5-2_期权定价的二叉树模型

将此应用于图4-22的股价二叉树，得
2020/4/6
48
第六节 实证数据下二叉树模型分析
1
t
E
S S0
pu
1
pd
t
E
S S0
1
t
2
p1 pu d
2020/4/6
49
第六节 实证数据下二叉树模型分析
Hull-White算法：
令：
p1
2
则：
u d 1 t
2
u d 2 t
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敲出障碍期权比标准欧式期权要便宜，当障碍的设置越接近于正常价格时，障 碍期权越不可能克服日常价格波动，障碍期权较之普通期权的价格越便宜。
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37
第五节 回望期权定价
回望期权：
回望期权(lookback options)的收益依附于期权有效期内标的资产达到的 最大或最小价格。欧式回望看涨期权的收益等于最后标的资产价格超过期权 有效期内标的资产达到的最低价格的那个量。欧式回望看跌期权的收益等于 期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超过最后标的资产价格的那个量。
t 0
1
2
3
图4-7 列示三列的股票价格二叉树图
第一节 股票价格模型
将节点输入值中的股票价格因子分离出来，则
节点输入值= 节点股票价格 pu qd 剩余列数
如何证明？
E Sk S0 pu qd k
如何证明？
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13
第一节 股票价格模型
简要提示： 归纳法 路径依赖
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dudS 0 d 2uS0
pq 2 pq 2
d 3S0 q3
pq2ud 2S0 p 2 qdu 2 S0 pq 2 dudS0 pq 2 d 2uS0
q3d 3S0
图4-2 股票价格的二叉树展开图
Total ES3
2020/4/6
第一节 股票价格模型
E S3
pu 3
3qd
pu 2
3qd 2
障碍法则 同样的操作：运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价格。 不同的操作：对于障碍(虚线)下方的节点输入值为0。
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34
11.40 t 0
21.12
28.1
2.81
3.9
0 21.12
0
0 28.1
15.85
2.81
3.9
0
0wenku.baidu.com
0 21.12
0 28.1
15.85
2.81
3.9
0
0
0
0
1
2
3
图4-20 敲出期权的节点输入值序列
第四节 敲出期权的定价
作为验证：
e0.053E 所有路径
e0.15 0.75643 28.1 2 0.75642 0.2436 3.9
11.4
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36
第四节 敲出期权的定价
注意：
对K期期权定价而言，有2K条路径，当K较小时，路径计算法在期数和路径较 少的情况下是简单易行的，但当K较大时，计算却十分困难，因为将生效的期 权从失效的期权中分离出来是很困难的。
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25
第三节 美式期权定价
连锁法
10.9
立即执行值
最大输入值
27.1
图4-15 节点处不同方案值的表示法
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26
第三节 美式期权定价
14.12
10.9
19 100 81
19 27.1
图4-16 美式看跌期权一个节点的完整表示
2020/4/6
27
2.74
0 2.74
第五章（下）：期权定价的二叉树模型
第一节 股票价格模型 第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价 第三节 美式期权定价 第四节 敲出期权定价 第五节 回望期权定价 第六节 实证数据下二叉树模型分析 第七节 N期二叉树模型的定价和对冲风险
1
第一节 股票价格模型
假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方向变动。图4-1和图 4-2采用二叉树的形式列出了可能变动的两个方向，将来的价格等于现值 与相应收益率的乘积。
23
第三节 美式期权定价
如图4-14所示的分枝图，在节点处有两个选择：
（1）立即执行（在
）t； 2
t 3
（2）继续持有到下一期 再执行。
策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。
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24
第三节 美式期权定价
10.9
V
27.1
图4-14 期权二叉树的分枝图
e0.05 10.9 0.7564 27.1 0.2436 14.12
110
108.9
99
90
89.1
81
1
2
图4-8 股票价格二叉树图
72.9
3
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16
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
三期的期权价格二叉树模型
28.1 133.1 105
3.9 108.9 105
0
t 0
0
1
2
3
图4-9 列示最后一列的期权价格二叉树
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17
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
敲入期权：
敲出期权
向上敲出 向下敲出
敲入期权
向上敲入 向下敲入
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。
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29
第四节 敲出期权的定价
欧式看涨期权： S0 100, X 105, u 1.1, d 0.9, r 0.05
t 3
期权到期时间为
。
根据题意：考察的期权是一个欧式看涨期权，在3年后到期、执行价是 105美元。
2
E
S S0
1
t
2
t
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第六节 实证数据下二叉树模型分析
平均相对回报率： 平均股价比率：
t
E
S S0
1
E
S S0
1 t
2 t
E
S S0
1
t
2
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第六节 实证数据下二叉树模型分析
如果随机变量 服从X伯努利分布，则
EX pa (1 p)b
DX p1 pa b2
由无套利定价原则得
q er S0 Sd Su Sd
q er d ud
q 0.7564
（4-2）
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18
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
a x
b
图4-10 期权价格二叉树的一个分枝图
2020/4/6
19
11.87
t 0
21.12
2.81
0
15.85 2.02
21.12 2.81
若是敲出期权，在价格为95美元处设置了一个障碍，即一旦股票价格
低于95美元，无论其到期的价格是多少，该期权都不再有任2何020/价4/6 值。
30
第四节 敲出期权的定价
如何为敲出期权定价？
第一步
➢ 画出股票、期权二叉树图 ➢ 标明障碍线
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31
第四节 敲出期权的定价
121
133.1
110
39
第五节 回望期权定价
例：
S0 100, d 0.9, u 1.2, r 0.05
以一个月为一个时间段，得三个月的股价树，见图4-21 。
2020/4/6
40
第五节
100
t 0
回望期权定价
144
172.8
120
129.6
108
90
97.2
81 72.9
1
2
3
图4-21 回望期权的股价二叉树
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41
表3-1 路径、概率及最高价
路径
uuu uud udu duu dud
ddu udd ddd
概率
q3 q2 (1 q) q2 (1 q) q2 (1 q) q(1 q)2 q(1 q)2 q(1 q)2 (1 q)3
最高价
172.8 144 129.6 129.6 108 100 120 100
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2
第一节 股票价格模型
u 1, d 1, 0 p 1
p
uS0
S0
1 p
dS0
t=0
t=1
图4-1 股票价格二叉树
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3
第一节 股票价格模型
ES1 puS0 qdS0 pu dq S0
pu qd 1, 股票价格向上漂移
pu
qd
1,
股票价格向下漂移
0.59 0
0.59
6.22 10 10
0 0 0
2.53 1
2.53
14.12 19 19
图4-17 完整的美式看跌期权二叉树图
0 0 10.9 27.1
第四节 敲出期权的定价
障碍期权(barrier option)
一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。
敲出期权：
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。
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7
第一节 股票价格模型
二、连锁法和期望值 连锁法（后向推导）
u 3 S0 u 2dS0
ud 2 S0
t 0
1
d 3S0
2
3
图4-４ 股票价格二叉树压缩图的最后一列
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8
第一节 股票价格模型
a
x
b
图4-5 股票价格二叉树的一个分枝图
2020/4/6
9
第一节 股票价格模型
21
第三节 美式期权定价
100
t 0
121
133.1
110
108.9
99
90
89.1
81
1
2
图4-12 股票价格二叉树图
72.9
3
2020/4/6
22
第三节 美式期权定价
0
0
10.9 100 89.1
t 0
27.1 100 72.9
1
2
3
图4-13 美式看跌期权价格二叉树
2020/4/6
pu d
希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数 漂移率、波动率
2020/4/6
44
第六节 实证数据下二叉树模型分析
p
uS0
S0
1 p
dS0
图4-22 股票价格二叉树
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45
第六节 实证数据下二叉树模型分析
漂移率 ：单位时间内股价的平均变化幅度。
E
S S0
1
t
波动率
：相对回报率的不确定性。
108.9
100
99
90
89.1
t 0
1
81 72.9
2
3
图4-18 设置敲出障碍的股票价格二叉树图
2020/4/6
32
第四节 敲出期权的定价
28.1 133.1 105
3.9 108.9 105
t 0
0
0
1
2
3
图4-19 敲出期权价格二叉树
2020/4/6
33
第四节 敲出期权的定价
第二步： 连锁法计算期权价值
2020/4/6
38
第五节 回望期权定价
若有一个三个月到期的回望期权，在三个月后，期权的买方有权得 到以过去三个月中最高股价来计算的偿付。所谓回望的含义就体现在这 里。应注意，为了确定期权的到期价格，需要知道的不仅仅是股票的最 终价格，还需要知道股票过去每个时间点的价格(除了一些极端的情况) 。
2020/4/6
pu
qd
3
S0
pu qd 3 S0
E Sk1 pu qd E Sk
E Sk1 pu qd k S0
（4-1）
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6
第一节
S0 t 0
股票价格模型
u 2S0
u 3 S0
uS0
u 2dS0
udS0
dS0
ud 2 S0
d 2S0
d 3S0
1
2
3
图4-3 股票价格的二叉树压缩图
50
第六节 实证数据下二叉树模型分析
用样本估计值来代替
u 1 t t
d
1
t
t
1 t t
1 t t
d
1 t
u
图4-23 Hull-White模型的解
2020/4/6
51
第六节 实证数据下二叉树模型分析
2020/4/6
42
第五节 回望期权定价
E V3 115.314
V0 E V3 e0.053/12
=113.88
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第六节 实证数据下二叉树模型分析
金融（或其他领域）中用的数学模型是为了帮助在分析现在的基础上预测未 来。如果模型是成功的，那么模型就应该与实际相符。
如何确定 、 和 ？
0
15.85
21.12 2.81
2.02
0
1
2
图4-11 完整的期权二叉树图
28.1 3.9
0 0
28.1 3.9
0 0
28.1 3.9
0 0
3
第三节 美式期权定价
美式看跌期权，若：
S0 100, X 100, u 1.1, d 0.9, r 0.05
期权到期时间为
t 3
。
2020/4/6
pu qd 1, 股票价格没有漂移
2020/4/6
4
一、二叉树的重新安排
股票价格 概率 乘积
u3S0 p3
p 3u 3 S0
uS0
u 2 S0
u 2dS0 p2q uduS0 p2q
p p
2qu 2qu
2 2
dS0 dS0
S0
dS0
udS0 duS0 d 2S0
ud 2S0 pq2 du 2 S0 p2q
14
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
若
S0 100, X 105,
u 1.1, d 0.9,
r 0.05
t 3
期权到期时间为
，试对期权进行定价。
2020/4/6
15
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
首先构造一个三期的股票价格二叉树模型，如图4-8所示。
100
t 0
121
133.1
2020/4/6
11
p pu 3S0 qu 2dS0 q pu 2dS0 qud 2 S0
u 3 S0
pu 3S0 qu 2dS0
u 2dS0
X
pu 2dS0 qud 2 S0
ud 2 S0 pud 2 S0 qd 3S0
p pu 2dS0 qud 2S0 q pud 2S0 qd 3S0 d 3S0
连锁法： 若x是股票未来价格a和b的期望值，则
x pa qb
2020/4/6
10
第一节 股票价格模型
pu3S0 qu 2dS0 pu 2dS0 qud 2 S0
u 3 S0 u 2dS0
t 0
ud 2 S0
pud 2 S0 qd 3S0
d 3S0
1
2
3
图4-6 列示二列的股票价格二叉树图