x初等数论第三章课件

假定4k r , 其中r 0,1, 2,3, 4. 则有 a 4 k 1(mod 5), 所以a n a 4 k r a r (mod 5)
因此可得Sn 1n 2n 3n 4n 1r 2r 3r 4r (mod 5). 因而当r 0,1, 2,3时，依次有 Sn 4 4(mod 5)， Sn 10 0(mod 5)，Sn 30 0(mod 5)，S n 100 0(mod 5)， 故当且仅当n不能被4整除时， 1n 2n 3n 4n 能被5整除.
n n 1
即3n xn 3n 1 xn 1 3 x1 x0通过[ H , H ]中的 2 H 1个整数，结论成立。
3m 1
又2
2(mod 7)，
2
3m 2
4(mod 7),
从而当且仅当
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)， 23m1 1 3(mod 7), 23m2 1 5(mod 7), 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
(i)每一整数必包含在且仅在上述的一个集合里面，
(ii)两个整数同在一个集合的充要条件是这两个整数 对模m同余
定义
定理1中的K 0 , K1 , , K m 1叫做模m的剩余类，
一个剩余类中任一数叫做它同类的数的剩余.若 a0 , a1 , , am 1是m个整数，并且其中任何两数都不同 在一个剩余类里，则a1 , , am 1叫做模m的一个完全剩 余系.
3n 1 1 （）证 1 :首先 H , , 1, 0,1,, H H 3 1 包含2 H 1个不同的整数，是模2 H 1的绝对最小 3n 1 1 完全剩余系，且由H 得2 H 1 3n 1. 3 1
其次，要证明
n 1
3 xn 3 xn 1 3 x1 x
第三章
同余
一、同余的概念及其主要内容基本性质
二、剩余类及完全剩余系 三、简化剩余系与欧拉函数 四、欧拉定理、费马定理及其应用
第一节
同余的概念及其基本性质
数论中有它自己的代数，称之为同余理论。它既有 重要的理论价值，又具有广泛的实际应用价值。 人们在 生活、生产、宗教、习俗及民间游戏中，常会遇到已日 数计时、天文历法计算等问题。因而，简化数据，保留 精神实质就成其当务之急，于是，产生了数论中的一些 重要概念。
(4)若a1 b1 (mod m), a2 b2 (mod m)，则 a1a2 b1b2 (mod m); 若a b(mod m), 则ak bk (mod m)
（5）若A1k B1 k (mod m), xi yi (mod m), i 1, 2,, k 则
例1
(1) (2)
当m是奇数时, m-1 m-1 m-1 , 1, , 1, 0,1,, 2 2 2 是模m的完全剩余系.
(3)
定理2
设m是正整数， (a, m) 1，b是正整数，
若x通过模 m 的一个完全剩余系，则ax b也通过模 m的完全剩余系，也就是说，若a0 , a1 , , am 1是模m 的完全剩余系，则aa0 b, aa1 b, , aam 1 b也是模 m的完全剩余系.
例1、求3406 写成十进位数时的个位数。（9）
例2、设p是素数，证明(a b) p (a p b p )(mod p)。
证：根据二项式定理有：
p 1 i p i i p p ( a b) p a p C 1 a b C a b C p p pb
同余的一个应用——检查因数的一些方法
A、一整数能被3（9）整除的充要条件是它的十进位 数码的和能被3（9）整除。
证：a Z , 将a写成十进位数的形式： a an10n an 110n1 a0 , 0 ai 10.
因10 1(mod 3), 故10 1(mod 3), ai 10 ai (mod 3),
推论：m个整数做成模m的一个完全剩余系的充要条
件是两两对模m不同余
注：最常见的完全剩余系是0,1,, m 1, 它们 称为模m的非负最小完全剩余系.
下面例1给出模m的另外完全剩余系——绝对最小完 全剩余系.
当m是偶数时, m m m , 1, , 1, 0,1, , 1; 2 2 2 m m m 及 1, 1, , 1, 0,1, , 2 2 2 都是模m的完全剩余系.
例3、（）求所有的正整数 1 n，使得2n 1能被7整除； （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
解：（） 1 n Z , 都可写成3m k的形式, 其中m N , k 0,1, 2. 因为23 1(mod 7)，所以23m 1(mod 7)，即23m 1 0(mod 7), 从而当 n 3m, 7 2n 1；
② 在这3n 1 个数中，若有 3n 1 xn 1 3x1 x0 =3n xn 3n 1 xn 1 3x1 x0 3n xn 3n ( xn xn ) 3n 1 ( xn 1 xn 1 ) 3( x1 x1 ) 则x0 x0 x0 x0 3 x0 x0
第二节
剩余类及完全剩余系
由带余数除法我们知道，对于给定的正整数m，可以
将所有的整数按照被m除的余数分成m类。本节将对此作 进一步的研究。
定理1
若m是一个给定的正整数，则全部整数可分成
m个集合，记作K 0 , K1 ,, K m1 , 其中K r (r 0,1,, m 1)是 一切形如qm r (q 0, 1, 2,)的整数所组成，这些集合 具有下列性质：
定理1
整数a, b对模m同余的充分与必要条件是
m a b,即a b mt , t Z。
注：（1）由定理1，可得到同余的另外一个定义：即 若m a b , 则a, b叫做对模m同余。
（2）由定理1说明，a b(mod m)等价于a可表示为 a b mt
（3）定理1推论，m a a 0(mod m), 该推论说明在模m的同余关系中, m的倍数可用零来代替。
例4、证明当且仅当n不能被4整除时,1n 2n 3n 4n 能被5 整除，其中n是正整数。
证：不妨设Sn 1n 2n 3n 4n，容易验证, 14 1(mod 5), 24 16 1(mod 5),34 81 1(mod 5), 44 256 1(mod 5),
(6)若a b(mod m), 且a a1d , b b1d ,(d , m) 1，则 a1 b1 (mod m)
(7)若a b(mod m), k 0, 则 若a b(mod m), d a, b, m, a b m mod d d d
ak bk (mod mk ) d 0，则
从而 xn ) 3n 2 ( xn 1 xn 1 ) ( x1 x1 )=0 3n 1 ( xn x1 x1 =x1 3 x1 =x2， =xn， 同理 x2 ，xn 即此3n +1 个数中，两两互不相同；
③此3n +1 个数中，最大值为 1 3n 1 3 3 3 1 H 1 3 最小值为-3n 3n 1 3 1 H
m a b,即a b mt , t Z。
若a b(mod m)，则r1 =r2，因此a b m （q1 q2 ); 若m a b, 则m m （q1 q2 ) (r1 r2 ) ,因此m r1 r2 , 但 r1 r2 m, 故r1 =r2。
n
n 1
也是模3 =2H+1的绝对最小完全剩余系。（再由 模2H+1的绝对最小完全剩余系具有唯一性得到结论）
① 3n xn 3n 1 xn 1 3x1 x0共有n 1项，当 xi 1, 0,1(i 0,1,, n 1)时，每一项3i xi 各取3个值， 故3n xn 3n 1 xn 1 3x1 x0共通过3n 1 个数；
定义
给定一个正整数m，把它叫做模。如果用m
去除任意两个整数a, b所得的余数相同，我们就说a, b对模 m同余，记作a b(mod m)，如果余数不同，我们就说a, b 对模m不同余，记作a b(mod m)。
定理1
证：
整数a, b对模m同余的充分与必要条件是
设a mq1 r1 , b mq2 r2 ,0 r1 , r2 m,
同余的基本性质 （） 1 a a(mod m) （2）a b(mod m), 则b a(mod m) （3）a b(mod m), b c(mod m)，则a c(mod m)
(4)若a1 b1 (mod m), a2 b2 (mod m)，则 a1 a2 b1 b2 (mod m); 若a b c(mod m), 则a c b(mod m)

1 k
k 1 A1k x1 xk

1 k
k 1 B1 k y1 yk (mod m)；
特别地，若
ai bi (mod m), i 0,1,, n,
则
an x n an 1 x n 1 a0 bn x n bn 1 x n 1 b0 (mod m)
i i n n n

从而 ai 10i ai (mod 3),即a ai (mod 3).
i 1 i 1 i 1
得到3 a ai ，由此3 a 当且仅当3 ai .
i 1 i 1
n
n
同法可得9 a 当且仅当9 ai .