附录1截面的几何性质

弯曲构件：
My , w M
Iz
EI z
3
4
5
软土地区的新型无碴轨道系统：
钢轨嵌入式轨道结构的横截面——梯形箱型梁， 结构刚度很大，可以减少不均匀沉降和振动。
6
§Ⅰ-1 静矩和形心
一、静矩
z y
O
dA
z y
对 y 轴的静矩：
S y z dA
A
对 z 轴的静矩： Sz y dA
y zc
b
y1
Izc y12 dA I yc z12 dA
A
A
I yczc y1z1 dA
dA
C
z1 a z yc
A
Iz A y2dA A(b y1)2dA
A( y12 2by1 b2 )dA
O
zc为形心轴， Szc Ayc 0
y
Izc 2bSzc b2 A
I zc b2 A 16
z
y zc
b
y1
dA
C
O
z1 az
Iz Izc b2 A
同理： I y I yc a2 A
yc
I yz I yzc abA
y
在所有互相平行的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩 最小。
17
[例Ⅰ-2] 求图示带圆孔的圆形截面对 y 轴和 z 轴的惯
cos2

I
yz
sin 2
I y1z1

Iy
2
Iz
sin 2

I yzcos2
二、形心主轴和形心主惯性矩
转轴公式
1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到=0 时，
I y0z0

Iy
Iz 2
s in 2 0

I yz
cos 20

0

tan 20


2I yz Iy Iz
则与 0 对应的旋转轴y0 z0 称为主轴。
性矩。 z zc
解：
I y外

I z外

D4
64
I y内

I zc

d4
64
d
y
I z内

I zc

A内

d 2
2
D

d4
64

d2
4


d 2
2


5 d 4
64
Iy

I y外
I y内

D4
64

d4
64
Iz

I z外
I z内

D4
64
y z0
z1
解：
Iz

4I z1


a 2

z0
2
A

a z 4 779 .53 150 4.312 31.502
4 (779 .53 668648 .1)
a
2677710 .52 cm4
单平个衡形项心惯惯性性矩矩
668648.1 779.53
主轴不唯一
如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为形心主惯性
轴，简称形心主轴；截面对形心 主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
z z
形心主轴唯一
形心轴 y’、z’ 不是形心主轴 形心轴 y、z 是形心主轴
y
C
y
15
§Ⅰ-3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
z
已知：Iyc，Izc，Iyczc；求： Iy，Iz，Iyz。
O
y
I y1z1 y1z1 dA
A
y1 cos cos cos sin sin
y cos z sin

y1 z1

y cos z sin y sin z cos
23
z1 z
y
dA
y1

z1

z
I p 2 dA
A
I p 2 dA z2 y2 dA
A
A
z2 dA y2 dA I y Iz
A
A
O
y
例：对实心圆截面，有：
I p
A 2dA
d 2
2

2



d

d
4
0
32
z
d

O
Iy

Iz

1 2
I
的最小值。
27
3、求截面形心主惯性矩的方法
、建立坐标系。 、计算面积和静矩
、求形心位置

y

Sz A

yi Ai A


z

Sy A

zi Ai A
、建立形心坐标系，求 I yc、Izc、I yczc
、求形心主轴方向0
、求形心主惯性矩
tan 2 0


2I yczc I yc I zc
I
p

D4
32
(1 4 )
实心圆截面： D
iy

iz

d 4
Od
y
Iy
Iz
D4
64
1 4
矩形截面：
z
组合图形的惯性矩：
Iy

bh3 12
hC
n
n
y I y I yi Iz Izi
i 1
i 1
b
13
三、惯性积： I yz yz dA 大小：正，负，0。 A z 量纲：[长度]4
z
100
解：(1)选参考系 y' z ，确定形心 C 的位置： n
① Cy
zc
Sy' A

Ai zi
i 1 n
Ai
y′
i 1
yc 0
②
20
20 100 80 20 140 0 33.3mm 20 100 20 140
160 140
(2)计算Iy
I y I y1 I y2
§Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩和惯性半径：
z
对 y 轴的惯性矩 I y z2 dA
A
y
dA
对 z 轴的惯性矩 Iz y2 dA
A
大小：正。 z
量纲：[长度]4
O
y
Iy

A

i
2 y
对 y 轴的惯性半径 i y
Iy A
I z A iz2
对 z 轴的惯性半径 iz
则截面图形对其对称轴的静矩恒为0。
8
三、组合截面图形的静矩和形心
n
z
S y Ai zi i 1
n
Sz Ai yi i 1
n
yc
Sz A

Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
n
zc
Sy A

Ai zi
i 1 n
Ai
i 1
10
[例Ⅰ-1] 试确定左图的形心。
p
d 4
64
d 4
iy iz
64
d 2

d 4
d
4
y
12
空心圆截面： ( d )
I p A 2dA
D 2
d 2

2
2
D

d


(D4 32
d
4)

D 4
32
(1
4)
Iy
Iz

1 2
I
p
D4
64
1 4
z
圆形截面：
I yc0

I
zc0

I yc
2
I zc


I
yc
2
I zc
2

I
2 yczc
28
[例Ⅰ-7] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形 的形心主轴。(b=1.5d)
z
解 ： 建立参考坐标系yOz：
d zC O
C
b
求形心位置：
2d
y1 y
yC

yC

[ 1 100 203 20 100 (80 33.3)2 ] 12
( 1 20 1403 20 140 33.32 ) 12
20
1210.7 104 mm4 1210.7cm4
[例Ⅰ-5] 计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz
。
500
z’ 解：(1)选参考系 yz 确
C
C
···C1
2
yC
yC1 400 yC2 425
定形心位置：
z
yc

Sz' A

A1 yC1 A2 yC 2 A1 A2

500
800 500
400 800

400 400
550 550
425
50 y 50
369.44mm
(2)计算Iz
I z1

5008003 12
附录Ⅰ
截面图形的几何性质
1
附录Ⅰ 截面图形的几何性质
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
静矩和形心 惯性矩、惯性积和惯性半径 惯性矩、惯性积的平行移轴公式 惯性矩、惯性积的转轴公式
2
轴心受拉（压）构件： FN , l FNl
A
EA
扭转构件：
T , Tl
Ip
GI p
z

O

y1 z1

y cos z sin y sin z cos

y
y1
I y1

z12
A
dA
zcos
A

ysin 2
dA
I ycos2 Izsin2 I yz sin2
I
y1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
857.8
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
22
§Ⅰ-4 惯性矩、惯性积的转轴公式
一、转轴公式 z1 z
y
dA
y1

z1
z

I y z2 dA Iz y2 dA
A
A
α逆时针转为正。
y1
I y1 z12 dA
A
Iz1 y12 dA
A
I yz yz dA
A
zc

A1z1 A2 z2 A1 A2
120 10
C2
C yc , zc
C1
80
y

10 80 5 10 110 10 80 10 110
65

39.74
mm
yc

A1 y1 A2 y2 A1 A2
10 80 40 10 110 5 19.79 4 mm 10 80 10 110

500 800 yC1

yC
2
Iz2

400 5503 12

400 550 yC 2

yC
2
I z I z1 I z2 1.54 1010 mm 4
21
[例Ⅰ-6] 电线铁塔基座采用四个等边角钢组成 L160× 10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。
截面对通过同一点的所有轴中，最大或最小惯
性矩即为对通过该点的主轴的主惯性矩。 26
2、形心主轴和形心主惯性矩
形心主轴
tan
2 0


2I yczc I yc I zc
形心主惯性矩
I yc0

I
zc0

I yc
2
I zc


I
yc
2
I zc
2

I
2 yczc
形心主惯性矩小者为截面对所有轴的惯性矩中

5 d 4
64 18
[例Ⅰ-3] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
z
d O
A
解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip

d4
32
Iy Iz
2Iy
y
Iy

Iz

d4
64
B
I AB

Iy


d 2
2


A

d4
64
d4
16

5 d 4
64
19
[例Ⅰ-4] 求图示截面图形对水平形心轴 y 的惯性矩。
dA dA yy
zz
O
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
y 图形对任一包含对称轴在内的一
y 对正交坐标轴的惯性矩为0。
n
组合图形的惯性积 I yz I yzi i 1
惯性矩是对一根轴而言的，惯性积是对一对轴而言的，
极惯性矩是对一点而言的。
Ip Iy Iz
14
四、主轴： 使截面的惯性积为零的一对正交坐标轴称为主惯性轴， 简称主轴；截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
Iz A 10
例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。
z
dz
z
C
y
h
b
I y z2 dA
A
h
2 -h
bz2dz
2

bh3 12
iy
Iy A
bh3 12bh
h 12
同理：
Iz

b3h 12
iz
Iz A
b3h 12bh
b 12
11
二、极惯性矩： z
y
dA
主惯性矩：I y0
I z0

Iy
Iz 2


I
y
2
Iz
2

I
2 yz
25
I y0z0

Iy
2
Iz
s in 2 0

I yz
cos 20

0

tan
2 0


2I yz Iy Iz
I
y1

I
y
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Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2

zC

yi Ai 0 0
A
A
zi Ai A


A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]3
7
二、截面图形的形心
截面图形的形心 = 几何形状相同的均质薄板重心
z
yc
C
yc


A
y dA A

Sz A
zc
zc

z dA
A
A

Sy A
O
y
S y A zc Sz A yc
结论：若Sy=0 zc=0 y 轴通过形心，反之亦成立。
若Sz=0 yc=0 z 轴通过形心，反之亦成立。
I z1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
转轴公式
I y1z1

Iy
2
Iz
sin 2

I yzcos2
I y1 I z1 I y I z 24
I
y1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
I z1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
dI y1
d

Iy Iz
sin 2 2I yz cos 2
I z1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
dIz1 d

Iy Iz
sin 2 2I yz cos 2
当＝0时，
dI y1
dIz1
0
d ＝0 d ＝0