轴心受压杆件的整体稳定

2E 2
Ncr ——欧拉临界力，常计作NE E ——材料的弹性模量
——杆件长细比（ = l0/i）
----构件的计算长度系数
cr ——欧拉临界应力，常计作E
A ——压杆的截面面积 i wenku.baidu.com—回转半径（ i2=I/A） l----构件的几何长度
1、理想轴心受压构件弯曲屈曲临界力随抗弯刚度的增加和构件几何 长度的减小而增大； 2、当构件两端为其它支承情况时，通过杆件计算长度的方法考虑。
方程通解： y Asin kx B coskx
临界力： Ncr 2EI / l 2 2EA/(l / i)2 2EA/ 2
临界应力：
cr

Ncr A
2E 2
5
2EI 2EI 2EA
Ncr l 2
l02

2
cr

Ncr A
y0 asinx / l
EIy Fy0 y 0
令 α² F / EI
y α 2y -α 2asin x
l
其通解为
y A sinαx Bcosαx

F/FE
x
1 - F/ FE a sin l
13
根据边界条件：x=0, y=0;x=l, y=0 得：
6
§3.3 理想轴心受压构件的非弹性弯曲失稳
欧拉公式只适用于弹性范围，欧拉临界应力小于比例
极限，即：
cr

2E

fp
弹性屈曲与非弹性屈曲
7
➢ 切线模量理论（tangent modulus theory）
1889年恩格塞尔（Engesser F.）提出了切线模 量理论，建议用变化的变形模量Et代替欧拉公式中 的弹性模量E，从而得到弹塑性临界力。切线模量 理论采用如下假定：①杆件是挺直的；②杆件两端 铰接，荷载沿杆轴线作用；③杆件产生微小的弯曲 变形（小变形假定）；④弯曲前的平截面弯曲变形 后仍为平面；⑤弯曲变形时全截面没有出现反号应 变。轴向增加的平均压应力大于因弯曲引起杆件凸 侧纤维的拉应力 。
中性轴的位置确定 Et S1 ES 2 r 2Er / 2
S1 A1 z1dA S 2 A2 z2dA
Er Et I1 EI 2 / I ，称为折算模量 10
§3.2.3 缺陷对轴心受压构件弯曲屈曲的影响
理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，实际结构 都存在不同程度的缺陷，一般指几何缺陷和力学缺陷。
➢ 我们研究的内容就是找出从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状 态之间的临界状态，并将构件控制在临界状态之内，那么构件就 是稳定的。
1
轴心受压构件的三种整体失稳状态
➢无缺陷的轴心受压构件（双轴对称的工型截面）通常发生弯曲失稳， 构件的变形发生了性质上的变化，即构件由直线形式改变为弯曲形式， 且这种变化带有突然性。
§ 3.1 轴心受压构件的整体失稳现象
➢无缺陷的轴心受压构件在压力较小时，只有轴向压缩变形，并保 持直线平衡状态。此时如果有干扰力（或荷载继续加大）使构件产 生微小弯曲，当撤去干扰力（或荷载），构件将恢复到原来的直线 平衡状态，则此构件处于稳定平衡状态；若构件不能恢复到原来的 直线平衡状态，则此构件处于不稳定平衡状态。
试验和理论分析均表明，缺陷的存在降低了构件的稳 定承载力，因此不能直接用理想条件所得到的临界力作为 设计标准，而应考虑缺陷的影响。
11
1、初弯曲（初挠度）的影响
经实测得到的型钢和焊接组合截面钢构件的初弯 曲形状如图中实线所示
y max a l /1000
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钢构件的初始弯曲形式多样，分析中通常假设杆轴线的 初始弯曲挠度曲线为正弦曲线（如图中虚线所示），这样能 简化分析而不影响结果的普遍性。
➢对某些抗扭刚度较差的轴心受压构件（十字形截面），当轴心压力 达到临界值时，稳定平衡状态不再保持而发生微扭转。当轴心力在稍 微增加，则扭转变形迅速增大而使构件丧失承载能力，这种现象称为 扭转失稳。
➢截面为单轴对称（T形截面）的轴心受压构件绕对称轴失稳时，由于 截面形心和剪切中心不重合，在发生弯曲变形的同时必然伴随有扭转 变形，这种现象称为弯扭失稳。
F

cr

2 Et l2
I

cr

2E
2
t
8
33 图3.5
9
➢ 双模量理论（double modulus theory）
双模量的概念是康西德尔（Considere A.）于1891年提出的，该 理论采用的基本假定除第5条外，其它均与切线模量理论的相同。
轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的 轴向荷载保持常量；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应 变，即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向 应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区 （凸面）的变形模量为弹性模量E，因为Et< E，弯曲时截面的弯曲 中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移。
B 0 A sinαl 0
当有初弯曲时 P PE , 则 sinαl 0 ,只有 A 0
方程的解为
y
F/FE 1 - F/FE
asin
x
l
从上述求解过程可以看出，利用边界条件并不能得 到稳定方程解出临界力。不妨分析荷载—挠度曲线，从 中找出临界力。在P作用下，杆件任一点的总挠度为
Yy
y0

y
1
F/FE 1 -F/FE
a sin x 1 asin x
l 1 - F / FE
欧拉（Euler）早在1744年通过对理想轴心压杆的整体稳定问 题进行的研究，当轴心力达到临界值时，压杆处于屈曲的微弯状 态。在弹性微弯状态下，根据外力矩平衡条件，可建立平衡微分 方程，求解后得到了著名的欧拉临界力和欧拉临界应力。
4
欧拉公式： EIy Ny 0
k2 N / EI
y k 2 y 0
2
（a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳
3
§3.2 理想轴心受压构件弯曲失稳
理想轴心受压构件 （1）杆件为等截面理想直杆； （2）压力作用线与杆件形心轴重合； （3）材料为匀质，各项同性且无限弹性，符合虎克定律； （4）构件无初应力，节点铰支。
3.2.1 理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载