复习专题数形结合解决数学问题的重要手段

A B O C x

y

P

复习专题 数形结合—解决数学问题的重要手段

一、内容提要：

1、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

2、一般说来，依形想数，可使几何问题代数化.由数想形，可使代数问题几何化.这样数形结合，相辅相成，既有利于开拓解题思路，又有利于发展思维能力. 二、例题分析：

例1．如图，图象（折线OEFPMN ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系.根据图像所给的信息，下列说法中 ①第3分时汽车的速度是40千米/时； ②从第3分到第6分，汽车的速度是40千米/时；

③从第3分到第6分，汽车行驶了120千米；

④从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0

千米/时；

正确的有_______________．（只填序号）

例2.如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象,点A 、B 在直线l 上．根据图象回答下列问题： （1）写出方程0=+b kx 的解；

（2）写出不等式b kx +＞1的解集；

(3)若直线l 上的点P （a,b ）在线段AB 上移动， 则a 、b 应如何取值？

例3、如图，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC ＝m ，已知点D 在第一象限，且是两直线y 1＝2x ＋6、y 2＝2x －6中某条上的一点，若△APD 是等腰Rt △，求点D 的坐标

例4、..甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2

小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： y 与时间x 的函数关系式；

（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；

（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）

三、思维提升：

1.已知关于x 的不等式组 ⎩⎨

⎧---0

1

25＞＞a x x 无解，则a 的取值范围是 ．

A O

D

P

B F C

E

y （千米）

x （小时）

480 6

8

10 2

4.5

速度/（千米/时） /分

60 40 20

3

6

9

12

y

x

P

D

O

C

B

A

2．如图所示，点M 是直线y=2x+3上的动点，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，y 轴上是否存在点P ，使以M ，N ，P 为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M 运动到（－1，1）时，y 轴上存在点P （0，1），此时有MN=MP ，能使△NMP 为等腰直角三角形．在y 轴和直线上还存在符合条件的点P 和点M ．请你写出其他符合条件的点P 的坐标_______．

3.已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．

（1）求直线L 1的解析式；

（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．

★★4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 为等腰三角形，AB AC =，AC 所在直线的解析式为3

34

y x =

+，点P 在线段AC 、CB 上运动． （1）求B 、C 两点所在直线的函数解析式； （2）当△COP 的面积等于△AOC 面积的

1

4

时，求出点P 的坐标； （3）在△ABC 中， PO 所在直线的左侧部分面积为S ，若点P 的横坐标为x ，求S 关于x 的函数解析式．

★★5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB,以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 三点的坐标分别是A （8，0），B （8，10），C （0，4），点D （4，7）是CB 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB 的路线移动，移动的时间是秒t ，设△OPD 的面积是S. (1)求直线BC 的解析式；

(2)请求出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；

(3)求S 的最大值；

(4)当9≤t<12时，求S 的范围. 参考答案：

例1．①②④.

例2．解：⑴x ＝-2；

⑵x ＞0；

⑶-2≤a ≤2, 0≤b ≤2.

例3、 (4,2),(4,14),(

340,326),(328,3

38) 例4、 （1）设乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式为11y k x b =+，把（2，0）和

y

x

O A B

C

P ·

（10，480）代入，得11112010480

k b k b +=⎧⎨

+=⎩，解得1160

120k b =⎧⎨=-⎩，

y ∴与x 的函数关系式为60120y x =-．

（2）由图可得，交点F 表示第二次相遇，F 点横坐标为6，此时

606120240y =⨯-=，

F ∴点坐标为（6，240）

， ∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米．

（3）设线段BC 对应的函数关系式为22y k x b =+，把（6，240）、（8，480）代入，得

2222

6240

8480k b k b +=⎧⎨

+=⎩，解得22120480k b =⎧⎨=-⎩， ∴y 与x 的函数关系式为120480y x =-．

∴当 4.5x =时，120 4.548060y =⨯-=． ∴点B 的纵坐标为60，

AB Q 表示因故停车检修， ∴交点P 的纵坐标为60．

把60y =代入60120y x =-中，有6060120x =-，解得3x =，

∴交点P 的坐标为（3，60）．

Q 交点P 表示第一次相遇，

∴ 乙车出发321-=小时，两车在途中第一次相遇．

思维提升： 1、a ≥3

2、（0，0） （0，

3

4

） （0，－3） 3、【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得 0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,

1.k b =⎧⎨=⎩

所以，直线L 1的解析式为y=x+1．

（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =1

2

×（m+1）×3=3． 解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；

当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=×（－m －1）×3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．

综上所述，m 的值为1或－3．