相似三角形的性质 图形的位似
中考复习：相似三角形的性质、图形的位似(共17张PPT)
典型例题评析
（2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC， AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并 证明你的结论 (3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE 与 BC 交于点 E，BE： EC=2：3，点 D 在线段 AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断 AB、DF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论． ．
回归课本
1.（2016.重庆市 A 卷）△ABC 与△DEF 的相似比为 1： 4 ，则△ ABC 与△ DEF 的周长比为（ ）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 2． （2016.广西南宁）有 3 个正方形如图所示放置，阴 影部分的面积依次记为 S1，S2，则 S1：S2 等于（ ） A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 ．
巩固训练
1、 （2017 毕节）如图，在正方形 ABCDAF=45°，将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使点 E 落 在点 E'处，则下列判断不正确的是（ ）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF 垂直平分 EE' C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F 是等腰三角形 2. （2017 绥化）如图，△A′B′C′是△ABC 以点 O 为位似中心 经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是 4：9，则 OB′：OB 为（ ）
随堂检测反馈
1．1.(2015·东莞)若两个相似三角形的周长比为 2∶3，则
它们的面积比是__ 2.(2015·沈阳)如图， △ABC 与△DEF 位似， 位似中心为点 O， 且△ABC 的面积等于△DEF 面积的 ，则 AB︰DE＝__． 3.(2015·酒泉)如图， D、 E 分别是△ABC 的边 AB、 BC 上的点， DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值 为（ ） A． B． C． D．
相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，nmb a =语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。
考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。
三角形相似及位似
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或n mb a =）（2）比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cd a b d c b a =⇒=(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变FE D CB A 知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
知识点四：平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点五：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
第十一讲 相似三角形的性质及位似图形
第九讲 相似三角形的判定1． 如图，若∠BEF=∠CDF ，则△_______∽△________，△______∽△_______2．如图2，已知A （3，0），B （0，6），且∠ACO=•∠BAO ，•则点C•的坐标为______________ 3．已知，如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则图中共有________对相似三角形． 4．如图4，AB=BC=CD=DE ，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于__________.5．如图5，若∠ACD=∠B ，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________． 6．下列各组图形一定相似的是（ ）．A ．有一个角相等的等腰三角形B ．有一个角相等的直角三角形C ．有一个角是100°的等腰三角形D ．有一个角是对顶角的两个三角形 7.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=41CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的为 。
8..如图；点D 在△ABC 内，连BD 并延长到E ，连AD 、AE ，若∠BAD=20°，AEACDE BC AD AB ==，则∠EAC=_________ 9.如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，P 是AB 上一点，如果AB=12，AC=8，AD=6,当AP 的长度为_________时，△APD 与△ABC 相似。
10.如图，用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度．设OA OBm OC OD==，且量得CD ＝b ，则内槽的宽AB 等于____________11.如图所示，B D 平分∠A B C ，且A B ＝4，B C ＝6，则当B D ＝_______时，△A B D ∽△D B C ． 12.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为______． 13.如图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，则x 的值为______．15．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ．16.如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED17.如图,在边长为1的正方形网格上有P 、A 、B 、C 四点,（1）求证：△PAB ∽△PCA ；（2）求证：45APB PBA ∠+∠=︒18.如图在△ABC 中，∠C=90°，BC=8cm ，AC=6cm ，点Q 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，点P 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动．若Q 、P 分别同时从B 、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△CBA 相似？19.如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．（1）求证：△ABM ∽△EFA ；（2）若AB=12，BM=5，求DE 的长．20.在△ABC 中，AB=AC,点P.D 分别是BC 、AC 边上的点，∠APD=∠B ，（1）求证AC · CD=CP · BP （2）若AB=10,BC=12，当PD 平行AB 时，求BP 的长21.如图，正方形ABCD 的边长为4，M ，N 分别是BC ，CD 上的两个动点，当点M 在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当点M 运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ？22.（1）如图1，在ABC ∆中，BC DE //,点Q 在BC 上，AQ 交DE 于点P ，求证：PE BQ QC DP ⋅=⋅. （2）如图2和图3，在A B C ∆中，︒=∠90BAC ，正方形DEFG 的四个顶点在ABC ∆的边上，连接AG 、AF ，分别交DE于M 、N 两点.①如图2，若1==AC AB ，则______;=MN ②如图3，求证：EN DM MN ⋅=2.。
初二数学知识点复习整理
初二数学知识点复习整理科学家爱迪生曾说过：“天才就是1%的灵感加上99%的汗水，但那1%的灵感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要。
”即使我们的成绩不是很好，但只要有心想要学习，那么我们就应该笨鸟先飞。
接下来是小编为大家整理的初二数学知识点复习整理，希望大家喜欢!初二数学知识点复习整理一i相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2初二数学知识点复习整理二四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形;3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
九年级数学第二十九章 位似图形和相似三角形的应用冀教版知识精讲
九年级数学第二十九章 位似图形和相似三角形的应用冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：位似图形和相似三角形的应用1. 了解位似图形的概念、画法和性质.2. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度或宽度.3. 能利用位似图形和相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.二、知识要点： 1. 位似图形（1）定义：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比.ABC DEA'B'C'D'E'（2）画法：画位似图形的方法根据位似中心与图形的位置关系可以分为三种：①位似中心在图形的一侧；②两个图形分居在位似中心的两侧；③位似中心在两个图形的内部.OAD C BC'D'A'B'ABCDA'B'C'D'O A BC DA'B'C'D'O 2. 测量物体的高度（1）利用阳光下的影子A B C A'B'C'人的影长（可测）人被测物体的影长（可测）被测物体（2）利用标杆A BCDEFM N旗杆标杆（3）利用镜子的反射A BCDE人旗杆三、重点难点：本讲重点是位似图形的概念和性质、相似三角形的应用. 难点是应用相似三角形解决实际问题.四、考点分析：从历届中考题来看，相似形在中考中的位置越来越重要，试题分值也逐渐增加，特别是相似三角形的判定和性质的应用，在解答题中出现的频率较高，近两年来，相似形在实际生活中的应用性问题也开始出现.【典型例题】例1. 如图所示，试回答下列问题，并说明理由.（1）分别在△ABC 的边AB 、AC 上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了；（2）分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了？ABCDE ABCED(1) (2)分析：解答此题的关键是正确理解位似图形的定义，即（1）必须是相似图形；（2）所有对应顶点的连线都经过同一点. 这两条缺一不可. 若再要判定是放大了还是缩小了，就看位似比是大于1还是小于1就行了.解：（1）是，缩小了. 理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A ，位似比ADAB ＜1.（2）是，无法确定放大还是缩小，理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A. 但ADAB 的值可能大于1，也可能小于1，无法确定.例 2. 如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD 以O 点为位似中心的位似四边形A'B'C'D'.（1）沿OA 方向放大为原图形的2倍； （2）沿AO 方向放大为原图形的2倍.ABCDO分析：此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2∶1，而（1）问是沿OA 方向，即从O 点向A 点的方向，而（2）问是沿AO 方向，即从A 点向O 点的方向放大.解：如图1所示.①连接OA ，并延长OA 到A'，使AA'＝OA ； ②连接OB ，并延长OB 到B'，使BB'＝OB ； ③连接OC ，并延长OC 到C'，使CC'＝OC ； ④连接OD ，并延长OD 到D'，使DD'＝OD ； ⑤连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD 关于O 点的位似图形，且位似比为2∶1.A'B'C'D'ABCDO图1（2）如图2所示.①连接AO ，并延长AO 到A'，使OA'＝2OA ；②连接OB 、OC 、OD ，并延长BO 、CO 、DO 到B'、C'、D'，使OB'＝2OB ，OC'＝2OC ，OD'＝2OD.③连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD 关于O 点的位似图形，且位似比为2∶1.A'B'C'D'图2ABC DO例3. 如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙m ，梯上点D 距墙m ，BD 长m ，则梯子的长为（ ） A. m B. mC. mD. mABCD E分析：找出图中的相似三角形，列出相应的比例式AD AB ＝DEBC，代入求值即可. BC ＝m ，DE＝m ，DE ∥BC ，BD ＝m ，设AB ＝xm ，则AD ＝（x －0.55）m . 由△ADE ∽△ABC ，可得AD AB ＝DEBC ，即x x＝，解得x ＝4.40，故选C.解：C例4. 如图所示，小明为了测量一高楼MN 的高度，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC ＝m ，小明的眼睛离地面的高度为m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度. （精确到m ）ABCMN分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样△BCA 与△MNA 的相似关系就明确了.解：因为BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∠BAC ＝∠MAN ，所以△BCA ∽△MNA ，所以MN BC ＝ANAC ，即MN ∶1.6＝20∶1.5， ×20÷≈21.3（m ）.评析：这是一道实际应用题，利用了两角对应相等的两个三角形相似，且相似三角形对应边成比例.例5. 一条河的两岸是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有4棵树，则河宽是多少米？分析：先按题意画图，如图所示，可得AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，由题意可知△ADE∽△ACB ，从而AD AC ＝DECB，可求河宽.ABCDE解：如图所示，AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，CB 、DE 表示互相平行的河两岸，AD ⊥DE ，图中CB 、DE 两端的点表示树木，本题求DC 的长，因为DE ∥CB ，所以△ADE ∽△ACB.所以AD AC ＝DE CB ，即AD AD ＋DC ＝DE CB ，则1616＋CD ＝2050，解得CD ＝24（m ），所以河宽为24m . 评析：有关测量问题的计算，要应用相似三角形的性质——相似三角形的对应边成比例，这是解决实际问题的重要方法之一.【方法总结】1. 关于位似图形和相似图形：①位似图形一定是相似图形；②两个相似形，当对应点的连线交于同一点时，这两个图形又叫做位似图形；③位似比即相似形的相似比；④位似图形具有相似形的性质.2. 能够把实际问题转化成数学问题，利用影长计算或测量时，注意同一时刻：物体的实际高度影长＝被测物体的实际高度被测物体的影长.【预习导学案】（期中复习）一. 预习前知1. 下图是圆的知识结构图，通过阅读从整体上认识圆及其相关的性质.圆⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧圆的有关概念⎩⎪⎨⎪⎧圆心、半径、直径、弦、弧圆心角、圆周角三角形的外接圆扇形圆的有关性质⎩⎪⎨⎪⎧轴对称中心对称弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系圆的有关计算⎩⎪⎨⎪⎧弧长扇形的面积2. 通过下面的知识结构图，掌握知识之间的内在联系.3. 从整体上回顾相似形的主要内容，找出知识之间的联系，形成知识网络.二. 预习导学 1. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A. ∠COE ＝∠DOEB. CE ＝DEC. OE ＝BED. ︵BD ＝︵BCA2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，∠CAB ＝60°，则∠D ＝__________度.3. 方程（5－1）x 2＝（1－5）x 的较简单的解法是（ ） A. 因式分解法 B . 公式法 C. 配方法 D. 直接开平方法 4. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中1月份的利润是25万元，若利润的平均月增长率为x ，则依题意列方程为（ ）A. 25（1＋x ）2B. 25＋50xC. 25＋75xD. 25[1＋（1＋x ）＋（1＋x ）25. 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个ABCD EF反思：（1）从圆的对称性和弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系这两方面说一说圆的有关性质.（2）一元二次方程的解法有哪些？说一说这些解法适合解什么样的方程？ （3）两个三角形相似的条件有哪些？相似形有哪些性质？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 如图所示，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是（ ）ABCDEFG HMNA. 2DE ＝3MNB. 3DE ＝2MNC. 3∠A ＝2∠FD. 2∠A ＝3∠F 2. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点P B. 点O C. 点M D. 点N3. 小刚身高m ，测得他站立在阳光下的影子长为m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A. mB. mC. mD. m4. 如图所示，身高为m 的某学生测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝m ，CA ＝m ，则树的高度为（ ）AA. mB. mC. 8mD. 10m*5. 下列命题中真命题的个数是（ ）①两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC 与△A'B'C'中，AB A'B'＝ACA'C'，∠A ＝∠A'，那么△ABC ∽△A'B'C'；④已知△ABC 及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个*6. 如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）A. （－a，－2b）B. （－2a，－b）C. （－2a，－2b）D. （－2b，－2a）二. 填空题1. 如图，△ABC与△A’B’C’是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________.2. 要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD∶BC ＝5∶4，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上（如图所示），量得DE的长为30m，则AB的距离为__________m.ADFB CE3. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝，观察者目高CD＝，则树（AB）的高度约为__________米（精确到）.4. 如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为cm，OA＝16cm ，OD ＝48cm ，那么火焰的高度是__________cm .*5. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆. 小丽站在离南岸岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________米.**6. 如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________.ABCDO E FGx y三. 解答题1. 如图所示，把图（1）中的图形在图（2）中放大（形状完全一样）.（1） （2）2. 正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O 为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）.O AB CD 3. 用一桶农药给果树防虫，桶高，桶内有一斜放的木棒，一端在桶底，另一端恰好在桶盖小口处，抽出木棒量得木棒的总长为1米，上面浸有农药部分长，你能求出桶内药液的高度是多少吗？4. 如图所示，小明手拿一把刻有厘米刻度的尺子，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺子上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长60cm，求电线杆的高度.**5. 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目. 跷跷板支柱AB的高度为.（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？QAC试题答案一. 选择题1. B2. A3. A4. C5. C6. C二. 填空题1.（9，0）2. 243. 5.64. 1.55. 22.56. （1，0）或（－5，－2）三. 解答题1. 如图所示：2. 下图中的A’B’C’D’就是所求.word11 /113. 设桶内药液高度为x 米，则0.7－x ＝1，解得x ＝ 4. 设电线杆的高度为x 米，则603000＝12x，解得x ＝600（cm ）＝6（米） 5. （1）狮子能将公鸡送到吊环上. 当狮子将跷跷板P 端按到底时可得到R t △PHQ ，∵点A 是PQ 的中点，∴△PAB ∽△PQH ，且相似比是1∶2，AB ＝1.2（米）∴QH ＝2.4＞2（米）. （2）支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处（PA ＝13PQ ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，△PAB ∽△PQH ，∴QH ＝3AH ＝3.6（米）.。
九年级数学上册第四章图形的相似-图形的位似课件
第四章 图形的相似
考场对接
题型五 以原点为位似中心的位似变换
例题5 如图4-8-14 , 在Rt△ OAB 中 ,
∠OAB=90°, 且点B的坐标为(4, 2)．
(1) 画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 °
后的
；
(2)以坐标原点O为位似中心, 按1∶2的位似
比 在y轴的右侧画出
缩小后的 ．
课后作业 1.完成导学案剩余练习 2.完成数学作业本相应练习。
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第四章 图形的相似
考场对接
题型一 确定位似中心
例题1 如图4-8-9所示 , 将 △ ABC 的三 边分别扩大为原来的 2 倍得到 ( 顶点均在格点上 ) , 它们是以点P为位 似 中心的位似图形, 则点P的坐标是( A
考场对接
题型二 应用位似图形的性质进行计算
例题2 如图4-8-10, 已知△ADE与△ABC是 位似 图形, 且DE垂直平分AC. (1)求∠C的度数； (2)求△ A DE 与 梯 形 DECB的面积比.
第四章 图形的相似
考场对接
分析 抓住位似图形与相似图形的关系, 再利用相似三角形的性质 计算.
2.位似的三要素即是判定位似 的依据，也是位似图形的性质.
目标检测
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形， AB与CD平行吗？为什么？
答案：平行.位似图形的
目标检测
2.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△AB C=8,则S△A′B′C′=?
独学：3分钟
对学：1分钟
新知探索
位似图形的性质：
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝ 3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长； （2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
平面几何中的相似比定理与位似
平面几何中的相似比定理与位似在平面几何中，相似比定理与位似是两个重要的概念。
它们对于解决几何问题以及在实际生活中的应用都具有重要的意义。
本文将详细介绍相似比定理与位似的概念、性质以及应用案例。
一、相似比定理相似比定理是在几何形状相似的情况下，两个相似图形的对应边的长度之间的比值是相等的。
设有两个相似的三角形ABC和DEF，其中BC与EF对应，AC与DF对应，AB与DE对应。
那么有以下相似比定理成立：1. 侧边比定理：AB/DE=BC/EF；2. 高度比定理：h_a/h_d=BC/EF；3. 面积比定理：S_△ABC/S_△DEF=(BC/EF)^2。
相似比定理在解决几何问题时非常有用。
通过利用相似比定理，我们可以在已知图形的一部分信息的情况下，推导出其余部分的信息。
例如，如果我们知道一个三角形的底边长度和高度之间的比例，利用相似比定理可以求得其他边的长度、面积等信息。
二、位似的概念与性质位似是指在平面上，两个图形虽然形状不同，但是它们的对应边相互平行且长度之比相等。
位似的关键在于保持对应边的比例不变。
在位似的情况下，两个图形之间存在以下性质：1. 对应边平行：位似的图形中，对应边是平行的；2. 对应角相等：位似的图形中，对应角是相等的；3. 边长比相等：位似的图形中，对应边之间的长度比例是相等的。
位似在实际生活中的应用非常广泛。
例如在地图上，两个不同比例尺的地图是位似的，通过位似关系，我们可以在不同比例尺的地图上进行距离和角度的换算。
三、相似比定理与位似的应用案例相似比定理与位似在日常生活和工作中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 地理测量：地理测量中常用的仪器如测绘仪、全站仪等，其数据处理过程中用到了相似比定理。
通过测量不同位置上的三角形边长比例关系，我们可以计算出高度、距离等信息。
2. 建筑设计：在建筑设计中，相似比定理与位似常被运用于平面设计、线条设计等。
通过调整不同形状的图形的比例关系，实现建筑设计的美观与和谐。
相似三角形的判定、性质及应用（讲义及答案）
相似三⾓形的判定、性质及应⽤（讲义及答案）相似三⾓形的判定、性质及应⽤（讲义）课前预习⼀、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A．能够完全重合的两个图形称为全等图形B．全等图形的形状和⼤⼩都相同C.全等三⾓形的对应边相等，对应⾓相等D.三边分别相等的两个三⾓形全等，简写为“SSS”E.两⾓及其夹边分别相等的两个三⾓形全等，简写为“ASA”F．两⾓分别相等且其中⼀组等⾓的对边相等的两个三⾓形全等，简写为“AAS”G．两边及其夹⾓分别相等的两个三⾓形全等，简写为“SAS”定义：判定：全等图形全等三⾓形应⽤性质：性质：⼆、读⼀读，想⼀想太阳光线可以看成平⾏光线．早在约公元前600 年前，就有⼈利⽤平⾏光线去解决实际⽣活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第⼀位享有世界声誉，有“科学之⽗”和“希腊数学的⿐祖”美称的伟⼤学者．泰勒斯已经观察⾦字塔很久了：底部是正⽅形，四个侧⾯都是相同的等腰三⾓形．要测量出底部正⽅形的边长并不困难，但仅仅知道这⼀点还⽆法解决问题．他苦苦思索着．当他看到⾦字塔在阳光下的影⼦时，他突然想到办法了．这⼀天，阳光的⾓度很合适，把所有东西都拖出⼀条长长的影⼦．泰勒斯仔细地观察着影⼦的变化，找出⾦字塔底⾯正⽅形的⼀边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站⽴在沙地上，并请⼈不断测量他的影⼦的长度．当影⼦的长度和他的⾝⾼相等时，他⽴即跑过去测量⾦字塔影⼦的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座⾦字塔的⾼度．当他算出⾦字塔⾼度时，围观的⼈⼗分惊讶，纷纷问他是怎样算出⾦字塔的⾼度的．泰勒斯⼀边在沙地上画图⽰意，⼀边解释说：“当我笔直地站⽴在沙地上时，我和我的影⼦构成了⼀个直⾓三⾓形．当我的影⼦和我的⾝⾼相等时，就构成了⼀个等腰直⾓三⾓形．⽽这时⾦字塔的⾼（⾦字塔顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线）和⾦字塔影⼦的顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线也构成了⼀个等腰直⾓三⾓形．所以这个巨⼤的直⾓三⾓形的两条直⾓边也相等．”他停顿了⼀下，⼜说：“刚才⾦字塔的影⼦的顶点与我做标记的中⼼的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出⾦字塔影⼦的顶点与底⾯正⽅形中⼼的距离了．它等于底⾯正⽅形边长的⼀半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是⾦字塔的⾼度了．想⼀想：为什么⾦字塔的⾼（⾦字塔顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线）和⾦字塔影⼦的顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线也构成了⼀个等腰直⾓三⾓形呢？知识点睛1.相似三⾓形的判定：；；；．2.相似三⾓形的性质：①相似三⾓形，，都等于相似⽐；②相似三⾓形的周长⽐等于，⾯积⽐等于．3.测量旗杆⾼度的⽅法：①利⽤阳光下的影⼦②利⽤标杆③利⽤镜⼦的反射（太阳光是平⾏光）（同位⾓相等）（借助反射⾓、⼊射⾓相等）4.位似：①如果两个图形不仅，⽽且，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．位似图形上等于相似⽐．②在平⾯直⾓坐标系中，将⼀个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同⼀个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中⼼是，它们的相似⽐为．34DE EF DF∴△ABC∽△DEFACBCAB③ ==BCAB②∵=，∠B=∠EDE EF∴△ABC∽△DEF①∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF例：精讲精练1.如图，线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出对应的相似三⾓形．①若∠A =∠D ，则∽；②若∠A =∠B ，则∽；③若OA=OC，则∽；OD OB④若AC∥BD，则∽．2.如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上．给出下列条件：①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③∠ADE=∠B；④ AD=AC；⑤AD．其中能判断△ABC∽△AED 的AE AB AB AC有（填序号）．3.如图，⼩正⽅形的边长均为1，则下列图中的三⾓形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A.B．C．D．4.如图，AB∥CD，AD，BC 交于点E，过E 作EF∥AB 交BD于点F，则图中相似的三⾓形有对．5.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC =1BC，则图中相似三⾓形共有（）4A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对6.如图，线段AE，BD 相交于点C，连接AB，DE，其中AB:DE=1:2，AC=2，BC=3．若AB∥DE，则CE= ，CD= ；若∠A=∠D，则CE= ，CD= ．7.如图，若AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段BD 的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB= ．第7 题图第8 题图8.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂⾜为D，其中AD2 =BD ?DC ，则∠BAC= ；当AD:DC=1:2，AD=4 时，BC= ．9.如图，在△ABC 中，AB=AC，点E，F 分别是边AB，AC 上⼀点，点D 是边BC 上⼀点（不与B，C 重合）．若∠EDF= ∠B，BE=2，BD=3，BC=6，则FC 的长为．10.如图，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三⾓形．（1）若AM·BN=PN·PM，求∠APB 的度数．（2）若∠APB=120°，求证：△AMP∽△PNB．11.如图，l1，l2，…l6 是⼀组等距的平⾏线，过直线l1 上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F．若BC=2，则EF 的长是．部分的⾯积是△ABC ⾯积的⼀半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.相似三⾓形的实际应⽤①如图，在同⼀时刻，⼩明测得他的影长为 1 m，距他不远处的⼀棵槟榔树的影长为5 m，若⼩明的⾝⾼为1.5 m，则这棵槟榔树的⾼度是．②如图，若标杆⾼度CD=3 m，标杆与旗杆的⽔平距离BD=15 m，⼈的眼睛与地⾯的⾼度EF=1.6 m，⼈与标杆CD的⽔平距离DF=2 m，则旗杆的⾼度AB= ．③如图，把⼀⾯很⼩的镜⼦放在离树底（B）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜⼦⾥看到树梢顶点A，再⽤⽪尺量得DE=2.4 m，观察者⽬⾼CD=1.6 m，则树的⾼度AB= ．④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定⼀个⽬标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 在⼀条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，PT 与过点Q且与PS 垂直的直线b 的交点为R．若QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ 为．⑤如图，⼩明同学⽤⾃制的直⾓三⾓形纸板EFG 测量树的⾼度AB，他调整⾃⼰的位置，设法使斜边EG 保持⽔平，并且边EF 所在的直线经过点A，已知纸板的两条直⾓边EF=60 cm，FG=30 cm，测得⼩刚与树的⽔平距离BD=8 m，边EG 离地⾯的⾼度DE=1.6 m，则树⾼为．(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中⼼，将△ABC 缩⼩为原来的12，则缩⼩后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？15.如图，已知△ABC 在平⾯直⾓坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，若以点C 为位似中⼼，在平⾯直⾓坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC 位似，且相似⽐为2:1，则点B′的坐标为．【参考答案】 ? 课前预习⼀、ADEFGBC⼆、由于太阳光是平⾏光线，因此同⼀时刻，太阳光与地⾯所成夹⾓相等，结合直⾓，构成了⼀组相似三⾓形知识点睛1. ①两⾓对应相等的两个三⾓形相似②两边对应成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似③三边对应成⽐例的两个三⾓形相似④平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似．2. ①对应⾼的⽐，对应⾓平分线的⽐，对应中线的⽐；②相似⽐，相似⽐的平⽅．4. ①相似，每组对应顶点所在的直线都经过同⼀个点，位似中1. △AOC △DOB ；②△AOC △BOD ；③△AOC △DOB ；④△AOC △BOD ． 2. ①②④ 3. C 4. 3 5. C6. 4，6；6，47. 48.90°；10 9. 9210. （1）∠APB =120°；（2）证明略 11. 512. 2 - 213. ①7.5 m ；②13.5 m ；③5.6 m ；④120 m ；⑤5.6 m ．14. A (3，- 1 ) ，B ( 5 3 ) ，C ( 3 ，-1) 或 A (-3 1 ) ，B (- 5 ，- 3 ) ，， 1 2 1 2 2 12 2 ， 2 2 2 2C (-3，1)2 215. (4 ，6)或(0 ，- 2)。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
相似三角形位似
相似三角形位似嘿，同学们！咱们今天来聊聊“相似三角形位似”这个有点神秘但其实超有趣的数学概念。
先来讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次我去公园散步，看到湖边有两座亭子，从我的角度看过去，它们形状相似，而且位置感觉有一种特别的关系。
这就像相似三角形位似一样，有着奇妙的规律。
那到底啥是相似三角形位似呢？简单来说，就是如果两个相似三角形的对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形就叫做位似三角形，这个交点就叫做位似中心。
比如说，有两个相似三角形 ABC 和 A'B'C' ，它们的对应边 AB 和A'B' 互相平行，而且 AA' 、 BB' 、 CC' 这些对应顶点的连线都相交于同一点 O ，那 O 点就是位似中心啦。
位似有个很重要的特点，就是位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
这就好比你和你的小伙伴按照一定比例放大或缩小画同一个图形，你们画的图形就是位似图形。
咱们来做个小练习，看看这个图，三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 位似，位似中心是 O ，已知 OA ＝ 5 ， OA' ＝ 10 ，如果三角形 ABC 的边长是 6 ，那三角形 A'B'C' 的对应边长是多少呢？这是不是一下子就把位似比用上啦。
再深入一点，位似图形还有一些性质呢。
位似图形的对应角相等，对应边的比相等。
而且位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上。
想象一下，你拿着放大镜看一个三角形，放大后的三角形和原来的三角形就是位似的关系。
在实际生活中，相似三角形位似的应用也不少。
比如设计师在设计图纸的时候，常常会用到位似的原理来放大或缩小图形，保证比例不变，让设计更加精准。
还有建筑工人在建造大型建筑时，也会根据位似的知识来确定建筑各个部分的比例和位置。
回到咱们的学习中，掌握相似三角形位似可重要啦。
图形的相似与位似用
图形的相似与位似一、知识网络：二、考点链接：考点一 比例及比例线段图形的相似与位似 相似多边形判定性质判定相似三角形 位似图形概念坐标变换 1．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果a b ＝ c d ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． 性质4．比例的基本性质：如果a b ＝c d ，那么 ad ＝bc ，反之也成立．其中a 与d 叫做比例外项，b 与c 叫做比例内项．特殊地，a b ＝b c ⇔b 2＝ac .5．比例的合比性质如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±d d .3．平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 6．比例的等比性质 如果a b ＝c d ＝…＝m n ，且b ＋d ＋…＋n ≠0，那a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝a b. 考点二 平行线分线段成比例定理 1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等． 2．几何语言叙述：如图，当l 3∥l 4∥l 5时，有AB BC ＝DE EF ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF 等．考点三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定方法：①两角对应相等的两三角形相似.②三边对应成比例的两三角形相似③两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.2.相似三角形及性质：（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比.相似三角形的形状相同，大小不一定相同.全等三角形是相似比为1的相似三角形.（2）性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.考点四相似多边形的判定及性质1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形的对应边的比称为相似比.2．性质(1)相似多边形对应角相等，对应边的比相等．(2)相似多边形周长的比等于相似比.(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方.考点五位似图形及性质1．如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比．2．性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.(2)在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k .3．利用位似可以将一个图形放大或缩小．三、链接中考：考点六 黄金分割温馨提示 两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或在顶点上. 如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，AC >BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比(即AC AB ＝5－12≈0.618)． 注意：一条线段有两个黄金分割点．考点一 比例线段与比例的基本性质 例1(2014·凉山州)已知b a ＝513，则a －b a ＋b 的值是( ) A. 23 B. 32 C. 94 D. 49【点拨】∵b a ＝513，∴可设a ＝13k ，b ＝5k (k ≠0)，∴a －b a ＋b ＝13k －5k 13k ＋5k ＝8k 18k ＝49.故选D. 【答案】 D 考点二 相似多边形的定义与性质例2、(2014·枣庄)如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝_______.【点拨】设AD ＝x ，∵AB ＝1，∴AF ＝1，FD ＝x －1，FE ＝1.∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF FD ＝AD AB ，即1x －1＝x 1，解得x 1＝1＋52，x 2＝1－52(负值舍去)，经检验，x ＝1＋52是原方程的解．故填5＋12.【答案】 5＋12 方法总结 两个多边形相似，如果已知相似比、周长比、面积比的任何一个，就能求出另外两个. 考点三 位 似 例3、(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB ′O ′是△ABO关于点A 的位似图形，且点O ′的坐标为(－1,0)，则点B ′的坐标为_________．【点拨】如图，过点B ′作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，∴BD ∥B ′C .∴BD B ′C ＝AB AB ′＝AD AC .考点四 黄金分割 例4、(2014·宿迁)如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示PA 为一边的正方形的面积， S 2表示长是AB 、宽是PB 的矩形的面积，则 S 1 S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．【点拨】∵点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，∴PB PA ＝PA AB，即PA 2＝PB ·AB . ∵S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB 、宽是PB 的矩形的面积，∴S 1＝PA 2，S 2＝PB ·AB . ∴S 1＝S 2. 【答案】 ＝方法总结：首先根据黄金分割的定义列出比例式，然后找到所求问题与比例式的联系.例5、(2014·苏州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为(2,4－22).解析：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA＝OC＝2，OB＝2 2.∵QO＝OC，∴BQ＝OB－OQ＝22－2.∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴BPOC＝BQOQ，即BP2＝22－22，解得BP＝22－2，∴AP＝AB－BP ＝2－(22－2)＝4－22，∴点P 的坐标为(2,4－22)．四、挑战自我：1．(14分)如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4. (1)求AD 的长；(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．解：(1)由已知，得MN ＝AB ，MD ＝12AD ＝12BC ， ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM AB ＝MN BC ，∵MN ＝AB ，DM ＝12AD ，BC ＝AD ，∴12AD 2＝AB 2，∴由AB ＝4，得AD ＝4 2. (2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为DM AB 224＝22.2．(14分)以下是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)．答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个“？”．结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB ＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD 与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么条件？请说明理由．解：(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为y m，则长为2y m．则矩形蔬菜种植区域的宽为(y －1－1)m ，长为(2y －3－1)m.∵2y －3－1y －1－1＝2y －4y －2＝2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1.五、课后作业：(8分)(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1,2), B (－3,4)，C (－2,6)．(2)a ＋c b ＋d ＝2.理由如下： 要使矩形A ′B ′C ′D ′∽矩形ABCD ， 就要A ′D ′A ′B ′＝AD AB，即AD －(a ＋c )AB －(b ＋d )＝21， 即2AB －(a ＋c )AB－(b ＋d )＝21，即a ＋c b ＋d ＝2.六、知识回升：图形的相似与位似的判定及性质 (1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1； (2)以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.。
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相似三角形的性质图形的位似
主讲：方敏文
一周强化
一、一周知识概述
1、相似三角形的性质(1)
相似三角形的周长的比等于相似比．
如图，其符号语言：
2、相似三角形的性质(2)
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
3、相似三角形的性质(3)
相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．如图：
①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，
③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，
4、相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
性质：相似多边形周长的比等于它们的相似比；相似多边形面积的比等于它们相似比的平方．
例如：如图所示，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且．则：
(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；
(3)四边形ABCD的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k；
(4)S四边形ABCD︰S四边形A′B′C′D′=k2．
5、图形的位似
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，我们就把这样的两个图形叫做位似形．这个点叫做位似中心．
说明：位似图形必须满足：(1)是相似图形；(2)所有对应顶点的连线都经过同一点．
6、位似变换
如果一个图形由另一个图形作相似变换得到，而且对应顶点的连线交于一点O，这样的相似变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，这时的相似比叫作位似比．
7、位似图形的画法及步骤
（1）确定位似中心；
（2）画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；
（3）分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位似中心的距离之比为相同的一个定值；
（4）顺次连接各点．
二、重难点知识归纳
1、运用相似三角形、相似多边形性质时应注意以下几点：
①面积比=（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；
②面积比=．
(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；
相似多边形中对应对角线的比等于相似比；
相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
说明：除了“周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方”之外，相似多边形还有如下两条重要性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
2、位似图形的两个特征
（1）两个图形是相似图形；
（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或共线．
3、位似变换和位似图形的性质
两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
4、相似图形与位似图形的区别与联系
两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；
两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．
三、典型例题讲解
例1、如图，已知在△ABC中，DE∥BC，且
S△ADE ︰S四边形
BCED
＝1︰2，
.
分析：
因为S△
ADE ∶S四边形
BCED
=1∶2，所以S△ADE∶S△ABC=1∶3，
由DE∥BC知△ADE∽△ABC，所以根据求DE的长. 解：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC．．
，，
．，
．
．
例2、如图所示，矩形DEFG内接于△ABC，即点D在AB上，点G在AC上，E、F 在BC上，AH⊥BC于H，且交DG于N，BC=18cm，AH=12cm，DE:DG=2:3，求矩形DEFG的周长．
分析：
由DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，所以有，据此比例式可列方程求解．解：
由题意可设DE=2x，则DG=3x，NH=2x，
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，
∴，即，
解得x=3，
∴DE=2x=6cm，DG=3x=9cm，
∴矩形的周长为2×(6＋9)=30cm．
点评：本题的关键是由相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立比例式，得到已知线段与未知线段之间的数量关系，从而通过设未知数，列方程求解，体现了数形结合的思想．
例3、如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A
B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
1
分析：
本题考查位似图形的概念、性质和位似比、位似图形的画法等知识．位似中心是位似图形对应顶点连线的交点，故只需连接AA′，B′B，C′C来确定，然后再根据位似比(即相似比)的意义可求得△ABC与△A′B′C′的位似比为
最后再画出以O为位似中心的位似比为1.5的△ABC的位似三角形△A
B1C1．
1
解：
(1)如图所示．
(3)如上图所示．
例4、如图△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，2），B（3，1），C（1，0），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边之比为2：1，并指出其对应边AB与DE有何位置关系？并说明理由．
分析：
将图形放大、缩小是位似变换，应先确定位似中心．
根据题意可取坐标原点为位似中心，则根据位似比可得D、E、F的坐标．
解：
如上图，选取坐标原点为位似中心，连OA、OB，
则OA的直线解析式为y＝x
∵位似比k＝2
∴点D（4，4）在直线OA上
同理可得E（6，2），F（2，0）
连DE、EF、DF
则△DEF为将△ABC放大2倍后的图形
对应边DE∥BC
证明：
，
．
又∠AOB＝∠DOE，∴△AOB∽△DOE．∴∠OAB＝∠ODE，∴DE∥BC。