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16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数,实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数,实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项,实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数,实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时,函数单调递增 ;当 $k < 0$ 时,函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$($a neq 0$)
图像特点
一条抛物线,开口方向由 $a$ 决定($a > 0$ 时向上开口 ,$a < 0$ 时向下开口),对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ,顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
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2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程

函数复习ppt课件

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目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念,它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中,每一个输入值唯一对应一个输出值。函数的定义通常由输入和输出值的 集合以及它们之间的对应关系来描述。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和凹凸性等。有界性是指函数在一定 范围内变化;单调性是指函数在某一区间内单调递增或单调递减;奇偶性是指函数是否 关于原点对称或关于y轴对称;周期性是指函数是否具有周期性变化;凹凸性则是指函
数的图象是否是凹或凸的。
02
函数加法的性质
与普通数的加法类似,函数加法也满足交换律、结合律等 基本性质。
函数的加法
将两个函数的图像看作是平面上的两个点集,函数加法就 是将这两个点集中的每一个点对应坐标相加,得到新的点 集,即新的函数图像。
举例
$f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x$ 的和函数为 $h(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 2x$。
举例
与普通数的乘法类似,函数乘法也满足交换律、结合 律等基本性质。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性质
函数的除法
将一个函数的图像上的每一个点对应坐标除以另一个函数的相应坐标 ,得到新的点集,即新的函数图像。
函数除法的性质
与普通数的除法类似,函数除法也满足类似的性质,如商的可加性和 可交换性。
物理中的函数应用

函数的概念ppt课件

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基础 梳理
解析:A.定义域不同;B.定义域不同;C.虽然自变量所用 字母不同,但两个函数的定义域和对应法则都分别相同,因此 是同一个函数;D.对应法则不同. 答案:C
思考 应用 1.怎样检验两个变量之间是否具有函数关系?
解析: 由函数近代定义知, 我们要检验两个变量之间是否具有函 数关系, 只要检验: ①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数 栏 目 集;②根据给出的对应关系,自变量在其定义域内任一个值,是否都 链 接 能确定唯一的函数值.
2.形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数,它的图 象为抛物线.
例如:已知f(x)=x2+2x+3,函数值为6时,相对应的自变 x=1或x=-3 量的值为____________ .
栏 目 链 接
基础 梳理 3 .一般地,设 A、 B是非空的数集,如果按照某个确定的 对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么f:A→B就称为从集合A到集 合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量, x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应y的值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 例如:正方形边长为 x,与 x的值相对应的面积为 y,把 y表 y=x2 {x|x>0} ; 示为 x 的函数: ____________ ;该函数的定义域为 ________ 16 {y|y>0} ;当边长为 4 的时候,面积为 ________ 值域为 ________ ;当面 2 积为4的时候,相应的边长为________ .
链 时,{x|a≤x≤b} 接
自测 自评 1 . 下列各图中,可表示函数 y = f(x) 的图象的只可能是 ( D )

函数的概念与表示法课件(共19张PPT)

函数的概念与表示法课件(共19张PPT)

( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾:求函数f(x)的定义域,只需使解析式有 意义,列不等式组求解.
抽象函数定义域问题:
抽象函数 :没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例,需分x>0时,f(x)=x的解的个数
和x≤0时,f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题:
一:函数的基本概念:
1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面 的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析:由函数的定义,要求函数在定义域上都有图 象,并且一个x对应着一个y,据此排除①④,选C.
A
B
x
f ( x)
(2)函数的定义域、值域: 在函数 y f ( x ), x A 中,x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值 叫做函数值,函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 . (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的 依据.

八年级函数ppt课件ppt课件

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CATALOGUE
目 录
• 函数基本概念 • 一次函数与正比例函数 • 反比例函数 • 二次函数及其图像和性质 • 函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
详细解释函数的定义,包括函数 的概念、定义域、值域等。
实际问题中的综合应用
在某些实际问题中,可能需要同时考虑反比例函数和一次函数的关系。例如,在研究电路中电流、电 压和电阻之间的关系时,可能需要同时考虑欧姆定律和反比例函数来描述这种关系。通过综合应用这 两种函数,可以更全面地理解和解决这类问题。
04
CATALOGUE
二次函数及其图像和性质
二次函数表达式及图像特点
导入
通过实际问题引入最大( 小)值的概念,如利润最 大化、成本最小化等。
建立函数模型
将实际问题转化为函数模 型,明确目标函数和约束 条件。
求解方法
介绍求解最大(小)值问 题的常用方法,如导数法 、不等式法等,并举例说 明其应用。
方案设计类问题解决方法与策略
导入
通过实际问题引入方案设计类问 题的概念,如产品设计、工程规
03
工程中的速率与时间关系
在工程问题中,有时需要计算某个任务在不同速率下完成所需的时间。
当任务量一定时,速率与时间成反比关系。因此,可以用反比例函数来
描述这种关系。
反比例函数与一次函数综合应用
图像交点问题
当反比例函数与一次函数在同一坐标系中作图时,可能会存在交点。这些交点满足两个函数的方程组 ,因此可以通过解方程组来求解交点的坐标。
函数性质
介绍函数的奇偶性、单调性、周 期性等基本性质,并举例说明。

函数的概念ppt课件

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→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线,此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集,再判断非空数集A 中任取一个数,在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点:用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值,否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数,且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义,所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得, |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以

( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】

(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中,不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域:
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;

函数的概念及其表示法ppt课件

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∴2aa+=b1=,-1,
即ab= =12-,32.
∴f(x)=12x2-32x+2.
(3)在 f(x)=2f1x· x-1 中, 将 x 换成1x,则1x换成 x,
得 f1x=2f(x)· 1x-1,
由fx=2f1x· x-1, f1x=2fx· 1x-1,
解得 f(x)=23 x+13.
答案
2 (1)lgx-1(x>1)
解析 (1)f56=3×56-b=52-b, 若52-b<1,即 b>32时, 则 ff56=f52-b=352-b-b=4, 解之得 b=78,不合题意舍去. 若52-b≥1,即 b≤32,则 =4,解得 b=12.
(2)当 x<1 时,ex-1≤2,解得 x≤1+ln 2, 所以 x<1.
当 x≥1 时, ≤2,解得 x≤8,所以 1≤x≤8.
解析 (1)令 t=2x+1(t>1),则 x=t-2 1, ∴f(t)=lgt-2 1,即 f(x)=lgx-2 1(x>1). (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=2,得 c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1, 则 2ax+a+b=x-1,
2.下列给出的四个对应中: ①A=B=N*,对任意的 x∈A,f:x→|x-2|; ②A=R,B={y|y>0},对任意的 x∈A,f:x→x12; ③A=B=R,对任意的 x∈A,f:x→3x+2; ④A={(x,y)|x,y∈R},B=R,对任意的(x,y)∈A,f:(x,y)→x +y. 其中对应为函数的有________(填序号).
第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念,求简单函数的定义域和值域,B 级要求;2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数,B级要求;3.简单的分段函数及应用,A级要求.

高等数学(微积分学)教学课件

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三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例:lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断:lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法(公式法):用解析表达式(或公式)表示函数关系.
y x 1
表格法:用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法:用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数;如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D

3.1.1 函数的概念 课件(共30张ppt)

3.1.1 函数的概念 课件(共30张ppt)

3.1.1 函数的概念
函数符号y=f(x) 是由德国数学 家莱布尼兹在18世纪引入的. 显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的 真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r|0<r≤1}的真子集.
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于 集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函 数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y=ax+b(a≠0)的定义 域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0).
二次函数y=ax2+bx当a>0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个 数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y= x(10-x).其中,x的取值范围是A={x|0<x<10},y的 取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长 方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
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定义域:R;值域:B={y|y≥(4ac-b2)/4a} (a>0)
(1) y=1 (x∈R)
(2)y=x 与 y 是x2同一函数吗? x
-2. f.:
-1 0
1.
1
2
….
A
B
函数的三要素: ①定义域,
②值域, ③对应法则f.
定例义1 :下设面A对、应B是能两构个成非函空数的吗数?集,如果按 某(1个)已确知定集的合对A应=关R系,fB使=R对对于应集法合则Af中:的给任A 意一中个的数元x在素集取合倒B数中后都与有B唯中一的确元定素的对数应f。(x)
① y=x (x≥0) ③ y=x
② y=x (x≠0)

y=|x|=
x
(x x(
x
0) 0)
例3 求下列函数的定义域 (1)f(x) 3 x 2 1 2 x (2)f(x) x 2 x 12 | x | 4
例4 求下列函数的值域 (1)y 2 x 1,x {0,1,2,3} (2)y x 2 2 x 3,x R (3)y 3 (x 0)
• 例3 对映射f:A→B,下面命题: ①A中的每一个元素在B中有且仅有一个象; ② A中不同的元素在B中的象必不相同; ③ B中的元素在A中都有原象; ④ B中的元素在A中可以有两个以上的原
2.映射的定义:
设A、B是两个集合,如果按照某种对 应关系f,对于集合A中的任何一个元素, 在集合B中都有唯一的元素和它对应。那 么这样的对应,叫做集合A到集合B的映 射。记做:f : A→B
如: ①
A f:乘2加1 B
3
1
4
2
5
6
3
7
4
8
9
A② B
1 f:平方
-1
1
2
4
-2
9
3
-3
多对一

B
解 : y=½ x xA=N*,
• (2)设A={x|x是三角形},B={y|y>0},集 合A中的元素x按照对应关系f: “计算面积” 和集合B中的元素对应。
答 :Y=S▲ABC
(3)设A=R, B=R 集合A中的元素x按照 对应关系f: “平方后求相反数”和集合B 中的元素对应。
答:Y=-x2
A f:开平方 3
9
-3
2
4
-2
1
1
-1

B
A f:求正弦 1
30o
2
2
45o
2
60o
3
90o
2
1
一、一映射
3.象,原象的概念:
给定一个集合A到集合B的映射,且 a∈A, b∈B; 若a与b对应.则把元素b叫做 元素a的象,元素a叫做元素b的原象。
如: ①
A f:乘2加1 B
3
1
4
2
5
6
3
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4
8
9
A② B
1 f:平方
-1
1
2
4
-2
9
3
-3
注: {象}与的B关系{象} B
例1将下列集合用区间表示出来
(x2 1
(3){ x | x 0 或 2 x 3 }
例2 判断下列对应能否构成映射,若是映射 能否构成函数。
• (1)设A=N*,B={0,1},集合A中的元素x按 照对应关系f: “除以2得的余数”和集合B 中的元素对应。
2倍与 y对应; y=3x+1
记作: y=f(x ) x∈A
其中x叫做自变量,x的取值范围 叫做 函数的定义域。与x对应的y的值叫做函数 值,函数值的集合叫做值域。
构成函数的三要素:定义域、值域、对应 法则。
如:一次函数 y =f(x)=ax+b (a≠0) 定义域R、值域R
反比例函数:y =f(x)= k/x (k≠0) 定义域:A={x|x≠0};值域:B={y|y≠0} 二次函数:y=ax2+bx+c (a≠0)
2
1/2
3
1/3
4
1/4
A y=1/x B
共同特点:A中的任意一个数x,在对应关 系f作用下, B中都有唯一的数和它对应
2、函数的定义
定义:设A、B是两个非空的数集,如果 按
某个确定的对应关系f 使对于集合A中 的任意一个数x在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应,则称f: A→B为从集合 A如到集: y合=2Bx的2 一A个=函R,数B=R f: x的平方的
第二章 函数 第1课 、 函数的概念 一、教学目的: 1、了解函数的概念,会使用符号f(x),明 确构成函数的三要素。 2、掌握区间的表示方法,会求函数的定义 域、值域
二、教学过程
1、问题导学
(1)我们在初中学习过函数的概念,它是 如何定义的呢?
设在某一变化过程中有两个变量x,y,如果 对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应, 则称y是x的函数,x的取值范围叫做函数的 定义域,与x对应的y值叫做函数值。
和(它2对)应y,则 称fx: A→(xB为0)从集合A到集合B 的(一3个)函y数 3 x x 4
例2 下列哪个函数与y=x是同一函数?
(1) y ( x ) 2 (2) y x2 x
(3) y 3 x3 (4) y x2
分析 ①由构成函数的三要素:定义域、值 域、对应法则考虑。②从图象出发
③不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 半开半闭。分别表示为:[a, b)、(a, b].
闭区间: a≤x≤b [a,b]
开区间: a<x<b (a,b) a≤x<b [a,b)
半开半闭:a<x≤b (a, b].
x a (, a)
无穷大:
b x (b,)
• 课堂练习与作业: • 练习:page51 1, 2, 3 ,4.
试问根据上述定义,你能判断
(1)“y=1”是否表示一个函数?
(2)y=x与函数
y
x2 表示同一个函数
吗?
x
下面我们分析 (1)y=2x (2)y=x2 (3)y=1/x
有什麽共同特征。
如:
A
f:乘2
1
B
1
2
2
3
3
4
5
6
Y=2x
A f: 求平方 B
1
-1
1
2
4
-2
9
3
-3
Y=x2
1 f:求倒数 1
• 作业: (1) page51 • 习题 3,4,6(4,5,6 )

(2)练习册page40 A组
第2课时 教学过程: 1.复习函数的定义。
映射
定义:设A、B是两个非空的数集,如果 按
某个确定的对应关系f 使对于集合A中 的任意一个数x在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应,则称f: A→B为从集合 A到集合B的一个函数
x
例5 已知函数f(x) 3 x2 5 x 2 试求 f(3),f( 2),f(a), f(a 2),f [ f(1)]
3. 区间的表示:
设a、b是两个实数,而且a<b,规定:
①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫闭区 间。表示为:[a,b].
②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫开区 间。表示为(a,b).
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