高数B试题及答案
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高等数学B （上）试题1答案
一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.
（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.
（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.
二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2
)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin
x x x
→∞
＝1
。
3.112lim sin sin x
x x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
1e +.
4. 曲线3
26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2
3
.
5．设0()f x A '=，则000
(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--＝
5A
.
6. 设1
()sin cos
,(0)f x x x x
=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.
7. 函数3
3y x x =-在x =1
-处有极大值.
8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2
1()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，则=')1(F 1
.
三、计算题（每题6分，共42分）
1．求极限 3(2)(3)(4)
lim
5n n n n n
→+∞+++ . 解： 3
(2)(3)(4)
lim 5n n n n n →+∞+++
234lim 111n n n n →+∞
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（3分）
1= （3分）
2. 求极限 0cos lim sin x x x x
x x →--.
解：0cos lim sin x x x x
x x
→--
01cos sin lim
1cos x x x x
x →-+=- （2分） 02sin cos lim
sin x x x x
x
→+= （2分） 3= （2分）
3. 求2
3
(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.
解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）
123123
y y x x x '=+++++， （2分） 故2
3
123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭
（2分） 4. 求不定积分221
d 1x x x ++⎰.
解：
221d 1x x x ++⎰
2
2211d(1)d 11x x x x
=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）
5. 求不定积分2sin d x x x ⎰
.
解：2sin d x x x ⎰
()22
1sin d 2x x =
⎰ （3分） 21
cos 2x C =-+ （3分）
6．求不定积分sin 2d x x x ⎰
. 解： sin 2d x x x ⎰
11sin 2d(2)dcos222x x x x x =
=-⎰⎰ （2分） ()
1
cos 2cos2d 2
x x x x =--⎰ （2分）
11
cos 2sin 224
x x x C =-++ （2分）
7. 求函数()
cos sin x
y x =的导数.
解：ln cos ln sin y x x = （3分）
()
()cos 1
2
sin cot
lnsin x y x x x +'=- （3分）
四、解答题（共9分）
某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，
所以，面积为2
(202)220S x x x x =-=-+， （3分）
由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。
五、证明题（共9分）
若在(,)-∞+∞上()0,(0)0f x f ''>=.证明：()
()f x F x x
=在区间(,0)-∞和(0,)+∞上单调增加. 证明：2
()()
()xf x f x F x x
'-'=
，令()()()G x xf x f x '=- （2分） (0)0(0)(0)0G f f '=⋅-=， （2分）
在区间(,0)-∞上，()()0G x xf x '''=>， （2分） 所以()(0)0G x G >=，单调增加。 （2分） 在区间(0,)+∞上，()()0G x xf x '''=<，
所以0(0)()G G x =>，单调增加。 （1分）