乘法公式的灵活运用
八年级数学上册专题训练四乘法公式的灵活运用新人教版
(3)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1.
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋ 1)(216＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋ 1)(216＋1)＋1＝……＝(216－1)(216＋1)＋1＝ 232－1＋1＝232.
乘法公式的变形技巧 4．若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝ __3__． 5．若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝_7___． 6．若a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，则(a＋b)2＝ _2_5__．
巧用乘法公式解决整除问题和规律问题 10．对任意正整数n，求证：(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)·(3＋n)的值是10的倍数． 解：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝9n2－1－ (9－n2)＝10n2－10＝10(n2－1)， ∴原式的值是10的倍数．
11．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如： 4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4， 12，20都是“神秘数”． (1)28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)证明：“神秘数”必是4的正奇数倍； (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数” 吗？为什么？
即(210－x)2＋(x－200)2的值为508. 同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解 答过程： “若x满足(2013－x)2＋(2011－x)2＝4028，试 求(2013－x)(2011－x)的值”．
解：设(2013－x)＝a，(2011－x)＝b， 则有(x－2011)＝－b， ∵a－b＝2013－x＋x－2011＝2， 又∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，a2＋b2＝4028， ∴4028－4＝2ab，ab＝2012， 即(2013－x)(2011－x)＝2012.
(完整版)乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式初中教案
乘法公式初中教案教学目标：1. 理解乘法公式的概念和意义。
2. 学会运用乘法公式进行计算和解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学思维习惯。
教学重点：1. 乘法公式的概念和意义。
2. 乘法公式的运用和计算。
教学难点：1. 乘法公式的理解和记忆。
2. 乘法公式的灵活运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题和答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾加法、减法、乘法、除法的定义和运算规则。
2. 提问：我们已经学过加法、减法、乘法、除法，那么有没有什么规律可以让我们更快地计算乘法呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍乘法公式的概念：乘法公式是指在乘法运算中，两个数的乘积与它们的因数之间的关系。
2. 讲解乘法公式的意义：乘法公式可以帮助我们更快地计算乘法，避免繁琐的计算过程。
3. 举例讲解乘法公式：以2x3和3x2为例，解释它们的乘积都是6，强调乘法公式的交换律。
4. 讲解乘法公式的运用：通过例题展示如何运用乘法公式进行计算和解决问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评，纠正错误并巩固知识点。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：乘法公式在日常生活中有哪些应用？2. 举例说明乘法公式在实际问题中的应用，如购物时计算总价、计算面积等。
3. 让学生尝试自己用乘法公式解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生复述乘法公式的概念和意义。
2. 提问：通过本节课的学习，你们认为乘法公式在数学中的作用是什么？3. 鼓励学生积极思考，提出问题，培养学生的批判性思维。
教学评价：1. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对乘法公式的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习效果。
3. 学生反馈：收集学生的学习心得和意见，不断改进教学方法，提高教学质量。
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用乘法在初中代数中是一个常见的运算方式，通过掌握乘法公式和灵活运用，可以更好地解决数学问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的乘法公式以及它们的应用。
一、基础乘法公式1. 同底数乘法公式当两个数的底数相等时，指数相加。
例如：aⁿ * aᵐ= a^(ⁿ+ᵐ)2. 平方乘法公式任何数的平方都可以表示为底数相同，指数为2的形式。
例如：(a * b)² = a² * b²3. 一次多项式的乘法公式两个一次多项式相乘的结果可以用分配律展开。
例如：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd二、常见的乘法公式应用1. 多项式的乘法在解决多项式相乘的问题中，可以运用分配律进行展开，并根据指数相加的规则进行合并。
例如：(2x + 3)(x + 5) = 2x * x + 2x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 152. 平方差公式平方差公式可以帮助我们快速求解两个数的平方差的形式。
例如：(a + b)(a - b) = a² - b²3. 立方差公式立方差公式可以帮助我们快速求解两个数的立方差的形式。
例如：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³4. 特殊乘法公式有一些特殊的乘法公式，经常出现在代数问题中，例如：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²- a² - b² = (a + b)(a - b)- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这些特殊乘法公式在解答问题时非常有用，通过熟练掌握可以提高解题速度和准确性。
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
用乘法公式巧妙计算
用乘法公式巧妙计算乘法公式是数学中的基本公式之一，它用于计算两个数的乘积。
乘法公式还可以通过巧妙的变形和运算，用来解决一些复杂的问题。
在本文中，我将介绍一些常见的乘法公式应用和巧妙计算方法，为你提供一些灵感和启示。
1.乘法分配律：乘法分配律是数学中最常用的乘法公式之一、它表明，两个数的积与其中一个数分别乘以另一个数再相加的结果相等。
即：a*(b+c)=a*b+a*c。
这个公式在计算中可以大大简化问题，因为我们可以先将一些因子与多个数相乘，然后再将结果相加，而不需要一个一个相乘再相加。
2. 平方公式：平方公式用于计算一个数的平方。
即：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2、这个公式可以用来计算一个数的平方和，或者将一个数的立方拆分成多个平方的和。
3. 乘方公式：乘方公式用于计算一个数的乘方。
例如，(a+b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3、这个公式可以用来计算一个数的立方和，或者将一个数的四次方、五次方等拆分成多个平方的和。
4.九九乘法口诀：九九乘法口诀是学习乘法的基础，它通过记忆九九乘法表的形式，帮助我们快速计算两个数的乘积。
例如，2乘以3等于6，3乘以4等于12等等。
通过熟练掌握九九乘法口诀，可以在计算中快速推算乘积。
5.快速乘法法则：快速乘法法则是一种通过巧妙的变形和运算，高效地计算乘积的方法。
例如，计算17乘以15，可以将15拆分成10和5，然后将10乘以17，在将5乘以17，最后将两个数的乘积相加。
这种方法可以在一定程度上减少手工计算的复杂度。
通过灵活运用这些乘法公式和巧妙计算方法，可以大大简化乘法计算的过程，并提高计算效率。
在以后的学习和工作中，你可以根据具体的问题和需求，选择合适的公式和方法，以便更加高效地进行乘法计算。
不断练习和应用这些方法，你会发现数学计算的乐趣，同时也提高自己的数学能力。
乘法公式的基础与拓展应用
乘法公式的基础与拓展应用乘法公式是数学中常用的计算工具，它包含了一系列基础与拓展应用。
基础乘法公式常用于计算两个数之间的乘积。
它们包括：1.乘法交换律：a×b=b×a。
这意味着两个数的乘积与它们的顺序无关。
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
这意味着无论是先将前两个数相乘然后与第三个数再相乘，还是先将后两个数相乘然后与第一个数再相乘，得到的结果都是相同的。
3.分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。
这意味着将一个数与两个数的和相乘，等于将这个数分别与两个数相乘得到的结果再相加。
基础乘法公式还可以进行简化，例如：1. 平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这意味着一个数的平方可以通过将该数与自身相乘得到。
2. 立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
这意味着一个数的立方可以通过将该数与自身的平方相乘得到。
乘法公式还可以应用于解决实际问题，例如：1.面积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的面积。
例如，长方形的面积可以通过将长与宽相乘得到；圆的面积可以通过将π与半径的平方相乘得到。
2.体积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的体积。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘得到；圆柱体的体积可以通过将π、半径的平方和高相乘得到。
拓展应用方面，乘法公式也可以用于解决一些更复杂的问题。
例如：1.组合问题：组合问题是指从一个集合中选取若干个元素组成一个子集的问题。
乘法公式可以应用于计算组合问题的总数。
如果一些集合有n个元素，需要选取r个元素组成子集，那么组合问题的总数可以通过计算n!/(r!(n-r)!）得到，其中"!"表示阶乘。
2.概率问题：概率问题是指计算一些事件发生的可能性的问题。
人教版八年级数学上册课件：乘法公式的灵活运用
(a＋b)2 ＝a2＋b2+2ab (a－b)2 ＝a2＋b2+2ab
以上公式表达了完全平方和(差)与平方和、乘积之间的关系，如果知道其 中的部分量，可以运用公式求出剩下的量.
措施为将其化为整十、整百与另一个数的平方差，再用公式计算.
a＋b 和
a－b 差
a2＋b2 平方和
a2－b2 平方差
(a＋b)2
(a－b)2
完全平方和 完全平方差
平方差公式： 完全平方和公式： 完全平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)2 ＝a2＋b2+2ab (a－b)2 ＝a2＋b2+2ab
乘法公式的灵活运用
乘法公式实质是多项式乘法的简便运算，运用乘法公式同样也可以简化 某些乘法运算，下面略举一二.
类型一：利用乘法公式进行简便运算
运用乘法公式简便计算： (1)9982 (2)19.7×20.3
解：⑴9982 ＝(1000－2) 2 ＝10002－2×1000×2＋22 ＝100 0000－4000＋4 ＝996004
解：由(a＋b)2＝7得a2＋b2＋2ab＝7① 由(a－b)2＝3得a2＋b2－2ab＝3② 将a2＋b2 和ab分别看作整体，类比解方程组求解， (①＋②)÷2得a2＋b2＝5 (①－②)÷4得ab＝1 ∴a2＋b2＋ab＝5＋1＝6
方法总结 平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
ห้องสมุดไป่ตู้
完全平方和公式： 完全平方差公式：
⑵19.7×20.3 ＝(20－0.3) (20＋0.3) ＝202－0.32 ＝400－0.09 ＝399.91
(1)2013²－2012×2014＋1 (2)9×11×101×10001．
八年级数学上册《乘法公式》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.平方差公式和完全平方公式的推导过程；
b.乘法公式在解决实际问题中的应用；
c.运用乘法公式进行整式乘法的优点。
2.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计以下几类练习题，巩固学生对乘法公式的掌握：
7.信息技术辅助教学：利用多媒体、网络资源等信息技术手段，形象直观地展示乘法公式的推导过程，提高教学效果。
8.关注个体差异，因材施教：针对不同学生的特点，给予个性化的指导，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
9.定期评估，总结提高：通过定期测试和评估，了解学生的学习情况，总结教学经验，不断调整和优化教学方法，提高教学质量。
a.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出平方差公式的规律。
b.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²
同样，通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出完全平方公式的规律。
2.教学方法：采用引导式教学，让学生通过观察、思考和总结，自主发现乘法公式的规律。
4.利用信息技术手段，如多媒体、网络资源等，辅助教学，提高课堂教学效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，使学生养成良好的学习习惯。
3.培养学生合作交流的意识，学会倾听他人意见，提高人际沟通能力。
4.培养学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，增强学生的应用意识和实践能力。
乘法公式的应用总结
乘法公式的应用总结乘法是数学中最基本的运算之一，而乘法公式则是乘法运算的一种特殊方式，可以帮助我们更高效地进行乘法运算。
在本文中，我将总结乘法公式的应用及其相关例子，以帮助读者更好地理解和运用乘法公式。
一、乘法公式的基本概念在开始介绍乘法公式的应用之前，我们先回顾一下乘法公式的基本概念。
乘法公式是指一系列用于简化乘法运算的等式或规则。
在数学中，我们常用的乘法公式有乘法交换律、结合律、分配律等。
二、乘法交换律的应用乘法交换律是指乘法运算中两个数交换位置后结果不变的性质。
利用乘法交换律，我们可以在乘法运算中灵活调整因数的位置，以便更方便地进行计算。
例如，我们要计算3 × 4 × 5，根据乘法交换律，我们可以先计算3 × 5 = 15，再乘以4，即15 × 4 = 60。
这样，我们可以减少中间步骤，更快地得到最终结果。
三、乘法结合律的应用乘法结合律是指，当三个数相乘时，无论我们先将前两个数相乘，还是后两个数相乘，最后的结果都是相同的。
这个性质可以在多个因数相乘的情况下更好地帮助我们进行计算。
例如，我们要计算2 × 3 × 4，根据乘法结合律，我们可以先计算3× 4 = 12，再乘以2，即2 × 12 = 24。
或者，我们也可以先计算2 × 3 = 6，再乘以4，即6 ×4 = 24。
无论我们是先乘3和4，还是先乘2和3，最后都能得到相同的结果。
四、乘法分配律的应用乘法分配律是指在乘法运算中，一个数和两个数的和相乘等于这个数分别和两个数相乘后的和。
利用乘法分配律，我们可以将乘法运算转化为更简单的加法和乘法运算。
例如，我们要计算2 × (3 + 4)，根据乘法分配律，我们可以先计算3 + 4 = 7，再将2乘以7，即2 × 7 = 14。
这样，我们只需要进行一次加法和一次乘法运算，就得到了最终结果。
《乘法公式》 说课稿
《乘法公式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《乘法公式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《乘法公式》是初中数学中的重要内容，它是多项式乘法运算的简便形式，在整式乘法、因式分解、代数式的化简求值等方面有着广泛的应用。
本节课主要介绍了两个乘法公式：平方差公式和完全平方公式。
平方差公式：（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²，（a b)²＝ a² 2ab ＋b²教材通过对多项式乘法的计算，引导学生观察、归纳、总结出乘法公式，让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养学生的观察能力、归纳能力和逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前已经学习了多项式的乘法运算，具备了一定的计算能力和基础。
但对于乘法公式的理解和应用可能会存在一定的困难，特别是对于公式的结构特征和灵活运用。
因此，在教学过程中，要注重引导学生观察公式的特点，通过大量的实例练习，帮助学生加深对公式的理解和掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解和掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征。
（2）能够熟练运用乘法公式进行整式的乘法运算和简便计算。
2、过程与方法目标（1）通过对多项式乘法的计算和观察，培养学生的归纳、总结能力。
（2）通过乘法公式的应用，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在数学活动中获得成功的体验，增强学习数学的信心。
（2）培养学生敢于挑战、勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点（1）平方差公式和完全平方公式的结构特征和推导过程。
（2）乘法公式的正确应用。
2、教学难点（1）乘法公式的灵活运用。
（2）对乘法公式中字母含义的广泛理解。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
乘法公式的巧妙应用
要注重实践应用，将所学知识应用到实际生活中 去。通过实践应用，可以加深对乘法公式的理解 ，提高解决实际问题的能力，同时也可以激发学 习的兴趣和动力。
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02 乘法结合律的应用
乘法结合律的定义
乘法结合律是指三个数相乘时，其乘 积不改变，但相乘的顺序可以改变。
具体来说，如果a、b、c是任意实数， 那么(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法结合律在生活中的应用
在购物时，如果需要购买多个商品，可以将商品分类，然后 分别计算每类商品的总价，最后再相加，这样可以更快地计 算出总价。
利用乘法交换律可以比较两个数 的乘积大小，只需考虑其中一个 数的大小即可。
乘法交换律在数学问题中的应用
解决代数方程
在解代数方程时，可以利用乘法交换 律来调整方程中的项的顺序，简化计 算过程。
证明定理
在数学证明中，乘法交换律常常被用 来证明某些等式或不等式，提供了一 种有效的证明方法。
04 乘法公式的综合应用
归纳总结
在练习过程中，要善于归纳总结，将不同类型的 题目进行分类整理，找出它们的共同点和规律性 。这样可以帮助我们更好地理解和记忆乘法公式 ，提高解题的灵活性和应变能力。
多做练习题
通过多做练习题，可以加深对乘法公式的理解和 记忆，提高运用乘法公式解决实际问题的能力。 同时，练习题也可以帮助我们发现和纠正错误， 提高解题的准确性和效率。
在计算面积时，可以将一个多边形分解成几个三角形，然后 分别计算每个三角形的面积，最后再相加，这样可以简化计 算过程。
乘法结合律在数学问题中的应用
在解决代数问题时，可以利用乘法结合律将复杂的表达式 进行简化。
七年级数学下册乘法公式6种解题方法
七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
正确理解与灵活运用乘法公式
1、正确理解与灵活运用乘法公式2、聚焦特征，活用乘法公式3、在赛题中用好“因式分解”4、因式分解中常见的错误辨析5、“心知度明”说因式分解6、四学因式分解中的数学思想1、正确理解与灵活运用乘法公式我们知道，整式乘法是本章的重点，而乘法公式是特殊的多项式乘法，因此乘法公式又是这重中之重了，不仅是因为它常用，更重要的是因为它使它简单、方便和快捷；另外在以后内容的学习过程中，如化简计算、因式分解等也起着重要的作用．本节我们学习三个乘法公式：平方差公式和完全平方公式（和或差的），在学习过程中应注意以下几点：一、正确理解和记忆公式1．抓住公式的特点平方差公式：(a ＋b )(a ＋b )＝a 2－b 2．特点：公式左边是两个二项式相乘，在两个二项式中，有一项完全相同，另一项是互为相反数；公式右边是“相同项的完全平方”减“相反项的完全平方”．完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2a b ＋b 2．特点：公式左边是两个相同多项式的乘积；公式右边是三项齐次式；一般对a 按降幂排列，对b 按升幂排列，系数呈对称式；特别是()2b a -，其右边系数的符号规律是正、负相间．2．可用口诀的方法：完全平方公式的记忆方法可以是“首平方，尾平方，二倍首尾夹中央”．3．公式使用的广泛性：公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式．二、 灵活运用公式例1． 计算：① (2a －23)2；②(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)． 【分析】对于①我们可把“2a ”当作完全平方公式中的a ，把“23”当作b ； 对于②我们可把“a ＋b ”整体当作平方差公式中的a ，而把“c ”当作b ．解：① 原式＝(2a )2－2×(2a )×23＋（23)2＝4a 2－6a ＋49； ②原式＝(a ＋b )2－c 2＝a 2－2a b －b 2－c 2．例2．设m ＋n ＝7，m n ＝12，求m 2－m n ＋n 2的值．【分析】刚看此题部分同学可能会想解由m ＋n ＝7，m n ＝12，组成的方程组，分别求出m 、n 的值再代入求解，其实这是不明智的，观察要求值的代数式，会发现它与第一个条件式的平方仅相差几个m n ，于是想到先对第一个条件式两边平方再说．解：因为 m ＋n ＝7，所以由完全平方公式，得(m ＋n )2＝49， 即m 2＋2m n ＋n 2＝49，所以m 2－m n ＋n 2＝49－2m n ，所以m 2－m n ＋n 2＝49－3×12＝13．点评：善于将公式变形使用，也是灵活运用公式的一种能力；本题还用到了整体代入的思想．例3．若|x ＋2|＋y 2－4y ＋4＝0，求()2x y -.【分析】观察发现“y 2－4y ＋4”符合完全平方式的条件，于是原条件式可化为|x ＋2|＋(y －2)2＝0，再利用绝对值与完全平方数的非负性质解答．解：原式可变形为|x ＋2|＋(y －2)2＝0，所以|x ＋2|＝0且(y －2)2＝0，所以x ＝－2，y ＝2，当x ＝－2，y ＝2时，()2x y -＝(－2－2)2＝16．点评：乘法公式不仅要会正向使用，还要学会逆用公式，只有这样才能不断提高运用公式的能力．2、聚焦特征，活用乘法公式学习乘法公式时，部分同学常常不能准确抓住乘法公式的特点，以致不会灵活运用乘法公式．为此，在学习时我们应注意如下三点：一、紧扣特征，对号入座例1．计算(－3x －2y )(3x －2y )．【分析】两因式中的－2y 完全相同，而－3x 与3x 是互为相反数，因而可运用平方差公式计算，－2y 可以看成是公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2中的a ，而3x 则应看成是公式中的b ．解：原式＝(－2y )2－(3x )2＝4y 2—9x 2．例2．计算(－2 x 2＋3y )2【分析】若运用公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2来计算，则可把－2 x 2看作公式中的a ，把3 y 看作b ；若运用公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2，则原式应变形为(3 y －2 x 2)2，这样式中3y 看作公式中的a ，2 x 2看作b ．结果是一样的．解：原式＝(－2 x 2)2＋2(－2 x 2)(3 y )＋(3 y )2＝4 x 4－12 x 2 y ＋9 y 2．或原式＝(3 y )2－2(3 y )(2 x 2)＋(2 x 2)2＝9 y 2－12 x 2 y ＋4 x 4．二、分析特征，适当变形例3． 计算1013×987【分析】可以发现1013＝1000＋13，987＝1000－13，则可变形为(a ＋b )(a －b )的形式。
如何学好乘法公式
如何学好乘法公式乘法公式是整式乘法的重要内容，准确、熟练的掌握乘法公式对于学好整式乘法乃至整式的其他运算都有着重要的意义。
那么怎样才能学好乘法公式呢笔者认为主要应遵循以下几点。
一、明确公式结构的一致性明确乘法公式的结构特征是正确运用公式的前提条件，只有明确了结构特征，才能在不同的情况下正确运用公式。
对于平方差公式22()()a b a b a b +-=-而言，它的结构特征是：等号左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方；而对于完全平方公式222()2a b a ab b +=++和222()2a b a ab b -=-+而言，它的结构特征是：等号左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
一些同学在运用乘法公式时，由于不理解公式的结构特征而出现诸如22(3)(3)3m n m n m n +-=-，222()a b a b +=+等一些低级的错误，应当引起同学们的注意。
二、理解字母含义的广泛性乘法公式中的字母,a b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
明确了这一点，就可以在更广的范围内应用乘法公式，例如在计算(2)(2)x y z x y z +-++时，可将2x y +视为公式中的a ，将z 视为公式中的b ，再用平方差公式展开。
三、熟悉公式应用的灵活性要想熟练的应用乘法公式，必须要在两方面做到“灵活”：一是能灵活的对所计算的乘积式进行变形；二是能灵活的掌握乘法公式的各种变式。
一些题目乍看起来好像与公式的标准形式不一致或不能直接应用公式来计算，此时就应根据公式的结构特征对其进行合理的变形，使其符合公式的结构特点，在通常情况下要对项的位置或符号加以变化。
例如，计算()()a b c b c a +---，就可以变换b c +与a 位置，得到[()][()]b c a b c a -+--，这样即可运用平方差公式来解了。
两数乘法速算技巧
两数乘法速算技巧两数乘法的速算技巧可以帮助我们在不用计算器的情况下，快速而准确地求得两个数的乘积。
这些技巧在日常生活中很有用，特别是在需要频繁计算乘法的场景下，如购物时计算价格、做饭时计算食材的数量等。
下面是几种常见的两数乘法速算技巧：1.交换律：乘法满足交换律，即a*b=b*a。
通过交换两个数的位置，可以简化计算。
例如，计算37*6时，可以交换位置变成6*37，然后将6与37相乘，得到222、这个技巧适用于两数相差较大时。
2.结合律：乘法满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
通过改变运算顺序，可以简化计算。
例如，计算24*3*5时，先计算24*3=72，然后再将结果与5相乘，得到360。
3.分解因数：将较大的数分解成更小的因数相乘，可以简化计算。
例如，计算24*15时，可以将24分解成8*3，然后将15分解成5*3、然后将这些因数相乘，得到8*5*3*3=360。
4. 平方数乘法：如果一个数是平方数，可以利用平方数的特性简化计算。
例如，计算34 * 34时，可以将34拆分为30 + 4，然后应用平方公式(a + b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2、即34 * 34 = (30 + 4) * (30 + 4) = 30 * 30 + 2 * 30 * 4 + 4 * 4 = 900 + 240 + 16 = 1156、这种方法在计算两个接近的平方数相乘时特别有效。
5.近似数乘法：如果两个数相差较小，可以将其中一个数近似到一个更容易计算的数。
例如，计算47*12时，可以将12近似为10，然后计算47*10=470。
最后再加上47乘以两个数的差，即470+(47*2)=5646.全除法：如果有一个数可以整除两个因子，可以将除法和乘法相结合，简化计算。
例如，计算32*8时，可以将32分解成16*2，然后将8除以2得到4，最后将16*4=64这些技巧可以根据具体的数字组合灵活运用，进一步提高计算速度。
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式的法则进行运算． 引导学生发现是完全平方的形
项转化为两项的形式． 引导学生正确理解完全平方公
式，但是是三项和的平方，进而想
也可能有运用完全平方公式进 式中字母的广泛含义，此处还应鼓励学生算法的多样
行计算，主要有以下几种解法： 到将其转化为两项和的形式，从而
性．
想到构造“整体”的方法．
方法一：把 a b看成一个整
为字母 a，谁为字母 b，灵活地运用公式解题．
x y 4x y 4？
（3）（4）两问由学生分两组练习， 然后实物投影纠错．
（3）如何计算 参考答案：
x y 4x y 4 ？
（1） x 2 2xy y 2 z 2 ；
（4）如何计算
（2） x 2 2xy y 2 16 ；
活动中的（1）是为（2）作的铺垫，引导学生构造
（ 1 ） 如 何 计 算 谁看成字母 a，谁是字母 b．
“整体”法再应用平方差公式解题．（3）（4）两问是（2）
x y zx y z？
（2）由学生观察思考，口述方法， 的变式，在学生练习纠错的过程中熟练而正确地找出谁
教师板书． （2）如何计算
2．（选做题）课后思考题：计算．
课后作业加深对本节课知识的巩固，分必做题和选 做题．此处由学生根据自己的知识水平和接受能力自主 选题，让不同层次的学生都得到了应有的发展．
(x 1)(x 1)(x2 1)(x4 1)(x8 1)
5
学生思考后汇报方法，教师板
例题的 1、2 两题是将旧知复习里的（1）（2）两
书．
题加以变式得到，第 3 题是将旧知复习里的（3）（4）
参考答案：（1） x4 81；
加以整合得到，这样在变式的过程中引导学生根据公式
1
（2） 2x 32 2x 32 ；
（2）16x4 72x2 81；
x y 4x y 4 ？
（3） x 2 y 2 8y 16 ；
（4） x 2 y 2 8 y 1；
课本 P79 练一练第 1、2 题．
2．组内纠错．
参考答案：
通过练习即时巩固新知，发现问题，讲评后再由小 组内互助纠错，能有效帮助后进生，培养学生的合作意 识．
学生活动
设计思路
学生先计算，后口答．
此情境复习了前面所学的完全平方公式以及平方
差公式，为引入新知埋下伏笔．
（2）（2） (2x 3)(2x 3) ；
（3） (2a b)(b 2a) ；
（4） (a 3b)2 ．
二、例题讲解 例 1 计算：
（1） x 3x 3x2 9；
通过今天的学习，你学到了什 验成功，构建知识结构图．
归纳本节知识的目的，形成完整的印象．最终教师借助
么？说出来与大家分享．
网络图将知识点加以提炼，将知识系统化．
多项式乘 多项式
单项式乘 多项式
完全平 平 方
方式
差
单项式乘 单项式
六、作业布置
课后完成必做题，并根据自己
的能力水平确定是否选做思考题． 1．（必做题）课本 P80 第 6、7 两题；
的关系，从图形的直观发现结论，经历合情推理——演 绎推理的全过程．
三、探究活动
学生思考后小组内交流并汇报
此活动给学生充分的思维空间，引导学生发现这是
1．活动一．
方法．
个完全平方的公式，但是完全平方公式里是两项和的平
如何计算 a b c2 ？
可能有学生运用多项式乘多项 方，而此处是三项的和，所以想到构造“整体”法将三
体，
a b c2 (a b) c2 ；
2
方法二：把 a c 看成一个整体，
a b c2 (a c) b2 ；
方法三：把 b c看成一个整体，
a b c2 a (b c)2 ．
2．活动二．
（1）由学生思考后口答，并说明将
教学目标
教学重点 教学难点 教学过程（教师） 一、旧知复习 计算：
（1） (x 3)(x 3) ；
教学内容 乘法公式的灵活运用
1．进一步熟练掌握乘法公式，能灵活运用公式进行混合运算和化简；
2．在应用公式的过程中，感受整体思想．
正确熟练地运用乘法公式进行混合运算和化简．
准确地判断并运用合适的乘法公式，构造“整体”的方法解决问题．
1．（1） b 2 ；（2） a4 2a2 1；
（3） 81a4 18a2 1；
（4） a2 2ab b2 c2 ． 2．（1） ab 5 b2 ；
4 （2） 2x2 4xy 3y 2 ．
4
五、课堂小结
交流收获，总结学习成果，体
在相互交流中总结本节课的收获，可以达到总 结
（3）2a bb 2a a 3b2 ． （3） 5a2 6ab 8b2 ．
的特点，准确选用公式，掌握混合运算的解题技巧．
例 2 课本 P79 练一练第 3 题．
学生思考、计算并汇报.参考答案：
设置此道例题，引导学生体会“数”与“形”之间
(a b)2 (a b)2 4ab ．