九年级数学：二次函数与图形面积

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数学人教版九年级上册二次函数应用——面积最值问题

教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图一．温故源自知新二、探
究
新
知
三．分
层
评
价
四．课
堂
小
结
问题热身：
1．二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图像顶点坐标，对称轴和最值。
2．（1）求二次函数y=x2-4x+3的最值。
（2）求函数y=x2-4x+3的最值。（3≤x≤5）
3．抛物线在什么位置取最值？
1．在创设情境中发现问题
（1）求S与x之间的函数解析式，并确定x的取值范围。(2)当x为何值时，花圃的面积最大？
1．【比一比】
如图点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
2．（你是最棒
的）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P在点A出发，沿AB边以1cm∕秒的速度移动；同时，点Q从点B出发，向点C以2cm∕秒的速度移动。如果P、Q两点分别到达B、C两点就停止运动。回答下列问题：
课题
二次函数应用——面积最值问题
授课人
三河十中李秀云
教学目标
1．知识与技能：巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会求几何图形面积最值问题。
2．过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
巡视指导，适时个别点拨。
出示问题，适时点拨。
通过本节课的学习，你有什么收获?
学生回忆旧知，解决问题。

【九年级数学代数培优竞赛专题】专题13 巧解二次函数与图形面积综合题【含答案】

专题13 巧解二次函数与图形面积综合题知识解读因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立.培优学案典例示范例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可；（2）思路一：△ACE的面积可由12AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E.不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。

思路二：基于“分割图形”考虑.如图13-3，过点E 作x 轴的垂线，交AC 于点F .设E （x ，x 2-4x ＋3），则S △AEC =S △AEF ＋S △CEF =32EF ，即△ACE 的面积取决于EF 的长。

若把EF 的长称为△ACE 的“竖直高”，把A ，C 两点横坐标之差的绝对值称为△ACE 的“水平宽”，则△ACE 的面积可直接记为“12×竖直高×水平宽”。

思路三：基于“补全图形”考虑。

但要分点E 在x 轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。

【跟踪训练】1.如图13-5，抛物线223212--=x x y 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 是线段AB 方的抛物线上的一点，求ABC ∆的面积的最大值，并求出此时点C 的坐标。

第22章二次函数知识点过关练习题二次函数与几何图形面积问题2021-2022人教九年级上册数学

人教版九年级上册数学《二次函数》知识点过关精准练（二次函数与几何图形面积问题）知识储备：1.对于二次函数y=-2x2+4x-5,当x=______时,y有最_______值,最_______值是_______.2.应用二次函数解决面积最值问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系,建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.知识点过关精准练一、选择题。

1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m2B.300 m2C.200 m2D.100 m22. 如图,小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )A.16 m2B.18 m2C.20 m2D.24 m23.已知在直角三角形中两条直角边的和为18,则当三角形的面积最大时,其中一条直角边长为( )A.8B.9C.10D.124.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是( )A.1 350B.1 300C.1 250D.1 2005. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定6.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时则另一个动点也停止运动,则△APQ 的最大面积是( )A.0 cm2B.8 cm2C.16 cm2D.24 cm27. 用长为12 m的篱笆,一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图,围出的苗圃是五边形ABCDE,AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E.设CD=DE=x m,五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为 ( )A.12√3 m2B.12 m2C.24√3 m2D.没有最大值二、填空题。

人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件

解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)

最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)

二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。

【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ．当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。

人教九年级数学上册《二次函数与图形面积问题》课件

第1课时二次函数与图形面积问题
重难互动探究
探究问题求几何图形的最大（小）面积例［教材探究1变式题］一条隧道的截面如图22－3－2所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形 ABCD.
图22－3－2
第1课时二次函数与图形面积问题
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（平方米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14，结果精确到0.1平方米）.
与x间的函数关系，再求解.
解：不妨设矩形纸较短边长为 a，设 DE＝x，则 AE＝a －x.
那么两个正方形的面积和为 y＝x2＋（a－x）2 ＝2x2－2ax＋a2. 当 x＝－－2×22a＝12a 时， y 最小＝2×12a2－2a×12a＋a2＝12a2. 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.
［解析］（1）已知AD＝4米，即半圆O的半径为2米，直接根据圆的面积公式计算；（2）①隧道的截面积由两部分组成，即半圆面积和矩形面积；②注意自变量的取值范围，在实际问题中求最大（小）值，要注意自变量的范围是否符合实际意义.
第1课时二次函数与图形面积问题
解：（1）当 AD＝4 米时，S 半圆＝12π·A2D2＝12π×22＝2 π（平方米），
数学
新课标（RJ）九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积问题
第1课时二次函数与图形面积问题
新知梳理
► 知识点用二次函数求几何图形的最大（小）面积在解答有关二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时，应遵循以下规律：（1）利用几何图形的面积（或体积）公式得到关于面积（或体积）的二次函数关系式；（2）由已得到的二次函数关系式求解问题；（3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答案.

二次函数中动点图形的面积最值

求解动点图形面积最值的步骤
1
步骤1
确定最值问题的区间。
2
步骤2
通过求导或综合判断确定极值点或临界点。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
步骤3
计算极值点或临界点对应的面积。
案例分析：计算动点图形面积最大值和最小值
假设二次函数为y = -x^2 + 3x + 2，动点轨迹为一条垂直于x轴的直线，探索动点图形的面积变化。通过计算可以得到动点图形的最大面积和最小面积。
二次函数中动点图形的面积最值
二次函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种用抛物线表示的函数关系。本节将探讨如何通过动点图形的面积来寻找二次函数中的最值。
二次函数简介
二次函数是一种具有二次项的代数函数，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c。二次函数在数学和物理学中有广泛的应用，可以用来描述各种实际问题。
问题讨论与思考
除了计算动点图形面积的最值，我们还可以思考以下问题：如何改变函数的系数以改变图形的面积范围？是否存在其他方法来求解动点图形的最值？这些问题可以帮助我们深入理解二次函数和面积最值概念的应用。
结论和总结
通过寻找二次函数中动点图形的面积最值，我们可以进一步理解函数的性质和图像的变化规律。这一概念在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
最值的概念和意义
最值是指函数在给定区间内取得的最大值或最小值。在二次函数中，最值的位置和数值可以提供关于函数图像的重要信息，帮助我们解决实际问题。
动点图形面积的计算方法
步骤1
确定二次函数的表达式，并绘制函数图像。
步骤2
确定动点的轨迹，通常是垂直于x轴的直线或水平于y轴的直线。
步骤3
计算动点图形的面积。

专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二：铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

9 第1课时二次函数与图形面积问题

22.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积问题置疑导入归纳导入复习导入类比导入如图22－3－1，用12米长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的长、宽应各是多少？图22－3－1[说明与建议] 说明：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，从而引导学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法.建议：可以对以上问题挖空让学生填写：设宽为x 米，面积为S 米2.根据题意并结合图形可得S ＝x （6－32x ）＝－32x 2＋6x .∵－32 ＜ 0，∴S 有最大值，当x ＝－62×（－32）＝2 时，S 最大，此时6－32x ＝ 3 ，即当窗框的长为 3米，宽为 2米时，窗户透进的光线最多.（1）（做一做）请你画一个周长为12厘米的矩形，算一算它的面积是多少.再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？（2）（练一练）已知一个矩形的周长为12米，它的一边长为x 米，那么矩形面积S （平方米）与x （米）之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？（3）（试一试）若想设计一个周长为12米的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？[说明与建议] 说明：（1）题比较简单，但对学生有很大的吸引力和挑战性，可有效地激发学生的学习兴趣.（2）题在（1）题的基础上提出问题，引导学生对实际问题与二次函数展开联想.（3）题在（2）题的基础上加入实际背景求最值，这样低起点，快反馈，能有效地提高学生的数学建模能力.建议：教师要重点关注学生能否正确求解，考虑问题是否全面以及学生能否将实际问题转化为数学问题.——第49页探究1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？【模型建立】利用二次函数解决几何图形的最大（小）面积问题，先利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式，再由二次函数的图象和性质确定二次函数的最大（小）值，从而确定几何图形面积的最大（小）值.【变式变形】1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，这个矩形菜园的长，宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？[答案：长为15 m，宽为7.5 m时，它的面积最大，最大面积为112.5 m2]2.如图22－3－2，用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10米）：（1）如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求花圃的宽AB；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？图22－3－2[答案：（1）AB＝5米（2）能]3.如图22－3－3，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB长为x米，面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数解析式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成的花圃的最大面积.图22－3－3[答案：（1）S＝－4x2＋24x（0<x<6）（2）当x＝3时，所围成的花圃面积最大，最大值为36平方米（3）最大面积是32平方米]4.[教材第52页习题22.3第9题]分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？[答案：圆理由略]——第52页习题22.3第7题如图22－3－4，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？图22－3－4【模型建立】通过设未知数建立函数关系，把几何问题转化为函数问题，把动点问题转化为函数问题，通过对函数的变化规律的研究来解决几何问题.【变式变形】如图22－3－5，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形的边上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形的边上时，记为点H；…依此操作下去.（提示：旋转前、后的图形全等.）图22－3－5（1）图②中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长.（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围.[答案：（1）EF＝－4 2＋4 6（2）y＝2x2－8x＋16（0<x<4）8≤y<16][命题角度1] 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题此类问题常见题型：（1）利用二次函数解决图形的最大（小）面积问题，如教材P49探究1，P52习题22.3T4，T9.（2）几何图形上点的运动问题，何时面积最大（小），如教材P52习题22.3T6，T7，解决此类问题，关键是求二次函数的最值（二次函数图象的顶点的纵坐标或在使实际问题有意义的自变量取值范围内，根据二次函数的增减性找最值）.例福建中考如图22－3－6，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另外三边一共用了100米木栏.（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.图22－3－6[答案：（1）AD的长为10米（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S 的最大值为50a －12a 2] [命题角度2] 在几何图形运动过程中，判断函数图象此类问题一般作为中考选择题的最后一道题，难度较大.注意把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件，然后再判断图象.例孝感中考如图22－3－7，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝6 cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从点A ，B 同时出发，点P 到达点B 时两点同时停止运动，则△PBQ 的面积S 与出发时间t 之间的函数关系图象大致是（ C ）图22－3－7图22－3－8[命题角度3] 二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题此类问题一般作为中考的压轴题，常与三角形或四边形知识紧密结合，体现了初中数学知识的灵活性和综合性.例如图22－3－9，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x轴正半轴于点B （4，0），与过点A 的直线相交于另一点D （3，52），过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C.（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值.图22－3－9[答案：（1）y＝－34x2＋114x＋1（2）△PCM面积的最大值为2516]1. 如图，已知：正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）2. 用长度为2l的材料围成一个矩形场地，中间有2个隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A．14l B．13l C．12l D．l3. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为.4. 给你长8 m的铝合金条，请问：（1）你能用它制成一矩形窗框吗？（2）怎样设计，窗框的透光面积最大？（3）如何验证？参考答案1．B2．A3．50 cm24．解：（1）能.（2）设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大.（3）设矩形的一边长为x m，则另一边长为(4－x)m，设矩形窗框的面积为y m2，则y=x(4－x)=－x2+4x=－(x－2)2+4.所以当x=2时，y有最大值，y最大=4.所以当设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大，最大面积为4 m2.一位仁道主义的数学家——阿涅泽意大利科学家阿涅泽(Maria Gaetana Agnesi,1718~1799)在自然科学与哲学的著作对整个学术世界开启了一扇窗．而她最著名的数学作品，《分析讲义》，被公认是第一部完整的微积分教科书之一。

人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件

(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝－2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500

人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计

人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。

本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。

但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。

三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.学会利用二次函数解决实际面积问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。

3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。

2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。

3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。

3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。

九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版

22．3 第1课时二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【思路点拨】由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。

人教版九年级上册数学：第22章二次函数 22.3.1-几何图形的最大面积课件资料

变式 1 如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32m ，这个矩形的长、宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式1与例题有什么不同？ x
x
60-2x 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？设垂直于墙的边长为x米问题3 面积S的函数关系式是什么？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
是 h= 30t - 5t （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，
小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物 h/m
2
40
h= 30t - 5t 2
线的顶点是这个函数的图象的最 20 高点.也就是说，当t取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值.
O
1 2 3 4 5 6
讲授新课
一求二次函数的最大（或最小）值
合作探究
2 y ax bx c 的最值由什么决定？二次函数 y y b b
问题1
x
x
2a
2a
最大值
O
x 最小值
O
x
二次函数 y ax2 bx c的最值由a及自变量的取值范围决定.
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数
y ax2 bx c 的最值是多少？
解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30).
b 30 l 15 2a 2 (1)
2
s
200
因此，当时， 4ac b
4a
100
S有最大值
302 225 4 (1)
O
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九年级数学上册第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数第1课时几何图形的面积问题试题

22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的面积问题知识要点基础练知识点利用二次函数求图形面积的最值1.用长60 m的篱笆围成一个矩形花园,则围成的花园的最大面积为(D)A.150 m2B.175 m2C.200 m2D.225 m22.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为4平方米.4.手工课上,小明准备做个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积为S,随其中一条对角线的长x的变化而变化.(1)求S与x之间的函数解析式.(不要求写出取值范围)(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大的面积是多少?解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.(2)由(1)得S=-x2+30x=-(x-30)2+450,故当x是30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大的面积是450 cm2.综合能力提升练5.合肥寿春中学劳动课上,老师让学生利用成直角的墙角(墙足够长),用10 m长的栅栏围成一个矩形的小花园,花园的面积S m2与它一边长a m的函数解析式是S=-a2+10a ,面积S 的最大值是25.6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2s.7.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为3cm.9.在美化校园的活动中,巢湖一中初三一班的兴趣小组利用如图所示的直角墙角(两边足够长),用32 m长的藤条圈成一个长方形的花圃ABCD(藤条只围AB,BC两边),设AB=x m.(1)若花圃的面积为252 m2,求x的值;(2)正好在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,如果把将这棵桃树围在花圃内(含边界,不考虑树的粗细),老师让学生算一下花圃面积的最大值是多少?解:(1)因为AB=x,则BC=32-x,所以x(32-x)=252,解得x1=14,x2=18,故x的值为14 m或18 m.(2)因为AB=x,所以BC=32-x,所以S=x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256,因为在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,所以,所以8≤x≤15,所以当x=15时,S取到最大值为S=-(15-16)2+256=255,故花圃面积S的最大值为255 m2.10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.(2)设运动开始后第t秒时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(3)t为何值时S最小?求出S的最小值.解:(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.则AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4.运动开始后第2秒或第4秒时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)第t秒时,AP=t cm,PB=(6-t) cm,BQ=2t cm,∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.∵S矩形ABCD=6×12=72,∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,∴当t=3秒时,S有最小值63 cm2.11.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示:设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2 dm,底面积为12 dm2.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.拓展探究突破练12.(安徽中考)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)设AE=a,由题意得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由题意得2x+3a+2·a=80,∴a=20-x.∴y=AB·BC=a·x=x,即y=-x2+30x(0<x<40).(2)∵y=-x2+30x=-(x-20)2+300,∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.13.如图,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米.(1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间函数关系.(2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为45平方米时,求AB的长.能否围成面积比45平方米更大的花圃?如果能,应该怎么围?如果不能请说明理由.(3)当院墙可利用最大长度为40米,篱笆长为77米,中间建n道篱笆间隔成小矩形,当这些小矩形为正方形,且x为正整数时,请直接写出一组满足条件的x,n的值.解:(1)由题意得:S=x×=-x2+8x(0<x≤10).(2)由S=-x2+8x=45,解得x1=15(舍去),x2=9,所以x=9,AB==5,又S=-x2+8x=-(x-12)2+48,0<x≤10,因为当x≤10时,S随x的增大而增大,所以当x=10米时,S最大,为平方米>45平方米,所以平行于院墙的一边长为10米时,就能围成面积比45平方米更大的花圃.(3)根据题意可得,则n=4,x=35或n=2,x=33.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

九年级数学上册28.3二次函数中的三角形面积问题说课稿

3.对二次函数与坐标轴围成的三角形面积最值问题感到困惑。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：以实际问题为背景，引发学生对二次函数与三角形面积问题的思考；
2.分组讨论：组织学生进行合作交流，让学生在讨论中相互启发，共同解决问题；
3.激励评价：对
3.合理安排课堂时间，关注学生的学习进度，对学习困难的学生给予个别辅导。
课后评估教学效果：
1.课后收集学生的作业和数学日记，分析他们的学习效果和困惑；
2.与学生进行交流，了解他们对课堂知识的掌握程度；
3.反思自己的教学过程，针对学生的反馈，调整教学策略。
具体反思和改进措施：
1.针对学生对知识点的掌握情况，调整教学内容和难度，确保学生能扎实掌握基础知识；
2.提高题：布置一些富有挑战性的题目，培养学生的解题能力和创新思维。
3.实践题：布置与实际生活相关的二次函数与三角形面积问题，让学生将所学知识应用于生活实践。
作业的目的在于：巩固所学知识，提高学生的应用能力；培养学生的独立思考和解决问题的能力；增强学生对数学学科的兴趣和信心。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
2.问题驱动的教学：以实际问题为载体，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用和问题解决能力。
3.合作学习：组织学生进行分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时通过互相启发，提高学生的思维品质。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：三角板、直尺、计算器等，用于直观演示和操作，帮助学生理解二次函数图像与三角形面积的关系。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划采取以下措施：

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积综合

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积综合1．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．（1）求m的值及C点坐标；（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，多边形PBQC的面积最大，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点为M（2，9）且过点C （8，0）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①若F的横坐标为3，求S的值；②是否存在点F，使点E也落在该二次函数图象上．若存在，求出F的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y＝x2+bx经过原点O，与x轴相交于点A（1，0），（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上方构造一个平行四边形OABC，使点B在y轴上，点C在抛物线上，连接AC．①求直线AC的解析式．②在抛物线的第一象限部分取点D，连接OD，交AC于点E，若△ADE的面积是△AOE面积的2倍，这样的点D是否存在？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x＝1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求直线AB的解析式；（2）求抛物线的解析式；当x取何值时，函数y有最值，为多少？（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点M MAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，在平面坐标系内，是否存在一点P，使得以B、C、D、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，D为抛物线上一个动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知E是直线BC上的一动点，若以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是，求m﹣n 的取值范围．8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与直线y＝x+1相交于A，C两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求A和C的坐标．（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标，若不能，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q 的坐标．10．如图，抛物线经过A（﹣2，0），C（0，﹣3）两点，且对称轴为直线．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线y＝kx﹣5与抛物线交于点M，N，交x轴于点B，交y轴于点P，连接CN，且．①求△CMN的面积；②在平面内是否存在点一是E，使E，C，N，M四点能构成平行四边形，如果存在，请直接写出点E的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请求出此时点E的横坐标．（3）在（2）的条件下，点F从点A到点C运动过程中，直线EF交y轴于点T，直接写出点T运动的路径长．12．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点（1）直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于x的不等式ax2＜kx+b的解集；（2）当点P在直线AB上方时，求出△PAB面积最大时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），与抛物线y＝x2+bx+c交于点B和点C（4，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p 与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，求A1点的横坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三点，点P BC下方抛物线上的一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大面积．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），AO：CO：BO＝1：2：4．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图1，点D在直线BC下方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接DC、DB，当四边形ABDC面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；（3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE．点M为原抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B 点的左侧），直线y＝x+m与抛物线交于A、C两点．（1）求点C的坐标；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐标；（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点（点A 在点B左侧），交y轴于C点，顶点为D点．其中A（﹣1，0），OC＝OB＝3OA．（1）求该抛物线的表达式；（2）在抛物线上A点左侧的部分上存在点P，使得∠BAD＝∠PBA，直接写出点P的坐标；（3）在x轴是否存在点E，y轴是否存在点F，使得以A、D、E、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点E为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点D的对应点为点D′，在平面直角坐标系中，是否存在另一个点H，使以点B，C，D'，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴直线x＝2，已知经过B、C两点直线解析式为y＝﹣x+5．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点E为直线BC上方抛物线上的一点，过点E作EF⊥x轴于F，交BC于点M，作EG⊥BC于G．求△EGM周长的最大值，以及此时点E的坐标；（3）如图2，连接BD，将抛物线向右平移，使得新抛物线过原点，点P为直线BD上一点，在新抛物线上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）E是直线BC EF⊥BC于点F，求当EF的长度最大时点E 的坐标以及EF长度的最大值；（3）将抛物线沿射线CA方向平移2个单位的距离得到新抛物线，点N是平面内一点，点M为新抛物线上一点，若以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为边的矩形，求点M的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x；（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+m，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+4，设点D的坐标为（m，m+4），∵OD将△AOB分成面积相等的两部分，＝S△AOB，∴S△AOD∴×4•（m+4）＝××4×6，解得：m＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，3）；（3）存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形；设点P的坐标为（m，n），而A（﹣4，0）、B（2，6）、O（0，0），①当四边形AOBP是平行四边形时，AB的中点即是OP的中点，如图：∴，解得，∴P（﹣2，6）；②当四边形AOPB是平行四边形时，AP的中点即是OB的中点，如图：∴，解得，∴点P的坐标为（6，6）；③当四边形APOB是平行四边形时，AO的中点即是PB的中点，如图：∴，解得，∴点P的坐标为（﹣6，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（﹣2，6）或（6，6）或（﹣6，﹣6）．2．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴设直线AD：y＝kx+d，则，解得，∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设P（m，m2﹣3m﹣4），作PH∥y轴交直线AD于H，∴H（m，﹣m﹣1），∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，＝PH×4＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，∴S△APD最大为8；当m＝＝1时，S△APD（3）∵点M在直线l上，点N在x轴上，D（3，﹣4），A（﹣1，0），∴设N（n，0），①若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形ADMN，∵x A+x M＝x D+x N，∴﹣1+＝3+n，解得n＝﹣，∴N（﹣，0）；②若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形ADNM，∵x A+x N＝x D+x M，∴﹣1+n＝3+，解得n＝，∴N（，0）；③若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形AMDN，∵x A+x D＝x M+x N，∴﹣1+3＝+n，解得n＝，∴N（，0）．综上，N的坐标为（﹣，0）或（，0）或（，0）．3．【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为D（1，4），二次项系数a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设点D、E的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1＝，将抛物线与直线l解析式联立得：﹣x+3＝﹣x2+bx+c，整理得：x2﹣（b+1）x+3﹣c＝0，∴x1+x2＝b+1，x1x2＝3﹣c，∴x2＝+1，∴（+1）＝3﹣c，∴y1﹣y2＝﹣x1+3﹣（﹣x2+3）＝x2﹣x1＝+1﹣＝1，设直线l与x轴的交点为G，则G（3，0），＝S△ADG﹣S△AEG＝AG（y1﹣y2）＝AG，∴S△ADE＝，∵S△ADE∴AG＝，∴AG＝，∴A（﹣，0），将A（﹣，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：﹣﹣b+c＝0，联立方程组，得，解得：b1＝，b2＝﹣（舍去），∴b＝，∴D（，）；（3）如图2，设P（0，m），∵P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，∴Q（0，﹣m），∴PQ＝2m，由（1）知：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+d，则：，解得：，∴直线BP的解析式为y＝x+m，联立方程组，得：，解得：（舍去），，∴M（﹣1，+），同理可得：N（﹣﹣1，﹣），∴MN＝＝m，∴＝＝．4．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．（2）如图1，由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，设直线x＝1交BC于点D，点P为直线x＝1上任意一点，连接AD、PB，∵AC为定值，∴当PA+PC的值最小时，△ACP的周长最小，∵点B与点A关于直线x＝1对称，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，∵PB+PC≥BC，∴当点P与点D重合时，PA+PC＝PB+PC＝BC，此时PB+PC的值最小，PA+PC的值也最小，抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2）．（3）如图2，过点N作NF⊥x轴于点F，交BC于点E，设点N的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），∴EN＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，＝S△CEN+S△BEN＝EN•OF+EN•BF＝OB•EN，∵S△BCN＝×3（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∴S△BCN＝，此时N（，﹣），∴当x＝时，S△BCN最大∴△BCN面积的最大值为，N（，﹣）．5．【解答】解：（1））∵抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+5；（2）当x＝0时，y＝x2﹣x+5＝5；∴C（0，5），设直线AC：y＝kx+5，将A（5，0）代入直线AC，得0＝5k+5，∴k＝﹣1，∴直线AC：y＝﹣x+5，∵E为线段AC上一点且横坐标为1，∴E（1，4），∵⊙P是△OAE外接圆，∴圆心P必在弦OA的垂直平分线上，设P（，t），∵AE＝EP，∴（5﹣）2+（﹣t）2＝（1﹣）2+（4﹣t）2，解得t＝，∴圆心P点的坐标为（，）；（3）①如图，过B作BH⊥x轴于H，∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），∴OA＝OC，AH＝BH，∴∠OAE＝45°，∠OAF＝∠BAH＝45°，又∵∠OFE＝∠OAE，∠OEF＝∠OAF，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF，∠EOF＝180°﹣45°×2＝90°，即△OEF是直角三角形；∴∠EOC＝∠FOA，在△EOC与△FOA中，，∴△EOC≌△FOA（SAS），＝S△FOA，∴S△EOC＝S△EOA+S△FOA∴S四边形OEAF+S△COE＝S△EOA＝OA•OC＝S△COA＝，∴四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；②∵四边形OEAF的面积是定值，∴当△AEF的面积取得最大值时，△EOF的面积最小，当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，∴CE＝AE，即E为AC中点，∴E（，），∴当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）．6．【解答】解：（1）把点C（1，0）和点D（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴点P的坐标为（0，﹣3），该抛物线的对称轴为直线，∴点E坐标为（2，0），∴CE＝1，＝×CE×OP＝×1×3＝；∴S△PCD（3）∵点A是抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的顶点坐标，∴A（2，1），①如图所示，以AC为腰，AC＝BC，点B在x轴下方抛物线对称轴上时，∵AC＝BC，∴AE＝BE＝1，∴B（2，﹣1）；②如图所示，以AC为腰，AC＝AB，点B在x轴上方抛物线对称轴上时，∵AE＝1，CE＝1，∴，∴AB＝，∴B（2，）；③如图所示，以AC为腰，AC＝AB，点B在x轴下方抛物线对称轴上时，∵AE＝1，CE＝1，∴，∴AB＝，∴B（2，）；④如图所示，以AC为底，AB＝CB，点B在抛物线对称轴上时，设B（2，y），则AB＝CB＝1﹣y，BE＝y，由勾股定理可得：CB2＝CE2+BE2，（1﹣y）2＝12+y2，解得y＝0，∴B（2，0）综上，点B的坐标为或或（2，0）或（2，﹣1）．7．【解答】解：（1）把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c，得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+．（2）如图1，设直线PQ的解析式为y＝kx+b，把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），则AB＝﹣2m+6，∵抛物线y＝﹣x2+与x轴的另一个交点为C，∴C（﹣3，0），∴BC＝m+3，＝BC•AB＝（m+3）（﹣2m+6）＝﹣m2+9，∴S△ABC随m的增大而减小，∵当1≤m≤3，S△ABC＝﹣12+9＝8，∴当m＝1时，S△ABC最大∴△ABC面积的最大值为8．（3）能．如图2，∠BAD＝90°，AD＝AB，设点D在抛物线上，D（n，﹣n2+），对于直线PQ：y＝﹣2x+6，当y＝﹣n2+时，则﹣2x+6＝﹣n2+，∴x＝n2+，∴A（n2+，﹣n2+），∴n2+﹣n＝﹣n2+，解得n1＝﹣，n2＝3（不符合题意，舍去），∴D（﹣，）；如图3，∠ABD＝90°，AB＝DB，设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），则B（m，0），D（3m﹣6，0），当点D在抛物线上时，则﹣（3m﹣6）2+＝0，解得m1＝1，m2＝3（不符合题意，舍去），D（﹣3，0）；如图4，∠ADB＝90°，AD＝BD，作DE⊥AB于点E，则DE＝AE＝BE＝AB，设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），则E（m，﹣m+3），D（2m﹣3，﹣m+3），若点D在抛物线上，则﹣（2m﹣3）2+＝﹣m+3，解得m1＝（不符合题意，舍去），m2＝3（不符合题意，舍去），综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，0）．8．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+m的顶点C在y轴正半轴上，∴C（0，m），且m＞0，∴OC＝m，∵OA＝OC，∴OA＝m，∴A（﹣m，0），∵抛物线y＝﹣x2+m与x轴交于，∴0＝﹣m2+m，解得m＝0（舍）或m＝1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1．（2）由抛物线解析式可知，A（﹣1，0），B（1，0），①设直线AP的表达式为：y＝k（x+1）＝kx+k，∵AP∥BQ，∴直线BQ的解析式为：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k，联立，解得，∴P（﹣k+1，﹣k2+2k），同理可得，Q（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∵四边形APBQ的面积为2，+S△ABP＝×2（﹣k2﹣2k）+×2（k2﹣2k）＝2，∴S＝S△ABQ解得k＝﹣，∴直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣．②由①知P（﹣k+1，﹣k2+2k），Q（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），B（1，0），A（﹣1，0），设直线BP的表达式为：y＝m（x﹣1），直线AQ的表达式为：y＝n（x+1），∴m（﹣k+1﹣1）＝﹣k2+2k，n（﹣k﹣1+1）＝﹣k2﹣2k，解得m＝k﹣2，n＝k+2，∴直线BP的表达式为：y＝（k﹣2）（x﹣1），直线AQ的表达式为：y＝（k+2）（x+1），∵直线AQ、BP分别交y轴于E、F两点，∴E（0，﹣k+2），F（0，k+2），∴OE＝﹣k+2，OF＝k+2，∴OE+OF＝4．9．【解答】解：（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，∴令y＝x2﹣x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝2，∴点D的坐标为（2，0），如图，取点H（1，0），作HP∥AB交抛物线于点P，∵HD＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△BDA面积的2倍，∵直线AB解析式为y＝x﹣3，∴直线HP为y＝x﹣1，联立，解得或，∴点P坐标为（，）或（，）；（3）如图，作BG⊥OA于G，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA＝OC＝3，AG＝BG＝1，∴∠OAC＝∠BAG＝45°，∵∠OAF＝∠BAG＝45°，∴∠EAF＝90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴∠EOF＝90°，∴∠EFO＝∠EAO＝45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，∴CE＝AE，OE＝AC＝，＝××＝．∴E（，），S△EOF∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为，E点坐标为（，）．10．【解答】解：（1）∵直线y＝与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A（1，0），B（0，），∴OB＝，∵tan∠BCA＝＝＝，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），∵y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，∴，解得：，∴y＝x2﹣x+；（2）如图，连接OP，过点P作PD⊥x轴于点D，PF⊥y轴于点F，∵点P 为直线BC 上方抛物线上一点，∴设P （t ，t 2﹣t +），则PF ＝﹣t ，PD ＝t 2﹣t +，∵S 四边形OBPC ＝S △POC +S △POB ，OC ＝3，OB ＝，∴S 四边形OBPC ＝•OC •PD +•OB •PF＝×3×（t 2﹣t +）+××（﹣t ）＝t 2﹣t +＝（t +）2+，∴当t ＝﹣时，四边形OBPC 面积的最大，最大值为，∵当t ＝﹣时，y ＝t 2﹣t +＝（﹣）2﹣×（﹣）+＝，∴P （﹣，）；（3）∵y ＝x 2﹣x +＝（x +1）2+，∴把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得：y ＝（x +1﹣）2+﹣＝（x +）2+＝x 2﹣x +，∵点M 是新抛物线上一点，点N 是原抛物线对称轴上一点，∴设M（m，m2﹣m+），N（﹣1，n），∵B（0，），C（﹣3，0），以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴分三种情况讨论：①BC为对角线，则，∴解得：，∴N（﹣1，），②BN为对角线，则，∴，解得：，∴N（﹣1，﹣2），③BM为对角线，则，∴，解得：，∴N（﹣1，﹣2），综上所述，点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣2）．11．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3，∵函数的对称轴为直线x＝1，∴D（1，2），过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+3t，＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∴S△PCD的最大值为，∴当t＝时，S△PCD此时P（，）；（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1个单位得到新抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+4，联立，解得x＝，∴E（，），∵新抛物线的对称轴为直线x＝2，设F（2，m），∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，∵以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：①当EF、FD为邻边，此时EF＝FD，∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，解得m＝，∴F（2，）；②当ED、EF为邻边，此时ED＝EF，∴＝+（m﹣）2，解得m＝或m＝2，∴F（2，2）或F（2，），设直线ED的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，当x＝2时，y＝，∴F（2，2）；③当DE、DF为邻边，此时DE＝DF，∴＝1+（m﹣2）2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；综上所述：F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．12．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（6，0），∴AO＝2，BO＝6，∵CO：AO＝2：1，∴CO＝4，∴C（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），将C（0，4）代入得：4＝﹣12a，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+4；（2）过P作PH⊥BC于H，过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：由A（﹣2，0），B（6，0）可得抛物线的对称轴为直线x＝＝2，设直线BC为y＝kx+4，将B（，0）代入得：0＝6k+4，∴k＝﹣，∴直线BC为y＝﹣x+4，在y＝﹣x+4中，令x＝2得y＝，∴D（2，），而C（0，4），∴CD＝＝，＝CD•PH＝PH，∴S△PCD最大，∴PH最大时，S△PCD∵PQ∥y轴，∴∠PQH＝∠BCO，在Rt△BCO中，BC＝＝2，∴sin∠BCO＝＝，∴sin∠PQH＝，即＝，∴PH＝PQ，＝PH＝×PQ＝PQ，∴S△PCD设P（t，﹣t2+t+4），则Q（t，﹣t+4），∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣3）2+3，∵﹣＜0，∴t＝3时，PQ最大为3，最大值是3，此时P（3，5）；∴S△PCD（3）存在，理由如下：设M（2，m），N（n，﹣n2+n+4），而C（0，4），P（3，5），①当MN、CP为对角线时，MN、CP的中点重合，如图：∴，解得n＝1，∴N（1，5）；②当MC、NP为对角线时，MC、NP的中点重合，如图：∴，解得n＝﹣1，∴N（﹣1，）；③当MP、CN为对角线时，MP、CN的中点重合，如图：∴，即得n＝5，∴N（5，），综上所述，N的坐标为（1，5）或（﹣1，）或（5，）．13．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，3），将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，可得：，解得：，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P向x轴作垂线交直线BC于点G，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），∴PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，＝×PG×OB＝﹣（t﹣）2+，∴S△PBC＝，当时，S△PBC最大此时，P（，），∴三角形PBC的面积最大值为，此时P（，）；（3）存在，M（1，3）．如图2，连接PA，交抛物线对称轴于点M，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B两点关于对称轴对称，且A（﹣1，0），∴MP+MB＝MP+MA，∴当P、M、A在同一条直线上时，MP+MA最小，即△PBM的周长最小，∴连接PA交对称轴于点M，点M即为满足条件的点，设直线PA的解析式为y＝kx+d，∵P（，），A（﹣1，0），∴，解得：，∴直线PA的解析式为y＝x+，当x＝1时，y＝×1+＝3，∴M（1，3）．14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点D（2，3），，解得：．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1．∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：．∴直线AD的解析式为：y＝x+1．（2）存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形．①当四边形ADFE为平行四边形时，如下图，令x＝0，则y＝3，∴F（0，3）．∵D（2，3），∴DF＝2，且DF∥x轴．∴AE＝DF＝2．∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴OE＝OA+AE＝2+1＝3，∴E（﹣3，0）．②当四边形AEDF为平行四边形时，如下图，令x＝0，则y＝3，∴F（0，3）．∵D（2，3），∴DF＝2，且DF∥x轴．∴AE＝DF＝2．∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴OE＝AE﹣OA＝2﹣1＝1．∴E（1，0）．③当四边形AFED为平行四边形时，F在x轴的下方，过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AE于点G，如下图，∵D（2，3），∴OH＝2，DH＝3．∵OA＝1，∴AH＝OA+OH＝3．∵四边形AFED为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF．∴∠DAH＝∠FEH．在△ADH和△EFG中，，∴△ADH≌△EFG（AAS）．∴FG＝DH＝3，GE＝AH＝3．设OE＝a，则OG＝OG﹣GE＝a﹣3，∴F（a﹣3，﹣3）．∵点F为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝﹣3，解得：a＝4±．∴E（4+，0）或（4﹣，0）．综上，存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．（3）过点M作MN⊥AB于点N，交AD于点C，过点D作DK⊥AB于点K，如下图，则AK＝OA+OK＝1+2＝3．∵点M为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，∴设M（m，﹣m2+2m+3），则点C（m，m+1），∴MN＝﹣m2+2m+3，CN＝m+1，∴MC＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）＝﹣m2+m+2．＝S△AMC+S△DMC，∵S△AMD∴＝×MC×（AN+NK）＝×（﹣m2+m+2）×3＝﹣+m+3＝．∵＜0，∴当m＝时，△AMD的面积最大，最大值为，此时，点M的坐标为（，）．∴当△AMD的面积最大时M点的坐标为（，），最大的面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（﹣1）（x﹣3），把点C（0，6）代入，∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6．（2）∵直线y＝2x+b′经过点A（1，0），∴0＝2+b′，∴b′＝﹣2，∴直线AD的解析式为y＝2x﹣2，联立，解得：，∴点D（4，6），∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，∴，设点E（m，2m﹣2），＝2S△ABE，∵S△BDE∴，∴，∴m＝2，∴点E（2，2），∴直线BE的解析式为y＝﹣2x+6，过点F作FG∥y轴交直线BE于点G，∵点F（t，2t2﹣8t+6）（1＜t＜3），∴G（t，﹣2t+6）．∴FG＝﹣2t+6﹣（2t2﹣8t+6）＝﹣2t2+6t，设点B的横坐标为x B，点E的坐标为x E，当1＜t＜2时，S△FBE＝S△FBG﹣S△FEG＝FG•（x B﹣x F）﹣FG•（x E﹣x F）＝FG•（x B﹣x E）＝（﹣2t2+6t）•（3﹣2）＝，有最大值为．∴当时，S△FBE＝S△FBG+△FEG＝FG•（x B﹣x F）+FG•（x F﹣x E）＝FG•当2≤t＜3时，S△FBE（x B﹣x E）＝（﹣2t2+6t）•（3﹣2）＝，有最大值为2，∴当t＝2时，S△FBE综上所述，当时，△FBE的最大面积为．（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），设Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），①以AD为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（3，0）；②以AP为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（5，16）；③以AQ为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（﹣1，16）；综上所述，当点P的坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，以A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形．16．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）过P作PQ∥y轴交AC于Q，如图：设直线AC为y＝kx+b，将A（﹣3，0）、C（0，3）代入得：，解得，∴直线AC为y＝x+3，。

二次函数与图形面积

当 x3时S，最大值 9.
此时最高 91费 00用 900为（ 00元 . ）
答: 当矩形为一个正方形时获得的设计费最多为9000元
练一练
有一种大棚种植的西红柿,经过试验,其单位
面积的产量与这个单位面积种植的株数构成
一种函数关系.每平方米种植4株时,平均单株
产量为2千克.以同样的栽培条件,每平方米种
例２：有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）．（1）当x=0时，S=_____________；当x = 10时，S =______________；（2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式；（3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式；（4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．
想一想P63 3
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB M
边的长度如何表示？
C
H
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
30m
DG
B
解 : 设 1 A . 由 B勾 b 股 m 定 ,易理得得 bM N 1 25 x0 m 2 , 4 P .H 2 4 m . P ┐ 40Am
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