平面向量的应用(教学设计)

平面向量的应用

一、江苏省高考说明对平面向量的要求 平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算，平面向量的坐标表示，平面向量的平行与垂直这几个方面都是B 级要求，平面向量的应用是A 级要求，仅平面向量的数量积是C 级要求.

二、高考命题规律

1、高考对向量的考查主要是向量的概念及其运算（坐标运算、几何运算），平面向量的加、减法的几何意义，数量积及运算律，两个非零向量平行及垂直的充要条件；

2、常在大题中兼顾对向量的考查，主要涉及向量在三角函数、解析几何、函数及数列中的应用；

3、题目大都是容易题和中等题，题型多为一道填空题或一道大题. 三、复习目标

1、通过本节课的复习，进一步掌握向量数量积的几何运算法则和坐标运算法则；

2、使学生正确掌握向量的具体应用，并能通过解题体验平面向量应用问题的常规解法.

四、复习重点

1、平面向量的概念、加减法、数量积的灵活应用；

2、平面向量的具体应用. 五、复习过程 （一）小题训练 1、（高考题改编）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平 面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 . 28y x =-

2、若向量a

，b

满足2=a

，1=b

，()1=+⋅b a a

，则向量a

，b

的夹角的大小为 .

34

π

3、已知向量

2

(,1)a x x =+，(1,)b x t =-，若函数()f x a b =在区间（-1，1）上是增函数，则t 的取值范围是 .

4、在△ABC 中，π

6

A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与

B 、

C 不重合），且

22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ．

512

π

（二）典型例题

例1：已知向量(cos ,sin )a αα=， (2sin ,cos )b αα=-，(,)22

ππ

α∈-

.

（1）若||31a b +=+，求α的值；

（2）若向量(2,sin )c α=，求()a c b -的最大值． 解：（1）

222||

(2cos sin )(sin cos )a b αααα+=+-+

+4-4sin()44

π

α=-=+sin()-42πα∴-=，3(,),(,),22444

πππππ

αα∈-∴-∈-

2--,4343π

πππαα∴-

=-=或5.1212

ππα∴=-或-

（2）(cos 2,0)a c α-=-，

()(cos 2)(2sin )a c b αα∴-=--cos )sin cos 2αααα=+--

21sin cos sin cos ,

2

t t αααα-+==设，则3(,),(

,),22

4

44

πππππαα∈-∴+∈-

sin()((42

t πα∴+∈-∴∈-

21()222t a c b t -∴-=-

-211(22

t =--，

().t a c b -1

所以当取得最大值为－2

举一反三

2(4,0),(0,4),(3cos ,3sin ).0|||2sin sin 201tan A B C AC BC AC BC αααπαααα

∈-=+=+已知(1)若（，），且|，求；(2)若，求的值.

,3,44,ABC BC k AC AB k Z ABC ∆==≤∈∆例2：已知中，向量（2-）,（2）,且， 求为直角三角形的概率.

举一反三

,3,44ABC BC k AC AB k Z ABC ∆==≤∈∆已知中，向量（2-）,（2）,且，，

求为锐角三角形的概率.

310102,

O E F A P Q AE EF -=例：已知为坐标原点，点（，），（，），动点、、满足

,0,//AQ QF PQ AF AP EP ==

1P C （）求动点的轨迹的方程；

2,M N C OM ON OE MN （）、是轨迹上两点，且+2=3求直线的方程.

,0,AQ QF Q AF PQ AF PQ AF =∴=∴⊥解：(1)为的中点，

.//,PQ AF PA PF AP EP A E P ∴∴=∴为线段的垂直平分线，、、三点

P AF AE PE PF PE PA ∴∴+=

+共线,为线段的垂直平分线与的交点，

222 4.2, 1.43

x y EF P a b P =∴==∴+=动点的轨迹为椭圆，得的轨迹方程为：

2222

112211222412412M x y N x y x y x y +=+=（）设（,）、（,）,则3①，3②

12122320OM ON OE x x y

y +=-+=又由+2

=3，得③,④联立①②③④, 2122221237,48332

MN y y y x y k MN x x x -

=-=±===±∴-+直线的方程为：

(1).2

y x =±

+

（三）巩固练习

1、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A •＝－4，则点A 的坐标是 . (1，±2)

2、设点D 、P 为△ABC 内的两点，且满足)(4

1

AC AB AD +=，BC AD AP 5

1+=，则

=∆∆ABC APD

S S

. 110