2d 2πa2 , 所以 原式 = πa4 2πa2 .
x2 y2a2
4
19
例 证明:曲面z a ( x) b ( y) , x2 y2 c2 , z 0 (x) ( y)
所围立体的体积等于 1 πc2(a b),其中 (u)是连续
2
的正值函数, 且a 0,b 0,c 0.
D
ID
D
I 11 I 1
I2
1
xdx
0
1 ydy I 1 I 2 1
0
4
I 1
I
2
f ( x, y) 1 4xy. 22
3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分
例 计算二重积分 | x2 y2 1 | d , 其中
D
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
9
(3)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若闭区域D关于直线y x对称,则
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy;
f ( x, y)d
D
r 1( )
D
f (r cos ,r sin )r drd θ
D
d
2( )
f
O
(r cos ,r sin )rdr;
1( )
A
rdrd 极坐标系中的面积元素
13
(2)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.
D {( x, y)0 2π,0 r ( )} 其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
f ( x, y)d
D
2π
( )
0 d 0 f (r cos ,r sin )rdr
r ( )
D
θ
o
A
极坐标系下区域的面积 rdrd .
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3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 数中的绝对值符号.
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典型例题
1.交换积分次序
例
计算积分
1
dx
0
1 x2
xy dy. 1 y3
解 交换积分次序.
y
原式 = 1
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则
f ( x, y)dxdy 0,
D
f (x, y)对y为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
y
y
dy x dx
0 1 y3 0
1
1 1 y2
dy
2 0 1 y3
O
1 6
1d(1 y3) 0 1 y3
1( 3
2 1).
y x2 1x
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2.利用对称性
例 计算 ( x2 2x 3 y 2)d . x2 y2a2
解 积分域是圆 x2 y2 a2 , 故关于x、y轴、
1 2
(a
b)
D
dxdy
1 2
πc 2 (a
b).
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3.坐标系的选择
例 计算二重积分 ( x y)dxdy,其中D : x2 y2 2x.
D
解 用极坐标. 对称性
原式 = 2
π
2 d
2cos
r cos rdr
0
0
2
π