平面向量的应用(教学设计)

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平面向量应用举例第一课时教学设计

4.4平面向量应用举例第一课时教学设计一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些平面几何问题、三角函数问题与解析几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、三角函数问题、解析几何问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、三角函数问题、解析几何问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何问题、三角函数问题等有一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些平面几何问题、三角函数问题，体会向量在几何、三角中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、三角函数问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、三角函数中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、电子白板、投影机.四.教学设计复习回顾1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(b ≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算；①cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22； ②|AB |＝|AB →|＝AB →2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.设计意图：因为后面的应用会涉及到向量的相关知识，所以有必要复习。

平面向量的应用教学案 (5)

平面向量的应用一、教学目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题二、教学重点1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题三、教学难点能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题四、教学过程知识提炼1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD .( )解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F 1，F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．(2)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(3)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB ，CD 重合．答案：(1)√ (2)× (3)×2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 为菱形．答案：D3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→，所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．解析：设合力为F ，则F 1⊥F 2，且F ＝F 1＋F 2，|F |＝（F 1＋F 2）2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝（53）2＋2×0＋（53）2＝5 6.答案：5 65．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．解析：由已知位移AB →＝(－4，3)，所以力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.答案：1 类型1 平面几何中的垂直问题例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF .证明：以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴建立如右图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|DP →|＝λ(λ∈R)，则A (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0.于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1，－22λ.PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ＝－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋1－22λ＝0，所以PA →⊥EF →，即PA ⊥EF . 归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．变式训练求证：菱形的两条对角线互相垂直．证明：如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，所以AB 2→＝AD 2→.(OB →－OA →)2＝(OD →－OA →)2，化简得：OB 2＋OA 2－2OA →·OB →＝OD 2→＋OA 2→－2OA →·OD →，又OB →＝－OD →，上式可化为： OA →·OB →－OA →·OD →＝OA →·(OB →－OD →)＝OA →·DB →＝0.所以OA →⊥DB →.所以AC ⊥BD .所以菱形的对角线互相垂直．类型2 平面几何中的长度问题例2、已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n ，0)，因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2，所以|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)解：因为E 为CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，设F (x ，0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ， AF →＝(x ，－m )．因为A ，E ，F 三点共线，所以AF →＝λAE →.即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34m λ，故λ＝43，即x ＝n 3，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0.所以|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF 的长度为13n 2＋9m 2归纳用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解． 2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练、如图所示，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．解：设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ，则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又因为AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝ AC →2＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB →2＝（a －b ）2＝a 2－2a·b ＋b 2＝7.所以AC 的长为13，DB 的长为7. 类型3 向量在物理中的应用例3、在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如右图所示)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．解：如右图所示，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300(N)，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin 30°＝150(N)，|OB →|＝|AC →|＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 归纳利用向量处理物理问题的方法 1．利用向量处理力学问题的方法．解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象． 2．利用向量处理速度、位移问题的方法．解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解．变式训练、用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ解析：如下图所示，由做功公式可得：W ＝|F |·|s |sin θ. 答案：D五、课题练习：见变式训练六、课题小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．七、教学反思平面向量的应用一、学习目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题二、学习过程知识提炼1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则． ( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0. ( )(3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD . ( ) 2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．5．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．类型1 平面几何中的垂直问题例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF . 归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．变式训练求证：菱形的两条对角线互相垂直．类型2 平面几何中的长度问题例2、已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)．归纳用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解． 2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2.变式训练、如图所示，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．类型3 向量在物理中的应用例3、在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如右图所示)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．归纳利用向量处理物理问题的方法1．利用向量处理力学问题的方法．解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象． 2．利用向量处理速度、位移问题的方法．解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解．变式训练、用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ五、课题练习：见变式训练六、课题小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．七、教学反思。

平面向量应用教案

平面向量应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念之一，它在解决各种几何和物理问题中有着广泛的应用。

本教案将介绍平面向量在几何和物理中的具体应用，帮助学生更好地理解和掌握平面向量的使用方法。

二、平面向量的表示与性质1. 平面向量的表示方法平面上的向量可以使用有序数对或者坐标表示。

例如，向量AB可以表示为➡️ AB 或者 (x, y)。

其中，向量的起点为A，终点为B。

向量的模长可以通过勾股定理计算得到。

2. 平面向量的性质平面向量具有位移性、共线性和反箭头性质等基本性质。

在计算中，我们可以通过向量加法、数乘和平移等运算来处理各种向量问题。

三、平面向量的应用1. 几何应用1.1 平行四边形的性质平行四边形的两条对角线互相平分，即向量AC = -向量BD，向量AD = -向量BC。

这个性质在解决平行四边形相关问题时非常有用。

1.2 向量和三角形面积三角形ABC的面积可以通过向量积的大小来计算，即S△ABC =1/2 |AB × AC|。

这个公式对于求解三角形面积问题非常方便。

2. 物理应用2.1 力的合成与分解力的合成是指将多个力的作用效果等效为一个力的过程。

我们可以利用平面向量的加法来求解力的合成问题。

而力的分解是指将一个力拆解为多个分力的过程，这可以通过平面向量的减法来实现。

2.2 力的平衡与不平衡多个力在平面上的合力为零时，称为力的平衡。

我们可以使用平面向量的加法和减法来求解力的平衡问题。

相反，当多个力在平面上的合力不为零时，称为力的不平衡。

这种情况下，平面向量的合力将导致物体加速度的出现。

四、案例分析通过以下案例，我们来具体应用平面向量解决几何和物理问题。

案例1：求解平行四边形的对角线交点坐标。

已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-2, 1)，B(1, 3)，C(4, 1)和D(1, -1)，求对角线AC和BD的交点坐标。

解析：向量AC = (4, 1) - (-2, 1) = (6, 0)向量BD = (1, -1) - (1, 3) = (0, -4)由于对角线互相平分，所以交点坐标为平行四边形对角线的中点。

平面向量基本定理教案(精选10篇)

平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面向量应用教案

平面向量应用教案教案标题：平面向量应用教案教案目标：1. 理解平面向量的概念及其基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；3. 能够应用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的分析和解决问题的能力。

教案步骤：I. 导入（5分钟）A. 激发学生对平面向量的兴趣，引入平面向量的概念和应用；B. 提出一个简单的问题，例如：给出两个平面向量A和B，求它们的和向量与差向量。

II. 知识讲授（15分钟）A. 讲解平面向量的定义和表示方法，包括向量的模、方向、标志等；B. 阐述平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；C. 介绍平面向量的基本性质，例如交换律、结合律等。

III. 基本应用（20分钟）A. 通过实例演示平面向量的加法和减法运算；B. 引导学生进行基本练习，巩固加法和减法的应用能力；C. 通过解决实际问题，如平面位移、速度和力的合成等，让学生体会平面向量在物理问题中的应用。

IV. 深化应用（25分钟）A. 设计更复杂的问题，引导学生思考如何利用平面向量解决；B. 分组合作，让学生使用平面向量解决具体问题，如推导三角形中的角平分线等；C. 学生展示解题过程并互相评价，加强对平面向量应用的理解和掌握。

V. 总结与拓展（10分钟）A. 总结平面向量的基本概念和运算法则；B. 给学生提供一些拓展性问题，鼓励他们独立思考和探索更多的平面向量应用。

VI. 作业布置（5分钟）A. 布置一些练习题，巩固平面向量的应用能力；B. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与平面向量相关的实际问题，并尝试解决。

教学辅助工具：- 平面向量的定义和示意图；- 教学课件，包括运算规则和实际问题的解决过程；- 学生练习册和教辅材料。

教学评估：1. 在知识讲授环节，观察学生对平面向量的基本概念和运算规则的理解程度，及时纠正和解答疑惑；2. 在基本应用和深化应用环节中，观察学生解决问题的思路和方法，以及解答问题的准确性和完整性；3. 综合考察学生在作业布置中的应用能力和创新思维。

平面向量应用教案设计

平面向量应用教案设计。

一、教案设计背景在进行平面向量的教学过程中，应该给学生提供一些实际的、具有应用意义的例子，让学生真正了解向量的物理意义和几何意义。

因此，在设计教案时，要注重培养学生的实际应用能力，帮助学生将理论与实践相结合。

同时，还要根据学生的实际情况，合理设置教学目标和教学内容，有针对性地进行教学。

二、教案设计目标1、了解平面向量的定义、性质及运算法则；2、了解平面向量的几何和物理意义；3、掌握平面向量的加、减、数乘等基本运算；4、理解平面向量在物理学中的应用；5、能运用平面向量解决相关问题。

三、教学内容设计1、平面向量的定义及其基本性质；2、平面向量的加、减、数乘及其性质；3、平面向量在平面直角坐标系中的坐标表示；4、平面向量的应用：（1）向量叉积的物理意义及其应用；（2）向量叉积的计算方法；（3）摩擦力的向量分解；（4）向量投影的应用。

四、教学方法设计1、讲授法在平面向量教学中，讲授法是最基础的教学方法，通过以物理意义为主线的学习方法，结合具体的例子来进行讲解，可以让学生快速掌握向量的相关知识。

2、归纳法平面向量的定义、性质及运算法则较多，采用归纳法可以让学生快速记忆和理解，增加教学效果，提高教学质量。

3、实践法在教学中，可以通过让学生参与实际操作来达到教学效果的提高。

举个例子，通过让学生进行向量相加、相减、数乘等操作，能够有效增强学生的理解和记忆能力。

4、启发式教学法在解决向量应用问题时，可以采用启发式教学法，结合学生的实际情况，帮助学生提高解题的思维能力和应用能力。

五、教学资源准备1、教学材料：课件、示意图、多媒体资料等；2、教学实例：让学生自主选择实际应用实例，进行讨论和分析；3、计算机程序：使用计算机程序来帮助学生更快速、准确地进行计算，增强学生的实际操作能力和计算能力。

六、教学反思与评估在教学过程中，教师应时刻反思自己的教学方法是否合理、有效，及时进行调整和完善。

同时，要通过测试、问答、小组讨论等方式对学生进行评估，了解学生的掌握程度和反馈意见，为下一步的教学改进提供参考。

《平面向量的应用》教学设计

《平面向量的应用》单元教学设计一、单元教学内容及内容解析1．内容平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例、余弦定理和正弦定理及其应用举例．建议用2课时．第一课时：平面几何中的向量方法；第二课时：向量在物理中的应用举例．2．内容解析本单元是在学生已经学习了平面向量的概念和运算的基础上，应用平面向量解决问题．本单元是为了体现向量的工具性，即运用向量方法解决平面几何、物理中的问题．通过本部分内容的学习，可以促使学生认识到向量与实际生活紧密相连，有极其丰富的实际背景，有着广泛的实际应用，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识．因此本单元具有很高的教育教学价值，它对更新和完善知识结构具有重要的意义．本单元强调了向量的工具特性，能用向量语言和方法表述、解决平面几何和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．其中，特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”，从而较好地体现了数形结合思想．基于以上分析，可以确定本单元的教学重点是：掌握平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例．二、单元教学目标及目标解析1．目标（1）掌握向量在平面几何中的初步运用，会用向量知识解决平面几何问题；（2）运用向量的方法分析和解决物理中的相关问题；2．目标解析达成目标（1）的标志是，学生能用向量方法解决简单的平面几何问题，能掌握向量法解决几何问题的“三步曲”；深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性．达成目标（2）的标志是，学生能用向量方法解决物理中的问题，体会向量是一种处理物理问题的工具，能体会向量在解决物理当问题中的工具性特点．三、单元教学问题诊断分析本单元要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，从而引导学生认识到向量是描述现实问题或数学问题的一种数学模型．同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法．这一要求会让一些生活经验匮乏或物理学科知识不足的学生感到困难．向量运算有两个方面：代数表示与几何意义．由于在新知识的学习过程中，它们相对孤立，学生对他们的认识也就不容易形成体系，所以在前面新授课时应有意识地做一些渗透和铺垫，在本单元应强调它们的区别与联系，以便学生更加全面、深刻地认识向量．向量显著的优势表现在：利用向量知识解决几何问题，可以避开繁琐复杂的定性分析，把抽象的理论证明转化为向量代数运算，实现从“定性”到“定量”的转化．学生逻辑推理能力的不足可能造成把几何问题转化为向量问题的困难．基于上述分析，本单元的教学难点：（1）如何将平面几何问题转化为向量问题；（2）将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题，并用向量方法解决．教学中，应揭示知识背景，强化学生的参与意识，借助多媒体手段（几何画板、Geogebra等作图工具），加强学生对向量工具性的理解．这些是突破向量应用难点的支撑条件．四、教学过程设计平面向量应用的教学，按“创设情境——引出问题——应用向量解决问题——归纳”的过程展开．第一课时（一）课时教学内容利用向量方法解决平面几何中的相关问题．（二）课时教学目标1．利用向量的方法解决平面几何中的相关问题，掌握向量法解决几何问题的“三步曲”；2．深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性．（三）教学重点与难点重点：利用向量的方法解决平面几何中的相关问题，掌握向量法解决几何问题的“三步曲”．难点：将平面几何问题转化为向量问题的化归思想，深切体会向量的工具性这一特点．（四）教学过程设计1．复习引入问题1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，你能将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？师生活动：师生共同回忆完成．设计意图：为向量在平面几何中的应用提供理论依据．2．探究新知问题2如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：师生活动：引导学生回忆初中的证明方法．设计意图：三角形中位线定理是平面几何中的重要定理之一，在平面几何的学习中，学生曾经用不同的方法进行过证明，但常常因为需要添加辅助线而使得证明显得较为困难．这里用向量方法证明该定理，可以和初中时的几何证法做一个对比，体现向量在解决几何问题中的优越性．追问如何利用向量推导三角形内线段长度关系？师生活动：引导学生思考．（1）平面几何中求线段的长度问题在向量中就是求向量的模的问题．（2）解题的关键是选择基底．（3）可以取基底（4）师生共同完成证明．设计意图：要求用向量方法证明这一定理，旨在体现向量在平面几何问题证明中的应用，排除因添加辅助线而带来的困难，凸显向量方法在证明某些几何问题中的优越性．掌握证明几何问题的向量方法，体会向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．3．理解新知问题3通过问题2的解决，请大家总结用向量法解决平面几何问题的“三步曲”．师生活动：归纳小结向量方法解决几何的步骤：设计意图：经历例1的证明，学生归纳总结，由此体会向量解决几何问题可以按一定的运算程序进行操作，进而使学生明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”，使学生对所学知识系统化、条理化．4．运用新知问题4已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？师生活动：（1）引导学生猜想：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？（2）把这个结论：从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？设计意图：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例2的思维难度，体验特殊到一般的数学思想．（3）引导学生用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”解决问题：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：（4）思考：你能用文字语言叙述这个关系式的意义吗？平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．设计意图：通过用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，掌握用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积，进一步体会向量方法解决几何问题的“三步曲”解决问题．追问1 还可以选择其他基底吗？师生活动：引导学生也可以取为基底．追问2问题4还可以用什么方法证明？师生活动：引导学生建立直角坐标系，设计意图：让学生体会用向量方法研究几何问题还可以建立平面直角坐标系．5．反思总结问题5通过以上问题的解决，我们总结一下运用坐标解决平面几何问题可以分哪几个步骤？师生活动：共同简述：形到向量（转化）向量的运算（运算）向量和数到形（翻译）．（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．设计意图：学生通过归纳发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度．6．课堂练习教科书第39页的练习．设计意图：通过练习及时巩固、反馈．7．作业习题6.4的第1，2，3题．（五）目标检测设计1．如图，已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角．求证：∠ABC=90°．设计意图：考查学生对向量方法证明几何问题的掌握情况．2．如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值．设计意图：考查学生对向量方法证明几何问题的掌握情况．第二课时（一）课时教学内容1．通过向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用以及向量在速度的分解与合成中的应用，用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学等的相关问题；2．在实际问题中，运用向量的方法分析和解决物理中的相关问题．（二）课时教学目标1．经历用向量的方法解决物理当中的关于力学、运动学等的相关问题；2．体会向量在解决物理当中相关问题的工具性特点．（三）教学重点与难点重点：运用向量的有关知识解决物理中的相关问题．[来源:Zxxk．Com]难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．（四）教学过程设计1．创设情境，体验物理现象问题1如何运用向量工具解决物理中有关力的问题？在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？师生活动：先自主完成，然后小组探讨结论．设计意图：从学生身边的熟悉的例子切入主题，学生更有切身体会，有利于激发学生的学习兴趣．2．合作探究，解释物理现象师生活动：教师引导学生进行受力分析（注意分析对象），并把]上面的问题抽象为如右图所示的数学模型．由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形，只要分析清楚F，G，三者之间的关系（其中F为的合力），就得到了问题的数学解释．设计意图：利用向量知识解决简单的物理问题．3．整理小结，归纳一般步骤问题2 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?师生活动：学生先自主完成，然后师生一起归纳．用向量解决物理问题的一般步骤是：（1）问题的转化：把物理问题转化为数学问题；（2）模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获得：求出数学模型的有关解；（4）问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象．设计意图：让学生总结解题方法和过程，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．4．深入探索，拓展应用问题3运用向量工具解决物理中有关运动的问题如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1 min）？师生活动：（1）教师启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶．由于水的流动，船被冲向下游，因而水速的方向是怎样呢？（因此要使船垂直到达对岸，就要使与的合速度的方向正好垂直于河岸方向）（2）教师再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度V的方向还是的方向？为什么？（3）教师启发学生画出和V的方向，让学生思考向量V-的方向如何确定．（4）教师启发学生利用三角形法则作出V-（即），再把的起点平移到A，也可直接用平行四边形法则作出．答：行驶航程最短时，所用时间是3. 1 min设计意图：体会向量在解决物理问题中的工具性特点，用向量方法解决物理中运动学有关“速度的合成与分解”等问题，加强数学的应用意识和逻辑推理及数学运算等核心素养．问题4一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度||=10 km/h，水流速度||=2 km/h，那么当用时最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1 min）？师生活动：组织学生讨论，共同得出答案．设计意图：作为问题3的变式，将“航程最短”的要求改为“用时最短”，培养和考查学生关于知识迁移的意识和能力．5．反思总结师生共同归纳：用向量知识解决物理问题的一般思路是：设计意图：归纳向量在解决物理问题中的一般思路，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．6．课堂练习教科书第41页的练习．设计意图：通过练习及时巩固、反馈．7．作业习题6.4的第4，5题．（五）目标检测设计1．用两条成120°的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N．设计意图：考查学生利用向量方法解决物理问题（力学问题）的能力和掌握情况．2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝______ J．设计意图：考查学生利用向量方法解决物理问题（有关做功问题）的能力和掌握情况．3．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．设计意图：考查学生用向量方法解决物理问题（有关运动学问题）的能力和掌握情况．单元教学设计：余弦定理、正弦定理及其应用举例一、内容和内容解析1．内容余弦定理、正弦定理、运用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．建议用3课时：第一课时：余弦定理；第二课时：正弦定理；第三课时：正弦定理解决简单的实际问题．2．内容解析三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具．为了更好地体现向量的价值，教科书把余弦定理和正弦定理放在本节中，用向量方法推导了余弦定理和正弦定理．解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性，体现数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握余弦定理、正弦定理；能用向量方法证明余弦定理、正弦定理，会用余弦定理、正弦定理解三角形；运用余弦定理、正弦定理解决一些与测量有关的简单实际问题．二、目标和目标解析1．目标（1）用向量方法证明余弦定理、正弦定理．（2）用余弦定理、正弦定理解三角形．（3）余弦定理和正弦定理的应用．2．目标解析达成目标的标志是：（1）学生能用向量等知识证明余弦、正弦定理，能掌握余弦、正弦定理；（2）能初步运用余弦、正弦定理及其推论解斜三角形，能解决斜三角形的计算问题；（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．三、教学问题诊断分析一般地，当人们明确了学习某一知识的目的性和必要性以后，学习这一知识的热情必将得到极大的提高．然而，为什么要探究一般三角形中边角关系？如何探究一般三角形中边角关系？学生大多还缺乏明确的思想认识和有效的思维方法．余弦定理、正弦定理是三角形中的边、角定量关系．在初中，学生学过勾股定理、锐角三角函数（直角三角形中的边、角定量关系），并会用这些定量关系解直角三角形，用解直角三角形可以解决简单的实际问题．对于一般三角形，学生定性地研究过三角形中的边、角定量关系，知道边、角满足一定条件的两个三角形全等．在高中，学生进一步学习了任意角的三角函数与三角恒等变换，获得了用向量解决几何问题的方法，但是还缺乏由定性分析到定量研究的能力，生活实践经验较匮乏，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高．基于上述分析，本单元的教学难点：用向量方法推导余弦定理和正弦定理，应用两个定理解决实际问题．四、教学支持条件在从特殊到一般地推导正弦定理时，可适当辅助几何画板，通过数学实验，得到正弦定理．五、教学过程设计第一课时（一）课时教学内容1．证明余弦定理的向量方法及余弦定理的两种表示形式；2．运用余弦定理解决“边角边”及“边边边”问题．（二）课时教学目标1．余弦定理的发现和证明过程；2．余弦定理的应用．（三）教学重点与难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其应用，体会向量方法推导余弦定理的思想．难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法，及余弦定理在求解三角形时的思路．（四）教学过程设计引言：对于三角形中的边角关系，尽管在初中已经有过诸如对“勾股定理”“锐角三角函数”这样的刻画一个直角三角形中，边与边之间或边与角之间的关系的定量研究，并且利用它们解决了直角三角形中边长和角度的求解问题．但是，在社会生产实践中，我们遇到的三角形更多的是一般三角形．因此，探究一般三角形中边角之间的定量关系，显得十分必要．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？本节课我们就来探究这个问题．1．余弦定理的探究问题1我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么？例如，（1）在中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和c表示？（2）你认为可以用什么方法探究这个问题？师生活动：教师首先让学生明确上述数学问题．在中，已知BC=a，AC=b，BC和AC的夹角是C，如何用已知的边a，b和它们的夹角C表示第三边c？围绕问题（2），学生自行思考或相互商量探究问题（1）的方法，如坐标法、向量法、几何法都可以用于探究问题（1）．教师综合学生的意见，与学生协商并确定选用向量方法探索余弦定理．这里，教师重在引发学生的思考．考虑到教科书中采用向量法的意义和作用，因此教师可以作两手准备：若学生中有提出用向量法探究的，则协商并确定选用向量方法探究余弦定理是十分自然的．若学生中没有提出用向量法探究的，则教师可以启发学生思考：是否可以利用向量法探究．在此基础上，最终和学生共同确定用向量方法探索余弦定理，其他方法则可以酌情选用．具体地，用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：①把几何元素用向量表示：③向量式化成几何式：设计意图：从“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”出发，进而阐明“给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的”事实，由此自然引出上述探究问题，即怎样根据三角形已知的两边及其夹角来确定第三边．三角形全等的判定只是定性地说明“给定两边及其夹角的三角形具有唯一确定性”的事实，而“用三角形已知的两边及其夹角表示第三边”反映的是三角形中边和角之间的量化关系．如此连贯地提出问题，旨在沟通新旧知识的相互联系，引导学生体会量化的思想和观点．探究问题（1）的方法不是唯一的．课堂上引发学生自行思考探究的不同方法，旨在尊重学生的主体地位．同时期望学生从不同角度，提出探究余弦定理的不同思路和方法，以此培养学生的发散思维．问题2 上面第②步中怎么想到选用数量积运算的？三个步骤遵循的是什么规则？师生活动：教师引导学生关注教科书的“我们的研究目标是用|a|，|b|和C 表示|c|，联想到数量积的性质，可以考虑用向量c（即a-b）与其自身作数量积运算”，思考教科书中这一段话的意义．教师可以如下总结：事实上，既然我们已经确定选用向量方法来探究，而在向量运算中，涉及向量的模及其两个向量夹角的运算只有数量积，因此我们考虑向量c（即a-b）与其自身作数量积运算．此外，上述①②③三个步骤，遵循的是利用向量方法处理平面几何问题的“三步曲”．这是因为，三角形是典型的平面几何图形之一，因而三角形中的边、角关系自然也是几何元素之间的一种关系．设计意图：这是推证过程中的难点．设计这个问题，旨在引导学生不仅知道“是什么”，而且更应当知道“为什么”．问题3：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用已知的边c，a和它们的夹角B表示第三边b？师生活动：学生自主猜想结论，并交流证明的思路．最后教师给出余弦定理．设计意图：得出余弦定理完整的形式．2．余弦定理与勾股定理的关系问题4勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？师生活动：教师引导学生分析，勾股定理指出了直角三角形中两条直角边及其所夹的直角与斜边之间的关系，而余弦定理揭示了一般三角形中任意两边及其夹角与第三边之间的关系，其根本的差异在于夹角．因此两个定理之间的关系应通过夹角的差异来分析．学生在教师的启发下自主分析，并总结出两个定理之间的关系．由此得出：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．设计意图：通过余弦定理与勾股定理关系的分析，引发学生提炼蕴含在问题中的“特殊与一般”的数学思想，帮助学生树立辩证观点．3．余弦定理的推论问题5利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？师生活动：学生在教师的引导下，根据余弦定理，自行得出定理的推论．在学生得出余弦定理的推论后，教师应进一步作如下阐述：余弦定理的每一个等式中都含有四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角．不难看出，已知其中的任意三个量，就可以求出第四个量．余弦定理的推论是用三角形的三条边表示角的余弦，进而可以求出角．设计意图：在解三角形的问题中，除了求未知的边以外，还会遇到求未知角的问题．提出问题5，旨在启发学生把“角的余弦”这个整体当成未知量，利用方程思想，探求关于“角的余弦”的表达式，为解决其他类型的三角形问题提供有力的工具．4．余弦定理及其推论的应用问题6利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形的问题？。

平面向量的应用(教案)(教师版)

平面向量的应用(教案)【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？二、新知探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF →·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F在同一直线上．证明：设AB →＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO →＝OE →．又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．（2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15）＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦）， W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）．四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（） A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（） A ．（－1，－2） B ．（1，－2） C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）．3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD →－AC →）＝AB →＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）]＝AB →＋12（CD →－AB →）＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB →，所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（）A ．42B ．30C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（）A ．2B ．3C ．2D ．3解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4．规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．探究点3：判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ．由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形．规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．（2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2． ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结 1．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12．所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0，展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°．由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形：（1）a ＝10，b ＝20，A ＝60°；（2）a ＝2，c＝6，C ＝π3．解：（1）因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22．因为c ＞a ，所以C ＞A ．所以A ＝π4．所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b ．解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32．所以C ＝π3或2π3．当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1．当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：判断三角形的形状：已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B ＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【第四课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）．答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ．解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°．又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）．答案：1006 互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB 方向行驶的过程中，若测得观察山顶D 点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C ，作CE ⊥AB ，垂足为E ，则∠DEC ＝α，由例题可知， ∠CBE ＝75°，BC ＝3002，所以CE ＝BC ·sin ∠CBE＝3002sin 75° ＝3002×2＋64＝150＋1503．所以tan α＝DC CE ＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A 多少海里处？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10，所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ，又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝⎛⎭⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．（或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．三、课堂总结 1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线实际测量中的有关名称、术语南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C ．如图所示．2．如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（）A ．1002米B ．50（3＋1）米C ．100（3＋1）米D ．200米解析：选C ．设AB ＝x 米，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ．在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，则BD ＝3AB ＝3x ．因为BD －BC ＝CD ，所以3x －x ＝200，解得x ＝100（3＋1）．故选C ．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos （α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123t sin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

平面向量教案3篇

平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。

二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。

三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。

四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。

向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。

在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。

2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。

平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。

（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。

（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。

（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。

（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。

（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。

3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。

平面向量的应用教案

平面向量的应用教案一、教学目标1. 了解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和乘法运算法则；3. 能够应用平面向量解决简单的几何和物理问题。

二、教学内容1. 平面向量的定义和表示；2. 平面向量的加法和减法；3. 平面向量的数量积和向量积；4. 平面向量在几何和物理问题中的应用。

三、教学过程步骤一：引入1. 通过展示一些与平面向量相关的真实生活例子，引起学生对平面向量的兴趣和好奇心。

2. 引导学生思考并讨论平面向量的定义和表示方法。

步骤二：知识讲解1. 介绍平面向量的定义：一个平面向量是由大小和方向确定的有向线段。

2. 解释平面向量的表示方法：以坐标表示和以向量符号表示。

3. 讲解平面向量的加法和减法运算法则。

步骤三：运算实践1. 给出一些平面向量的具体数值，让学生进行加法和减法运算练。

2. 提供一些几何图形，让学生将其分解为平面向量并进行计算。

步骤四：引入向量积和数量积1. 介绍向量积和数量积的概念和定义。

2. 解释向量积和数量积在几何和物理问题中的应用。

步骤五：应用实例1. 给出一些具体的几何和物理问题，让学生运用平面向量的知识进行求解。

2. 引导学生讨论解题思路，进行实际操作。

四、教学评价1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检验学生是否理解和掌握了平面向量的相关知识。

2. 布置一些练题和作业，评估学生对平面向量运算的应用能力。

五、教学资源1. 平面向量的教学课件；2. 练题和作业。

六、教学反思以学生为中心，注重综合实践和问题解决能力的培养，通过生动的例子和实际运用让学生更好地理解和应用平面向量的知识。

同时，及时反馈学生的学习情况，帮助他们及时纠正错误和理清思路。

新课程必修第二册《6.4 平面向量的应用》核心素养教学设计

6.4.1 平面几何中的向量方法本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。

本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.课程目标学科素养A.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；B.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示；4. 直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性；5. 数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。

1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.多媒体一、复习回顾，情境引入1.向量的三角形法则+。

AB=BCAC特点:首尾相接，连首尾。

向量的平行四边形法则OA=+OBOC特点:同一起点,对角线。

2.向量减法的三角形法则-a==-。

OABAOBb特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。

人教版高中数学必修26.4平面向量的应用教案

6.4平面向量的应用教学设计证明：如图，因为平面几何问题转化为向问题中的几何元素，将几何与向量的联系，用解：第一步，建立平面D(1,1),P(x,1-x),E(0,1-x),F(x,0)(1,),(,DP x x EF x x ∴=--=DP EF DP EF∴⊥∴⊥(1)(1)DP EF x x x x =---小结：①建立坐标系；②写出用到的点的坐标及向量坐标；③进行坐标运算；④还原为几何问题。

几何问题代数化数形结合思想2、如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， ∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.方法总结：向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a |=a 2＝x 2＋y 2(a ＝(x ，y ))或AB ＝|AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22(A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)) 知识探究（二）：向量在物理中的应用举例下面，我们再来感受下向量在物理中的应用。

高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)

2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

高中数学平面向量教案(精选6篇)

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

平面向量的应用教案

平面向量的应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、几何学和工程学等领域。

本教案旨在通过一系列实际问题的分析，帮助学生理解平面向量的概念和应用，并培养他们的问题解决能力和创新思维。

二、教学目标1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的表示方法和运算法则；3. 学会运用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

三、教学内容1. 平面向量的定义和表示方法1.1 有向线段表示法1.2 坐标表示法2. 平面向量的运算法则2.1 向量的加法和减法2.2 数量乘法和向量乘法3. 平面向量的应用3.1 平衡力问题3.2 速度和位移问题3.3 几何图形的性质四、教学方法1. 示教法：通过举例和解题演示，展示平面向量的应用方法；2. 合作探究法：组织学生进行小组活动，共同解决实际问题；3. 归纳法：梳理和总结平面向量的性质和运算法则。

五、教学过程1. 导入通过呈现一个实际问题或图片，引发学生对平面向量的兴趣，并与他们进行简短的讨论。

例如，一辆汽车在平面上行驶，当遇到一个弯道时，如何通过掌握向量的知识预测汽车的移动轨迹？2. 知识讲解依次介绍平面向量的定义和表示方法，并通过示例详细说明向量的加法、减法和乘法运算法则。

3. 案例分析选择一到两个与实际生活紧密相关的问题，引导学生通过运用平面向量的概念和运算法则来解决问题。

例如，通过给定一个三角形的两个顶点坐标，求解第三个顶点的坐标。

4. 小组活动把学生分成小组，每组给出一个与平面向量相关的问题，并要求他们利用相关知识进行解答。

鼓励学生彼此合作、讨论和相互辅导，培养他们的团队合作和解决问题的能力。

5. 总结归纳通过回顾讲解部分和学生的自主探究结果，总结平面向量的性质和运算法则，并强调它们在实际问题中的应用价值。

6. 练习与拓展布置与平面向量相关的练习题，要求学生运用所学知识解答。

鼓励有能力的学生进一步拓展学习，研究与平面向量相关的其他领域和应用。

平面向量的应用教学案

平面向量的应用教学案本篇文章将介绍平面向量的应用教学案，从实际应用角度出发，结合具体案例和问题，引导学生理解和掌握平面向量的概念、性质以及应用技巧。

通过实际问题的解决，培养学生的问题解决能力和创新思维，提高他们的数学素养和应用能力。

一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1. 了解平面向量的概念及其性质；2. 掌握平面向量的表示方法及其相互关系；3. 学会使用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的团队合作、创新思维和问题解决能力。

二、教学内容1. 平面向量的概念和性质a. 平面向量的定义和表示方法；b. 平面向量的相等与相反；c. 平面向量的加法和减法；d. 平面向量的数量积和数量积的性质。

2. 平面向量的应用案例a. 位移向量与平移问题；b. 力的合成与分解问题；c. 向量模型在几何图形中的应用；d. 向量模型在力学问题中的应用。

三、教学过程1. 引入通过一个与学生生活相关的实际问题引入平面向量的概念，如风速、速度等问题，激发学生的兴趣。

2. 概念讲解通过板书、讲解、示意图等方式介绍平面向量的定义、表示方法和性质，注意生动形象地展示，引导学生理解。

3. 理论讲解结合具体示例，逐步讲解平面向量的加法、减法以及数量积的计算方法和性质，引导学生掌握相关技巧和概念。

4. 应用案例分析a. 位移向量与平移问题通过实际问题引导学生分析位移向量与平移问题，如物体的平移、地图的缩放等，让学生运用平面向量解决实际问题。

b. 力的合成与分解问题通过示意图和具体案例，引导学生理解力的合成与分解问题，如物体受力情况的分析、力的平衡问题等，让学生能够应用平面向量解决力学问题。

c. 向量模型在几何图形中的应用通过几何图形的案例，引导学生理解向量模型在几何图形中的运用，如三角形的垂心、内心、外心等问题，培养学生的几何思维能力。

d. 向量模型在力学问题中的应用通过实际力学问题，如斜面上物体的运动问题、绳索受力问题等，引导学生灵活运用平面向量解决力学问题。

平面向量的应用-教案

第3课时平面向量的应用一、向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb三、平面向量基本定理1．定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.四、两向量的夹角1．夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时a与b同向．(3)当θ＝180°时a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°，那么称a与b垂直，记作a⊥b.五、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则把有序数对(x ，y)叫做向量a 的坐标．(2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y)叫做向量的坐标表示．(3)在向量的直角坐标中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．六、平面向量的坐标运算向量的加、减法若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)实数与向量的积若a ＝(x ，y)，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的坐标已知向量AB →的起点A(x 1，y 1)，终点B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量终点坐标减去向量起点坐标平面向量共线的坐标表示1．a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线; 2．a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，当且仅当x 1x 2+y 1y 2＝0时，向量a ，b 垂直; 3．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 是线段P 1P 2的中点，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.七、向量的数量积的定义1.已知两非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积均为0. 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念如下图所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)数量积的几何意义a ·b 的几何意义是 a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积．八、向量的数量积的性质和运算律 1．向量的数量积的性质设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角． (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |. 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |. 2．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．真题回顾1.(2019·全国2·文T3)已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a -b |=( ) A.2 B.2C.25D.50【答案】A【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.所以cos<a,b>=,所以a与b 的夹角为,故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A. B.C. D.【答案】A【解析】如图,=-=-)==)=.4.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.5.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2=2,则的值为()A.-15B.-9C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN,∵=2=2,∴=3=3.∴MN∥BC,且,∴=3=3(),∴=3()·=3(-||2)=3=-6.6.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( )A. B. C.0 D.-1【答案】C【解析】∵a⊥b,∴a·b=0,∴-1+2cos2θ=0,即cos 2θ=0.7.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．补充题1.（向量在平面几何中的应用）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．补充题2.（向量的综合应用）已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14 D.18。

平面向量坐标的应用教案

平面向量坐标的应用教案引言：平面向量是以向量为基本概念的研究内容之一，具有很广的应用。

在学习平面向量时，我们可以将其应用于几何问题和物理学问题中，可以使用向量分解、平面向量加法、平面向量减法、平面向量数量积等概念来解决问题。

本文将介绍如何编写一份平面向量坐标的应用教案，并讲述其教学内容和教学目标。

第一部分：教学内容1.平面向量定义在讲解平面向量的应用前，我们需要先了解平面向量的定义。

可以通过图形和文字定义平面向量，同时需要讲解向量的长度、方向和起点等概念。

2.平面向量坐标表示了解平面向量的定义后，我们需要引入平面向量的坐标表示方式。

通过直角坐标系来表示向量，可以更好的表达其长度和方向。

需要介绍坐标系的标准位置和坐标轴的方向，以及如何表示向量的坐标。

3.平面向量的加法和减法在了解了平面向量的坐标表示方式后，我们可以进行平面向量的加法和减法。

可以通过图形或坐标的方式进行讲解，使学生更好的理解平面向量的加减法规则。

4.平面向量数量积的定义和计算平面向量数量积是向量的一个重要性质，其定义为两个向量之间的乘积。

需要进行向量数量积的定义和计算，同时讲解其性质和基本应用。

可以通过计算向量夹角、平面图形面积等问题进行讲解。

5.平面向量的向量积（选讲）平面向量的向量积是向量的另一个重要性质，其定义为两个向量所构成的平行四边形的面积。

可以进行向量积的定义和计算，同时讲解其性质和基本应用。

需要注意的是，向量积的计算需要使用三维向量的计算方式。

第二部分：教学目标1.了解平面向量的概念和基本性质；2.掌握平面向量的坐标表示方式和坐标的计算方法；3.掌握平面向量的加法和减法运算规则及应用；4.掌握平面向量数量积的定义和计算方法，并理解其性质和基本应用；5.(选讲) 掌握平面向量的向量积的计算方法，并理解其性质和基本应用。

第三部分：教学方法和教学手段1.授课法教师采取讲解、示范和演示等方法进行教学，注重理论和实践相结合，在讲解中引入具体的例子和应用来加深学生的理解和记忆。

平面向量的应用教案

平面向量的应用教案一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具，广泛应用于各个学科领域。

为了帮助学生更好地理解和应用平面向量，本教案将介绍平面向量的基本概念和性质，并通过具体的例题进行实际运用，以此提高学生的解题能力和应用能力。

二、平面向量的基本概念1. 向量和向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，其中起点和终点分别表示向量的始点和终点。

向量通常用字母加箭头表示，例如：→AB表示从点A 指向点B的向量。

向量的表示方法还可以通过坐标表示，设向量→AB的始点坐标为(x₁, y₁)，终点坐标为(x₂, y₂)，则向量→AB用坐标表示为(x₂-x₁, x₂-x₁)。

2. 向量的运算平面向量的运算包括加法和数乘两种。

- 向量的加法：设向量→x的终点为B，向量→x的终点为C，则向量→x的终点为C。

向量加法可通过首尾相接或平行四边形法则进行计算。

- 向量的数乘：数乘即将向量的长度进行缩放，设实数k为缩放倍数，则向量→x的数乘为k∙→x，它的长度变为原来的k倍，并且方向不变。

3. 平面向量的性质平面向量有以下几个重要的性质：- 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相同。

- 零向量：表示长度为0的向量，任何向量与零向量相加都不改变。

- 负向量：设向量→x的终点为B，则向量→x的终点为A，称向量→x为向量→x的负向量，记作−→x。

三、平面向量的应用1. 平面向量与平行四边形平面向量的加法可以用来推导平行四边形的性质和关系。

例题：已知平行四边形ABCD，向量→BA与向量→DC的终点分别为E和F，则向量→E F等于多少？解析：根据平面向量的加法，有：→EF = →EA + →AF = →BA + →DC。

因此，向量→EF等于向量→BA加向量→DC。

2. 平面向量与三角形的面积平面向量的叉乘可以用来计算三角形的面积。

例题：已知三角形ABC，向量→AB和向量→AC的终点分别为D 和E，则三角形ABC的面积等于向量→DE的长度的一半。

课题：6.4平面向量的应用单元教学设计

课题：6.4平面向量的应用一、单元内容与内容解析1、内容向量是一个良好的工具，利用向量可以解决很多数学和物理中的问题，本单元就是利用向量来思考、探究、证明相关问题，体现向量的应用价值。

内容主要包括：平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用、正余弦定理及其应用举例，知识框架如下：本单元内容建议用5课时完成.第1课时：平面几何中的向量方法；第2课时：向量在物理中的应用；第3课时：余弦定理；第4课时：正弦定理；第5课时：余弦定理、正弦定理应用举例。

2、内容解析学习的重要目的之一就是在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此教材安排了“平面向量的应用”。

依次介绍了向量在几何中的应用，向量在物理中的应用与余弦定理、正弦定理。

用向量方法解决数学和物理学科问题，需要综合运用向量知识、其它数学知识或物理知识，探寻解决问题的途径。

本单元的内容安排与原教科书相比有很大变化，主要体现在余弦定理、正弦定理这一模块。

一个变化是这部分内容不再独立成章，而是向量应用的一部分，主要目的是为了体现向量学习的整体性；另一个变化是余弦定理、正弦定理都用向量方法来证明。

另外，因为用向量方法证明余弦定理较为容易，为给学生联想到用向量方法证明正弦定理提供机会，所以本章先介绍余弦定理，后介绍正弦定理，而具体到两个定理的学习基本是按照定理的引入、证明、运用定理解决三角形问题、解决简单的实际问题的顺序展开。

以下是对本单元内容的分类剖析：（1）内容的本质：一方面，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，因此借助向量可以将诸多的几何问题转化为代数问题，并通过向量运算解决问题。

另一方面，向量有着丰富的物理背景，如物理中的力、速度、加速度等等，因此在解决物理问题时自然容易联想到向量，利用向量处理物理问题。

（2）蕴含的数学思想和方法：在利用向量解决平面几何问题时，需要先将问题中的几何对象转化为用向量表示，之后通过向量运算研究几何元素之间的关系，这一过程体现了转化与化归的数学思想。

平面向量的应用(教学设计)

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