预测模型参数的指数平滑估计法及其应用的进一步研究

δ = 设经济变量时间序列数据仍为 y t , y t- 1 , …, 第 t 期选用 m 次多项式预测模型 y t+ T 为外推预测期数. a 0 , a 1 , …, am 均为第 t 期的未知时变参数. 将历期预测值代替历期实际数据, 利用指数平滑基本公式可得第 t 期 p 次指数平滑平均值 S t(p ) 的估 计值 Sδt(p ) , p = 1, 2, …, m + 1.
( Α S tp1)
=
6 6 6 6 6
i= 0
p - 2 (1 - Α ) iC p Α i+ p - 2 y t-
i
∞
p - 1 (1 - Α ) j + 1C p Α j + p - 1 y t-
(1 - Α ) S t(-p )1 = =
1- j
j= 0
∞
p - 1 (1 - Α ) iC p Α p + i y t- i =
δ(p ) 是未知时变参数 a 0 , a 1 , …, am 的 p - 1 k (1 - Α ) ΣC p 其中, 0< Α < 1 为平滑常数, 由级数 6 Α Σ + p - 1 Σ 收敛可知 S t
Σ = 0
∞
线性函数.
S tp ≈ S tp =
( )
δ(
)
6 6
k= 0
m
∞
p - 1 k (1 - Α ) ΣC p ( - 1) k a k p = 1, 2, …, m + 1 Α Σ + p - 1Σ
4 二次和三次指数平滑预测法的线性最优性
δ = 上述经济变量时间序列数据及多项式预测方程 y t+ T
6
m
a k T k 考虑采用指数加权预测偏差平方和作
k= 0
为预测偏差的度量指标, 极小化预测偏差指标值 Q , 确定预测方程中未知时变参数的适应性指数平滑的数 学模型为
m inQ =
6
∞
Σ = 0
= =
k+ 1 - 1 (1 - Α ) Σ6 C k Α i+ k - 1 y ti= 0
Σ
Σ
Σ= 0
(k + 1) - 1 k+ 1 (1 - Α ) ΣC Σ Α + (k + 1) - 1 y t-
Σ
即为指数平滑基本公式计算结果. 证毕. 其次由指数平滑基本公式推导出指数平滑递推公式, 证明如下
6
∞
Σ = 0
) Σy t- Σ 成立. Α( 1 - Α
6
∞
k - 1 (1 - Α ) ΣC k . Α Σ + k - 1 y t- Σ 成立
Σ= 0
当 p = k + 1 时, 根据归纳定义并用归纳假设表示 S t(-k )j 得, S t(k + 1) =
k - 1 ) j6 Α (1 - Α ) iC k Α i+ k - 1 y ti= 0
6
∞
j= 0
Α( 1 -
) jS t(-k ) j = ΑΒιβλιοθήκη 6∞j= 0
Α( 1 -
∞
j- i
.
令 Σ= i+ j 重新排列加数次序并且利用组合公式
S t k + 1) =
(
6
Σ
- 1 Ck i+ k 1
= Ck Σ+ k 知 ,
Σ
i= 0
6 6 6 6
∞ ∞ Σ= 0 ∞
∞
Σ
Σ= 0 i= 0
k+ 1 - 1 (1 - Α ) ΣC k Α i+ k - 1 y t-
m inQ =
6
∞
Σ = 0
(y t- Σ - a 0 + a 1 Σ) 2 rΣ
∞
5 Q = - 26 rΣ (y t- Σ - a 0 + a 1 Σ) = 0 5a 0 Σ= 0 5 Q = 26 rΣ (y t- Σ - a 0 + a 1 Σ) Σ = 0 5a 1 Σ= 0 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
(Zhejiang In stitu te of F inance and Econom ics, H angzhou 310012) Abstract F irst, th is p ap er p resen ts the app lica tiona l p rincip le fo r the p a ram eter esti2 m a tion of the fo reca sting m odel w ith exponen tia l sm oo th ing techn ique. T hen, it studies the a sym p to tic op ti m a l p rop erty of the exponen tia l sm oo th p a ram eter ex ti m a tion. A t la st, u sing the exponen tia l sm oo th ing techn ique, it p u ts fo rw a rd a new m ethod to esti2 m a te the p a ram eters of revised exponen tia l cu rve and decide the w eigh ts of com b ina to ry fo reca sting. Keywords p a ram eter esti m a tion; exponen tia l sm oo th ing; a sym p to tic op ti m a l p rop erty
(p - 1) ) S t(-p )1. 义 p 次指数平滑第 t 期平均值递推形式的计算公式为 S t(p ) = Α + ( 1- Α St 文献 [ 3 ] 利用褶积运算由指数平滑平均值的递推公式推导出指数平滑基本公式. 其实, 反之亦然. 说明
指数平滑平均值递推公式和指数平滑基本公式是等价的. 首先对平滑次数 p 应用数学归纳法便可简明证明由递推公式推导出指数平滑基本公式, 证明如下. 当 p = 1 时, 易知: S t(1) = 设 p = k 时, S t(k ) =
1999 年 2 月
A RM A 方法平均绝对百分偏差惊人地相似 [2 ]. 因此对指数平滑法这种处理数据的技术的基本理论, 适用条
件, 计算过程和比较评价等问题继续深入展开进一步的研究是十分有意义的. 本文在文献 [ 3, 4 ] 的基础上, 首先将指数平滑视为一种处理数据信息的有效技术提出其在预测模型参 数估计应用的原理, 其次用渐近形式的指数平滑基本公式研究一次, 二次和三次指数平滑预测方法的渐近 最优性. 最后应用指数平滑技术给出修正指数曲线预测模型参数估计以及组合预测权重确定的一类新方 法并给出数值例子.
Σ = 0
是未知时变参数 a 0 , a 1 , …, am 的 m + 1 次线性方程组. 通常该 m + 1 元线性方程组有解, 则其解就是多项式预测模型中未知时变参数的估计值. 上述通过指数平滑基本公式得到多项式预测模型未知时变参数估计值的思路称为指数平滑参数估计 的基本原理. 通常简称为 p 次指数平滑预测法. 当 m = 0 时, 预测模型为零次多项式, 第 t 期时变参数估计值 a 0 = S t(1) 当 m = 1 时, 预测模型为线性多项式, 第 t 期时变参数估计值 a 0 = 2S t(1) - S t(2) , a 1 =
S tp =
6
m
a k T k , 其中 T
k= 0
δ(
)
6
∞
Σ = 0
m
δ p - 1 (1 - Α ) ΣC p Α Σ + p - 1 y t- Σ =
∞
6
∞
p - 1 (1 - Α ) ΣC p Α Σ+ p -
1
Σ= 0
6
m
ak (-
k= 0
Σ) k
=
6 6
k= 0
Σ = 0
p - 1 k (1 - Α ) ΣC p ( - 1) k a k p = 1, 2, …, m + 1 Α Σ + p - 1Σ
i= 0
证毕 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第2期
预测模型参数的指数平滑估计法及其应用的进一步研究
27
3 指数平滑参数估计的基本原理
(2) S t ). 2 Α (S t(1) 2Β2
Α ( (1) St 1- Α
当 m = 2 时, 预测模型为二次多项式, 第 t 期时变参数估计值 a 0 =
3S t(2) + S t(3) , a 1 =
2S t(2) + S t(3) ) , a 2 = 3S t(1) -
2 Α [ ( 5Β+ 1) S t(1) - ( 8Β+ 2) S t(2) + ( 3Β+ 1) S t(3) ]. 其中 Β= 1- Α 2Β2
i= 1
6
∞
p - 1 (1 - Α ) iC p Α i+ p - 2 y t- i ,
i= 0
∞
p - 2 p- 1 (1 - Α ) i (C p Α i+ p - 2 + C i+ p - 2 ) y ti