预测模型参数的指数平滑估计法及其应用的进一步研究

δ ) 2 rΣ = (y t- Σ - y t- Σ
6
∞
Σ = 0
[ y t- Σ -
6
m
ak (-
k= 0
Σ) k ] 2 rΣ
其中, 0< r< 1 为折扣系数, 表示重近期预测偏差而轻远期预测偏差的程度. 将未知时变参数 a 0 , a 1 , …, am 作为自变量, 利用多元函数求最值的方法, 通常可求得使指数加权预 测偏差平方和为最小的最优多项式预测方程. 以求解 m = 1 时确定线性预测方程未知时变参数的适应性指 数平滑的数学模型为例, 说明二次指数平滑预测法的线性最优性.
α
本文于 1997 年 7 月 9 日收到 浙江省教委科研基金立项课题 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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26
系统工程理论与实践
S tp =
6
m
a k T k , 其中 T
k= 0
δ(
)
6
∞
Σ = 0
m
δ p - 1 (1 - Α ) ΣC p Α Σ + p - 1 y t- Σ =
∞
6
∞
p - 1 (1 - Α ) ΣC p Α Σ+ p -
1
Σ= 0
6
m
ak (-
k= 0
Σ) k
=
6 6
k= 0
Σ = 0
p - 1 k (1 - Α ) ΣC p ( - 1) k a k p = 1, 2, …, m + 1 Α Σ + p - 1Σ
Σ = 0
是未知时变参数 a 0 , a 1 , …, am 的 m + 1 次线性方程组. 通常该 m + 1 元线性方程组有解, 则其解就是多项式预测模型中未知时变参数的估计值. 上述通过指数平滑基本公式得到多项式预测模型未知时变参数估计值的思路称为指数平滑参数估计 的基本原理. 通常简称为 p 次指数平滑预测法. 当 m = 0 时, 预测模型为零次多项式, 第 t 期时变参数估计值 a 0 = S t(1) 当 m = 1 时, 预测模型为线性多项式, 第 t 期时变参数估计值 a 0 = 2S t(1) - S t(2) , a 1 =
1999 年 2 月
A RM A 方法平均绝对百分偏差惊人地相似 [2 ]. 因此对指数平滑法这种处理数据的技术的基本理论, 适用条
件, 计算过程和比较评价等问题继续深入展开进一步的研究是十分有意义的. 本文在文献 [ 3, 4 ] 的基础上, 首先将指数平滑视为一种处理数据信息的有效技术提出其在预测模型参 数估计应用的原理, 其次用渐近形式的指数平滑基本公式研究一次, 二次和三次指数平滑预测方法的渐近 最优性. 最后应用指数平滑技术给出修正指数曲线预测模型参数估计以及组合预测权重确定的一类新方 法并给出数值例子.
2 指数平滑基本公式
设经济变量时间序列数据为 y t , y t- 1 , …, 平滑常数 0< Α < 1, 则一次指数平滑第 t 期平均值递推形式 (1) (1) ) S t- 1. 对 p - 1 次指数平滑平均值时间序列 S t(p - 1) , S t(-p -1 1) , … 应用归纳定 的计算公式为 S t = Α y t + ( 1- Α
(2) S t ). 2 Α (S t(1) 2Β2
Α ( (1) St 1- Α
当 m = 2 时, 预测模型为二次多项式, 第 t 期时变参数估计值 a 0 =
3S t(2) + S t(3) , a 1 =
2S t(2) + S t(3) ) , a 2 = 3S t(1) -
2 Α [ ( 5Β+ 1) S t(1) - ( 8Β+ 2) S t(2) + ( 3Β+ 1) S t(3) ]. 其中 Β= 1- Α 2Β2
6
∞
j= 0
Α( 1 -
) jS t(-k ) j = Α
6
∞
j= 0
Α( 1 -
∞
j- i
.
令 Σ= i+ j 重新排列加数次序并且利用组合公式
S t k + 1) =
(
6
Σ
- 1 Ck i+ k 1
= Ck Σ+ k 知 ,
Σ
i= 0
6 6 6 6
∞ ∞ Σ= 0 ∞
∞
Σ
Σ= 0 i= 0
k+ 1 - 1 (1 - Α ) ΣC k Α i+ k - 1 y t-
i= 0
证毕 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第2期
预测模型参数的指数平滑估计法及其应用的进一步研究
27
3 指数平滑参数估计的基本原理
= =
k+ 1 - 1 (1 - Α ) Σ6 C k Α i+ k - 1 y ti= 0
Σ
Σ
Σ= 0
(k + 1) - 1 k+ 1 (1 - Α ) ΣC Σ Α + (k + 1) - 1 y t-
Σ
即为指数平滑基本公式计算结果. 证毕. 其次由指数平滑基本公式推导出指数平滑递推公式, 证明如下
1999 年 2 月
系统工程理论与实践
第 2 期
预测模型参数的指数平滑估计法 α 及其应用的进一步研究
徐大江
( 浙江财经学院经济数学教研室, 浙江 杭州 310012)
摘要 首先提出指数平滑技术在预测模型参数估计中应用的原理, 其次研究指数平滑参数估计法的 渐近最优性, 最后, 应用指数平滑技术给出修正指数曲线预测模型参数估计及组合预测确定权重的一 类新方法. 关键词 参数估计 指数平滑 渐近最优性
δ(p ) 是未知时变参数 a 0 , a 1 , …, am 的 p - 1 k (1 - Α ) ΣC p 其中, 0< Α < 1 为平滑常数, 由级数 6 Α Σ + p - 1 Σ 收敛可知 S t
Σ = 0
∞
线性函数.
S tp ≈ S tp =
( )
δ(
)
6 6
k= 0
m
∞
p - 1 k (1 - Α ) ΣC p ( - 1) k a k p = 1, 2, …, m + 1 Α Σ + p - 1Σ
δ = 设经济变量时间序列数据仍为 y t , y t- 1 , …, 第 t 期选用 m 次多项式预测模型 y t+ T 为外推预测期数. a 0 , a 1 , …, am 均为第 t 期的未知时变参数. 将历期预测值代替历期实际数据, 利用指数平滑基本公式可得第 t 期 p 次指数平滑平均值 S t(p ) 的估 计值 Sδt(p ) , p = 1, 2, …, m + 1.
(p - 1) ) S t(-p )1. 义 p 次指数平滑第 t 期平均值递推形式的计算公式为 S t(p ) = Α + ( 1- Α St 文献 [ 3 ] 利用褶积运算由指数平滑平均值的递推公式推导出指数平滑基本公式. 其实, 反之亦然. 说明
指数平滑平均值递推公式和指数平滑基本公式是等价的. 首先对平滑次数 p 应用数学归纳法便可简明证明由递推公式推导出指数平滑基本公式, 证明如下. 当 p = 1 时, 易知: S t(1) = 设 p = k 时, S t(k ) =
1 引言
指数平滑预测方法是一类操作简易, 成本低廉, 适应性强, 性能优良并且应用广泛的预测模型. 其共同 之处是应用指数平滑技术处理历期统计数据和相关信息. 指数平滑技术有两个显著的特点, 一是利用了全 部历史统计数据, 二是遵循 “重近轻远” 的原则加权平均, 修匀数据. 历期数据的指数平滑平均值介于历期 数据最大值与最小值之间, 利用它进行数据信息的处理, 能起到抵御或减弱异常数据的影响, 致使历期统 计数据所包含历史规律性的信息能显著体现出来, 使预测模型能排除异常干扰, 更精确模拟预测对象历史 的规律. 因此, 传统的指数平滑技术仍然是一种有发展前途的处理数据信息的方法. “预测方法和技术的应用研究” 课题研究结果表明, 全国各种预测方法中被使用频率居首位的是回归 预测法 ( 占 17% ) , 而第二位的就是指数平滑法 ( 占 13% ) [1 ]. 1979 年M a rk ridak is 选用 22 种定量方法对 111 个时间序列进行预测分析, 采用平均绝对百分比偏差以及平均秩作为模型拟合精度与预测精度的评价标 准, 得出实证结论表明, A RM A 方法并没有比指数平滑方法更精确. 说明简单易行的指数平滑法与复杂的
4 二次和三次指数平滑预测法的线性最优性
δ = 上述经济变量时间序列数据及多项式预测方程 y t+ T
6
m
a k T k 考虑采用指数加权预测偏差平方和作
k= 0
为预测偏差的度量指标, 极小化预测偏差指标值 Q , 确定预测方程中未知时变参数的适应性指数平滑的数 学模型为
m inQ =
6
∞
Σ = 0
( Α S tp1)
=
6 6 6 6 6
i= 0
p - 2 (1 - Α ) iC p Α i+ p - 2 y t-
i
∞
p - 1 (1 - Α ) j + 1C p Α j + p - 1 y t-
(1 - Α ) S t(-p )1 = =
1- j
j= 0
∞
p - 1 (1 - Α ) iC p Α p + i y t- i =
6
∞
Σ = 0
) Σy t- Σ 成立. Α( 1 - Α
6
∞
k - 1 (1 - Α ) ΣC k . Α Σ + k - 1 y t- Σ 成立
Σ= 0
பைடு நூலகம்
当 p = k + 1 时, 根据归纳定义并用归纳假设表示 S t(-k )j 得, S t(k + 1) =
k - 1 ) j6 Α (1 - Α ) iC k Α i+ k - 1 y ti= 0
i= 1
6
∞
p - 1 (1 - Α ) iC p Α i+ p - 2 y t- i ,
i= 0
∞
p - 2 p- 1 (1 - Α ) i (C p Α i+ p - 2 + C i+ p - 2 ) y ti
则
( Α S tp-
1)
) S t(-p )1 = + (1 - Α =
i= 0
∞
(p ) p - 1 (1 - Α ) iC p Α i+ p - 1 y t- i = S t
A Fu rther Study on the Exponen t ia l Sm oo th ing E st im a t ion M ethod fo r Pa ram eters of Fo reca st ing M odel and It s A pp lica t ion
Xu D a jiang
m inQ =
6
∞
Σ = 0
(y t- Σ - a 0 + a 1 Σ) 2 rΣ
∞
5 Q = - 26 rΣ (y t- Σ - a 0 + a 1 Σ) = 0 5a 0 Σ= 0 5 Q = 26 rΣ (y t- Σ - a 0 + a 1 Σ) Σ = 0 5a 1 Σ= 0 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
(Zhejiang In stitu te of F inance and Econom ics, H angzhou 310012) Abstract F irst, th is p ap er p resen ts the app lica tiona l p rincip le fo r the p a ram eter esti2 m a tion of the fo reca sting m odel w ith exponen tia l sm oo th ing techn ique. T hen, it studies the a sym p to tic op ti m a l p rop erty of the exponen tia l sm oo th p a ram eter ex ti m a tion. A t la st, u sing the exponen tia l sm oo th ing techn ique, it p u ts fo rw a rd a new m ethod to esti2 m a te the p a ram eters of revised exponen tia l cu rve and decide the w eigh ts of com b ina to ry fo reca sting. Keywords p a ram eter esti m a tion; exponen tia l sm oo th ing; a sym p to tic op ti m a l p rop erty