雨中行走问题的研究

雨中行走问题的研究

人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。

参与这问题的因素：

降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。

分析：

淋雨量在数学上如何表示？

假设

1. 人行走的路线为直线，行走距离为L

选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.

2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)

相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)

3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c

单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c

从而总淋雨量:

R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)

=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)

于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：

已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？

1. Vx > 0

vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx

当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。