相似三角形的性质 图形的位似

相似三角形的性质图形的位似

主讲：方敏文

一周强化

一、一周知识概述

1、相似三角形的性质(1)

相似三角形的周长的比等于相似比．

如图，其符号语言：

2、相似三角形的性质(2)

相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

3、相似三角形的性质(3)

相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．如图：

①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，

②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，

③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，

4、相似多边形的性质

相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

性质：相似多边形周长的比等于它们的相似比；相似多边形面积的比等于它们相似比的平方．

例如：如图所示，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且．则：

(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；

(3)四边形ABCD的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k；

(4)S四边形ABCD︰S四边形A′B′C′D′=k2．

5、图形的位似

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，我们就把这样的两个图形叫做位似形．这个点叫做位似中心．

说明：位似图形必须满足：(1)是相似图形；(2)所有对应顶点的连线都经过同一点．

6、位似变换

如果一个图形由另一个图形作相似变换得到，而且对应顶点的连线交于一点O，这样的相似变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，这时的相似比叫作位似比．

7、位似图形的画法及步骤

（1）确定位似中心；

（2）画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；

（3）分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位似中心的距离之比为相同的一个定值；

（4）顺次连接各点．

二、重难点知识归纳

1、运用相似三角形、相似多边形性质时应注意以下几点：

①面积比=（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；

②面积比=．

(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；

相似多边形中对应对角线的比等于相似比；

相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

说明：除了“周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方”之外，相似多边形还有如下两条重要性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

2、位似图形的两个特征

（1）两个图形是相似图形；

（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或共线．

3、位似变换和位似图形的性质

两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

4、相似图形与位似图形的区别与联系

两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；

两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．

三、典型例题讲解

例1、如图，已知在△ABC中，DE∥BC，且

S△ADE ︰S四边形

BCED

＝1︰2，

.

分析：

因为S△

ADE ∶S四边形

BCED

=1∶2，所以S△ADE∶S△ABC=1∶3，

由DE∥BC知△ADE∽△ABC，所以根据求DE的长. 解：

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴△ADE∽△ABC．．

，，

．，

．

．

例2、如图所示，矩形DEFG内接于△ABC，即点D在AB上，点G在AC上，E、F 在BC上，AH⊥BC于H，且交DG于N，BC=18cm，AH=12cm，DE:DG=2:3，求矩形DEFG的周长．

分析：

由DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，所以有，据此比例式可列方程求解．解：

由题意可设DE=2x，则DG=3x，NH=2x，

∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，

∴，即，

解得x=3，

∴DE=2x=6cm，DG=3x=9cm，

∴矩形的周长为2×(6＋9)=30cm．

点评：本题的关键是由相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立比例式，得到已知线段与未知线段之间的数量关系，从而通过设未知数，列方程求解，体现了数形结合的思想．

例3、如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)画出位似中心点O；

(2)求△ABC与△A′B′C′的位似比；

(3)以点O为位似中心，再画一个△A

B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．

1

分析：

本题考查位似图形的概念、性质和位似比、位似图形的画法等知识．位似中心是位似图形对应顶点连线的交点，故只需连接AA′，B′B，C′C来确定，然后再根据位似比(即相似比)的意义可求得△ABC与△A′B′C′的位似比为

最后再画出以O为位似中心的位似比为1.5的△ABC的位似三角形△A

B1C1．

1

解：

(1)如图所示．

(3)如上图所示．

例4、如图△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，2），B（3，1），C（1，0），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边之比为2：1，并指出其对应边AB与DE有何位置关系？并说明理由．

分析：

将图形放大、缩小是位似变换，应先确定位似中心．

根据题意可取坐标原点为位似中心，则根据位似比可得D、E、F的坐标．

解：

如上图，选取坐标原点为位似中心，连OA、OB，