测量学与地图 第九讲 地图数学基础

据阿波隆尼定理，有
m2 + n2 = a2 + b2 m·n·sinθ = a·b
（9-5）
2、长度相对变形
V
ds'ds
ds
ds' ds
1
1
（9-6）
当V 0时，表示投影后长度伸长； 当V 0 时，表示投影后长度缩短； 当V = 0 时，则表示投影后无长度变形。
（二） 变形椭圆
1、定义 投影变形可以用变形椭圆来描述。 变形椭圆是指椭球面上的一个微小圆，由于 投影变形的原因，投影到平面上一般为一个 微小椭圆，特殊情况下为一个圆。
2、变形椭圆实验
3、变形椭圆的证明：
如图(a)所示，ABCD为地面上的微小圆，以经纬线 为直角坐标轴X、Y，圆上任意一点M的坐标为 （x，y）；投影后，展在平面上如(b)图所示，微 小圆ABCD投影成ABCD，M投影成M，坐标 为（x，y）。若以m、n表示经线和纬线方向长 度比，则：
x x' m
通常，地图投影中常用的投影面有：平面、 圆柱面、圆锥面。
投影面
投影面通过相切或 相割的方式与球面 产生联系，这些切 点、切线和割线， 是投影面与球面直 接接触的地方，不 存在变形，故而称 为标准点或标准线。
几何投影投影面与球面的关系
标准点或线在球面上的位置决定投影的轴向 若投影面是平面
正轴 平面切于极点，与地轴正交； 横轴 平面切于赤道，与地轴平行； 斜轴 平面切于其他点，与地轴斜交。
通常将地表当作球体，不能用于高精度制图。 但其计算简单，绘制方便，可用于制作小 比例尺地图。
2）数学分析法 在借助投影面概念的基础上， 通过量化变形，用数学公式来实现椭球面 与投影面间的转换。
计算精度高，对椭球体和球体都适用， 故现在地图制图基本上都采用此法获得投影。
设想投影面与球面相切或相割,然后根据某种 条件（等角、等积、任意）将球面经纬网 转换为平面的经纬网。
第九讲 地图的数学基础
地图投影基本知识 方位投影 圆锥投影 圆柱投影 地形图投影 其他地图投影 地图比例尺 投影的选择使用
教学目标
（1）了解常用地图投影的计算。
（2）熟悉小比例尺地图投影的网格和变形特点
（3）掌握几何投影、地形图投影的图形特征、变 形规律和选择应用。
重点：
变形的概念及解释，常用投影 的网格、变形特点和选择使用，
地图投影变形的图解示例
（摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形 角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
（一）长度变形
1、长度变形的量化----长度比
长度比是投影面上的一微小线段ds（变形椭 圆半径）和球面上相应微小线段ds（球面上 微小圆半径）之比，并以表示，则
变形分析 若以南北纬30°纬线为准平展在纸面上，则既 产生裂隙又出现重叠。 30°纬线以内，离该纬线的距离越远重叠度越 大，30°纬线以外，离其越远裂隙越大。
变形分析
倘若沿纬线按相同纬 差将地球仪切成若干 等份，再将各等分沿 同一条经线切开，沿 另一经线将各部分结 合平展在纸面上，同 样产生裂隙，这些裂 隙随着离结合经线距 离的增大而增大。
y
ρ δ
O
A x
Y
有时，为避免制图范
围内出现负值，还要 X 将坐标系平移，这时
X
便出现一个新原点，
y
新坐标与原坐标的关

ρ
系如下：
hδ
x´=k+ρcosδ y´=h+ρsinδ
（9-3）
Ok
O
A x
Y Y
3、投影方法
现代地图投影的方法，可以归为几何透视法 和数学分析法两类。
1）几何透视法 把几何原理与光学透视法 结合，建立球面与平面的函数关系。
y y' n
（9-7）
设球面上的微小圆半径r=1，则M点的圆方程 为x2+y2=1，将（9-7）式代入，得M 的轨 迹方程为：
难点： 变形，投影计算
第一节 地图投影的基本知识 一、定义
地图投影就是用建立地球表面（旋转椭球体）与投 影面（平面）点与点之间的数学对应关系，即建 立二者间的数学转换公式。
球面地理坐标只能定位，不方便进行距离、方位、 面积等参数的测算，球面（或曲面）不方便使用。
为平面符合视觉心理，并易于进行距离、方位、 面积等测算和各种空间分析，地图表达为平面。
四、投影变形 c
将不可展的地球椭球面展开成平面，并且 不能有断裂，则图形必将在某些地方被 拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是 不可避免的。变形表现在三个方面：
长度变形:是最基本的变形
面积变形
角度变形
变形分析
如图所示，按相同经 差（例如30°）沿经 线将地球仪切成若干 等分，然后展平。
若在极点处将各等分 结合平展在纸面上， 则得到的网格产生了 裂隙。并且裂隙随着 离开原点距离的增大 而增大。
但地球椭球体是不可展曲面，必须采用特殊的方法 将其展开，使之成为没有破裂或褶皱的连续平面。
二.地图投影的实质
建立地球椭球面上点的地理坐标（L,B）或
（λ，φ）与平面上对应点的平面直角坐标
（x，y）之间的函数关系：
x f11(, ) y f22(, )
（9-1）
当给定具体的投影条件时，将得到不 同类型的投影方式。
ds'
ds
（9-4）
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不
同而变化，而且在同一地点，它还随方向的
变化而变化。
研究长度比时,只是研究一些特定方向上的长 度比，包括：
1）主方向长度比 椭球面上相互垂直的二方 向投影后仍互相垂直，此即主方向。主方向
长度比即最大长度比a和最小长度比b
2）经线长度比m 纬线长度比n
投影面为圆柱或圆锥
正轴 柱体或锥体切于赤道，中轴线与地轴重合； 横轴 柱体或锥体切于经圈，中轴线与地轴垂直； 斜轴 柱体或锥体切于其他位置，中轴线与地轴斜交。
2、地图（平面）上表示地物位置的方法
直角坐标法（x,y），
极坐标法（ρ,δ），
X
它们间的关系为 x= ρcosδ y= ρsinδ
（9-2）
三、地图投影的方法
早期的地图投影是用光学透视方法获得的， 这种方法直观简单、便于操作，但不能建 立球面与投影面的数量关系。
为了获得精确定位的地图，现代地图投影借 助光学透视的概念原理，采用数学方法建 立投影面与椭球面的函数关系。
1、地图平面（投影面）
地图平面即投影面，也就是地球椭球体上的 点、线、面所投落的平面，该平面必须是 无褶皱和裂缝的，即必须是平面或可展的 曲面。