隐函数的导数
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求一般幂指函数 y u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0) 的导数时，同样可以用 y e v ( x ) ln u( x ) ，也可以利用复 上述 “对数求导法”．但注意到 合函数求导法则求导．如
y ( x sin x ) (e sin xln x ) e sin xln x (sinx ln x)
解 由隐函数的求导法，得 于是
1 y cos y y 0,
下面应怎 么办？
1 y , 1 cos y
上式两边再对 x求导，得
(1 cos y )x 1 sin y y y ( )x , 2 2 1 cos y (1 cos y ) (1 cos y )
于是
y
y 1 1 1 1 2 x 1 x 2 x 3 x 5
1 1 1 1 1 ( x 1)( x 2) . 2 x 1 x 2 x 3 x 5 ( x 3)( x 5)
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方程两边同时对 x 求导数，得
f ( x ) xf ( x ) 6 x 5 f ( x ) 0,
解方程即可求得
f ( x ) 6 x f ( x) 6 x y . 5 x 5 x
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注意到 y 是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那
样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有
解 将方程的两边取对数，得
ln y x ln x,
由这个方程能说 y 隐函数！ 是 x 的函数吗？
上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 y ln x x ln x 1, y x
对数 求导法
于是
y y ln x 1 x x ln x 1 .
3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
4. 将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x， 也含有 y).
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x 例5 求 y x ( x 0, x 1) 的导数.
讨论: 这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导, 也不能按照 指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？若方程左右两边同时 取对数, 能解决问题吗？
4 4
t
4
3 . 2
由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为
3 y 3 2 ( x 2 2), 2
即
3 x y 6 2 0. 2
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例9 根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程
y
v2
v
v1
O
x
其中g为重力加速度，t为时间. 某时刻 t 时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标 x 与纵 坐标 y，它们都与 t 存在函数关系. 如果把对应于同一个 t 的 x,y 的值看作对应的，这样就得到 x 与 y 之间的函数关系． 利用代入消元法，消去参数 t 得到 y
v2 g x 2 x2 . v1 2v1
(1 x )(2 x ) 当 x 1时 y (3 x )(5 x )
( x 1)( x 2) 当2 x 3 时 y (3 x )(5 x )
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
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x ( t ), 定理1(参数方程求导法则)设参数方程 y (t )
t
中，x ( t ) 具有单调连续的反函数 t 1 ( x ) ，并且 y ( t )
1 与 t 1 ( x ) 可以构成复合函数 y ( ( x)) ，
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例6 求 y
( x 1)( x 2) 的导数. ( x 3)( x 5)
解 :将方程的两边取对数（假定 讨论 这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好 x 5 ），得 ( x 1)( 求导吗？怎么能“积化和差” ? x 2)
ln y ln ( x 3)( x 5) ,
(a 0, b 0)
解
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
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x 4cos t , 例8 已知椭圆的参数方程为 y 6sin t , 求它在 t 相应的点处的切线方程． 4
于是
1 ln y [ln( x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 5)], 2 上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 1 1 1 1 y , y 2 x 1 x 2 x 3 x 5
y
M0
讨论: 求一点处的切线需要知道什么？由 t 4 我们能知道什么？ 的坐标分别为： 解 椭圆上对应于 的点
t
4 4 曲线在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线斜率为： x0 4cos
O
x
4
M 0 ( x0 , y0 )
2 2,
y0 6sin
3 2,
dy (6sin t ) 6cos t dx t (4cos t ) t 4sin t
？
？
将上边求得 y 的结果代入，得
1 sin y 1 cos y y . 2 3 (1 cos y ) (1 cos y ) sin y
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式.
dy dx
x0
6x y 5 x
x0 y 2
2 . 5
求隐函数在某一 点处的导数时应 特别注意什么？
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y e 例2 求方程 xy e 0所确定的隐函数 y f ( x ) 的导数．
解 方程两边同时对 x求导数，利用复合函数的求导法则
（注意，这里 y 是 x的函数），得
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一般地，若参数方程
x ( t ), y ( t ),
t
确定了y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的 函数为由上述参数方程所确定的函数． 下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数: 如果在上述参数方程中函数 x ( t ) 具有单调连续的 反函数 t 1 ( x ) ， 并且 t 1 ( x )与函数 y ( t ) 可以构成 复合函数，其中t 为中间变量．
e y y y xy 0, ( x e y ) y y,
y y . y xe
整理得 于是有
1. 方程左右两边对x求 导(注意y是x的函数, 因 此对y的函数求导时要用 复合函数求导法则). 2. 解方程，求出y’ (注意
总结一下求隐 函数的一阶导 数可分哪几步？
2
3x 因此，所求切线斜率 k 4y
x 1 3 y 2
3 1 从而，所求的切线方程为 y ( x 1) x 2 y 4. 2 2
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31 1 . 3 2 4 2
d2y 例4 求由方程 x y sin y 0 所确定的隐函数的二阶导数 2 . dx
1 e (cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
sin x ln x
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二、由参数方程所确定的函数的导数
实例：抛射体的运动轨迹
x v1 t , 1 2 y v2 t gt , 2
y ln( x 1) e x , y sin x .
y
x 2 y 3 sin y 2
等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数．
y
O
x
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x
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把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化. 例如： x 2 y 3 1 0 隐函数显化
y 3 1 x2
由方程 x 2 y 3 sin y 2 x 2 y 3 sin y 2 隐函数 不能解出y来，因此该 能化为显函数吗？ 隐函数不能显化. 并不是任意一个隐函数都能显化的. 我们关心的是，若 方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行 显化而直接由方程求出它的导数呢？
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由一阶微分形式的不变性，有
dy (t )dt ,
再由 t 1 ( x ) ，利用反函数求导法则得
1 dt dx , ( t )
代入 dy ( t )dt 得
( t ) dy dx , ( t )
于是
dy ( t ) . dx ( t )
( xy 3 x 2 5 y 10) 0,
即
y x
dy 解这个关于 的方程，得 dx dy 6 x y , dx 5 x
dy dy 6x 5 0. dx dx
这一步需要特别 注意什么问题？
你注意到隐函数 导数的表示式的 特点了吗？
y 2 ，因此 由方程 xy 3 x2 5 y 10 0 可知，当 x 0 时，
y’表达式中即含有x，也 含有 y).
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例3
3 x2 y2 求椭圆 1 上点 (1, ) 处的切线方程． 2 4 3
讨论：要求切线方程，关键要找到什么？ 解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定 的隐函数在点 (1, 3 ) 处的导数.
x2 y2 2 x 2 yy 原方程两边分别对 x 求导，得 ( ) (1) 0. 4 3 4 3 3x 解得 y . 4y
第二章 导数与微分
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第五节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
四、数学建模的实例
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一、隐函数的导数
函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关 系的表示形式是多种多样的。 例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯
则称方程 一的y与之对应， 因此我们说这条曲线 (或者方程x2+y3+siny=2) 在区间 确定了一个函数y=f(x)， 称其为由该方程确定的隐函数 .
y
x 2 y 3 sin y 2
y
O
x
x
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一、隐函数的导数
一般地 如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x， 通过方程 F ( x , y ) 0, 相应地总有满足这个方程的唯一的实数y 则称方程 F ( x, y ) 0 在区间I上确定了一个隐函数. 存在， 相应的，诸如
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2 xy 3 x 5 y 10 0确定的隐函数 y f ( x ) 在 x 0 例1 求方程
点的导数． 解 用 y f ( x )替换 xy 3 x 2 5 y 10 0 中的 y，得
xf ( x) 3 x 2 5 f ( x) 10 0,
若 x (t ), y (t ) 在区间 ( , ) 内可导，并且 (t ) 0, 则有
dy ( t ) . dx ( t )
（参数方程求导计算公式）
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Baidu Nhomakorabea
例7 求由参数方程
x 2(cos sin ), y 3(sin cos ), dy 所确定的函数 y y( x ) 的微商 . dx
求一般幂指函数 y u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0) 的导数时，同样可以用 y e v ( x ) ln u( x ) ，也可以利用复 上述 “对数求导法”．但注意到 合函数求导法则求导．如
y ( x sin x ) (e sin xln x ) e sin xln x (sinx ln x)
解 由隐函数的求导法，得 于是
1 y cos y y 0,
下面应怎 么办？
1 y , 1 cos y
上式两边再对 x求导，得
(1 cos y )x 1 sin y y y ( )x , 2 2 1 cos y (1 cos y ) (1 cos y )
于是
y
y 1 1 1 1 2 x 1 x 2 x 3 x 5
1 1 1 1 1 ( x 1)( x 2) . 2 x 1 x 2 x 3 x 5 ( x 3)( x 5)
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方程两边同时对 x 求导数，得
f ( x ) xf ( x ) 6 x 5 f ( x ) 0,
解方程即可求得
f ( x ) 6 x f ( x) 6 x y . 5 x 5 x
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注意到 y 是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那
样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有
解 将方程的两边取对数，得
ln y x ln x,
由这个方程能说 y 隐函数！ 是 x 的函数吗？
上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 y ln x x ln x 1, y x
对数 求导法
于是
y y ln x 1 x x ln x 1 .
3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
4. 将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x， 也含有 y).
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x 例5 求 y x ( x 0, x 1) 的导数.
讨论: 这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导, 也不能按照 指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？若方程左右两边同时 取对数, 能解决问题吗？
4 4
t
4
3 . 2
由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为
3 y 3 2 ( x 2 2), 2
即
3 x y 6 2 0. 2
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例9 根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程
y
v2
v
v1
O
x
其中g为重力加速度，t为时间. 某时刻 t 时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标 x 与纵 坐标 y，它们都与 t 存在函数关系. 如果把对应于同一个 t 的 x,y 的值看作对应的，这样就得到 x 与 y 之间的函数关系． 利用代入消元法，消去参数 t 得到 y
v2 g x 2 x2 . v1 2v1
(1 x )(2 x ) 当 x 1时 y (3 x )(5 x )
( x 1)( x 2) 当2 x 3 时 y (3 x )(5 x )
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
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x ( t ), 定理1(参数方程求导法则)设参数方程 y (t )
t
中，x ( t ) 具有单调连续的反函数 t 1 ( x ) ，并且 y ( t )
1 与 t 1 ( x ) 可以构成复合函数 y ( ( x)) ，
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例6 求 y
( x 1)( x 2) 的导数. ( x 3)( x 5)
解 :将方程的两边取对数（假定 讨论 这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好 x 5 ），得 ( x 1)( 求导吗？怎么能“积化和差” ? x 2)
ln y ln ( x 3)( x 5) ,
(a 0, b 0)
解
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
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x 4cos t , 例8 已知椭圆的参数方程为 y 6sin t , 求它在 t 相应的点处的切线方程． 4
于是
1 ln y [ln( x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 5)], 2 上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 1 1 1 1 y , y 2 x 1 x 2 x 3 x 5
y
M0
讨论: 求一点处的切线需要知道什么？由 t 4 我们能知道什么？ 的坐标分别为： 解 椭圆上对应于 的点
t
4 4 曲线在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线斜率为： x0 4cos
O
x
4
M 0 ( x0 , y0 )
2 2,
y0 6sin
3 2,
dy (6sin t ) 6cos t dx t (4cos t ) t 4sin t
？
？
将上边求得 y 的结果代入，得
1 sin y 1 cos y y . 2 3 (1 cos y ) (1 cos y ) sin y
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式.
dy dx
x0
6x y 5 x
x0 y 2
2 . 5
求隐函数在某一 点处的导数时应 特别注意什么？
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y e 例2 求方程 xy e 0所确定的隐函数 y f ( x ) 的导数．
解 方程两边同时对 x求导数，利用复合函数的求导法则
（注意，这里 y 是 x的函数），得
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一般地，若参数方程
x ( t ), y ( t ),
t
确定了y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的 函数为由上述参数方程所确定的函数． 下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数: 如果在上述参数方程中函数 x ( t ) 具有单调连续的 反函数 t 1 ( x ) ， 并且 t 1 ( x )与函数 y ( t ) 可以构成 复合函数，其中t 为中间变量．
e y y y xy 0, ( x e y ) y y,
y y . y xe
整理得 于是有
1. 方程左右两边对x求 导(注意y是x的函数, 因 此对y的函数求导时要用 复合函数求导法则). 2. 解方程，求出y’ (注意
总结一下求隐 函数的一阶导 数可分哪几步？
2
3x 因此，所求切线斜率 k 4y
x 1 3 y 2
3 1 从而，所求的切线方程为 y ( x 1) x 2 y 4. 2 2
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31 1 . 3 2 4 2
d2y 例4 求由方程 x y sin y 0 所确定的隐函数的二阶导数 2 . dx
1 e (cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
sin x ln x
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二、由参数方程所确定的函数的导数
实例：抛射体的运动轨迹
x v1 t , 1 2 y v2 t gt , 2
y ln( x 1) e x , y sin x .
y
x 2 y 3 sin y 2
等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数．
y
O
x
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把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化. 例如： x 2 y 3 1 0 隐函数显化
y 3 1 x2
由方程 x 2 y 3 sin y 2 x 2 y 3 sin y 2 隐函数 不能解出y来，因此该 能化为显函数吗？ 隐函数不能显化. 并不是任意一个隐函数都能显化的. 我们关心的是，若 方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行 显化而直接由方程求出它的导数呢？
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由一阶微分形式的不变性，有
dy (t )dt ,
再由 t 1 ( x ) ，利用反函数求导法则得
1 dt dx , ( t )
代入 dy ( t )dt 得
( t ) dy dx , ( t )
于是
dy ( t ) . dx ( t )
( xy 3 x 2 5 y 10) 0,
即
y x
dy 解这个关于 的方程，得 dx dy 6 x y , dx 5 x
dy dy 6x 5 0. dx dx
这一步需要特别 注意什么问题？
你注意到隐函数 导数的表示式的 特点了吗？
y 2 ，因此 由方程 xy 3 x2 5 y 10 0 可知，当 x 0 时，
y’表达式中即含有x，也 含有 y).
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例3
3 x2 y2 求椭圆 1 上点 (1, ) 处的切线方程． 2 4 3
讨论：要求切线方程，关键要找到什么？ 解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定 的隐函数在点 (1, 3 ) 处的导数.
x2 y2 2 x 2 yy 原方程两边分别对 x 求导，得 ( ) (1) 0. 4 3 4 3 3x 解得 y . 4y
第二章 导数与微分
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一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
四、数学建模的实例
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一、隐函数的导数
函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关 系的表示形式是多种多样的。 例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯
则称方程 一的y与之对应， 因此我们说这条曲线 (或者方程x2+y3+siny=2) 在区间 确定了一个函数y=f(x)， 称其为由该方程确定的隐函数 .
y
x 2 y 3 sin y 2
y
O
x
x
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一、隐函数的导数
一般地 如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x， 通过方程 F ( x , y ) 0, 相应地总有满足这个方程的唯一的实数y 则称方程 F ( x, y ) 0 在区间I上确定了一个隐函数. 存在， 相应的，诸如
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2 xy 3 x 5 y 10 0确定的隐函数 y f ( x ) 在 x 0 例1 求方程
点的导数． 解 用 y f ( x )替换 xy 3 x 2 5 y 10 0 中的 y，得
xf ( x) 3 x 2 5 f ( x) 10 0,
若 x (t ), y (t ) 在区间 ( , ) 内可导，并且 (t ) 0, 则有
dy ( t ) . dx ( t )
（参数方程求导计算公式）
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例7 求由参数方程
x 2(cos sin ), y 3(sin cos ), dy 所确定的函数 y y( x ) 的微商 . dx