双曲线中焦点三角形的探索

双曲线中焦点三角形的探索

基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。

2：该三角形中由余弦定理得|

|||2||||||cos 212

21222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠结合定义，有

()||||24||||2||||||||212212

212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅+=⋅+-=+

性质一、设若双曲线方程为22

22x y 1a b -=（a ＞0，b ＞0），

F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：

若

12F PF ,

∠=θ则

122F PF S b cot

2θ

=V ；特别地，当

12F PF 90∠=o

时，有

122

F PF S b =V 。

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得

.

4)(,2222121a r r a r r =-∴=-

在△21PF F 中，由余弦定理得：

.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2

2121221c r r r r r r =-+-θ

即

.4)cos 1(242

212c r r a =-+θ .

cos 12cos 1)(222221θθ-=--=∴b a c r r

由任意三角形的面积公式得：

2cot 2sin 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θ

θθ

θ

θ

θθ⋅=⋅=-⋅==

∆b b b r r S PF F .

.

2cot 221θ

b S PF F =∴∆

特别地，当θ＝︒90时，

2cot

θ

＝1，所以

122

F PF S b =V

同理可证，在双曲线122

2

2=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.

例4 若P 是双曲线1

36642

2=-y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△

21PF F 的面积.

解法一：在双曲线1

36642

2=-y x 中，,10,6,8===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在双曲线上， ∴由双曲线定义得：.

1622

1==-a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221

c r r r r =-+θ 配方，得：

=+-212

21)(r r r r 400 .25640021=-∴r r 从而.14421=r r

.3362314421sin 212121=⨯⨯==

∆θr r S PF F

解法二：在双曲线136642

2=-y x 中，362

=b ，而.60︒=θ 3

3630cot 362

tan

221=︒==∴∆θ

b S PF F

考题欣赏

（2010全国卷1理）(9)已知1F 、2F 为双曲线C:2

2

1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为

(A) 2

(B)2

(C)

(D)

【答案】 B

（2010全国卷1文）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:22

1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，

∠1F P 2F =0

60，则12||||PF PF =g

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

【答案】B 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222

121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-

(

)

(2

2

2

2121

2

1212

12

12

2221

cos60

22

2PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=

⇒=

12||||PF PF =g 4

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

12

02

2

01216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ

∆=====

12||||PF PF =g 4

性质一推论：在双曲线122

22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，左右焦点分别为1F 、2F ，当点P

是双曲线左支上任意一点，若θ=∠21F PF ，则

θθ

cos sin 22

1c a c b S PF F +=

∆.特别地，当

︒=∠9021F PF 时，有

a c

b S PF F 22

1=

∆。当点P 是双曲线右支上任意一点，若θ=∠21F PF （<θ双曲线渐近线的倾斜角），则

a c c

b S PF F -=

∆θθcos sin 22

1

证明：i 、当P 为左支上一点时，记2211||,||r PF r PF ==（21r r <），由双曲线的定义得

a r r a r r 2,21212+==-，

在△21PF F 中，由余弦定理得：.cos 442212

21r c r c r =-+θ 代入得

.)2(cos 442

1122

1a r c r c r +=-+θ 求得θcos 21c a b r +=

。 θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 21222112

1c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆得证

特别地，当θ＝︒

90时，

a c

b S PF F 22

1=

∆

ii 、当P 为右支上一点时，记2211||,||r PF r PF ==（21r r >），由双曲线的定义得

a r r a r r 2,21221-==-，

在△21PF F 中，由余弦定理得：.cos 442212

21

r c r c r =-+θ