Dirac 方程的自由粒子解
狄拉克方程得到的4个解的含义
狄拉克方程得到的4个解的含义
狄拉克方程是描述自旋粒子行为的相对论性波动方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出。
这个方程有四个解，每个解对应一个不同的电子量子态。
这四个解的含义涉及到电子的自旋、自旋磁矩以及正能量和负能量的概念。
1.正能量电子解：这些解对应于电子的正能量状态。
正能量电子解描述的是电子在自由状态或在外场中的运动。
这种解在狄拉克方程的形式中有两个，分别对应自旋向上和自旋向下的电子。
2.负能量电子解：与正能量电子解相对应，负能量电子解对应于负能量的电子状态。
这些解引入了反粒子的概念，即正电子（positron）。
正电子具有与电子相同的质量，但电荷相反。
在狄拉克理论中，正能量解对应于电子的存在态，而负能量解对应于电子的反物质态。
这四个解的含义涉及到自旋、自旋磁矩、电子的正能量和负能量。
这种正负能量解的提出在狄拉克的理论中预测了正电子的存在，这一预测后来在实验中得到验证，进一步支持了狄拉克方程的正确性。
这个方程对描述电子行为在相对论和量子力学的结合中发挥着关键作用。
粒子物理基础4
因此d 必须为偶数。 由于对于 d = 2 只存在3 个反对易厄米矩阵，即 Pauli 矩阵，
所以当m≠0时，我们有 d 4
9
m=0的情况：这时Dirac方程简化为
i
t
ii
xi
记住
i xi
~
pi
，上式可写成
i
t
i pi
为此，我们首先对无穷小变换 构造 S () 这时 可写成
g , (1) g （3.27）
其中 是无穷小矩阵，同时，由于（3.21）式，它必须是反对称的
因此
（3.28）
有六个独立而不为零的分量，
其中每一个都生成一个无穷小的Lorentz变换。
24
把S按 的幂展开并且只保留无穷小生成元的线性项，我们写出
的矩阵空间中仅有的4个独立矩阵1,1,2,3
不满足 i和所应满足的条件，
我们必须找4 4矩阵。
选择不是唯一的
一个可能的选择是：
0
i i
i
0
，i
=1,2,3，
1 0
01
（3.7）
12
这里每个矩阵元都是2 2矩阵，例如 0 代表
0 0
00
1代表
1 0
0 1
如此等等。容易验证，这样的选择满足
p
可取 i i
i j ji 2ij
Dirac方程变成
i p
t 10
这情况下，可理解为有2分量的旋量
其中Pauli 矩阵为
1 2
1
0 1
10
2
0 i
i 0
3
1 0
01
Dirac粒子的正_反粒子自由度和正_反粒子量子数
原 子 核 物 理 评 论Nu clear Physics R eviewV ol 121 , No . 4 Dec . , 2004第 21 卷 第 4 期 2004 年 12 月文章编号 : 1007 - 4627 (2004) 04 - 0294 - 04Dirac 粒子的正2反粒子自由度和正2反粒子量子数 Ξ王顺金1 ,4 , 周善贵2 ,4 , H. C. Pauli 3(1 四川大学物理系 , 四川 成都 610064 ; 2 中国科学院理论物理研究所 , 北京 100080 ;3 Max Plan ck Institute f o r N u clear P hysics , D 269117 Heidelberg , G ermany ;4 兰州重离子加速器国家实验室原子核理论中心 , 甘肃 兰州 730000)摘 要 : 对 Dirac 粒子引进了正2反粒子自由度和相应的内部 τ空间的算子 , 把 γ矩阵分解成自旋σ 算子和正2反粒子 τ算子 ; Dirac 方程的解出现了正2反粒子量子数 ; 正2反粒子变换是 Dirac 粒子的哈 密顿量的反对称变换 , Dirac 粒子负能态能量的负值来自正2反粒子量子数的负值 ; γ 矩阵这种分解 是处理物理相互作用的需要.关 键 词 : 正2反粒子自由度 ; 正2反粒子量子数 ; 正2反粒子内部空间 中图分类号 : O 572. 2 文献标识码 : A 自由空间和中心力场中的 Dirac 粒子的本征解 是相对论量子力学和相对论量子场论处理物理问题 的基础 ; 坐标空间 、自旋空间和正2反粒子空间的动 力学自由度及其相应的量子数是表述这些本征解的 基本要素 ; 自旋算子 、螺旋性算子和正2反粒子算子 是描述 Dirac 粒子量子态的相关算子. 本文有助于 澄清相对论量子力学和相对论量子场论中的一些相 关的基本物理问题.(A ) 自由粒子的哈密顿量为约定自旋空间的算子 (σi , I σ) 应作为矩阵元插入正2 反粒子空间的算子 (τi , I τ) ; 这 16 个算子与γ 空间 的非线性的 C lifford 代数等价 , 而后者是描述相互作 用的需要.哈密顿量可改写为1 + mc 2I ©3 , H^ = c p ·σ © τ τ ( )4 Dirac 粒子具有 SU σ(2) © SU τ(2)动力学对称性和三类自由度 (D oF ) : 坐标空间 r 、自旋空间 σi 和正2反粒子空间 τi 的自由度. 与此同时 , Dirac 粒子有 5 个守恒的物理量和相应的 5 个量子数 : (1) 3 个守恒的动量分量算子 ( ^p i ) , (2) 螺旋性算子 σ^p = p ·σ/ H^ = c p ·α + m c 2β ,引进粒子2反粒子空间的算符 τi :(1)p , (3) 正2反粒子空间算子 τ`30 1 1 0i - i 0τ1 =, τ2=,2μcp τ1 + mc 2τ3mc μ cpτ`3 . ( 5)= =1 0- 1E- mc 2cpτ3 =.(2)Dirac 粒子的本征波函数是三类守恒算子的本征波函数的乘积α 和β矩阵 ( 或 γμ 矩阵) 可分解为自旋空间算子 σi 和正2反粒子空间的算子 τi 的直积 ,1ei p ·r / hU `μ ( s ) V `ν(τ) ψ`p μν ( r , s ,τ) = .α = σ © τ1 ,β = I © τ3 , ( 2πh ) 3/ 2(3)( 6)Ξ 收稿日期 : 2004 2 08 2 163 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (10375039 , 10175092) ; 国家重点基础研究发展规划项目 ( G 20000774) ; 中国科学院知识创新工程重点方向性项目 ( K J CX 22SW 2N o2) ; 兰州重离子加速器国家实验室核理论中心资助项目作者简介 : 王顺金 (1937 - ) , 男 ( 汉族) , 四川德阳人 , 教授 , 博士生导师 , 从事关联动力学与重离子输运理论 、代数动力学与人造量子系统的研究 ; E 2mail : s jw ang @home . swjtu. edu. cnp z p x - i p y 1- 1^p z =, ^p r =,在σp = 的本征表象中, 其本征解为p pp x - i p y^p r =,( 14b) 11pU +1 ( s)U - 1 ( s)(7)=,=,回到通常的γ2矩阵表象, Dirac 方程的本征解变为τ`3 的本征解为^uψ`pμ- ν,ψpμν =( 15)1μcpE + mc2V`+1 (τ)=,2 EE + mc2- μcpE + mc2 2V`- 1 (τ) E + mc1i p·r/ h=,(8)ψp + + ( r , s ,τ) e ,2 Em2 c4 + p2 c4 , ν= + 1 对应粒子态, ν=能量 E =- 1 对应反粒子态. σp的4 ×4 矩阵形式为σpΣ`p = Iτ© σp =,0 σpi p·r/ hΣ`pψ`pμν = μψ`pμν,τ`3 的4 ×4 矩阵形式(9)ψp - +( r , s ,τ) e ,mc2cpσpmc2`T3 =`T3ψ`pμν = νψ`pμν.,cpσp-(10)哈密顿量可表示为H^ = E`T3 ,e i p·r/ h,ψp + - ( r , s ,τ)=H^ψ`pμν = νEψ`pμν.( 11)反粒子态能量为负来自反粒子量子数ν= - 1 .2反粒子变换为粒子-i IσC`- 1 ,= C`+ =C`=i Iσi p·r/ hC`ψ`pμν = ψ`pμ- ν,ψp - - ( r , s ,τ)( 12)= e ,哈密顿量对粒子2反粒子变换是反对称的( 而非对称的) :←→( E + mc2) (1 + ^p) { C`,H^ } = C`H^ C = 0 ,,+ H^ 1 z(16)N =.(2πh)3/ 2C`H^C`- 1 4 E(13)= - H^螺旋性算子Σp和粒子2反粒子算子T3 变为通过幺正变换,^p r ^pz^p l^p r- ^p z1 Iτ©Σp=,1Iτ©^u=,1 + ^p z^pl(17)- 1 Σpψpμν = μψpμν,1 + ^p z( 14a)原子核物理评论第21 卷·296 ·^p z^p l^p r- ^p物理系统的对称性和反对称性: 哈密顿量的对称性直接导致对称算子守恒; 哈密顿量的反对称性不直接导致反对称算子守恒, 但导致粒子2反粒子对偶态的存在及相应的粒子2反粒子算子及其量子数, 即哈密顿量的反对称性蕴涵着粒子2反粒子算子及其量子数的存在. 这是把离散对称性扩展到高维空间的连续对称性的必然结果.与场论中的电荷共轭变换对称性的关系: 正2反粒子变换是在相对论量子力学框架内, 对相对论性费米子的量子态定义的, C 与H 反对易, C 本身不是守恒量. 电荷共轭变换对称性是在量子场论框架内定义的, 由于在多体理论框架内把负能空穴态定义为反粒子态(即把相应的产生2消灭算符换位) ,反粒子能量变正, C 与H 对易, C 本身可以是守恒量(也可以不是) .γ矩阵对应的内部自由度, 是自旋自由度( Iσ, mc2 Iσcp= 1T3,E^pz^p l^p r- ^p zmc2 Iσcp-T3ψpμν = νψpμν,( 18)哈密顿量和粒子2反粒子变换可表为H^ψpμν = νEψpμν,(19)( 20)H^= ET3 ,C = ^u C`^u- 1 = Iσ©τ2,Cψpμν = ψpμ- ν.B 在中心力场, Dirac 粒子的哈密顿量i c h( mc2 + V s) + V v,c^p rσr - σrκ^rH^ =,i c h 2c^p rσr +rσrκ^- ( mc + V s),+ V v(21)σr(22)σ) 和正2反粒子自由度( I ,τ) 在真空背景中按特定iτi方式相干组合的结果. 当存在相互作用时, γ矩阵对应的内部自由度就分解成自旋自由度( Iσ,σi ) 和正2反粒子自由度( Iτ,τi ) , 或进入γ矩阵的非线性的C li fford 代数领域. 因此, 这种分解所必然引进的正2反粒子自由度( Iτ,τi ) 对描述基本粒子的相互作用是必须的. 引进正2反粒子自由度的有以下结果: (1)对自由Dirac 粒子: 1) 平面波解有5 个量子数, 负能来自正2反粒子量子数τ3= - 1 ; 2) 出现正2反粒子变换C^与H^的反对称性{ C^, H^} = 0 , 3) 宇称^P= iγ4= iτ3 © Iσ表明, 粒子分量宇称为正( 因τ3 = + 1κ^坐标系中的类比;H^2 = m2 c4 , 导致螺旋性算子Σp 代表自旋沿动量的投影; ( H^- V s) 2= m2 c4 - ( c h) 2 A 2 在球坐标系中线性化, 导致κ^ 算子代表自旋沿轨道角动量的投影.粒子2反粒子变换iσr- iσr= C+ =C- 1 ,( 23)C =CV s C - 1 =V s, CV v C - 1 = -(24)( 25)(26)(27)V v,) , 反粒子分量宇称为负( 因τ) ψ3 = - 1 ;p·3的p , στC H^C - 1 = - H^ , { C , H^ } = 0 .ψ`njmκν= Cψnjmκν= ψnjmκ- ν,κ= ±1 , H^ψnjmκν=νEψnjmκν,螺旋性守恒, 宇称不守恒^Pψp , σp·τ3≠c p , σp·τ3.ψ( )2对中心力场中的Dirac 粒子: 1) 平面波解也有5 个量子数; 2) 出现正2反粒子变换C^2H^的反对称变换{ C^, H^} = 0 ; 3) κ^ 是直角坐标系中的螺旋性量子数Σp在球坐标系中的类比, 代表自旋沿角动量l 的投影; 4) ^Pκ^ ^P- 1 =κ^ 表明球面波解宇称守恒, 大小分量ΦA 与ΦB 角动量宇称相反正好被正反粒子分量宇称相反所补偿. (3) γμ分解为( Iσ, σi ) © ( Iτ,τi ) 是描述基本粒子相互作用的需要, 与K lifford 代数波函数的具体形式为ΦAjm f nj ( r)ψnjm + +=,ΦB jm i g nj ( r)ΦA jm g nj ( r)ψnjm + -= i ,( 28a)ΦB jm i f n j ( r)- +(Dirac 环) 等价. ( 4) 考察电子偶素( e2e ) 衰变:1) 正电子偶素: l = 0 , S = 0 , τ= 1 , C 宇称为正, 衰变为偶数光子; 2) 仲电子偶素, l = 0 , S = 1 , τ= 0 , C宇称为负, 衰变为奇数光子. 与通常结论一致, 但提供了τ空间的波函数及其量子数信息.ΦB jm f nj ( r)ψnjm -=,+ΦA jm i g nj ( r)ΦB jm g nj ( r)(28b)ψnjm -= i ,-ΦAjm i f n j ( r)参考文献:1 Bjorken J D , Drell S D. Relativistic Quantum Mechani cs. Ne w Y ork :Mc G ra w2Hill Book C ompany , 1964 , 6 —9 .I tz ykson C , Zuber J2B. Quantum Field The ory. N e w Y ork : Mc G raw2H ill Book C ompany , 1980 , II :45 —88 .李振道. 粒子物理和场论. 济南: 山东科技出版社, 1996 , 109 —122 .32P article2antiparticle Degrees o f F reedom and R elatedΞQ u antum Numb er f o r Dirac ParticlesWANG S hun2jin1 ,4 , ZHOU S han2gu i2 ,4 , Hans2Christian Pau li3(1 Department o f P hysics , Sichuan University , Chengdu 610064 , China ;2 Institute o f Theoretical P hysics , Chine se Acad emy Sciences , Beijing 100080 , C hina ;3 Max2Plan ck2Institut f o r N u clear P hysics , 69029 Heidelberg , G er many)Abstract : The particle2antiparticle degrees of freedom and the corresponding intrinsic space are introduced to study the dynamical symm etry of the Dirac particle . As a result , the particle2antiparticle quantum num ber appears naturally and the Dirac particle has five quantum num bers instead of four . An anti2symm etry of the Dirac Ham iltonian and a dual symm etry of its eigen functi ons are ex pl ored. The κ^ operator of the Dirac equati on in central potentials is found to be the anal og of the helicity operator of the free particle ———the alignment of the spin al ong the angular m omentum.K ey w ords : particle2antiparticle degrees of freedom ; particle2antiparticle quantum num ber ; particle2antiparticle intrin2 sic spaceΞFoundation item : National N atural Science Foundation of China ( 10375039 , 10175029) ; Major Sta te Basic Research D evelopment Pr ogram of China ( G2*******) ; K now ledge I nnovation Pr oject of Chinese Academy of Sciences ( K J CX22SW2N o2 ) ; Center of The oreticalNuclear。
Dirac方程
k k
1.3 方程的建立
两边取行列式得到：
det
所以：
i
i det 1 det i n
1
n
1
此式，说明n只能取偶数即： n 2l l 0,1, 2
如果 n 2 ，因为 2 2 的矩阵中只有Pauli矩阵和 单位矩阵四个彼此独立的矩阵，我们找不到其它的 i 独立 2 2 矩阵满足 , 的反对易关系。所以，n至 少是 n 4 。我们将仅讨论 n 4 的情形。
2.1 γ代数
而为使Dirac方程显得更为优美、简洁，构造 矩阵：
0 , k k
从而，Dirac方程可以写成简洁而优美的四维形式：
ˆ mc 0 p
k †
矩阵满足： 可以证明，
=
0 †
=
0
†
1
0
k = ， =2g
1 0 0 0 1
k 0 k k k 0
所以，
0 1 1 0
5
且可以证明：
5 2
0
5 , 0
2.2 Dirac方程的Lorentz协变性
Lorentz变换可以认为是在四维时空中的转动，这 样的转动是保内积的！即坐标变换： x a v x 满足：
1.5 Dirac 方程的平面波解
ˆ ˆ Dirac方程的守恒量的完全集为： H , p,
ˆ ˆ mc2 因为我们可以看到，在Dirac方程中，H c p
不显含时间。并且有：
狄拉克方程
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
狄拉克方程
张淼 西南交通大学物理学院
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
请举例验证
1.
狄拉克方程的解(负能量)：
i (c P mc 2 ) t
如果动量为零（假设）：
i mc 2 t
1 0
0 1
1 0
0 1
2 i mc t
2 2
11c Px Px 22c Py Py 33c Pz Pz m c
2 2 2 2
2 4
12c2 Px Py 13c2 Px Pz 1Px mc3
21c2 Py Px 23c2 Py Pz 2 Py mc3
31c2 Pz Px 32c2 Pz Py 3Pz mc3
i A mc 2 A t i B mc 2 B t
Dirac
K-G
自旋为零
E m c
2
2
2
0
量子力学
E c p m c E c p m c
2 2 2 4
2 4
相对论
2.
狄拉克方程 (自旋)：
相对论性量子力学简介狄拉克方程
(E V mc2 )1cv pv
得 (E V mc2 ) cv pv(E V mc2 )1cv pv
若取 (E V mc2 )1 (Es V 2mc2 )1 (2mc2 )1 ，得到薛定谔方程
取
(Es
V
2mc2 )1
H
pv2 2m
V
pv4 8m3c
2
iv
( pv[ pv,V 4m2c2
])
pv[ pv,V ] 4m2c2
因最后一项不厄米，即
2drv 不
守恒，χ不是所需的薛定谔波函数(能量精确至p2是, 至p4阶不是).
因：
drv
[ ]drv
解决方法？
Klein-Gordon方程
解决方法1： H 2 c2 pv2 m2c4
Klein-Gordon方程：
2 t 2
(
c
2 pv2 h2
m2c4 h2 )
非自由粒子：
(i h
t
V)2
(c2 pv2 m2c4 )
问题：
（1）几率密度不正定 （2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理） （3）时间二阶方程，初始条件需要Ψ及其时间一阶导数 （4）Ψ是标量，只可能描述无自旋粒子如п介子、к中介
v B)
v
v
ieh
v B
c
对均匀磁场，Av
v B
rv
/
2
，得
H
pv2 2mv
关于dirac函数的教学探讨
关于dirac函数的教学探讨
dirac函数是一种泛函，它是由俄国数学家Paul A.M. Dirac提出的，也被称为“脉冲函数”。
dirac函数最主要的作用在于作为单位冲击响应函数，可对任意类型的函数进行微分与积分。
其被用于许多计算机科学与信息工程，特别是数字信号处理领域，表示零之外的单位入口，和研究线性时不变系统时很有用处。
dirac函数表达式为δ(x)，常当求解线性微分方程时用到该函数，具体表示为：若对 f(t)进行变换，使之时长变换，即F(s)=L[f(t)]=∫f(t)e-stdt；求δ(t)变换，F(s) = L[δ(t)] = 1/s。
这条性质可以解释δ函数的定义：当x=0时，δ函数的值为无限大，而其它点的值均为0。
可见有两种定义：第一种定义表示δ函数具有冲击性，δ函数变汇性很有用处，和传统脉冲形状函数不一样，其经derivated和integrated变换处理后，不改变其形状，仅缩放。
当我们在处理数字和模拟信号时，第一时间总是考虑的是微分和积分。
为了解决这个问题，我们通常会用到dirac函数。
dirac函数可以用于将离散信号转换为连续信号，可用于小波变换，也用于计算随机信号和时间序列等。
总而言之，dirac函数是一种泛函，有着广泛的应用场景，且有着高度的权威性。
它是以Paul A.M. Dirac提出，具有冲击性。
它可以帮助我们转换离散信号为连续信号，用于非线性微分方程求解，用于小波变换，用于随机信号和时间序列等操作处理。
狄拉克方程的解
狄拉克方程的解狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的运动方程，是量子力学的重要基础之一。
它由英国物理学家狄拉克于1928年提出，被认为是量子力学史上的重要里程碑。
狄拉克方程的解可以分为平面波解和非平面波解两种情况。
平面波解是指具有确定动量和能量的解，而非平面波解则是指具有连续能谱和自旋极化的解。
这两种解都对应着不同的物理现象和粒子性质。
让我们来看看狄拉克方程的平面波解。
平面波解可以用来描述自由粒子的运动，即没有外界力场作用的粒子。
根据狄拉克方程，平面波解可以写成一个旋量形式的波函数，包括了自旋上和自旋下两个分量。
这个波函数随时间和空间的变化而改变，描述了粒子在空间中的传播和自旋的演化。
平面波解的特点是具有确定的能量和动量，可以通过动量算符和能量算符来进行测量。
这些算符作用在平面波解上，可以得到粒子的动量和能量的本征值。
根据量子力学的原理，测量结果是离散的，而且符合能量-动量关系。
除了平面波解，狄拉克方程还有非平面波解。
非平面波解的特点是具有连续的能谱和自旋极化。
这种解描述了粒子在外界力场中的运动，比如电磁场或引力场。
在这种情况下，粒子的能量和动量不再是确定的，而是具有一定的不确定性。
非平面波解可以用来描述粒子在外界力场中的散射和反应。
通过狄拉克方程的非平面波解，可以计算出粒子的散射截面和反应概率，从而了解粒子在外界力场中的行为。
狄拉克方程的解不仅仅是理论上的结果，它在实际的物理实验中也得到了验证。
例如，电子的存在和性质可以通过狄拉克方程的解来解释和预测。
实验观测到的电子的自旋、动量和能量都与狄拉克方程的解相符合，这进一步验证了狄拉克方程的正确性和实用性。
狄拉克方程的解是描述自旋1/2粒子运动的重要工具，它可以用来描述自由粒子和在外界力场中的粒子的运动。
狄拉克方程的解不仅在理论上具有重要意义，而且在实际的物理实验中也得到了验证。
通过狄拉克方程的解，我们可以更深入地了解粒子的性质和行为，为量子力学的发展和应用提供了重要的基础。
狄拉克方程——精选推荐
狄拉克⽅程R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv}其中G 为⽜顿万有引⼒常数这被称为爱因斯坦引⼒场⽅程，也叫爱因斯坦场⽅程。
该⽅程是⼀个以时空为⾃变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的⼆阶双曲型偏微分⽅程。
它以复杂⽽美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。
最终⼈们得到了真正球⾯对称的准确解——史⽡兹解。
加⼊宇宙学常数后的场⽅程为：R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lambda g_{uv}= - 8 \pi {G \over c^2}T_{uv}式右边应该是光速的4次⽅，即：c^4狄拉克⽅程式理论物理中，相对于薛定谔⽅程式之于⾮相对论量⼦⼒学，狄拉克⽅程式是相对论量⼦⼒学的⼀项描述⾃旋-?粒⼦的波函数⽅程式，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建⽴，不带⽭盾地同时遵守了狭义相对论与量⼦⼒学两者的原理，实则为薛定谔⽅程的洛仑兹协变式。
这条⽅程预⾔了反粒⼦的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正⼦(positron)⽽证实。
狄拉克⽅程式的形式如下：，其中是⾃旋-?粒⼦的质量，与t分别是空间和时间的座标。
狄拉克的最初推导狄拉克所希望建⽴的是⼀个同时具有洛仑兹协变性和薛定谔⽅程形式的波⽅程，并且这个⽅程需要确保所导出的概率密度为正值，⽽不是像克莱因-⾼登⽅程那样存在缺乏物理意义的负值。
考虑薛定谔⽅程薛定谔⽅程只包含线性的时间⼀阶导数从⽽不具有洛仑兹协变性，因此很⾃然地想到构造⼀个具有线性的空间⼀阶导数的哈密顿量。
这⼀理由是很合理的，因为空间⼀阶导数恰好是动量。
其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个⽅程也不是洛仑兹协变的。
因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满⾜洛仑兹协变性。
如果系数αi是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，⽽只能是N×1阶列⽮量狄拉克把这些列⽮量叫做旋量（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值同时，这些旋量的每⼀个标量分量需要满⾜标量场的克莱因-⾼登⽅程。
狄拉克方程的理论推导
狄拉克方程的理论推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子运动的基本方程之一，由英国物理学家保罗·狄拉克在1928年提出。
这个方程在量子力学和量子场论中具有重要的地位，对理解粒子物理学的基本问题起到了至关重要的作用。
1. 自旋与相对论性粒子在相对论性量子力学中，我们必须考虑自旋的概念。
自旋是粒子的内禀角动量，不同于经典观念中的自转，它并没有经典的对应物。
自旋的量子数可以是整数或半整数，对于自旋1/2的粒子，其量子数可以取正负1/2。
在量子力学中，我们用波函数来描述粒子的运动状态。
对于自由粒子，我们可以用薛定谔方程来描述其运动。
但当我们考虑到粒子的自旋时，薛定谔方程的形式就不再适用了。
为了描述自旋1/2粒子的运动，我们需要引入狄拉克方程。
2. 狄拉克方程的形式狄拉克方程可以写成如下的形式：$$ (i\\gamma^{\\mu}\\partial_{\\mu}-m)\\psi=0 $$其中，$\\gamma^{\\mu}$是4个Dirac矩阵构成的矩阵向量，$\\partial_{\\mu}$是4-梯度算符，m是粒子的质量，$\\psi$是物质场。
该方程可以看成是一个波动方程，它描述了自旋1/2粒子的运动行为。
3. 矩阵表示及Dirac矩阵的性质在狄拉克方程中，Dirac矩阵是关键的部分。
Dirac矩阵由四个4x4的矩阵组成，可以表示为：$$ \\gamma^0=\\begin{pmatrix}I & 0\\\\ 0 & -I\\end{pmatrix} \\quad\\gamma^i = \\begin{pmatrix}0 & \\sigma^i\\\\ -\\sigma^i & 0\\end{pmatrix} $$ 其中，i=1,2,3。
I是2x2的单位矩阵，$\\sigma^i$表示泡利矩阵。
Dirac矩阵具有一些重要的性质：•$\\{\\gamma^\\mu,\\gamma^\ u\\} = 2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u+\\gamma^\u\\gamma^\\mu=2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u-\\gamma^\ u\\gamma^\\mu=0$ 这些性质是根据Dirac矩阵的定义和矩阵之间的乘法运算推导得出的。
dirac方程_波函数_自旋_概述及解释说明
dirac方程波函数自旋概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将对Dirac方程、波函数和自旋进行概述和解释。
这些概念是量子物理学中非常重要的理论基础，它们对于我们理解微观世界的行为和性质至关重要。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、Dirac方程、波函数、自旋和结论。
在“引言”部分，我们将介绍文章的目的并简要描述各个章节的内容。
接下来，我们将详细讨论Dirac方程，包括其历史背景、推导过程以及物理意义。
然后，我们将深入讨论波函数的定义、性质以及解析表达式，并探讨其统计解释。
随后，我们会介绍自旋的概念并探讨自旋角动量算符与本征值问题。
最后，在结论部分，我们将总结回顾各个章节的主要内容，并对Dirac方程、波函数和自旋的重要性进行讨论。
同时，我们还将指出进一步研究这些领域可能带来的影响和未来发展方向。
1.3 目的本文的目标是提供一个针对Dirac方程、波函数和自旋的综合概述和解释。
通过对这些重要的物理概念的介绍，我们希望读者能够更加深入地理解量子物理学的基础原理，并认识到它们在现代物理研究中的重要性。
此外，我们也希望为进一步研究和探索这些领域提供一些启示和思考方向。
2. dirac方程：2.1 历史背景：Dirac方程是由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出的，是量子力学中一种描述自旋1/2粒子（如电子）行为的数学表达式。
Dirac在尝试修正薛定谔方程以解释电子自旋时发现了这个方程。
2.2 方程推导：Dirac方程的推导基于相对论式能量-动量关系和波动粒子二象性的观念。
通过使用相对论协变性原理，考虑含有二阶偏导数项的薛定谔方程无法给出正确结果的问题，Dirac引入了四分量波函数来描述自旋1/2粒子，并构建出了适用于相对论情况下的运动方程，即Dirac方程。
2.3 物理意义：Dirac方程不仅包含了薛定谔方程中描述自旋1/2粒子行为的部分，还考虑到了相对论效应并解决了负能态问题。
狄拉克方程推导过程
狄拉克方程推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程，由物理学家狄拉克于1928年提出。
狄拉克方程是一个具有一阶时间导数和一阶空间导数的方程，可以用来描述自旋为1/2的粒子的运动状态。
下面将从狄拉克方程的推导过程入手，详细介绍狄拉克方程的内容。
我们知道在相对论性量子力学中，对于自由粒子，其能量与动量之间的关系由E² = p²c² + m²c⁴给出，其中E是能量，p是动量，m 是粒子的静止质量，c是光速。
狄拉克的思路是将这个能量-动量关系运用到量子力学框架中。
为此，狄拉克引入了四分量波函数来描述自旋1/2粒子的运动状态，这个四分量波函数被称为狄拉克旋量。
狄拉克旋量是一个具有四个分量的复向量，分别表示自旋向上和向下的两种可能。
接下来，狄拉克假设狄拉克旋量满足一个满足一阶时间导数和一阶空间导数的方程。
根据狄拉克的思路，我们可以得到如下的狄拉克方程：(iγ⁰∂/∂t - iγ¹∂/∂x - iγ²∂/∂y - iγ³∂/∂z - mc)Ψ = 0其中，Ψ是四分量狄拉克旋量，γ⁰、γ¹、γ²、γ³是矩阵，它们被称为狄拉克矩阵。
这个方程描述了自旋1/2粒子的运动状态，其中的质量项mc对应于粒子的静止质量。
狄拉克方程的推导过程并不简单，它需要用到矩阵的代数运算和相对论性的量子力学知识。
推导过程中，狄拉克通过考虑自由粒子的动力学方程和相对论性能量-动量关系，最终得到了这个描述自旋1/2粒子的方程。
狄拉克方程的重要性在于它成功地将相对论性和量子力学结合起来，描述了自旋1/2粒子的运动状态。
这个方程在粒子物理学中起着重要的作用，被广泛应用于描述电子、质子和中子等粒子的行为。
除了自由粒子的狄拉克方程，还可以通过引入相互作用项来描述粒子在外场中的行为。
这个相互作用项可以通过狄拉克方程与外场的耦合得到，从而描述粒子在电磁场或强相互作用场中的运动。
狄拉克方程式的物理解释
狄拉克方程式的物理解释狄拉克方程式是量子力学中最重要的方程式之一，也是量子场论的基础。
它的发现是20世纪物理学的一座里程碑。
狄拉克方程式的推导过程涉及到相对论和量子力学的融合，物理解释较为复杂。
本文将从相对论、自旋和场论的角度来解释狄拉克方程式的物理意义。
一、相对论早在1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论，揭示了光速不变定律和质量-能量等价的原理。
相对论原理意味着时间和空间是相对的，光速是所有参考系中不变的。
这些结论极大地改变了牛顿力学的理论框架，引发了物理学范式转换。
相对论意味着我们无法再使用简单的动量和能量公式来描述一个物体。
相对论动量和能量计算式中涉及了物体质量，速度越快，质量越大。
因此，需要重新定义动量和能量。
这就是著名的相对论Dirac方程式(狄拉克方程式)的出现的背景。
狄拉克方程式是相对论粒子物理学的基础之一，其具有与薛定谔方程式相同的形式。
通过考虑作为狄拉克方程式的解的“波函数”在它的时空变量中的行为，在特定的形式下可以推导出质子、中子和电子的物理性质。
二、自旋1900年左右，物理学家发现原子光谱中存在着一些奇怪的线。
这些线的出现不能被经典物理理解，为了解决这个问题，物理学家提出了一种全新的概念，称为自旋。
自旋是一个奇怪的量子化概念，它尚未被人们理解。
实际上，自旋是一个量子粒子的内禀性质。
简单来说，一个物体的自旋可以是1/2或者-1/2，这就像是一个磁性质一样。
电子具有自旋，可以拥有两种自旋状态：向上和向下。
三、场论在场论中，物质并不是构成物理世界的基本单元，而是能量密度在时空中的分布。
例如，光子场即指能量密度在时空中的分布，而光子被认为是该场量子的媒介。
场论的核心思想是场的变量在时空中的变化，而物质质量和其他属性通过场所在位置的变化来反映自身状态的改变。
狄拉克方程式源于场论，实际上是一个描述自由粒子的量子场方程。
由于它是相对论性的，因此它没有古典的牛顿或者经典物理学中水果成熟定律中的那种“作为一个固体的对象移动到整个空间中不同时间和空间点上”的真实感。
狭义相对论量子力学1——自由粒子的狄拉克方程
α12 = α22 = α32 = β2 = 1,
(αiαj + αjαi) = 0, i, j = 1, 2, 3
(αiβ + βαi) = 0, i = 1, 2, 3 可以验证：满足上面要求的系数α和β至 少 是 4 × 4 的 矩 阵 ，这里采用
利用结果α†
=
α,
β†
=
β；
∂ ∂t
Ψ†Ψ
3;
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · αΨ 则有：
i
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ = Ψ†Ψ和概率流密度J = cΨ†αΨ则：
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0。
注意: 按照上面定义的概率密度总是非负的，因为 Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗] 则 ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+d∗d≥0，因此狄拉克方程是可接受的。
一、自由粒子的狄拉克方程
April 10, 2020
1 自由粒子的狄拉克方程
假设：自旋为 /2的高速运动的自由粒子满足狄拉克方程：
其 中αi =
0 σi
数Ψ为4 × 1矩阵。
i
∂Ψ =
−ic
α· ∇ + βmc2
Ψ.
∂t
σi 0
i = 1, 2, 3, β =
狄拉克方程概率流方程推导
狄拉克方程概率流方程推导狄拉克方程概率流方程推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论量子力学方程。
它有不同于薛定谔方程的解析解，并且在理论物理研究中有广泛的应用。
其中概率流方程是狄拉克方程中最为重要的内容之一。
下面，本文将介绍狄拉克方程概率流方程的推导。
首先，为了方便，我们用自然单位制，即$ c = \hbar = 1 $。
狄拉克方程可以写成：$$ i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0 $$其中， $ i $ 是虚数单位， $ \gamma^\mu $ 是 $ 4\times 4 $ 的 Dirac 矩阵， $ \psi $ 是一个 $ 4 $ 分量的复波函数， $ m $ 为粒子的质量。
矩阵项 $ \gamma^\mu $ 有很多不同的表示形式，本文采用自然单位制下的Weyl 表示：$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix}0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix},\quad\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0\end{pmatrix},\quad i=1,2,3 $$其中 $ I $ 是 $ 2\times 2 $ 的单位矩阵， $ \sigma^i $ 是 $ 2\times 2 $ 的Pauli 矩阵。
接下来，我们根据概率守恒定律来推导概率流方程。
概率守恒定律可以表示为：$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0 $$其中 $\rho $ 是粒子密度， $ \vec{j} $ 是概率流密度。
对于自由粒子，其粒子密度和概率流密度可以表示为：$$ \rho = \psi^\dagger\psi, \quad \vec{j} = \psi^\dagger \vec{\alpha}\psi $$其中 $ \vec{\alpha} = (\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3) $。
dirac方程的实数解
dirac方程的实数解
Dirac 方程描述了自旋-1/2的自由粒子，它是相对论性的一阶波动方程。
Dirac 方程的实数解是指具有实数数值的波函数解。
Dirac 方程的一般形式为：
(iγ^μ∂_μ - m)ψ(x) = 0
其中，i 是虚数单位，γ^μ 是Dirac γ 矩阵的四个分量，∂_μ 是四维导数算符，m 是粒子的质量，ψ(x) 是四分量Dirac spinor 的波函数。
Dirac 方程的解可以分解成正频率（正能量）和负频率（负能量）的解。
实数解对应于正频率的解。
实数解可以通过使用矩阵代数和矩阵的性质来得到。
具体而言，可以使用Dirac γ 矩阵的性质以及量子力学中的几个标准假设，例如粒子数守恒和Hermitian 测量算符的期望值为实数等，来推导出实数解。
实数解的存在取决于具体的边界条件和体系的对称性。
需要注意的是，Dirac 方程的解涉及到量子场论的形式体系，比较复杂且通常需要深入的数学和物理知识进行处理。
因此，深入研究Dirac 方程的实数解通常需要在高等量子力学和场论的学习中进行。
常型dirac算子的谱分解
常型dirac算子的谱分解常型Dirac算子的谱分解是一种用于分析多变量函数的方法，通过将其表示成另一种基本表示形式来简化函数的分析。
它的原理是将函数的多项式系数与常型的Dirac 算子结合使用，以达到函数的分析目的。
这种方法已经在诸如物理学、数学、统计学等领域得到广泛应用。
常型Dirac算子是一种常用的线性算子，在数学上它可以定义为一个把函数从一个空间映射到另一个空间的线性变换。
Dirac算子是一种非常强大的线性算子，它能够将复杂的函数表示成一种简单的基本表示形式。
例如，它可以将一个多项式f(x)表示成一系列线性变换T_k x的组合，其中T_k x表示一系列的Dirac算子。
常型Dirac算子的谱分解是将函数f(x)表示成一系列线性变换T_k x的组合，其中T_k x表示一系列的Dirac 算子。
这样，对于任意的多项式f(x)，就可以将它表示成一系列的线性变换的组合。
而每一个线性变换T_k x都可以用一个特定的参数θ_k 来表示，这样，原来复杂的函数f(x)就可以表示成一系列参数θ_k 的函数。
谱分解的优势在于可以将复杂的函数表示成一系列参数θ_k 的函数，从而大大减少了函数分析的复杂度。
谱分解还可以用于对函数f(x)进行回归分析，以推断函数f(x)的参数θ_k 。
此外，常型Dirac算子的谱分解还可以用于处理大规模的数据集，因为它可以将大规模的数据集分解成一系列的小规模的子数据集，从而减少数据处理的复杂度。
总之，常型Dirac算子的谱分解是一种非常有用的方法，可以将复杂的函数表示成一系列参数θ_k 的函数，从而大大减少函数分析的复杂度。
此外，它还可以用于处理大规模的数据集，以及进行回归分析，以推断函数f(x)的参数θ_k 。
§11－3自由电子的平面波解
§11－3自由电子的平面波解为了了解Dirac 方程的物理性质，下面，求解自由电子的Dirac 方程的解.自由电子的Dirac 方程（1） 2mc p c H βα+⋅=有哪些守恒量？因为H 不显含时间，所以能量为守恒量。
这是自由电子时间均匀性的表现。
0],[],[2=+⋅=mc p c p H p βαQ所以动量p 为守恒量，说明自由电子具有空间均匀性。
波函数可以取能量和动量的共同本征态)(,)(),(Et r p i E p e p u t r −⋅=rr hr ψ （2）代入（1）式，得u 满足的方程：)(p Eu u mc p c =+⋅)(2βα （3）u 为多分量波函数，考虑到电子有自旋，令==χϕ4321)(u u u u p u （4） 其中均为二分量波函数==4321,u u u u χϕ令，利用Pauli-Dirac 表象k p r h r=0 0 =σσα I 00−=I β代入（3）式 Eu u mc p c =+⋅)(2βα （3）= −+ χϕχϕχϕσσE I c I 00 mc p ˆ 0 02 =−⋅=+⋅χχϕσϕϕχσE mc p c E mc p c 22 k p r h r==++⋅−=⋅−−0)(0)(22χϕσχσϕmc E k c k c mc E h h （5） 方程具有非零解的主要条件是系数矩阵的行列式为0。
即：0 22=+⋅−⋅−−mcE k c k c mc E σσh h (6)即：0))((22422=⋅⋅−−k k c c m E σσh利用)())((B A i B A B A ×⋅+⋅=⋅⋅σσσ0222422=−−k c c m E h224222242p c c m k c c m E E +±=+±==∴±h2242p c c m E ++=+ 正能量解2242p c c m E +−=− 负能量解下面，求波函数 由（5）式，可得：=++⋅−=⋅−−0)(0)(22χϕσχσϕmc E k c k c mc E h h （5）⋅−=⋅+=χσϕϕσχ)()(22k mc E c k mc E c h h （7） 上式给出了ϕχ,之间的关系，具体表达式还未确定。
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上述空穴记录了一个 “电荷为e、 能量为E 的电子的空缺”，并且可 被观察者解释为相对于真空而言、一 个电荷为+e、能量为+E 的粒子，即 正电子的出现. 相应的，负能海中的一个空穴，或说
一个正电子，是正能电子的一个陷阱， 并导致电子-正电子偶的湮灭而发出 辐射，如下图所示：
e+ + e +
可化为0和0的同一形式的方程组
( mc2 )10 cˆ p0 0, cˆ p0 ( mc2 )10.
(4.4)
线性齐次方程组(4.4)有非平庸解的条件 是其系数行列式为0，即
( mc2 )1 cˆ p
0.
(4.5)
cˆ p ( mc2 )1
按照“空穴理论”，真空态就是所有负能 电子能级被填满、所有正能级都空着的态。 根据Dirac的说法，一个表面上是真空的量 子盒子里面 — 也就是不含正能量状态的电 子 — 实际上是一个所有负能量电子能级都 被占据的“海”！如果我们把一些正能量 的电子放进该盒子，系统的电荷和能量是 相对于空盒子状态的电荷和能量来测量的。 因此，Dirac的空盒子中的无穷多的负电荷 和负能量是不可观测的。
虽然这听起来像某种怪诞的理论空想，但 像其他成功的理论一样，Dirac 关于“真 空”的概念能够提供一些真切地预言。
现在，例如，氢原子基态的稳定性得到了 保证，因为根据Pauli不相容原理负能海不 能容纳更多的电子。
其次，如下图所示，一个负能电子有可能 吸收辐射而被激发到正能态；如果发生这 种情况，我们将观察到一个电荷为e、 能量为+E 的电子加上负能海中的一个空 穴.
(4.7)
1表征随时间因子 Ep
演化的正、负解
负能解问题-空穴理论
负能解之确实存在, 要求对Dirac理论作有份量 的重新解释, 以避免原子中的电子向负能态跃迁 并级联下去而湮没.
1930年, Dirac 提出了“空穴理论”, 这个理论只 是让电子按照Pauli不相容原理充满了负能级, 就 解决了负能解带来的问题。
利用关系式 σˆ Aσˆ B A B1 iσˆ A B
(4.5)
( 2 m2c4 )1 c2ˆ pˆ p 0, 2 m2c4 c2 p2.
Ep , Ep c p2 m2c2 .
的两种符号相应于Dirac方程的两
§6.4 Dirac 方程的自由粒子解
考虑自由Dirac方程, 即
i t
Hˆ f
cˆ pˆ mc2ˆ
(4.1)
驻态解 (x,t) (x)expit
(x) Hˆ f (x)
(4.2)
如前所述, 为了 方便, 常将4-分量 旋量分成两个2旋量, 即
类解, 称之为正解、负解.
对固定的 , 由(4.4)得
0
cˆ p mc2
0
(4.6)
可以将Dirac方程的完全解写作
p x,t
N
0 cˆ p
mc2
0
exp
i
p x Ept
2 3 / 2
1
2
3 4
1 2
,
3 4
应用Dirac-Pauli表象
Hˆ f cˆ pˆ mc2ˆ
c0ˆ
ˆ
0
1932年，C. Anderson在宇宙射线实 验中发现了正电子； 1955年，质子的反粒子即反质子， 在加利福尼亚的伯克利被发现；
相对论量子力学的真空，或者更严 格的说，相对论量子场论的基态， 还有一些其它的有意义的可观察效 应，例如 Casimir 效应等；
pˆ
mc2
1 0
01
cˆ pˆ mc2,
或
cˆ pˆ mc2.
(4.3)
对于确定的动量 p ,
0 0
exp
ipx来自当以本征值 p 代替其算符, 方程(4.3)