专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升(原卷版)
北师大版初中数学八年级上册知识讲解 巩固练习题 二次根式(提高)
二次根式—知识讲解（提高）【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】 要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）. 要点诠释：（1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a =≥）.（22要注意区别与联系：①a的取值范围不同，2中a≥0a为任意值。
.②a≥0时，2a；a<0时，2a要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x≥-且x≠-1【解析】依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x -+=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2). 【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（2018春•铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.（2019春•江津区校级月考）我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a的取值范围化简求出答案；（2）利用a，b的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a＞0时=a；②当a＜0时=﹣a；故答案为：a，﹣a；（2）如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣﹣=﹣a﹣b+（a+b）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键． 类型三、最简二次根式4.化简： (122389)++++++ 【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律.【答案与解析】原式...+1...++1=2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三：的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2=(2原式（又因为整数部分是a ，小数部分是b则a =13，b =6222213136)6)a ab b ∴-+=-⨯+=331-二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2019•贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥12.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数3.下列说法正确的是（ ）A是一个无理数B．函数y =x 的取值范围是x ≥1 C ．8的立方根是2±D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4.（2018•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①；②（﹣）=16；③（）=4；．正确的是（ ）A.①②B.③④C.②④D.①③5. 若，则 等于（ ） A ． B ． C ．D ． 6.将-a 移到根号内，结果是（ ）2(4)4-=222(4)4-=-A ．二. 填空题7.当x_________没有意义。
人教版初二数学下册：二次根式全章复习与巩固(提高)巩固练习
《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（提高）一、选择题1．x 是怎样的实数时，212x x --在实数范围内有意义？（ ） A. 122x x >≠且 B. 122x x ≥≠±且 C. 122x x ≠≠±且 D. 122x x ≥≠且 2．（2016•杨浦区三模）如果()21221a a -=-，那么 ( ).A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥ 3．已知443253x <<+-，那么满足上述条件的整数x 的个数是（ ）.A ．4 B. 5 C. 6 D. 74．若x ＜0，则的结果是( ).A ．0B ．-2C ．0或-2D ．2 5．5220,x y x y-++=-若则的值是( ).A ．-7B ．-5C ．3D ．76．（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）A.B.=2C.（）﹣1=D.（﹣1）2=27．小明的作业本上有以下四题： ①；②；③；④.做错的题是( ).A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．()2220,a a a a ≥--时，和相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.A.()222a a a =-≥- B. ()222a a a >->-C. ()222a a a <-<- D. ()222a a a ->=-二. 填空题9. 计算=___________.10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________.11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12. 已知最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式，则b a a b +的值为___________. 13．若m ＜0，则=___________.14.已知实数a 满足20102011a a a -+-=，则22010a -=____________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---=__________. 16．（2015•黔西南州）已知x=，则x 2+x+1= ．三 综合题17． 计算： (1) ()ab ab bab a b a ab--÷-+ (2)18. 已知：，求的值.19．（2016春•张家港市期末）若,a b 都是实数，且114412b a a =--，试求22b a b a a b a b+++-.20.（2014秋•德惠市期末）某号台风的中心位于O 地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A 在O 地正西方向与O 地相距320千米处，试问A 市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B. 2．【答案】D. 【解析】()2121221a a a -=-=- ，所以120a -≤,即12a ≥. 3．【答案】C.【解析】由原式得：4(32)4(53)(32)(32)(53)(53)x -+<<+--+所以4(32)2(53)x -<<+，因为14(32)2<-<，72(53)8<+<, 所以2,3,4,5,6,7x =. 4．【答案】D.5．【答案】D.【解析】5220,x y -++=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-. 6．【答案】B. 【解析】解：与不能合并，所以A 选项错误；B 、原式==2，所以B 选项正确； C 、原式==，所以C 选项错误； D 、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D 选项错误．故选B ．7．【答案】D.【解析】32a a 与不是同类根式，不能加减. 8.【答案】A.【解析】因为0a ≥，所以222,(),a a a a a a =-=-=-，即()222a a a =-≥-.二、填空题 9.【答案】.10.【答案】1. 【解析】()31,3133311a b a b ∴==-∴-=--=的整数部分是1，小数部分.11．【答案】①5323-<+ ②【解析】①.②又，且12．【答案】23-. 【解析】因为最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式（注意没说是同类二次根式）， 所以根指数与被开方数相同，即232122a b a b a b b a -+-=-+-⎧⎨+=-⎩即13a b =-⎧⎨=⎩.13．【答案】-m.14．【答案】2011.【解析】因为20102011a a a -+-=，所以a -2011≥0，即a ≥2011， 则原式可化简为：20102011,20112010,a a a a -+-=-=所以 即22010a -=2011. 15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a c b a c c b <<>+<-<所以原式=a a c c b b -++--=a a c c b b -++-+-=0.16．【答案】2．【解析】解：∵x=，∴x 2+x+1 =（x+）2﹣+1 =（+）2+=+=2．故答案为：2．三.解答题17.【解析】 (1) 原式=a ab ab ab ab ba ba ab+--÷-+=a ab a ba ab ab b-⨯+-=()() ()()a ab a b a ba ab b a b⋅⋅+-⨯+-=a.(2) 原式18.【解析】∴原式.19.【解析】∵114412b a a=-+-+，∴140410aa-≥⎧⎨-≥⎩，∴14a=把14a=代入114412b a a=-+-+，∴12b=∴把14a=，12b=代入22b a b aa b a b++-+-=9132222222-=-=.20.【解析】解：如图，OA=320，∠AON=45°，过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160＜240，故A市会受影响，在Rt△AHM中，MH===80∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时．答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．附录资料：巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为.9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm, BD ＝ 6cm, 则菱形的高为________.10.（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．3.【答案】D；【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.4.【答案】B；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，故可得△ABC的周长=3AB=15．5.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC＝12∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC ＝3BE ＝3. 二.填空题7.【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=. 8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ， ∴AB=BC=2cm ， ∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ， ∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ， ∴AC ：BD=1：．9.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 10.【答案】.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4， ∴BC==5，∵OE ⊥BC ，∴OE •BC=OB •OC ， ∴OE==． 故答案为．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题 13.【解析】 解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°； ∵菱形ABCD 中， AB ＝AD ∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB 连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ； DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3； 设AE ＝x ，AD ＝2x ， DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形， 证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边， ∵E 为AB 的中点，∴DE＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点， ∴DF＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF＝BE ，DF∥BE，∴四边形DFBE 是平行四边形， ∵DE＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形． 15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线， ∴BD=AC ，∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形， ∵CF ⊥BD ，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
专题04二次根式的核心知识点精讲(讲义)(原卷版)中考数学一轮复习
专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。
二次根式章节知识点题型及巩固习题
知识点一： 二次根式的概念定义：一般地，形如 品(a >0的代数式叫做二次根式。
1厂”称为二次根号。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意： 因为负数没有平方根，所以.<■丨是 E 为二次根式的前提条件，如 门」，厂 ，' - ■ ■■- 'V 等是二等都不是二次根式。
例1 •下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:-2、： 3、1、： x(x>0 )、i 0、4 2、X(x> 0，y? > 0)知识点二：取值范围a 三0时，■a 有意义，是二次根式，所以要使 a<0 时， a 没有意义。
例2 •当x 是多少时， 3x 1在实数范围内有意义？---- 1 例3 •当x 是多少时，..、2x - 3+ 在实数范围内有意义?x +1 知识点三：二次根式 需(a >0的非负性 -•a (a >0表示a 的算术平方根，也就是说，a (a >0 )是一个非负数，即.a >( a >0注：因为二次根式-..a (a 》0表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， o 的算术平方根是 o ，所以非负数 (a >0的算术平方根是非负数，即 、..a >(a >0，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
例4(1)已知y= •. 2 -x 一丿x -2 +5，求—的值.二次根式次根式，而1、 ??二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 ?二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当y ⑵若.a 1 、b T =o，求a2004+b2004的值知识点四：二次根式Qa2的性质a 2=a (a>0文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式 （j a ）=a （a >0是逆用平方根的定义得岀的结论。
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初中数学试卷桑水出品《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究. 一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”. 例（ ）A.--D.分析：a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==- C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=(a 1-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题. 追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-；④.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题 例1.x y 、6y -，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y =-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a =，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪= ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住从被23a 0-≥，可求得a 0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决. 追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-,化简并求22222a ab a abb a b+-+-的值？ 3.若2m6m 9-+xy 的值？4.的值？5.已知2014a a -+，试求2a2014-的值？ 三、逆用()2aa 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简：+ 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b==∴22a b -=-=,等，即逆用()2a a0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎝⎭=22⎛⎫=ab⋅ab ab=ab ab--=a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2a a=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21==-=点评：逆用()2a a0=≥即()2a a0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.-.2.化简：⎫3.已知：y18=的值？a=计算或化简.例1.若0m1<<111m1m⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭.分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m2m+-可以借助因式分解的方法化成21mm⎛⎫-⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m1<<2111mm mm m m-=-=-=∴原式=()()21m1m1m11m11m1m m1m m m11m1m+---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯=⎪++++⎝⎭.例2.若ab c、、为ABC的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.===点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及计算或化a =的这个二次根式的性质.a 抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2aa ；最后根据绝对值的代数意义[ 即 ()()a a 0a a a 0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩ ] 来化简. 追踪练习：1.计算：①(()211---+；②2. 实数m n 、 如图所示：请化简3. 1= a ？ 五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简例.计算：1. ))2015201544； 2.(21-； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡==++==-⎣3.原式22235⎡⎡=+-=-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想. 追踪练习： 1.计算： ①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤.))2015201622；⑥. (11-. 2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a 是1-b 5的小数部分，c abc 的值？ 分析：由..,14014123<<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c 、、的值. 略解：∵..,14014123<<<∴,,61575823-<--<<<< ∴,,a 5b 572c 2=-=-== ∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2=-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因. 追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？2.已知a b 、分别为62a b -的值？3.5+a ，5的小数部分是b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x 是6y 2的小数部分，z 是)12-的整数部分，求22x z y z -的值？ 6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表示n 表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？ 七、整体代换·巧变求值.例1. 已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了. 略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.11-m n略解：∵a b==∴()(,22ab1a b232434314==+==++=++-=2a b11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想，“两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x2=2x4x6--的值？2. 已知：,11a b22==，求：①.22a ab b-+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z--=222x y z xy xzyz++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例..分析：我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n==m n====>∴m n>∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”，通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或“=”）3.的大小.4.设a＞b＞c＞d＞0且，x y z===x、y、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x1>+分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x1+得x1>∴(1x1>∵1∴x=∴x1=-例2.解方程组：2y++分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y+=③③-②得：y=将y=+=解得：x=∴原方程组的解是xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1>+；2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-==⨯⨯==矩形的面积为：66=-=故矩形另一边长为(cm，而矩形的面积为2cm例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论：①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为，故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥==求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD 1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内 （阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。
二次根式的加减(基础)巩固练习
二次根式的加减--巩固练习（基础）一.选择题 1.下列根式中，与是同类二次根式的为（ ）A ．B ．C ．D ．2.下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3.下列计算中，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．4. 若，则的值等于（ ）A. 4B.C. 2D.5.计算(3等于（ ）A ．7 B. 6.下列计算正确的是（ ）A. 2=a b +=a b =+ D. 二. 填空题 7．化简基础训练：__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；8.若最简二次根式与是同类二次根式，则.9. 当a =_________10. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.11. 计算12.101100103103）（）（-+=________________. 三 综合题 13.计算：（1）（2）()1212328-⎪⎭⎫⎝⎛+--14.化简求值：214,9x y ==.15.已知251,251+=-=b a ，求722++b a 的值【答案与解析】一.选择题1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B3=== 4．【答案】C【解析】先化简再解方程。
原式=10=2=，2x = 5.【答案】B【解析】原式=6+6．【答案】D 二.填空题7.【答案】8.【答案】1,1a b == 【解析】12125341a a ab a b +=∴=+=+∴=又9.【答案】6【解析】21376a a a -=-∴= 10.【答案】【解析】82===∴=周长11．【答案】【解析】(123==-+= 12.【答案】3三.解答题13.【解析】（1）÷（ （2）()1212328-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=14.【解析】1x x+2+=2+14,9x y ∴==代入得，原式=1+1=2 15.【解析】52,2a b =+=5==。
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】二次根式（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1.若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为( )A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ≠ 0D ．x ≥0且x ≠ 12.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1 C ．8的立方根是2±D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4.（2015•荆门）当1＜a ＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）A. -1B.1C. 2a ﹣3D. 3﹣2a5. 若，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 6.将a a --中的a 移到根号内，结果是（ ）A ．3a -- B. 3a - C.3a - D.3a二. 填空题7（2016春•广水市期末）若是正整数，则最小的整数n 是 ． 8.若，则____________；若，则____________.9.已知，求的值为____________10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12. （2016•乐山）在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+|a ﹣2|的结果为 ．三 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值.14. 若时，试化简.15. （2015春•靖江市校级月考）（1）已知y=﹣+8x ，求的平方根． （2）当﹣4＜x ＜1时，化简﹣2．【答案与解析】一、选择题1．【答案】 D.【解析】 由二次根式和分式的性质可知：被开方数要大于等于0，分母不等于0，即x ≥0，10x -≠， 所以选D.2．【答案】 B.3．【答案】 D.【解析】选项A: 4=2是有理数；选项B: 1y x =-的x 的取值范围是x>1; 选项C: 8的立方根是2；选项D:因为(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，所以3,2a b ==，及5a b +=,所以选D. 4．【答案】B.【解析】∵当1＜a ＜2时，∴a ﹣2＜0，1﹣a ＜0，∴+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1． 故选：B ．5．【答案】D.【解析】 因为=22(4)a +222(4)4A a a =+=+.二、填空题7.【答案】3． 【解析】=4，∵是正整数，∴3n 是一个完全平方数．∴n 的最小整数值为3．8.【答案】m ≤0；a ≥13. 9.【答案】5. 【解析】23100x x x -+=∴≠13,x x ∴+=即21()9x x += 2217x x ∴+=，即原式=725-=. 10.【答案】3【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11．【答案】 11(1)22n n n n +=+++ 12.【答案】3. 【解析】由数轴可得：a ﹣5＜0，a ﹣2＞0，则+|a ﹣2|=5﹣a +a ﹣2=3．故答案为：3． 三、解答题13.【解析】因为1+21122y x x =-+-，所以2x-1≥0,1-2x ≥0，即x=12，y=12， 则2234x xy y ++=. 14.【解析】 因为， 所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-.15.【解析】解：（1）∵y=﹣+8x ，∴2x ﹣1=0，解得x=，∴y=4，∴==4，故的平方根是±2．（2）∵﹣4＜x＜1，∴﹣2=|x+4|﹣2|x﹣1|=x+4+2（x﹣1）=x+4+2x﹣2=3x+2．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
专题04 二次根式(原卷版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a （a≥0）是一个非负数；判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．1.≥0； a≥0（双重非负性）．2.2()a a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．3.＝|a|＝（算术平方根的意义）1.二次根式的化简：（1）利用二次根式的基本性质进行化简；（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b ＞0）2.化简二次根式的步骤：（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1.积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）3.商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．1.分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有意义，则若代数式有意义，则实数若代数式在实数范围内有意义，则实数计算等于（ ）．化简的结果为下列何者（ ）3．．．在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝考向三二次根式的乘除法．（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（ ）．×＝．﹣＝﹣÷＝﹣计算：＝ ．＝计算：（﹣++（）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）．．．．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）．．．．+2＝2．+＝．÷＝．+＝计算的结果是2 ．．．．．﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式÷里面的计算：÷×2﹣6．若，，则＝（ ）．．＝++，则的值是 ．＜的正整数解的个数有（ ）（精确到个位，参考数据：≈4.581．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．3．（2023•上海）下列运算正确的是（ ）A．a5÷a2＝a3B．a3+a3＝a6C．（a3）2＝a5D．＝a4．（2020•荆州）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）A．B．﹣1C．D．（多选）5．（2021•潍坊）下列运算正确的是（ ）A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝C．＝D．＝26．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）A．与B．与C．与D．与7．（2023•西宁）下列运算正确的是（ ）A．B．．．＝+12要使二次根式有意义，则为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知为正整数，若是大于计算：×的结果为计算：＝ 计算：﹣＝ （）﹣）（+）（﹣）则计算：．+，+2，+3的正方形面积分别记为+）+）+）+）•a3+2n的正方形面积记作。
二次根式(提高-巩固练习)
二次根式（提高） 撰稿： 赵炜 审稿： 杜少波【巩固练习】一、选择题 1.若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为( ) A ．x ＞0 B ．x ≥0 C ．x ≠ 0 D ．x ≥0且x ≠ 12.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1 C ．8的立方根是2±D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 已知a,b,c 在数轴上的位置如右图所示，则代数式( )A. 2c a -B.32a b --C. c a --D. a5. 若，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ．6.将a a --中的a 移到根号内，结果是（ ）A ．3a -- B. 3a - C.3a - D.3a二. 填空题7.当x_________时，式子31x x --没有意义。
8.若，则____________；若，则____________. 9.已知，求的值为____________10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12.x 取何值时，函数在实数范围内有意义？y=2||12--x x ,_______________________. 三 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值.14. 若时，试化简.15.已知一次函数(2)1y a x =-+的图象不经过第三象限，化简224496a a a a -+--+的结果是多少？【答案与解析】一、选择题1．【答案】 D. 【解析】 由二次根式和分式的性质可知：被开方数要大于等于0，分母不等于0，即x ≥0，10x -≠， 所以选D.2．【答案】 B.3．【答案】 D.【解析】选项A: 4=2是有理数；选项B: 11y x =-的x 的取值范围是x>1; 选项C: 8的立方根是2；选项D:因为(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，所以3,2a b ==，及5a b +=,所以选D. 4．【答案】C.5．【答案】D.【解析】 因为=22(4)a +222(4)4A a a =+=+. 6．【答案】B.二、填空题7.【答案】10x =或x<1.【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x<1时无意义；因为310x -≠，所以10x ≠，即无意义时x=10.8.【答案】m ≤0；a ≥13. 9.5【解析】23100x x x -+=∴≠13,x x ∴+=即21()9x x += 2217x x ∴+=，即原式=725-=. 10.【答案】3 【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11．【答案】 11(1)22n n n n +=+++ 12．【答案】 x ≥122x ≠且 【解析】 121020, 2.2x x x x --≠≠≥，∴≥，且.三、解答题13.【解析】因为1+21122y x x =-+-，所以2x-1≥0,1-2x ≥0，即x=12，y=12， 则2234x xy y ++=. 14.【解析】 因为，所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-.15.【解析】 因为一次函数(2)1y a x =-+的图象不经过第三象限所以20a -<，即2a <；224496a a a a -+-+23231a a a a ---=--+=-.。
专题01 二次根式及其运算知识基础巩固+技能提升(原卷版)
专题01 基础巩固 + 技能提升【基础巩固】1. （2020·荆州市月考）下列说法错误的是（）A ．2a 与()2a -相等B 与C ．D ．a 与a -互为相反数2．（2020·个按键的功能．：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②1/x ：将荧幕显示的数变成它的倒数；小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（ ）A B ．100C ．0.01D ．0.13．（2021·四川达州期末）若,x y 为实数，且满足26||0x y --=，则2021x y æöç÷èø的值是________．4．（2020·北京月考）已知3m =，则2019()m n +的值为______．5．（2021·是同类最简二次根式，则a b -=________．6．（2020·克东县期中）当x x 2﹣4x +2017=________．7．（2021·江苏扬州市期末）已知5y x =+，当x 分别取1、2、3、…、2021时，所对应y 值的总和是_____．8．（2020·浙江杭州市期中）已知ABC V 的三边长分别为1，k ，3，则化简9-的结果是_______．9．（2020·北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： ?+=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.10．（2021·a ，小数部分是b ，求a b 的值．11．（2021·2++-12．（2021·云南曲靖市期末）先化简，再求值：2241244x xx x x-æö-¸ç÷--+èø，其中2x=-13．（2020·浙江杭州期末）计算：（13-+（2）(222++14．（2021·浙江绍兴市期末）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．（1）如图①，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝1，CD＝2，求高AD的长；（2）如图②，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝3-，求证：△ABC是勾股高三角形．+．15．（2020·c16．（2019·南阳市月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向点C停止，已知点A表示，点C表示2，设点B所表示的数为m．（1）求m的值（2）求1m++的值（3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有个=，17．（2020·成都市温江区月考）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题1==-，…（1＝ ；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论，求下列式子的值：)L．+++×+18．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝m，∠A＝60°，求该块草地的面积．19．（2021·江苏南通市期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；===．（2）用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明．20．（2019·兰州市期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得22m+===±（a＞b），这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12+==即227=+2（1＝ ，＝ ；（2．21．（2020·2）﹣2）＝1＝a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们＋1﹣1，＋2中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：；（3的大小，并说明理由．22．（2020·江苏盐城市期中）先观察下列等式，再回答问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+；（1(直接写出结果)（2）根据上述规律，解答问题：设...m =+++，求不超过m 的最大整数是多少？【拓展提升】1.（2020·相反数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a ＝2，b ＝2，则a 、b 是互为倒数．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2020·偃师市月考）设a 的小数部分，b 的小数部分，则21b a -的值为（ ）A 1-B 1+C 1-D 13．（2021·湖南邵阳市期末）若表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简a b -+的结果等于（ ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a4．（2020·四川期末）化简，正确的是（ ）A B C D5．（2020·浙江杭州市）化简二次根式 的结果是（ ）A B C D6．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内，得________7．将(0)a a -<化简的结果是___________________.8．（2020·北京期中）我们学完二次根式后，爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算22，23-的值，我们可以算122，233的值吗？金老师说：也是可以的，你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后，发现了这样的结论：0)n m a a =³，例如：122=，3248===，那请你根据以上材料，写出123=____________，238=___________.9．（2020·龙口市期中）已知实数a 满足|2014-a a ，那么a -20142+1的值是______ ．10．（2020·灌南县月考）已知a 满足2019a a -+=．（1有意义，a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析，求22019a -的值．11中发现：首先把437+=，4312´=，即：227+=，=，所以2====问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +==﹐那么便有：=__________．（3（请写出化简过程）12．（2020·广东茂名市月考）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：的大小．可以先将它们分子有理化如下：==>+<-再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+³-³可知2x³，而y==当2x=2，所以的最大值是2．解决下述问题：（1）比较4-和（2）求y=的最大值和最小值．13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a ，b ，则面积为12ab ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +³，当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +³中，若0a >，0b >代替a ，b 得，a b +³，即2a b +³（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求代数式的最小值．我们以“已知x 的最小值”为例给同学们介绍．=+，0>0>，+³==时取等号，即当x =时，最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a b a b +³>>求最值，若ab 为定值，则+a b 有最小值．请同学们根据以上所学的知识求下列代数式的最值，并求出取得最值时相应x 的取值．（1）若0x >，求22x x+的最小值；（2）若2x >，求12x x +-的最小值；（3）若0x ³。
《二次根式》章末复习(基础巩固)-2020-2021学年八年级数学下册要点突破与同步训练(人教版)
1第十六章 二次根式16.4 《二次根式》章末复习（基础巩固）【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122);;)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a . （32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2()a 的异同2a a 可以取任何实数，而2)a 中的a 必须取非负数；2a a ，2a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2a 2)a .23. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.222,,3,ab x a b +最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.2882228.要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法=(0,0)a aa b b b≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则. 如a b c d ac bd =（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）. (4)(9)49-⨯-≠--. 2.加减法3将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.23252(135)22=+-=-【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质例1． 当________3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥a 才是二次根式.举一反三242x x =-成立的条件是 . 2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)例2．当0≤x <121x x -的结果是__________. 【答案】 1.【解析】因为x ≥0，2x x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-， 21x x -=x +1-x =1.【总结升华】2a a ，同时联系绝对值的意义正确解答.举一反三4【变式】已知﹣=2，则+的值为___________．【答案】5. 解：∵﹣=2， ∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9， 化简，得x 2=，∴+=+=5．故答案为：5．例3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A. 14 B. 48 C. abD. 44a + 【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算 例4．下列计算正确的是（ ） A ．﹣=B ．3×2=6C ．（2）2=16 D ．=1【答案】B. 【解析】解：A 、不能化简，所以此选项错误； B 、3×=6，所以此选项正确；5C 、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D 、==，所以此选项错误；故选B ．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三 【变式】计算：4854453)833【答案】243610例5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.+⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.例6.已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)13133313x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.6举一反三【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.【巩固练习】一.选择题1．下列式子一定是二次根式的是( ). A ．B ．C ．D ．2.若21,a a=-则a 应是（ ）.A. 负数B. 正数C. 非零实数D. 有理数 3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．下列说法正确的是( ). A ．若，则a ＜0 B ．C ．D ．5的平方根是5．5220,x y x y -++=-若则的值是( ). A ．-7 B ．-5 C ．3 D ．7 6．下列各式中，最简二次根式是（ ）.A.1x y - B.ab C.21x + D.25a b 7．下列各式计算正确的是（ ）A.+= B.4﹣3=1 C. 2×3=6D.÷=378．把1()()a b a b a b--<-化成最简二次根式，正确结果是（ ）.A.b a -B.a b -C.a b --D.b a -- 二. 填空题 9. 计算11(124)(240.5)83---=___________. 10.设m=+1，那么1m m+的整数部分是 ． 11．比较大小：23____13. 12. 已知最简二次根式43a b +b+1与2a-b+6是同类二次根式，则a b +的值为___________.13．已知20,_______a b a a b <<--=化简.14．249213a a a a +--+-+-的值等于 ___________. 15．已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a ﹣b|为______．16．在实数范围内因式分解：(1)44a a ++=___________________. (2)=_________________.三. 综合题 17．计算： (1)(2) 23232327264b a ab a a ba-+818.已知x=，y=，求的值．19．先化简代数式(1)1aa +÷-，然后当4a =时，求代数式的值.20. 若x ，y 是实数，且，求的值.9【答案与解析】 一.选择题 1．【答案】 C.【解析】满足二次根式必须被开方数大于等于0，因为x 没有取值范围，所以只有中无论x 取何值22x +≥0，即选C. 2．【答案】 A. 【解析】 2a a =，所以21a a a a==-，即a a =-，又因为a 0≠，所以a 是负数.3．【答案】C . 【解析】解：A 、=2与被开方数不同，故不是同类二次根式，故A 选项错误；B 、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故B 选项错误；C 、与被开方数相同，是同类二次根式，故C 选项正确；D 、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故D 选项错误． 所以选C. 4．【答案】C . 5．【答案】D .【解析】5220,x y -++=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-. 6．【答案】C .【解析】只有选项C 满足被开方数是整数或是整式；且被开方数中不含能开方的因式或因数.7．【答案】D. 【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误， B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误， D.=，此选项正确，10故选D ． 8.【答案】 D. 【解析】21()()()()a b a ba b a b a b a b a b a b----=--=-----，因为a b <，所以原式=()a b b a ---=--.二.填空题 9. 【答案】4323+. 10.【答案】3. 【解析】 解：∵m=+1， ∴1m==，∴1m m+=+1+=∵2＜＜2.5 ∴10＜5＜12.5 ∴13＜5+3＜15.5 ∴3＜＜＜15.5÷4＜4∴1m m+的整数部分为3． 故答案为：3． 11．【答案】<. 12．【答案】2. 43a b +与2a-b+6124326b a b a b +=⎧⎨+=-+⎩,解方程组得11a b =⎧⎨=⎩. 13．【答案】b -.2a a b a a b -=--，又因为0a b <<，11 所以原式=()a b a a b a b ---=--+=-.14．【答案】0.【解析】因为2a -≥0，即2a ≤0，即0a =，所以原式=0.15．【答案】2a+b ﹣1.【解析】∵从数轴可知：﹣1＜a ＜0＜1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴+2﹣|a ﹣b|=a+1+2（b ﹣1）﹣（b ﹣a ）=a+1+2b ﹣2﹣b+a=2a+b ﹣1.故答案为：2a +b ﹣116．【答案】(1)2(2)a +;(2)三、解答题17.【解析】 (1) 原式=(2) =2ab 3a 332ab a ab a -+原式=532aba .18.【解析】解： 原式==当x=，y=时，12 原式===﹣．19.【解析】原式=11111a a a a a a a -+÷=⨯=+--.20.【解析】∵x-1≥0， 1-x ≥0，∴x=1，∴y ＜.∴=.。
北师大版初中数学八年级上册知识讲解巩固练习题二次根式(提高)
二次根式—知识解说〔提升〕【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的观点，认识被开方数是非负数的原因 .2、理解并掌握以下结论： a≥0，〔a≥0〕，〔a≥0〕，〔a≥0〕，并利用它们进行计算和化简．【重点梳理】重点一、二次根式的观点一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“〞称为二次根号．重点解说：二次根式的两个因素：①根指数为2；②被开方数为非负数.重点二、二次根式的性质a≥0，〔a≥0〕；2.〔a≥0〕；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即〔a≥0，b≥0〕.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即a a(或ab ab)〔a≥0，b>0〕.b b重点解说：1〕二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数能够写成它的算术平方根的形式，即a(a)2(a≥0〕.（2〕a2与(a)2要注意差别与联系：①a的取值范围不一样，( a)2中a≥0，a2中a为随意值。
②a≥0时，( a)2=a2=a；a<0时，(a)2无心义，a2=a.重点三、最简二次根式1〕被开方数的因数是整数，因式是整式；2〕被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.重点解说：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种状况：1)被开放数是分数或分式；2〕含有能开方的因数或因式.【典型例题】种类一、二次根式的观点1．当x是__________时，+在实数范围内存心义？【答案】x≥-且x≠-1【分析】依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内存心义.【总结升华】本题综合考察了二次根式和分式的观点.贯通融会：【变式】方程4x 8x y m 0，当y0时，m的取值范围是〔〕A．0m1 B.m≥2 C.m2 D.m≤2【答案】C.种类二、二次根式的性质依据以下条件，求字母x的取值范围：(1)；(2).【答案与分析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.贯通融会：【变式】〔2021春?铁东区校级月考〕问题研究：由于，因此，由于，因此请你依据以上规律，联合你的以验化简以下各式：〔1〕；〔2〕．【答案】解：〔1〕==；2〕=．〔2021春?江津区校级月考〕我们能够计算出①=2=；=3并且还能够计算=2==3〔1〕依据计算的结果，能够获得：①当a＞0时= a；②当a＜0时=．〔2〕应用所得的结论解决：如图，a，b在数轴上的地点，化简﹣﹣．【思路点拨】〔1〕直接利用a的取值范围化简求出答案；〔2〕利用a，b的取值范围，从而化简二次根式即可．【答案与分析】解：〔1〕由题意可得：①当a＞0时=a；②当a＜0时=﹣a；故答案为：a，﹣a；〔2〕以以下图：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，那么﹣﹣=﹣a﹣b+〔a+b〕=0．【总结升华】本题主要考察了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题重点．种类三、最简二次根式4.化简：11 (1)223918【思路点拨】此类题型为规律题型，应当是在分母有理化的根基上找寻规律.【答案与分析】原式1(21)1(32)1〔9-8〕=(23)(32)...9-8〕(12)(21)〔8+9)(=213 2 (98)91=2【总结升华】找出规律，是这一种类题的特色，要总结此类题型并加以记忆.贯通融会：【变式】假定23的整数局部是a，小数局部是b，求a2abb2的值.23【答案】(23)(23)2原式=3)(2=〔2+3〕=7+43(23)又由于整数局部是a，小数局部是b那么a=13，b=436a2ab b213213 (4 3 6) (4 3 6)2=331 1003二次根式—牢固练习〔提升〕【牢固练习】一、选择题1.〔2021?贵港〕式子在实数范围内存心义，那么x的取值范围是〔〕A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥12.使式子存心义的未知数x有()个A．0B．1C．2D．无数3.以下说法正确的选项是〔〕A．4是一个无理数1B．函数y的自变量x的取值范围是x≥1x1C．8的立方根是2D.假定点P(2,a)和点Q〔b，-3)对于x轴对称，那么 a b的值为5.4.〔2021?蓬溪县校级模拟〕以下四个等式：①(4)24；②〔﹣〕2=16；③〔〕2=4；④(4)24．正确的选项是〔〕A.①②B.③④C.②④D.①③5.假定，那么等于〔〕A．B．C．D．6.将 a a中的a移到根号内，结果是〔〕A．33C.3D.3 a B.a a a二.填空题7.当x_________时，式子x没存心义。
二次根式的加减(基础)巩固练习
二次根式的加减--巩固练习（基础）一.选择题 1.下列根式中，与是同类二次根式的为（ ）A ．B ．C ．D ．2.下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3.下列计算中，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．4. 若，则的值等于（ ）A. 4B.C. 2D.5.计算(32)(23-+）等于（ ）A ．7 B. 6-6+33-22 C.1 D. 6+33-22 6.下列计算正确的是（ ）A. 2=b a b ++(a ）B. a b ab +=C.22+a b a b =+D. 1aa a= 二. 填空题 7．化简基础训练： __________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；8.若最简二次根式与是同类二次根式，则.9. 当a =_________217a a --与-310. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.11. 计算 1348312312.101100103103）（）（-+=________________. 三 综合题 13.计算：（1）11(318504)52-32（2）()1212328-⎪⎭⎫⎝⎛+--14.化简求值：3142y xx y x 14,9x y ==.15.已知251,251+=-=b a ，求722++b a 的值【答案与解析】一.选择题1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B27327393=÷==4．【答案】C【解析】先化简再解方程。
原式=322210x x x =22x =，2x = 5.【答案】B【解析】原式=633226+6．【答案】D 二.填空题7.【答案】2332;25;33;42;43;52;628.【答案】1,1a b == 【解析】12125341a a ab ab +=∴=+=+∴=又9.【答案】6【解析】21376a a a -=-∴= 10.【答案】【解析】82===∴=周长11．【答案】【解析】(123==-+= 12.【答案】3-三.解答题13.【解析】（1）÷ （2）()1212328-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=14.【解析】12x x++2+2+14,9x y ∴==代入得，原式=1+1=215.【解析】52,2a b =+=5==。
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专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升【基础巩固】1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．1≥xC ．1x >D ．1x ≤2．（2020·山西月考）计算：(21-=_____．3．（2020·=______．4．（2020·官成镇月考）使式子x有意义的实数x 的取值范围是__________．5．（青岛月考）若2,,4m =__________．6．（2020·=___________．7．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为边为_________．8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______．9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =，则x y +的立方根为_______．10．（2020·四川月考）若24y x =-，则x 的取值范围是__________．11．当a=__________和可以合并．12．（2020·辽宁锦州市期中）数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________13．（2020·平远县期中）(11224-⎛⎫ ⎪⎝⎭14．（2020·甘肃兰州市期中）计算 （1）（2）﹣1））﹣（1﹣2．15．（2019·广东月考）如图A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简：a b -16()()2233+===+-互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1的有理化因式是________2的有理化因式是________． （2）将下列式子进行分母有理化：=________=________． （32013++．17．（2020·湖南广益月考）已知关于x 的方程12111x x -=--的解比2121kx k x x--=-的解多1，求2(k +的值．18．（2020·江苏南通月考）计算（1）|2||1-（2(-（3）（4）⎛÷ ⎝19．（1）计算：⎛ ⎝（2)0112-+-．【技能提升】1. 计算（1×+）﹣（1×+ ）A ．12B C D ．22. 若5x =-，则2102x x +-的值为（ ）A ．+1B ．C ．﹣13D ．13．（2020·洛阳市月考）若要说明＝3m ”是错误的，则m 的值可以为_____（写出一个m 的值）．4．（2020·上海市月考）已知x ，y 3=，则x y =_______________；5．（2020·浙江杭州市月考）已知a 是实数，且满足(0a -=，则代数式2241a a -+的值是___________．6．（2020·，则x 的取值范围是_____．7．（2020·渠县月考）若a 的倒数是的相反数是0，c 是－1的立方根，则c a b a b b c c a++---＝____________． 8．（2019·浙江月考）对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．9．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内，得________10．（2019·辽宁葫芦岛市期中）若32x -≤≤时，试化简：2x -11．（2020·上海市月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +====（a b >）．．12．（2020·重庆市期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 化简：221212121121(21)(21)(2)1---====-++--， 则3232=-+，4343=-+，5454=-+（1）请直接写出下列式子的值：65=+ ；10099=+ ．（2）请利用材料给出的结论，计算：21324310099++++++++的值；（3）请利用材料提供的方法，计算31537510199++++++++的值．13．先化简，再求值：2a 12a a +-+，其中a 1010=．如图是小亮与小芳的解答过程：（1）________的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：2a =________()a 0<；（2）先化简，再求值：2x 2x 4x 4+-+，其中x 2020=-．14．阅读下列解题过程：1；-2…则：（1＝ ；＝ ；（2＝ ；（3的大小．15．（2020·==也成立，因此他认为一===2=是正确的． （1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；（2=成立的条件；（3=是否成立，如果成立，说明成立的条件．16．（2020·四川成都期中）请计算下列各题． （1）已知x =，y =，若x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，求ax by +的平方根．（2）已知a ，b ，c 数轴上对应的点如图所示，图中O 为原点，化简：2||b c +．17．（2020·四川期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：a 、b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b ==>．7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+=312，27437212(43)23．由上述例题的方法化简：（1（2（318．（2020·高台县月考）化简、计算：（1．（2=-= 19．（2020·广东佛山月考）先阅读，再解答:由222可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是_______；=_____．（直接写结果）(2)>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+20．（2019·山西阳泉市模考）观察下列各式及证明过程：============（1 （2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为正整数，且1n ≥）表示的等式．21．（2020·河南南阳市月考）若x ，y 为实数，且y 12．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．22．若a ，b 都是正整数，且a ＜b 是可以合并的二次根式，是否存在a ，b ，a ，b 的值；若不存在，请说明理由．23．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a ，b ，则面积为12ab ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中，若0a >，0b >代替a ，b 得，a b +≥2a b +≥（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知x 为实数，求2y =”为例给同学们介绍．解：由题知2y ==0>0>，∴y =≥==时取等号，即当x =时，函数的最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a b a b +≥>>求最值，若ab 为定值，则+a b 有最小值． 请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x 的取值．（1）若0x >，求函数22y x x =+的最小值； （2）若2x >，求12y x x =+-的最小值；（3）若0x ≥，求函数y =的最小值．24．（2019·四川师范大学附属中学月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1+...+（2）已知 m 是正整数， ab 且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ．（31=25．（2020·灌南县月考）已知a 满足2019a a -=．（1有意义，a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析，求22019a -的值．。