抛物线及其标准方程---导学案

抛物线及其标准方程（导学案）

学习目标：

1、能利用抛物线的定义建立适当的坐标系确定抛物线的方程；

2、会根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程；

3、能根据条件运用待定系数法求抛物线的标准方程；

学习过程：

想一想：在我们以前的数学学习和生活中，哪些是与抛物线有关的？请举例：复习回顾：求曲线方程的五个步骤：

问题情境：

如图：点F是定点，直线L为不经过点F的定直线，H是直线上的任意一点，过点H作直线的垂线HM ，线段FH的垂直平分线m

交HM于点M，

拖动点H，得到点M的轨迹为红色曲线，(取不同的H

点画画看得到的曲线是不是红色曲线？)

你能发现点M满足的几何条件吗？

一、抛物线的定义：

我们把

的点的轨迹叫做抛物线。

其中点F叫做抛物线的，直线L叫做抛物线的

思考：

如果点F在直线L上，那么到点F和直线L距离相等的点的轨迹是什么？（结合上图变换条件画一画）

二、抛物线标准方程的确定

1、思考：设抛物线的焦点F到准线L的距离为常数P(P>0)，如何建立坐标系,使求出抛物线的方程更简单呢？

方案一：以定直线L为y轴，过点F且垂直于直线L的直

线为x轴，建立坐标系xoy，如图：

则焦点F的坐标为，准线L的方程为

设抛物线上任意一点M的坐标为()y

x,，点M到准线L的距离为d，则

MF d=

=

由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为：

化简得：

方案二：以定点F为原点，过点F且垂直于直线L的直线为x

轴，过点F且与直线L平行的直线为y轴，建立坐标系xoy，

如图：

则焦点F的坐标为，准线L的方程为

设抛物线上任意一点M的坐标为()y

x,，点M到准线

L的距离为d，则

MF d=

=

由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为：

化简得：

方案三：以经过点F且垂直于直线L的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立坐标系xoy，如图：

则焦点F的坐标为，准线L的方程为

x,，点M到准线L的距离为d，则

设抛物线上任意一点M的坐标为()y

MF d=

=

由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为：

化简得： 思考：为什么这样建立坐标系，能使抛物线的方程更简单？

2、抛物线的标准方程

由曲线与方程的关系知，抛物线的标准方程为：

它所表示的抛物线的焦点坐标在 ，焦点坐标为 ，准线方程为

思考：P 的几何意义为：

其它三种开口方向的抛物线你能类比着方案三求出它们的标准方程呢？

小试身手：指出抛物线x y 82=的焦点坐标和准线方程

三、 抛物线的其他标准方程：

1、右图中的两条抛物线的图象关于 对称，由右边

抛物线的标准方程为：()022>=p px y 得，

的方程为 ，焦点F 的坐标为 ，准线L 的

方程为

2、右图中的两条抛物线的图象关于 对称，由右边抛物线的标准方程为：()022>=p px y 得，

的方程为 ，焦点F 的坐标为 ，准线L 的方程

为

3、右图中的两条抛物线的图象关于 对称，由上边

抛物线的标准方程为：()022>=p py x 得，

的方程为 ，焦点F 的坐标为 ，准线L 的

方程为

4、填表：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不

同的情况，如下表所示：

图形 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程

5、思考：结合上述表格，你能发现四种标准方程有哪些相同点和不同点？

相同点：

不同点：

合作探究：

如何根据抛物线四种标准方程的形式，区分抛物线的对称轴和开口方向？

四、典例分析：

例1：（1）已知抛物线的标准方程是26y x ，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点是F （0,2），求它的标准方程。

变式：1、已知y=6x 2,求它的焦点坐标和准线方程；

2、已知抛物线经过（2,3），求它的标准方程。

五、课堂小结：一个定义：

两类问题：

三个注意：

四个方程：

六：作业布置：1、P73 习题1、2。

2、已知抛物线方程为2

x （a≠0)，试讨论抛物线的开口方

ay

向、焦点坐标和准线方程？

3、提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨。