Dirac 方程的自由粒子解

上述空穴记录了一个 “电荷为e、 能量为E 的电子的空缺”，并且可 被观察者解释为相对于真空而言、一 个电荷为+e、能量为+E 的粒子，即 正电子的出现. 相应的，负能海中的一个空穴，或说
一个正电子，是正能电子的一个陷阱， 并导致电子-正电子偶的湮灭而发出 辐射，如下图所示：
e+ + e +
类解, 称之为正解、负解.
对固定的 , 由(4.4)得
0

cˆ p mc2
0
(4.6)
可以将Dirac方程的完全解写作
p x,t
N

0 cˆ p
mc2
0

exp
i
p x Ept
2 3 / 2
1


2

3 4






1 2
,



3 4

应用Dirac-Pauli表象
Hˆ f cˆ pˆ mc2ˆ





c0ˆ
ˆ
0

利用关系式 σˆ Aσˆ B A B1 iσˆ A B
(4.5)
( 2 m2c4 )1 c2ˆ pˆ p 0, 2 m2c4 c2 p2.
Ep , Ep c p2 m2c2 .
的两种符号相应于Dirac方程的两
§6.4 Dirac 方程的自由粒子解
考虑自由Dirac方程, 即
i t
Hˆ f

cˆ pˆ mc2ˆ
(4.1)
驻态解 (x,t) (x)expit
(x) Hˆ f (x)
(4.2)
如前所述, 为了 方便, 常将4-分量 旋量分成两个2旋量, 即

pˆ



mc2

1 0
01
cˆ pˆ mc2,
或
cˆ pˆ mc2.
(4.3)
对于确定的动量 p ,





0 0

exp
ip

x

当以本征值 p 代替其算符, 方程(4.3)

(4.7)
1表征随时间因子 Ep
演化的正、负解
负能解问题-空穴理论
负能解之确实存在, 要求对Dirac理论作有份量 的重新解释, 以避免原子中的电子向负能态跃迁 并级联下去而湮没.
1930年, Dirห้องสมุดไป่ตู้c 提出了“空穴理论”, 这个理论只 是让电子按照Pauli不相容原理充满了负能级, 就 解决了负能解带来的问题。
可化为0和0的同一形式的方程组
( mc2 )10 cˆ p0 0, cˆ p0 ( mc2 )10.
(4.4)
线性齐次方程组(4.4)有非平庸解的条件 是其系数行列式为0，即
( mc2 )1 cˆ p
0.
(4.5)
cˆ p ( mc2 )1
按照“空穴理论”，真空态就是所有负能 电子能级被填满、所有正能级都空着的态。 根据Dirac的说法，一个表面上是真空的量 子盒子里面 — 也就是不含正能量状态的电 子 — 实际上是一个所有负能量电子能级都 被占据的“海”！如果我们把一些正能量 的电子放进该盒子，系统的电荷和能量是 相对于空盒子状态的电荷和能量来测量的。 因此，Dirac的空盒子中的无穷多的负电荷 和负能量是不可观测的。
1932年，C. Anderson在宇宙射线实 验中发现了正电子； 1955年，质子的反粒子即反质子， 在加利福尼亚的伯克利被发现；
相对论量子力学的真空，或者更严 格的说，相对论量子场论的基态， 还有一些其它的有意义的可观察效 应，例如 Casimir 效应等；
虽然这听起来像某种怪诞的理论空想，但 像其他成功的理论一样，Dirac 关于“真 空”的概念能够提供一些真切地预言。
现在，例如，氢原子基态的稳定性得到了 保证，因为根据Pauli不相容原理负能海不 能容纳更多的电子。
其次，如下图所示，一个负能电子有可能 吸收辐射而被激发到正能态；如果发生这 种情况，我们将观察到一个电荷为e、 能量为+E 的电子加上负能海中的一个空 穴.