抛物线的几何性质PPT

（四）例题解析
例1.已知抛物线关于 x轴对称,它的顶点在坐标原 例1：已知抛物线， 点,并且过点M(2, 2 2 ),求它的标准方程,并用描 点法画出其图形.
解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐
标原点，并且经过点M（２， 2 2 ）， 所以设方程为： 所以： (2
4 3 2 1
y
或x 2 py 又因为点M在抛物线上：
y 8x
2
。
课堂练习：课本P141 课堂练习 第2题 抛物线以椭圆 以椭圆的左焦点为焦点，求抛物线的标准方程。
x2 y2 1 的中心为顶点, 16 12
分析：
1、椭圆的中心在 原点（0，0） 2、椭圆的焦点在
x
轴上,且左焦点坐标为F1（-2，0）
3、故抛物线的焦点坐标为 F(-2，0)，焦点在X轴负半轴 上
抛物线的几何性质
第一课时
学习目标
1.能够利用抛物线的标准方程确定其几何性质: 范围、对称性、顶点、离心率等;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、
焦点坐标及解决其它问题;
3.通过本节课的学习，培养自己的观察分析能力
和数形结合能力，提高自己解决问题的能力。
（一）复习回顾
1、抛物线的定义是什么？ 2、焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为＿＿ ＿＿，其焦点坐标为＿＿＿＿，准线方程是＿＿＿。 3、以 (0, p ) 为焦点的抛物线的标准方程为＿＿＿，
2
y 2 px ( p 0)
2
2
2) 2 p 2 p 2
o
1
2
3
4
M 2,2 2


x
2 因此所求抛物线标准方程为： y
4x 或x 2 2 y
y 4x 作图：
2
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1
y
4 3
2
3
4
…
y
0
2
2
1
2.8 3.5
4
…
(2)描点：
(3)连线：
o
1
2
3
4
x
课堂练习：课本P139
课堂练习1；课后练习1 。
例2：如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一 段抛物线，宽为7m，高为0.7m,求这条抛 y 物线的方程。
解：如图建立直角坐标系， 由题设可设抛物线的方程 为： X 2 =2py （p>0） 0.7 易知A（-3.5,0.7)，
A
O
4、故抛物线的标准方程为
y 8 x
2
。
例5、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一 部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯 口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线 的标准方程及焦点的位置。
解：如图所示，在探照灯的轴截 面所在平面建立直角坐标系，使 反光镜的顶点与原点重合，x轴 垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程是：
方法2：由抛物线定义列出等式 MF 3求p
．
．x
F
O
x
M(4,-4)
y
F
p x 2
p x 2 p y 2 p y 2
y
O
y
O F
l l
x
（p>0）
(二）类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 它的几何性质: (1)范围： x≥0,y∈R
y
关于x轴对称,对称轴 (2)对称性： 又叫抛物线的轴.
O
x
(3)顶点： 抛物线和它的轴的交点.
l
小试牛刀
求下列抛物线的焦点坐标、准线方程，并说出 其范围、对称轴、顶点、离心率。
（1）2 y2 = - 5x （2）x2 +8y=0
x
2
（三）特点总结
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ; 4.抛物线的离心率是确定的,e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P是指焦点到准线的距离 P越大,开口越开阔
A
y 2 px( p 0)
2
O
F
A
由已知条件可得点A的坐标是 （20，20），代入方程可得
所求的标准方程为 y 2
P=10
p 光源到反光镜的距离为 5 2
20 x
作业布置： 课本P142
L
课后练习1、2、3 y
y
O
3
．
3 M
4 8
第3题
第1题
方法1：直接将点M的坐标代入抛物线方程求p
．
O M(-4,-2)
x
∴抛物线的标准方程为x2 =-8y或y2 =-x 。
（五）课堂练习
课本P49 练习A组第一题。
（六）课堂小结：
这节课，我们根据抛物线的标准方 程对抛物线的几何性质展开了研究，主 要从四个方面（①——②—— ③—— ④ —— ）
（七）作业布置：
课本P50 习题 第3题
例3：已知抛物线 x 8 y 上一点M到准线的 y 距离为4，求点M的坐标。
2
课堂练习：课本P141 课堂练习 第1题
L
已知抛物线 y 8x上一点M 到准线的距离为4，求点M的坐标。
2
．
y
O
分析：如图所示可设 M点的坐标为M（x,-2), 则将该点坐标代入抛物 线标准方程即可求得点 M的横坐标x。
L
4
．． ．
x (x,-2)O M(-4,-2) F(0,-2) M(4,-2)
l
y∈R
x≤0 y∈R
y
F
O
x轴
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x （p>0） 2
Байду номын сангаас
y
O
(0,0)
F
1
l
x2 = 2py p p y≥0 F (0, ) y （ p >0 ） 2 2 x∈R x
x2 y≤0 x∈R y轴
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x （p>0） 2
y
A
y 2 px( p 0)
2
O
F B
x
由已知条件可得点A的坐标是 （40，30），代入方程可得
302 2 p 40
45 p 4
25 所求的标准方程为y x 2 45 焦点坐标为 ( , 0) 8
2
课堂练习：课本P142 课堂练习 第3题
探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点 处，已知灯口圆的直径为40cm,灯深20cm，求抛物线的标准方程 及光源到反光镜顶点距离。 解：如图所示，在探照灯的轴截 面所在平面建立直角坐标系，使 反光镜的顶点与原点重合，x轴 垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程是： y
2
其准线方程为＿＿＿＿。
完成表格（焦点准线看一次项，焦点同号，准线异号）
图 形
y
l
O F x l O x F x
方 程
焦 点
准 线
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ) 2
B 7
x
将其代入抛物线方程，得：(-3.5)2=2p0.7
2P=17.5 抛物线的方程为：x
2=17.5y
（五）课堂练习
已知抛物线对称轴为坐标轴, 顶点是坐标原点, 并且过点M(-4, -2),求它的标准方程。 解：当抛物线的焦点在y轴 的负半轴上时，把M(-4,-2) 代入x2 =-2py，得2p=8 当焦点在x轴的负半轴上时， 把M(-4,-2)代入y2 = -2px， 得2p= 1 y
M(2,4) F(2, 0)
．
．x
(2,y) M(2,-4)
4
例4：抛物线以椭圆 以椭圆的右焦点为焦点，求抛物线的标准方程。
x2 y2 1 的中心为顶点, 12 8
分析：
1、椭圆的中心在 原点（0，0） 2、椭圆的焦点在
x
轴上,且右焦点坐标为 F2（2，0）
3、故抛物线的焦点坐标为 F(2，0) ，焦点在X轴正半轴 上 4、故抛物线的标准方程为
即：抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点（0，0）。
(4)离心率：
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线 的距离之比，叫做抛物线的离心率。
y
M
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
O
F
x
图 形
y
l
方程
焦点
准 线
范围
x≥0
顶 对称轴 点
e
O F
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2