波色统计和费米统计
波色统计和费米统计
A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
b
11
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
b
12
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
b
2
费米分布的性质
别：
b
3
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
b
4
f
f
0
1
2
8
Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
b
7
物理意义：
超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
b
8
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
b
9
上式称之为普朗克辐射公式。
b
10
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量
子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及
泡利不相容原理。
b
1
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。
第八章 玻色统计和费米统计
159第八章 玻色统计和费米统计8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln .S k Ω=解: 对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!l ll l l Ωa a ωω=-∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()ln ln ln ln .ll l l l l l l lΩa a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑ （2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN Uαβαβαβ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭=++()ln ,l l lk Ξa αβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑ （3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()ln ln 1.lllΞeαβεω--=+∑ （4）由费米分布e1ll l a αβεω+=+易得1ell l la αβεωω--+=- （5）和l n.l ll la a ωαβε-+= （6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为ln ln.l l ll lΞa ωωω=-∑ （7）将式（6）和式（7）代入式（3），有160 ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑ ()()ln ln ln .l l l l l l l l lk a a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑ （8）比较式（8）和式（2），知ln .S k Ω= （9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1,ln 1ln 1,s s s s ss s s s sS k f f f f S k f f f f =-++⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦∑∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数. s∑表示对粒子的所有量子态求和. 同时证明，当1sf <<时，有()B.E. F.D.M.B.ln .s s s sS S S k f f f ≈≈=--∑解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l ll l l l l lll l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=----⎡⎤⎣⎦⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦∑∑1ln 1ln ,l l l l l l l l l l a a a a k ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ （1）式中l∑表示对粒子各能级求和. 以lsla f ω=表示在能量为l ε的量子态s 上的平均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到~,llsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =-+--⎡⎤⎣⎦∑ （2）161由于1sf ≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =--++⎡⎤⎣⎦∑ （3）对于玻色系统0s f ≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在1sf <<的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln 11s s s s s f f f f f ±≈±≈-所以，在1sf <<的情形下，有()B.E. F.D.ln .s s s sS S k f f f ≈≈--∑ （4）注意到s sf N=∑，上式也可表示为B.E. F.D.ln .s s sS S k f f Nk ≈≈-+∑ （5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵. 解: 式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2N h U N kT g V m kT ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） （式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3U p V=（2）可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2h p nkT n g m kT ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3） 式中N n V=是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为162 32272311,22π2V VU C T hN k n m kT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4） 参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.V C S dT S V T=+⎰（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln .22π2h S N k T N kn S V g m kT ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭（6） 式中的函数()0S V 可通过下述条件确定：在322312πN hn V m kT λ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体. 将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g ），可确定()0S V ，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln.22π2m kT h S N k ng h g m kT ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎢⎥=+±⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7） 弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数ln Ξ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵. 在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似. 关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在cTT <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件163()0d e1ckT D n εεε+∞=-⎰（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e1ckT L m n hεε+∞=-⎰（2）二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定. 令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c xL x m kT n h+∞=-⎰（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e1ee,e 1e1e xxxxxx----==+++--则d 111e 123xx +∞=+++-⎰11.n n∞==∑（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212x y x V m x y zωωω=++中运动. 如果原子是玻色子，试证明：在cT T ≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xy z εωωω=++164 的基态，在3,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：31.202,c kT N ω⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭其中()13.x y z ωωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为31.c N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222y x z x y z p p p m x m y m z m m m εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 这是三维谐振子的能量（哈密顿量）. 根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xy znn n x x yy zz n n n εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,0,1,2,x y z n n n = （2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T 时处在量子态,,x y z n n n 上的粒子数为,,11112221.e1x y z x x y y z z n n n n n n kT a ωωωμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=- （3） 处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即()0.2xy z μεωωω<≡++ （4）化学势μ由()01,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωωεμ⎡⎤+++-⎣⎦=-∑（5）确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值c T 时，μ将趋于0.ε临界温度c T 由下式确定：165()1,,1,e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωω⎡⎤++⎣⎦=-∑（6） 或,,1,e1x y zx y zn n n n n n N ++=-∑（7）其中(),,.i i icn n i x y z kT ω==在1i ckT ω<< 的情形下，可以将i n 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 注意到在d d d x y z n n n 范围内，粒子可能的量子态数为3d d d ,c x y z kT n n n ω⎛⎫⎪⎝⎭即有3d d d ,1x zy x y zc n n n kT n n n N eω++⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎰ （8）式中()13.x y z ωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()11e1e 1e ee.x y zx y z x y zx y zx y zn n n n n n n n n n n n l n n n l ++-++++∞-++-++==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=∑积分等于03d d d ed ed ed e111.202.yxzx y zx y zl n l n l n x y zn n n l l n n n n n n l∞+∞+∞+∞---++=∞==-==∑⎰⎰⎰⎰∑所以式（8）给出166 13.1.202C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（9）式（9）意味着， 在,0N ω→∞→而3N ω保持有限的极限情形下，C kT 取有限值. 上述极限称为该系统的热力学极限.在c TT <<时，凝聚在基态的粒子数0N 由下式确定：30 1.202,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭上式可改写为31.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（10） 式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果. 实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异. 互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同. 关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovo et al. Rev. Mod. Phys. 1999, 71（465）.8.6 承前8.5题，如果,zx yωωω>>，则在zkTω<< 的情形下，原子在z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 试证明C T T <时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xy εωω=+ 的基态，在2,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：21.645,C kT N ω⎛⎫= ⎪⎝⎭其中()12.x y ωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为21.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 在,z x y ωωω>>的情形下，原子z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 与8.5题相似，在cT T <时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xy εωω=+ 的基态. 临界温度c T 由下式确定：2d d e1x yx y C n n kT n n N ω+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰16721.645,C kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）其中()12,x y ωωω=21d d 11.645.e1x yx y n n l n n l∞+∞+===-∑⎰（2）在,0Nω→∞→而2N ω保持有限的热力学极限下c kT 为有限值，有12.1.645C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（3） C T T ≤时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比由下式确定：20 1.645,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭或21.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4） 低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovo et al及其所引文献. 低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirz et al.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7 计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a ）温度为1000K 的平衡辐射.（b ）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为()223d d .πV D cωωωω=（1）温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e 1kT D N T ωωωωω=- （2）因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为168 ()223d .πe 1kT V N T cωωω+∞=-⎰（3）引入变量x kTω=，上式可表示为()3223033233d πe 12.404.πxVkT x x N T c kVT c +∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭=⎰或()332332.404.πkn T T c =（3）在1000K 下，有163210.n m -≈⨯在3K 下，有835.510.n m -≈⨯8.8 试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd ,d ,e 1hckT hcu T λλλλλ=-并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m λ满足方程m hc x kT λ⎛⎫=⎪⎝⎭5 5.xex -+=这个方程的数值解为 4.9651.x = 因此,4.9651m hc T kλ=m λ随温度增加向短波方向移动.解: 式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,d d .πe 1kT u T cωωωωω==- （1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有16922πd d .cωλλ=（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd ,d .e 1hckT hcu T λλλλλ=-- （3）令hcx kTλ=，使(),u T λ取极大的波长m λ由下式确定：5d 0.de 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4） 由式（4）易得55e.xx --= （5）这方程可以用数值方法或图解方法求解. 图解方法如下：以x 为横坐标，y 为纵坐标，画出两条曲线1e ,,5xy x y -=-=如图所示. 两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96. 精确的数值解给出 4.9651.x = 所以使(),u T λ为极大的m λ满足4.9651m hc T kλ=32.89810m K.-=⨯⋅ （6）右方是常量，说明m λ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),u T λ为极大的m λ与式（8.4.11）给出的使(),u Tω为极大的m ω并不相同. 原因是(),u T λ是单位波长间隔的内能密度，170 (),u Tω是单位频率间隔的内能密度. m λ与m ω分别由5d 0de 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4）和3d 0de 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（7）确定，其中.hcx kTkTωλ==由这两个方程解得m x 显然不同.8.9 按波长分布太阳辐射能的极大值在480nm λ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度. 解: 由上题式（6）知32.89810m K.m T λ-=⨯⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K 6000K.48010T --⨯==⨯8.10 试根据热力学公式d V C S TT=⎰及光子气体的热容量求光子气体的熵.解: 式（8.4.10）给出光子气体的内能为24433π.15kU VT c =（1） 由此易得其定容热容量为243334π15V V U k C VT T c ∂⎛⎫== ⎪∂⎝⎭（2） 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d ,V V C p S T V S TT ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ （3）171积分沿任意一条积分路线进行. 如果取积分路线为由（0，V ）到（T ，V ）的直线，即有24242333334π4πd ,1545T kk V S T T T c c ==⎰（4）其中已取积分常量0S 为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T ，V ）的直线，结果如何？8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值. 解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e1cpp p hβθθϕ- （1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元. 以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数. 它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数. 因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e1cpp p c cp hβθθϕθ⋅⋅- （2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J为π232π232332d sin cos d d e12πd .e1u cpcpc p p J hc p p hββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅-=-⎰⎰⎰⎰令x cp β=，上式可表示为172 423342432π1d e 12ππ6,90u xc x x J hc c kT h c β+∞⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰或24423π.60u kJ T c =（3）在6000K ，有727.1410J m;u J -=⨯⋅在1000K ，有520.5510J m.u J -=⨯⋅8.12 室温下某金属中自由电子气体的数密度283610m ,n -=⨯某半导体中导电电子的数密度为28310m n -=，试验证这两种电子气体是否为简并气体. 解: 根据§8.5，在e 1α>>，即31n λ<<的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e 1α<<，即31n λ>>的情形下，气体形成强简并的费米气体.3223,2πh n n m kT λ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1） 将283300,610mTK n -==⨯代入，得33101,n λ≈>> （2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体. 将203300K ,10mT n -==代入，得35101,n λ-≈<<所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论. 金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13 银的导电电子数密度为28 3.5.910m -⨯试求0 K 时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.173解: 根据式（8.5.6）和（8.5.8），0 K 下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n . 式（8.5.6）给出()()222303π.2n mμ=（1）将31342839.110kg,1.0510J s, 5.910mm n ---=⨯=⨯⋅=⨯ 代入，即得()1800.87610J 5.6eV.μ-=⨯= （2）费米速率F υ等于61F 1.410m s .υ-==⨯⋅ （3）式（8.5.8）给出0 K 下电子气体的压强为()()10200 2.110Pa.5p n μ=≈⨯ （4）8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p => （1）其中F p 是费米动量，即0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为F F34F 30F 23F308π1d 34.8π14d 3p p V p p p hp p V p pp h===⎰⎰（2）因此电子的平均速率为F F 33.44p p υυm m=== （3）8.15 试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4n υΓ=174 其中N n V=是电子的数密度，υ是平均速率.解: 绝对零度下电子速率分布为F F 1,,0,,f υυf υυ=≤=> （1）式中F υ是0 K 时电子的最大速率，即费米速率. 单位体积中速率在d υd d θϕ间隔的电子数为()32F 32sin d d d .m υυυυhθθϕ≤ （2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z 轴的单位面积器壁上的碰撞数为3232cos sin d d d .m d υυυhΓθθθϕ=⋅ （3）将上式积分，υ从0到F ,υθ从0到π,2ϕ从0到2π，得0 K 时电子气体的碰壁数为F π32π323034F 32d sin cos d d 211242υm υυh mυhΓθθθϕπ==⋅⋅⋅⎰⎰⎰34F 3π.2m υh=（4）但由式（2）知单位体积内的电子数n 为F 3π2π23033F 32d sin d d 2122π3υm υυh mυhΓθθϕ==⋅⋅⋅⎰⎰⎰33F 38.3m υhπ=（5）所以F 31.444n υn υΓ=⋅=最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速a= 1.8.8）），试证明在0 K理想费米气体中a=解: 式（1.8.8）已给出声速a为a=，（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数. 根据能氏定理，0 K下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0 K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0 K下理想费米气体的压强为()()()2252322523π52p nnmμ==()()22523353213π.52mmρ=（2）故()2222F32213π,323Sppnm m mρ⎛⎫∂==⎪∂⎝⎭即a==（3）8.17 等温压缩系数Tκ和绝热压缩系数Sκ的定义分别为1TTpVκρ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭和1.SSpVκρ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭175176 试证明，对于0 K 的理想费米气体，有()()()3100.20T S n κκμ==解: 根据式（8.5.6）和（8.5.4），0 K 下理想费米气体的压强为()()5223232203π.552N p n mV μ⎛⎫==⎪⎝⎭（1） 在温度保持为0 K 的条件下，p 对V 的偏导数等于()2223223π.32Tp NV m V ∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭由式（A.5）知()()222232313.23π2T TV V p p N N V m V -⎛⎫∂== ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 所以0 K 下()()5223231331.2203π2T T V VV p n N mV κμ⎛⎫∂=-==⎪∂⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）根据能氏定理，T =0 的等温线与S =0 的等熵线是重合的，因此0 K 下.T SV V p p ⎛⎫⎛⎫∂∂= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 由此可知()131.20S S V V p n κμ⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 式（4）也可以从另一角度理解. 式（2.2.14）和（2.2.12）给出s V TpC C κκ= （5）和2.p V TVT C C ακ-=（6）由式（6）知，0 K 下,p V C C =177所以式（5）给出0 K 下.S T κκ8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0 K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VVN ch ch μεεμ==⋅⎰故()1330.8n ch μπ⎛⎫=⎪⎝⎭（3） 0 K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch Vch μμεεεεεμ===⋅⎰⎰()30.4N μ=（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为178 ()110.34U p n Vμ==（5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .A D m hπεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0 K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()0224π4πd 0,A A N m m hhμεμ==⎰即()220.4π4πhNhm Amμ==（3）0 K 下二维自由电子气体的内能为()()()02224π4πd 00.22A A m N U m hhμεεμμ===⎰（4）仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.U p A=（5）因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n μ=（6）8.20 已知0 K 时铜中自由电子气体的化学势()07.04eV ,μ=试求300 K 时的一级修正值.179解: 根据式（8.5.17），温度为T 时金属中自由电子气体的化学势为()()()22π01,120kT T μμμ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦300 K 下化学势()T μ对()0μ的一级修正为()()()22350 1.121001207.8810eV.kT πμμμ-⎡⎤-=-⨯⎢⎥⎣⎦=-⨯ 这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小. 这一点可以从下图直接看出. 图中画出了在不同温度下电子分布函数()f ε随ε的变化. 0 K 时电子占据了能量ε从零到()0μ的每一个量子态，而()0εμ>的状态则全部未被占据，如图中的0T 线所示. 温度升高时热激发使一些电子从能量低于μ的状态跃迁到能量高于μ的状态. 温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的1T 线和2T 线所示()12.T T < 费米分布1e 1hTf εμ-=+要求在任何温度下εμ=的状态12f=，即占据概率为1.2从图8-2可以看出，化学势μ必然随温度升高而减少，即()210.μμμ<<8.21 试根据热力学公式V C S d TT=⎰，求低温下金属中自由电子气体的熵.解: 式（8.5.19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为()2π.20V kTC N kμ= （1）180 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d .V V C p S T V S TT ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ （2） 取积分路线为（0，V ）至（T ，V ）的直线，即有()()222ππd ,2020T N kkTS T N kμμ==⎰（3）其中已取积分常量0S 为零.8.22 由N 个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为r ω，轴向频率为r λω的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为()()222222221.22xy z r m pp p x y zmεωλ=+++++试求0 K 时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量. 假设5-1210,3800s ,8r N ωλ===，求出数值结果.解: 由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为(),,,xy znn n r x y z n n n εωλ=++,,0,1,2,x y z n n n =（1）式中已将能量零点取为1.2r λω⎛⎫+⎪⎝⎭理想费米气体的化学势(),T N μ由下式确定：(),,1.e1r x y z x y zn n n n n n N βωλμ⎡⎤++-⎣⎦=+∑（2） 如果N 足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于r ω ，或者温度足够高使rkTω>> ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分. 令,,,d ,d ,d ,x x r y y r z z r x r y r z r n n n εωεωελωεωεωελω======式（2）可表达为()()3d d d 1.e1x y z x y z r N βεεεμεεελω+++=+⎰（3）引入新的积分变量x y zεεεε=++，可进一步将式（2）改写为181()()31d d d ,e 1xyr N βεμεεελω-=+⎰⎰⎰ （4） 式中被积函数只是变量ε的函数，与x ε和y ε无关. 对一定的ε，d x ε和d y ε的积分等于以x ε轴、y ε轴和x yεεε+=三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于21.2ε 所以式（4）可表达为()()d ,1D N e βεμεε-=+⎰ （5）其中()()231d d .2r D εεεελω=（6）它是能量在ε到d εε+范围内粒子的状态数.0 K 时系统尽可能处在能量最低的状态. 由于泡利原理的限制，粒子将从能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为()0μ的状态止.()0μ由下式确定：()()()()30233011d .322r r N μμεελωλω==⎰由此可得()()1306.r Nμωλ= （7）0 K 时费米气体的能量为182 ()()()()()()00033043d 1d 20142r r E D μμεεεεελωμλω===⎰⎰()30.4N μ=（8）粒子的平均能量为()30.4εμ=（9）对于题给的数据，可得30nK ,r ω=()0 3.5μK ,F T kμ==2.7μK.E k=8.23 承上题，试求低温极限F T T <<和高温极限F T T >>下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解: 首先讨论低温极限F T T <<的情形. 根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分()d ,e1kTI εμηεε+∞-=+⎰（1）在低温极限下可展开为()()()22πd 6I kT μηεεημ'=++⎰（2）对于磁光陷阱中的理想费米气体，有2d ,e1kTc N εμεε+∞-=+⎰（3）其中()31.2r c λω=上式确定费米气体的化学势. 利用式（1），（2）可得1832321π,3ckT N μμ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11233231πN kT c μμ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22π01.30kT μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（4）气体的内能为3d ,1kTc U eεμεε+∞-=+⎰利用式（1），（2）可得()()()()()()24242224242224212π4π0112π430034π0112π4300CkT U C kT kT kT kT N μμμμμμμμ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈-⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈-⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()223201π.430kT N μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（5） 热容量为()2d π.d 0U kTC N k Tμ== （6）在高温极限F TT >>的情形下，有F e ee1.T kTTμα--=≈≈ （7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布. 按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数184 ()()1023e d 1ed 2r Z D βεβεεεεελω+∞-+∞-==⎰⎰()3312.2r βλω=（8）内能为1ln 3.U NZ N kT β∂=-=∂ （9）上式与能量均分定理的结果相符. 根据式（7.6.7），气体的化学势为()31Z ln ln 6.0kT kT kT N μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强. 见B. DeMarco, D. S. Jin. Science. 1999,285(1703). A. G . Truscott et al. Science. 2001,191(2570).8.24 关于原子核半径R 的经验公式给出()151/31.310m ,R A-=⨯⋅式中A 是原子核所含核子数. 假设质子数和中子数相等，均为A /2，试计算二者在核内的密度.n 如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的()0μ以及核子在核内的平均能量.核子质量271.6710kg.n m -=⨯解: 根据核半径的经验公式()11531.310m ,R A -=⨯⋅假设核内质子数和中子数相等，均为2A ，则二者的密度均为()45-31520.0510m .4π 1.310m 3An A-=≈⨯⨯⋅如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量()0μ185为()()22231103π20.4310J27M eV .n mμ-==⨯≈由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为()113050.2610J 16M eV .εμ-==⨯≈核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型. 它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功. 核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子. 从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心. 将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为150.410m -⨯，核内核子之间的平均距离约为152.410m -⨯，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为30.412.4100⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分. 其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态. 作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.25 3He 是费米子，其自旋为1/2在液3He 中原子有很强的相互作用. 根据朗道的正常费米液体理论，可以将液3He 看作是由与原子数目相同的3He 准粒子构成的费米液体. 已知液3He 的密度为-381kg m ⋅，在0.1 K 以下的定容热容量为 2.89.VC NkT = 试估算3He 准粒子的有效质量*.m解: 我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0 K 理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量F p 的费米球：()123F 3π,p n = （1）Fp p >的状态则完全未被占据. 气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到186 F p p >的状态，而在费米球中留下空穴. F p 的大小取决于气体的数密度.n朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子. 液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同. 对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量p 和自旋S 描述. 在0 K 费米液体处在基态时，准粒子占满了动量空间中半径为F p 的费米球，F p 仍由式（1）确定，但n 是液体的粒子数密度. 费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.以()d f p ω表示单位体积中动量在p 到d p p +的准粒子数. 在自旋量子数为1/2的情形下，有32d d .p hω=()fp 满足归一化条件()d .f p n ω=⎰ （2）由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量()p ε与其他准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关. 因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即()()d ,E p f p V εω≠⎰ （3） 而是分布函数()f p 的泛函. 准粒子能量()p ε由下式定义：()()δδd ,E p f p Vεω=⎰ （4）或()()δ.δE V p f p ε⎛⎫∂ ⎪⎝⎭=∂⎡⎤⎣⎦（5）上式的意义是，准粒子能量()p ε等于增加一个动量为p 的粒子所引起的系统能量的增加. ()p ε既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数()f p 的泛函. 习题8.2曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式()()()(){}ln 1ln 1d ,S kVf p f p f p f p ω=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ （6） 式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布()f p 和空穴具有分布()1f p -所导致的熵. 式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态. 如果()f p 是某187非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达. 在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值. 根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系. 将式（6）中的()f p 理解为费米液体中准粒子的分布，费米液体的熵亦可由式（6）表达. 在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值. 可以证明，平衡态的分布具有下述形式：()()1.e1p kTfp εμ-=+ （7） 这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，1kT和kTμ是拉氏乘子. 显然，T和μ分别是费米液体的温度和化学势. 需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于()p ε是分布函数()f p 的泛函，式（7）实际上是分布函数()f p 的一个复杂的隐函数表达式. 以()()()()00,f p p ε和()0μ分别表示0 K 时的分布函数、准粒子能量和化学势. 由式（7）可知，()()0f p 是一个阶跃函数：()()()()()()()()0001,0;0,0.p fp p εμεμ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （8）上式给出0 K 时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致.在接近0 K 的低温下，分布函数应与阶跃分布()()0f p 接近. 作为一级近似，可以用()()0f p 近似地确定准粒子的能量().p ε 这意味着()p ε简单地成为p 的确定的函数()()0.p ε 对于F p p ≈的动量值，可以将函数()()0p ε按Fp p -作泰勒展开，即()()()()0F F 0,p υp p εμ-=-（9）其中()()F0F p p υp ε⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦ （10）是准粒子在费米面的速度. 对于理想费米气体，有()2F F ,.2p pp υmmε==可以类似地引入准粒子有效质量*m 的概念，定义188*F F,p m υ=（11）并将()0μ和F ~p p 处的()()0p ε简单地记为()2F *0,2p mμ=（12）()()()20F *.2pp p p mε=≈（13）如§8.5所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8.5.19）和（8.5.6））()()222223ππ.203πV C kTm kTN kn μ==（14）根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为()()22*2223ππ,203πV C kTm kTN kn μ==（15）其中*m 是费米液体准粒子的有效质量. 将题中所给液3He 的实测数据代入，注意3He 的质量密度nmρ=（m 是3He 原子的质量），可得3He 准粒子的有效质量约为*3.m m ≈ （16）关于朗道费米液体理论，可参看《量子统计物理学》（北京大学编写组）§5.5和Lifshitz, Pitaevskii. Statistical Physics Ⅱ. §1, §2.189补充题1 写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度.解: 根据（6.2.14），二维空间中在面积A 内，在x p 到d ,x x yp p p +到d y yp p +的动量范围内，光子可能的量子态数为22d d .x yA p p h（1）换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A 内，动量大小在p 到d p p +范围内，光子的量子态数为24πd .A p p h（2）再利用光子的能量动量关系cpε=和能量频率关系εω= ，可得二维空间中在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子的量子态数为()2d d .AD cωωωωπ=（3）根据玻色分布和式（3），可得温度为T 时二维平衡辐射在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子数为()2,d d .πe1A N T c βωωωωω=- （4）对频率积分，得温度为T 时二维平衡辐射击的总光子数为()()02220,d d πe11d πe 1xN T N T A cA x xc βωωωωωβ+∞+∞+∞==-⎛⎫=⎪-⎝⎭⎰⎰⎰2222π.6A k T c =（5）温度为T 时在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内，二维平衡辐射的能量为()22,d d .πe1A u T c βωωωωω=- （6）这是二维平衡辐射的普朗克公式. 对频率积分，得温度为T 时二维辐射场的内能为190 ()223220d πe11d πe 1xA u T cA x x c βωωωβ+∞+∞=-⎛⎫=⎪-⎝⎭⎰⎰33222.404.πA k T c =（7）参照式（2.6.7）或8.11题，可得二维辐射场的辐射通量密度u J 与内能密度的关系为33221.202.2πu c J u k T c π==（8）应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔. （参阅E. Yablonovitch. Jour. Mod·Opt. 1994,41（173）. 章蓓. 光学微腔. 见：介观物理. 北京：北京大学出版社，1995.276）. 不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的.补充题 2 金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性. 这是泡利（Pauli ）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性. 试根据费米分布导出0K 金属中自由电子的磁化率.解: §7.8和习题7.27讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向. 离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。
玻色统计和费米统计
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
第八章 玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计§8.1 热力学量的统计表达式本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
玻色系统：系统的平均总粒子数为 1lll llN a e αβεω+==-∑∑引入巨配分函数Ξ，定义为()1lll lleωαβε---Ξ=Ξ=-∏∏()()ln ln 1ln(1)ln 1llllll llleeeωωαβεαβεαβεω--------Ξ=-=-=--∏∑∑()ln 1sse αβε--=--∑系统的平均总粒子数N 可表为 1ln 11lsllsN e e αβεαβεωα++∂===-Ξ--∂∑∑内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值 ln 1ll ll l llU a e αβεωεεβ+∂===-Ξ-∂∑∑外界对系统的广义力i Y 是l iy ε∂∂的统计平均值1ln 1ll lli l llii iY a y y ey αβεεεωβ+∂∂∂==⋅=-⋅Ξ∂∂-∂∑∑物态方程特例：对于(,)P V 系统 ,Y P y V =-=1ln P Vβ∂=⋅Ξ∂下面推导玻色系统熵的统计表达式 ln ln i i i i iidU Y dy d dy y βββ⎛⎫∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑（﹡）Ξ和ln Ξ是,αβ与()1,2,i y i = 的函数（l ε 是i y 的函数）， ln Ξ的全微分为ln ln ln ln i iid d d dy y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂ΞΞ=++∂∂∂∑，ln ln ln ln i iidy d d d y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂Ξ∴=Ξ--∂∂∂∑。
代入（﹡），得 ln ln ln ln i i i dU Y dy d d d d ββαββαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+Ξ-- ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∑ ln ln ln d d d βαβα⎛⎫∂Ξ∂Ξ=-+Ξ- ⎪∂∂⎝⎭ ln ln ln ln d d d d βααβαα⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫⎛⎫=-+Ξ-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ln ln ln d d N αβααβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--- ⎪∂∂⎝⎭对于粒子数恒定的闭系（与外界有能量交换，但无物质交换），则0d N =。
费米统计和玻色统计
1. 费米统计 量子统计给出，费米子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
+1
— 费米 — 狄拉克统计
N(E) 1 0.5 0 EF
μ = μ (T) — 粒子化学势
EF = μ (0) — 费米能量 T 不太高时，μ (T) ≈ EF
±1
≈e
− ( E − μ ) / kT
=e
μ / kT
⋅e
− E / kT
= A(T )e − E / kT
— 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计 所以高能态时，量子统计就过渡到经典的 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计。
Hale Waihona Puke 2. 玻色统计 量子统计给出，玻色子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e ( E − μ ) / kT − 1
— 玻色 — 爱因斯坦统计 对所有温度 T ，N(E) 应满足 0 ≤ N(E) < ∞ ， 由此可引出玻色 — 爱因斯坦凝聚的概念。
设最低能级（基态）为能量零点：E0 = 0， 1 N 0 = N ( E 0 ) = − μ / kT e −1 T → 0K 时，要求 0 ≤ N0 < ∞ ， 则有 μ < 0 。
原子速度分布逐渐达到BEC的三维示意图 1995年实现了超冷原子的BEC，达到了宏观数量的 原子处于同一量子态（2001 Nobel）。 BEC实现了 原子相干，可做成原子干涉仪和量子频标等。
3. 量子统计到经典统计的过渡 当 E 很高时，(E−μ) >> kT
N (E) = 1 e
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
热力学统计物理 第八章 玻色统计和费米统计
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
热学-统计物理12 第 1 2章 玻色统计和费米统计
取对数
(l al 1)! l al!(l 1)!
ln [ln(l al 1)! ln(l 1)! ln al!]
l
al 1,l 1
ln [ln(l al )! ln l! ln al!]
l
由斯特令公式，得：
k
所以
dU Ydy d N 1 d[k(ln ln ln )]
k
而对于经典热力学中的简单系统，
dU TdS pdV dN
（ u 是单个粒子的化学势, PdV Ydy )
即 dU Ydy d N TdS
3
U
l
ll
l
ll
e l 1
g
2V
h3
3
(2m) 2
2d
0 e 1
引入变量 x βε ，并将上两式改写为
1
N
g
2V
h3
3
(2mkT) 2
x 2dx 0 e x 1
3
U
g
2V
h3
3
(2mkT) 2 kT
0
时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒 子全同原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
12.1.2 玻色系统
1.系统的平均总粒子数
如果把α,β 和 y 看作由实验确定的参量，系统的平均
总量子数可由下式给出：
N
l
al
l
ωl eα βεl 1
引入巨配分函数
l [1 e ] l l
费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计
费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计是两种用于描述粒子统计行为的统计方法。
它们分别适用于费米子和玻色子，这两种粒子在量子力学中具有不同的交换行为和性质。
了解它们的差异对于研究粒子的行为以及理解宏观物理现象至关重要。
一、费米狄拉克统计费米狄拉克统计是描述费米子统计行为的一种统计方法。
费米子是一类具有半整数自旋的粒子，例如电子、质子和中子等。
狄拉克统计的主要特点是：每个量子态只能由一个费米子占据，不同费米子之间不能占据相同的量子态。
这种排斥行为称为泡利不相容原理，它导致了费米子在填充能级时的特殊性质。
对于费米子系统，它们的能级填充遵循费米-狄拉克分布函数。
费米-狄拉克分布函数表示了在温度为T的热平衡下，粒子占据能级的概率。
在零温下，费米子会填充最低的能级，而在有限温度下，费米子的填充受到波尔兹曼因子的影响。
二、玻色爱因斯坦统计玻色爱因斯坦统计是描述玻色子统计行为的统计方法。
玻色子是一类具有整数自旋的粒子，例如光子、声子和玻色凝聚中的声子等。
相比于费米子，玻色子具有不同的交换行为，允许多个玻色子占据相同的量子态。
玻色爱因斯坦统计的特点是，可以有多个玻色子处于同一能级上，而且他们之间的交换不会对系统的状态产生影响。
当玻色子系统处于热平衡时，玻色-爱因斯坦分布函数描述了粒子占据能级的概率分布。
在更低的温度下，玻色子会聚集在能级的基态上，形成玻色凝聚。
三、费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计的应用费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计在理论物理和实验物理研究中有广泛的应用。
它们被用来描述固体材料的电子结构、理解物质的热力学性质以及研究凝聚态物理中的相变和超流性等现象。
在固体物理学中，费米狄拉克统计用来解释电子在晶格中的分布，特别是在导体中的电子行为。
根据费米狄拉克统计，能带中的电子填充遵循泡利不相容原理，因此解释了为什么导体具有电流传导的性质。
而在玻色爱因斯坦统计方面，光子是一种典型的玻色子。
第4章 玻色统计和费米统计
ln gl ln 1 e 1 e l
l
内能
ln U
1 ln Y X
ln ln S k ln
此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的 基础。 2，普朗克公式考虑光能量按hν传播——量子力学的萌芽。
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式 U , T d
普朗克公式极限情况
kT
V 3d 2c3 e kT 1
1
1
D d
2 3 2V N g 3 2m 2 d h e 1
“＋”表示费米气体， “－”表示玻色气体
系统的内能为：
2V U g 3 2m h
3 2
e 1 d
3
2
方便推导起见，令x=β ε
2 3 2V x dx N g 3 2mkT 2 x 0 e h 1 1
广义力/状态方程
熵
第2节 弱简并玻色气体和费米气体
什么叫弱简并性气体？简并性气体？非 简并性气体？ 弱简并性气体的内能有何特点？
在体积V内，dε范围内的微观状态数：
1 3 2V 2 D d g 3 2m 2 d h
g表示因自旋引起的状态增加
1 e
则系统粒子数为： N
一，巨配分函数
考虑玻色分布 则内能 假设
l
al
e l 1
e
l
gl
U l al
l
l
第8章玻色统计和费米统计
U l al
l l
e l 1
ll
类似地可将U通过 ln 表示
U
ln
l ln(1 e )
l
（8.1.4）
l
l 外界对系统的广义作用力Y是 的统计平均值 y
Y
l
l l l al l y 1 y l e
注意上面引入 ln 的是 , , Y 函数，其全微分为
d ln
故有
ln ln ln d d dy y
(dU Ydy dN ) d (ln ln ln )
上式指出 是 dU Ydy d N 的积分因子。
1
e [1
1 5 1 3 e ]( ) e [1 5 / 2 e ] 25 / 2 2 2 2 2
代入 (8.2.4’)得
3 2 mkT 3 / 2 1 U g( ) VkTe [1 5 / 2 e ] 2 2 h 2
(8.2.7)
3 1 1N h2 U NkT [1 ( )3 / 2 ] 2 4 2 g V 2 mkT
（8.2.8）
引起的粒子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。不过值得注 上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理 意，费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为，粒子的统计关联使费米 粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。
(8.2.4)
引入变量
x ， 将上述两式改写为
1/ 2 x 2 V dx 3/ 2 N g 3 ( 2mkT ) x 0 e h 1
量子理论的诞生和发展（13）：玻色统计和费米统计
量子理论的诞生和发展（13）：玻色统计和费米统计作者：张天蓉物理学中的统计规律是指粒子系统的宏观运动规律。
波尔兹曼研究的是经典粒子的统计行为，粒子系统的自由度用麦克斯韦-波尔兹曼统计方法来描述或计算。
不同于经典统计，量子力学的统计规律则有两种：玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。
图13-1：波色和费米提出量子统计理论的这四位物理学家，其中玻色可能是很多人不甚了解的一位。
玻色是印度人，他在一次有关光电效应的讲课中，因为犯了一个违反经典统计的“錯誤”却发现了玻色子的统计规律。
物理学中以他的名子命名玻色子，这使得他在物理学界还是挺有名的。
纳特·玻色（Nath Bose，1894年－1974年）出生于印度加尔各答，他的父亲是一名铁路工程师，他是七名孩子中的长子。
玻色在大学时曾得到几位优秀教师的赞赏和指点。
他获得数学硕士学位之后并未继续攻读博士，而是直接在加尔各答物理系担任讲师。
后来，他又到达卡大学物理系任讲师，并自学物理。
大约是在1921年，玻色讲授光电效应和黑体辐射引发的紫外灾难，他本来是想按照经典方法分析粒子的统计行为，结果犯了一个类似“掷两枚硬币，得到“正正”概率为三分之一”的错误。
然而没想到是，他的这个错误却得出了与实验相符合的结论，也就是不可区分的全同粒子所遵循的一种统计规律。
所谓“掷两枚硬币，‘正正’概率为三分之一”是错误的，意思是说当你掷两枚硬币的时候，因为每个硬币都有正反两面，实验结果就有四种情况：正正、正反、反正、反反。
也就是说，按照经典理论，这四种情况中的每一种发生的几率是一样的，即都是四分之一，但玻色所得到的结果却是三分之一。
玻色的这个“错误”之所以是“不可区分的全同粒子”的统计规律，是因为对于两个粒子而言，它们的统计行为是否可以区分或不可区分是有区别的。
假如两枚硬币不能区分谁正谁反，你掷两枚硬币所得到的正、反与反、正就是完全一样的结果。
“不可区分”的两个粒子如同“量子硬币”，它们在宏观系统中总是给我们完全一模一样的感觉。
热力学与统计物理学第八章__玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
玻色统计和费米统计
ln ln ln d ln d d dy y
根据前面求出的已知量，可求得 (拉氏乘法原理，加上一个为0的项)
第九章 玻色统计和费米统计
上式指出是 dU Ydy d N 的积分因子。
1 与dS (dU Ydy dN )比较 T
玻色分布
9.1.1 玻色系统
把, 和y看作由实验确定的参量. 1 、巨配分函数
第九章 玻色统计和费米统计
取对数为 对取偏导为
ln l ln( 1 e l )
l
上下同乘e l
l ln l e 1 l
2、系统的平均总粒子数
kT
, 意味着：平衡状态下光子气体的化学势为零。
体积为V的空窖内,在p到p+dp的动量范围内，自由粒子可能 的量子态数为
光子自旋有两个投影.
第九章 玻色统计和费米统计
体积为V的空窖内, p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数
(光子自旋有两个投影)
cp
态数
4V 2 p dp 3 h
2
d cdp
体积为V的空窖内，在到+d的圆频率范围内，光子的量子
h 2
每个量子态上的平均光子数
第九章 玻色统计和费米统计
9.3.2 辐射场的内能
U (, T )d N
普朗克公式
上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。 1、低频
1 kT
1 2 2 2 ( px p y pz ) 2m
第九章 玻色统计和费米统计
2、微观状态数 在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的 微观状态数 g由粒子可能具有自旋而引入的简并度． 其中： ３、系统的总分子数
17-11玻色费米统计
（2）在低频范围， /kT << 1，这时 /kT
e
1 kT
普朗克公式为 U ( , T )d
与瑞利-金斯公式一致。 对应的 m满足
V c
2 3
kT d
2
辐射场的能量随频率的分布存在一个极大值，
m 2.822 kT 即，角频率极大值m与温度T的关系，这就是我
5
上式与§14-1中的普朗克公式是一致的，下面 证明之。
2π hc 1 普朗克公式 M λ 0 T hc KT 5 λ 1 e 辐射场能量密度按波长的分布 (T )与其单色
2
辐出度M (T )存在下面关系
c M (T ) (T ) 4 利用 = 2，可以得到
M 0 (T )
2 hc
2
5
(
1 e
hc / kT
1
)
这正是§14-1中的普朗克公式。
7
两种极限情况
（1）在高频范围， /kT >>1，这时
e
/ kT
1 e
V c
3
/ kT
普朗克公式为
U ( , T )d
2 3
e
/ kT
d
与维恩公式一致。 可见， U ( , T )随的增大而迅速趋于零，说 明在温度为T 的平衡辐射中，空腔内几乎不存在 /kT >>1的高频光子，也就几乎不可能发射这 样的高频光子。
1自由电子气体 金属中的自由电子。这是对金属 中的共有电子复杂运动的一种简化模型。
16
1. T0 K温度时电子的分布
电子自旋为1/2，遵从费米分布。在温度T时处于 能量 的一个量子态的平均电子数为
波色统计和费米
费米能级的具体表示：
n N V
其中：
表示单位体积的 自由电子数
f
f
0
1
2
8
( kT
f0
)2
2 / 3
玻色分布特点：
玻色子：自旋为零或整 数的粒子。主要用于处 理
光子气体、声子气体和 低温玻色凝聚。
选取单粒子基态能量为 零
即：
FBE (0)
1 e /kT
1
e/kT 1, 0
1.玻色凝聚
踪它们的运动，它们是
不可分辨的。
或者说，粒子的互换不产
生新的微观态。
单击此处添加小标题
适用量子分布 的理想气体称 之为简并气体。
1
F FD
单击此处添加小标题
e 费米分布 （适
( )/ kT
用自旋为1/2
的电子系统）
常记为 f ,称为费
费米分布的性质
费米分布和麦 克斯韦分布的 区别：
见课本230页 图示
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量 子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及 泡利不相容原理。
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粒子全同性的微观解释：
微观粒子具有波动性，它
们在运动时无轨道可言，
因而无法用编号的方法追
Tc
2 2 mk
(N 2.612V
Байду номын сангаас)2/3
质量不为零，粒子数守恒的玻色子组成的理想气体。 当T趋于绝对零度时，几乎所有的玻色子都会凝聚 到能量、动量为零的基态。 玻色子的质量和粒子数密度决定。
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Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
物理意义： 超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
上式称之为普朗克辐射公式。
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。 平衡温度为T时，系统辐射的总能量为：
)2
2 / 3
玻色分布特点： 玻色子：自旋为零或整数的粒子。主要用于处理 光子气体、声子气体和低温玻色凝聚。
1 选取单粒子基态能量为零 FBE (0) e /kT 1
即： e /kT 1, 0
1.玻色凝聚
质量不为零，粒子数守恒的玻色子组成的理想气体。 当T趋于绝对零度时，几乎所有的玻色子都会凝聚 到能量、动量为零的基态。
A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
费米分布的性质
费米分布和 麦克斯韦分 布的区别：
见课本230页图示
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
f
f
0
1
2
8
kT (
f0
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种
分 量子分布布来自玻色分布经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量 子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及 泡利不相容原理。
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。