一笔画成的图形

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七桥问题与一笔画

数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？
● 点A、B表示岛点C。D表示岸 ▎线表示桥
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ● ●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
一.填空
1.图（1）中，有 2.图（2）中，有 3.图（3）中，有 4.图（4）中，有
（1）
（2）
个奇点；有 8 个奇点；有 4 个奇点；有 6 个奇点；有 4
（3）
0 个偶点。个偶点。 1 个偶点。 6 个偶点。 5
（4）
练一练
二.在下图中,哪个图形能一笔画出？哪个不能一笔画出？能一笔画出的，请把他们画出来。
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？
E ● ●G、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
√ （1）
（2）√
√ （3）
√ （4）
× （5）
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
课堂练习
1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？
问题情景
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？

下面的图形可以一笔画成吗

二年级秋季班第九讲一笔画习题基础班1. 下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成。

2. 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。

※3. 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？4. 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路。

邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？5. 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？6.下图是商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场，怎样走才能不重复地走遍商场的每条通道？7.一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗？8.一辆清洁车清扫街道，每段街道长1千米，清洁车由A点出发，走遍所有的街道再回到A点，怎样走路程最短，全程多少千米？9.游人在林间小路上（见图）散步，问能否一次不重复地走遍所有的路线后回到出发点？如不能，应选择怎样的路线才能使全程最短？最短路程是多少？（单位：千米）10.一张纸上画有如下所示的图，你能否用剪刀连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？※11.上图是某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室有一门相同，请你设计一个出口，使参观者能够从入口处进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房。

习题答案1 .2.答案略3．50千米，走法见左下图。

4.见下图。

5.最多爬行34厘米。

提示：8个点都是奇点，故至少要少爬4条棱。

少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的(见右图)。

6 只有C、D两点是单数点，因此能从C门进，D门出。

或从D门进，C门出，才能不重复地走遍商场的每条通道.7 蚂蚁可以这样走：8图中有8个单数点，两个单数点之间线段要重复走，清洁车至少必须重复走4段1千米的街道，所走的路线如下图所示，全程最短路线是28千米。

举一反三——一笔画成

律：奇点数为0或2。从几点数开始画起。奇点数：从该点引出的线的数目为奇数。
2.下面图形可以一笔画成吗？说明理由
奇点数有4个，不能一笔画成。
奇点数有2个，能一笔画成。
练习：下面个图能否一笔画成？如果能，请画出
奇点数有0个，可以一笔画成
3.将下图加最少的线改成一笔画成图形
4.将下图去掉最少的线改成一笔画成图形
5.下图中的线段代表小路，请同学们想一想：能够不重复地爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？
6.下图是儿童乐园平面图，出入口应该设在哪里才能不重复地走遍每条路？
练习：下图是商场的平面图，顾客可以从A,B,C,D,E,F六个门进入商城，怎样才能不重复地逛完商场。
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苏教版二年级下册奥数培优第10讲一笔画成

苏教版二年级下册奥数第10讲一笔画成【知识概述】“一笔画”是一种常见的数学游戏。

一笔画是指笔不离开纸，并且每条线只能画一次又不重复的平面图形。

一笔能写成的字还真不少，如:1，2，3，6，7，8，9，0，一，乙，……一笔能画成的图形也不少，如那么究竟哪些图形能一笔画成呢?我们先来认识“双数点”和“单数点”。

双数点:就是从某一点出发，引出来的线的条数是双数(2，4，6，8，10，…)，这样的点就叫做双数点。

如下面的“・”都是双数点。

单数点，就是从某一点出发，引出的线的条数是单数(1，3,5,7，9，…)，这样的点就叫单数点，如下面的“・”都是单数点。

凡是图形中的点都是双数点，这个图形就一定能一笔画成。

如：凡是图形中有双数点也有单数点，但只有两个单数点，也可以一笔画成。

如凡是图形中的单数点的个数多于2个，就不能一笔画成。

如：例1：下面的图形能不能一笔画成?如果能，应怎样画?练习一：1.下面两个图形能一笔画成吗?如果能，请一笔画成功。

2.下面的图形能不能一笔画成?如果能，应怎样画?3.下面的图形能不能一笔画成?为什么?例2：下面的图形能不能一笔画成?如果能，应该怎样画?练习二：1.下面的图形能不能一笔画成?如果能，应该怎样画?如果不能，请说明理由。

2.下面的图形能不能一笔画成?如果能，应该怎样画?3.下面的图形能不能一笔画成?如果能，应该怎样画?例3：有一条河，河中有两个小岛，河上有7座桥，把这两个岛与河岸联系起来，能不能不重复地走遍七座桥，最后又回到出发点?练习三：1.下图是一个迷阵图，箭头指出了迷阵的入口和出口。

请你画线表示从入口进入迷阵，从出口走出来。

能不能走通?2.下图是某展览馆的平面图，相邻两个展室之间有一个门相通，每个展室都有一扇门通往馆外。

一个参观者怎样走才能不重复地走过每一扇门?如果这种走法不存在，应关闭展览室的哪扇门才能实现上述走法?3.下图中有11个邮递员的投递点，邮递员叔叔要向这11个地点送信，邮递员能不能不重复地一次走遍各个点?如果能应怎样走?例4：下面的图形中有6个单数点，因此不能一笔画成功。

小学奥数—奇妙的一笔画

4-1-5.奇妙的一笔画
知识点拨
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用 n 笔画成．
【例 17】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．
A
E
D
G
H
B
C
F
【例 18】如图所示，某小区花园的道路为一个长 480 米，宽 200 米的长方形；一个边长为 260 米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷 A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从 A 处离开．如果
【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？
【例 21】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？

一笔画问题

一笔画问题 Company number：【WTUT-WT88Y-第三节一笔画问题从图形上的某一点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复地经过图形上所有部分，这样画成的图形叫做一笔画。

奇数点：与奇数条线段相连的点。

偶数点：与偶数条线段相连的点。

一笔画图形有如下三条规律：1、凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成，画时可以从任意一个双数点为起点，最后仍回到这点，如图（1）2、凡是图形中只有两个单数点的一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点，如图（2）3、凡是图形中单数点的个数多于两个时此图形不能一笔画成，如图（3）（1）（2）（3）解题方略：判断一幅图能否一笔画的关键1、一笔画的前提：必须是连通图；2、砍图中是否有奇点，有，有几个。

例题解析：例1、判断下面图形哪些能一笔画哪些不能一笔画说明判断依据。

（1）（2）（3）解析：图（1）能一笔画，因为它没有奇点，全为为偶点，画时从任意一个偶点起笔，终点又回到这一偶点。

图（1）能一笔画，因为它只有两个奇点，其它都为偶点，画时从一个奇点起笔到另一个奇点终点。

图（1）不能一笔画，因为它只有4个奇点，其它都为偶点。

例2、一笔画出下面每个图形。

D BE AB C EC例2-1 例2-2解析：例2-1图中有5个点，其中B、C成为奇点，只要以这两个点分别做一笔画起、终点，此图就能画出来。

下面是一种画法：DAE（起点）B C（终点）例2-2图中有5个点，其中B、C为奇点，只要以这两点分别做一笔画起、终点，此图就能画出来。

下面是一种画法：B→D→A→E→D→A→E→C→B→A→C例3、先数一数下列各图形中奇结点的个数。

如果有的图形不能一笔画成，那么，至少几笔才能画成解析：图（a）中只有两个奇结点，可从A点出发一笔画出到B点结束，图（b）中有四个奇结点，不能一笔画成。

图（b）与图（a）比较，多出了折线CEFD。

如果先一笔画出图（a），再添一笔画出折线CEFD，就可得到图（b）。

一笔画出图形

一笔画出图形
[题目］你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。

（不走重复线路）
要正确解答这道题，必须弄清一笔画图形有哪些特点。

早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。

欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的三个图都是连通图。

但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。

如图1中的①、④为奇点，②、③为偶点。

数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢?
7
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

例如，图2都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

例如，图1图的线路是：①→②→③→①→④
3．其他情况的图都不能一笔画出。

小朋友，请试一试：
1．画出图1和图2的其他线路。

2．图3能一笔画吗？有多少条线路？
3．下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。

一起学奥数--一笔画(三年级)

A
B
F E
A
B
E F
C
D C
D
【分析】1、左图是一个平面示意图，要分析路线与出入口问题，应该把左图转化为点线示意图。
2、只要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示意图能够一笔画成，就能达到一次走遍各通道而又不必重复的进出方法。
3、左下图，除了C、D两点为奇点，其它的为偶点。因此，只要C或D点进，D或C点出就能达到要求。
4、我们可以设定一条线路： D E F A B E C B D
西岛
北岸东岛
南岸
【分析】1、首先得把实景图转化为示意图。用点和线分别来表示两个岛、两岸及七座桥。注意：先画点，再按桥连通两个点
2、如果这个示意图，能够做到一笔画，则可以证明能够不重复、不遗漏的经过每座桥，否则就没法实现。
3、数连接每个点的线，发现四个点都是奇点，所以没法完成一笔画。即没法做到不重复、不遗漏的经过每一座桥。
动动手： p.62随堂1
一笔画规则： 1、如果一个连在一起的图中，奇点个数为0或2，那么这个图形可以一笔画。 2、如果一个连在一起的图中，奇点个数不是0或2，那么这个图形就不能一
笔画成。
如何一笔画成：奇点个数为0时，可从任何一个点开始画，最后回到始点；当奇点个数为2时，可以从任一个奇点开始，最后到另一个奇点终止。
思考： 1、一个图形中奇点是否可以为奇数个（引起对数奇偶性的兴趣） 2、为什么偶点不影响一笔画（养成学生搞清问题根源的习惯）
例2、如下图中的线段代表小路，A、B处各有一只蚂蚁。哪只蚂蚁能够不重复地爬完这5条小路？
A
D 【分析】1、由以上总结可知，奇点的数量决定了是否可
以一笔画成图形。本题蚂蚁能够不重复地爬完5条小路，

三年级奥数专题：一笔画

三年级奥数专题：一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。

显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。

后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。

欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。

我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。

如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。

欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。

因为图中A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。

一笔画成的图形规律

一笔画成的图形规律
一笔画的规律：
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2、凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

“一笔画”是个古老的问题，欧洲人把它叫做“邮递员问题”。

邮递员面对错综复杂的城市街道，需要把邮件送达到分散在街道上的各个地方的客户手上，为了少走冤枉路，出发前需要对途经路线进行一个合理的规划，其中需要用到的知识就是“一笔画”。

1736年，欧拉证实：七桥问题的走法根本不存在。

同时，他发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:
1、图形是联通的;
2、图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2；
欧拉的研究开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。

十一笔画和迷宫

十一笔画和迷宫1．一笔画(1)一笔画就是指能一笔画成的图形。

注意，这里要求：①下笔后笔不能离开纸；②每条线都只能画一次而不许重复；③画时，任何两条线不许交叉而过。

下面两图都是一笔画，其中右图是一种较特殊的一笔画，它最后又画回到起始点。

下面几个图形，你能一笔画成吗？(2)一笔画问题是由十八世纪的大数学家欧拉提出并解决的。

原苏联有个城市加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，城中有一条河，河上有两个岛，两岸与两岛之间共架有七座桥(下图)。

当时的居民热衷于讨论这样一个问题：一个散步者怎样才能不重复地一次走遍所有的七座桥，而回到出发点？这个问题似乎不难，所以谁都愿意试一试，但结果谁也下不了结论。

问题提到了欧拉那里。

千百人的失败使欧拉想到，也许那样的走法根本就不存在。

后来，他用数学方法证实了自己的猜想。

欧拉把七桥问题中的岛A、C，陆地B、D当作4个点，于是上图就变成了下图。

七桥问题也就变成了能否一笔画出下图的问题。

经过欧拉的研究，终于找到了鉴别一个图形能否一笔画成的简便方法。

下面就简要地介绍一下这个方法的基本思想。

可以想象，凡是一笔画，一定有一个起点、一个终点，还有一些其他的中间点。

起点可以由几条线汇合，但是画图时，总是先从它画出去，然后进来出去几次(进出一次，得到两条线：进来是一条线，出去也是一条线)，而最后一次是出去的，所以集中在起点的线只能是一条、三条、五条，……，即是奇数条。

终点是先画进去，然后出去进来几次，而最后一次是进来的，所以集中在终点的线也只能是奇数条。

至于中间各点，则应是进去出来的次数相等，即每一点上都只能有偶数条线。

如果起点与终点重合，即最后又画回到起点，那么所有的点上就都有偶数条的线了。

这样一分析就可以知道，能一笔画的图形，其中有奇数条线的顶点的个数只能是0或2。

上图中有4个顶点，每个顶点都有奇数条线，因此它不能一笔画，也就是要不重复地一次走遍哥尼斯堡七桥是不可能的。

现在请你想一想：①在七桥问题中，如果允许你再架一座桥，那么你能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？②下图中哪些能一笔画？哪些不能一笔画？能一笔画的，怎样画？(3)下图是两个花园的平面图，其中有不少小路，你能分别走遍这两个花园的小路，而线路既不重复又不交叉吗？(4)下图表示一座彩牌，它是用一根彩绳扎成的，且线路没有一处重复。

5.一笔画成

练习1 随便找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。
例题2. 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？
√
√
练习2 下列图形能一笔画成吗？为什么？
√
√
√√
例题3. 下图能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？
（答案不唯一）
练习3
判断下列各图能否一笔画成，并说明理由。能一笔画成的试着画一画。
练习3
判断下列各图能否一笔画成，并说明理由。能一笔画成的试着画一画。
例题4.
下图能否一笔画成？如果不能，用什么方法使它一笔画成？
改法（虚线表示连起来后可以一笔画成）答案不唯一
练习4. 将下列各图改成一笔画
例题5. 下图是某新村小区主干道平面图，甲、乙两人同时分别从A、B两点出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C点。谁能先到C点？
第五周一笔画成
例题1. 一些平面图形是由点和线构成的。这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线。下面每个图中的每个点和线的连接情况如何呢？
仔细观察图中的点，看它们分别与几条线相连。
（1）与一条线相连的点有：（2）与二条线相连的点有：（3）与三条线相连的点有：（4）与四条线及四条以上线相连的点有：
C
B（乙） A（甲）
练习5 1.园林工人在花园浇花，怎样走才能不重复地走遍每条小路？
答案不唯一
练习5
2.李叔叔驾驶洒水车给小区路面洒水，规定每条路必须洒水，且不能重复走。
李叔叔应该怎样走？
答案不唯一
A
B
练习5
3.下图是王叔叔每天送牛奶所走的路线图，为了让该小区居民早点喝
到新鲜的牛奶，王叔叔准备设计一种最好的方案，使自己不重复走每

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3、其它情况的图，都不能一笔画成。
观察下列图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的根据自己实际情况更改后使用！
放映结束感谢各位批评指导！
谢谢！
让我们共同进步
偶点和奇点：
奇点
偶点偶点
偶点
奇点
奇点奇点偶点
三、通过数学家欧拉的证明，得出了下面的结论：
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、凡是只有两个奇点（其余的全为偶点）的连通图，一定可以一笔画成，画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
一笔画成的图形
一、故事发生在18世纪的哥尼斯城堡，流经那里的一条河中有两小岛，还有七座桥把这两个小岛与河联系起来，那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的故事：一个游人怎样才能不复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？
二、判断下面的图形能否笔画成笔
所谓的一笔画成，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复。