矩阵位移法的计算步骤及示例

单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
12
由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。
1
2
3
⎡ 4EI
2 EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
30 32 35 36 37
（2）形成局部坐标系中的单刚34
先将所需有关数据计算如下：
EA = 500 ×103 kN/m l
6EI = 24 ×103 kN l2
2EI = 32 ×103 kN ⋅ m l
12EI = 12 ×103 kN/m l3 4EI = 64 ×103 kN ⋅ m l
1 −2 2 −2 2
−2 2 22 22
−2
⎥ 2⎥
2
2
⎥ ⎥
2 2 ⎥⎦
FPl
⎪⎪ ⎨
EA⎪
1.60738⎪⎪⎪⎬1=
⎪⎩−.0384⎪⎭97
⎧−0.6442⎫
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
0.60442⎪⎪⎪⎬FP
⎪⎩ 0 ⎪⎭
（拉力）
31
(3)
F
= T ( 3)k( 3)δ ( 3)
=
T
(
3
)k
(
3
)
⎨⎧Δ4
1
2
3
4
K
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
k (2) 11
0
⎡2 2
⎢
k (2)
=
EA
⎢ ⎢
2
2
8l ⎢⎢− 2 2
⎢⎣− 2 2
0
22 22 −2 2 −2 2
1
−2 2 −2 2 22 22
2
−2 2⎤ 0
⎥
−2
2
⎥ ⎥
0
2
2
⎥1 ⎥
2 2 ⎥⎦ 2
计算结构坐标系中的单刚
26
单元(3)： θ (3) = 90D
sin θ = 1 cosθ = 0
⎫ ⎬ ⎭
=
FP l EA
⎧ 1.67381 ⎫ ⎩⎨− 0.38497⎭⎬Δ2=⎩ Nhomakorabea⎧uv22
⎫ ⎬ ⎭
=
0
Δ3
=
⎩⎨⎧uv33
⎫ ⎬ ⎭
=
0
Δ4
=
⎩⎨⎧uv44
⎫ ⎬ ⎭
=
0
（6）计算各杆轴力
29
( 1)
F
= T (1)k (1)δ(1)
=
T
(1)
k
(1)
⎨⎧Δ2
⎫ ⎬
⎩Δ1 ⎭
⎡ 3/2 1/2 0 0 ⎤ ⎡ 3 3 −3 − 3⎤ ⎧ 0 ⎫
各单元的杆端弯矩为：
F (1)
=
k (1 )δ (1 )
=
k
(
1
)
⎧θ ⎩⎨θ
1 2
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡8 ⎢⎣4
4⎤ 8⎥⎦
×
10
4
kN
⋅
⎧ 1.78 ⎫ m⎨ ⎬
⎩- 3.57⎭
×
10
−3
=
⎧ ⎩⎨−
0⎫ ⎬kN
214⎭
⋅
m
18
F(2)
=
k ( 2 )δ ( 2 )
+
F (2) F
=
k
(
2
)
⎧θ ⎩⎨θ
=
⎪⎪ ⎪⎨−
0.07699⎪⎪⎪⎬FP
⎪⎩ 0 ⎪⎭
（压力）
矩阵位移法示例3
32
试求图示刚架的内力。各杆材料及截面均相 同，E＝200GPa，I = 32×10-5m4，
A＝1×10-2m2。
（1）对结点和单元进行编号 33
此题采用后处理法，结点位移分量编号、结 构坐标系、各单元的局部坐标系如图所示。
+
(e)
FF
杆
调
端 输力 出计
算
子 程 序
用 矩 阵 乘
和
法
生 成 子 程 序
调 用 单 元 刚 度
调
子 程 序
用 座 标 转
换
调 成用 子固 程端 序力
生
矩阵位移法示例1
9
试用矩阵位移法计算图示的三跨连续梁，绘 出M 图。设EI = 常数。
（1）对结点和单元进行编号 10
对于连续梁来说，各单元的整体坐标系和局 部坐标系重合，因而没有坐标变换问题。本 题采用右手坐标系。
⎪⎪⎬FP ⎪
⎪⎩ 0 ⎪⎭
（拉力）
30
(2)
F
=T(2)k(2)δ (2)
=
T(
2)k(
2
)
⎩⎨⎧ΔΔ13
⎫ ⎬ ⎭
⎡ 2/2
=⎢⎢⎢− ⎢
2/ 2 0
⎢⎣ 0
2/2 0 2/2 0 0 2/2 0 − 2/2
0 ⎤ ⎡ 2 2 2 2 −2 2 −2 2⎤ ⎧ 0 ⎫
⎥⎢ 0 ⎥EA⎢ 2 2/2⎥⎥ 8l ⎢⎢−2 2 2/2⎥⎦ ⎢⎣−2 2
2 3
⎫ ⎬ ⎭
+
F (2) F
=
⎡4 ⎢⎣2
2⎤ 4⎥⎦
× 10 4
kN
⋅
⎧m⎨
3.57⎫ ⎬
×
10
−3
⎩ 2.86 ⎭
+
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬
=
⎧ 214 ⎫ ⎩⎨− 257⎭⎬kN
⋅
m
19
F (3)
=
k ( 3 )δ
(3)
=
k
(
3
)
⎧θ ⎩⎨θ
3 4
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡12
⎢ ⎣
6
6⎤ 12⎥⎦
×10
4
kN
⋅
⎧ 2.86 ⎫ m⎩⎨- 1.43⎭⎬
×
10
−3
=
⎧257⎫
⎨ ⎩
0
⎬kN ⎭
⋅
m
连续梁的最后弯矩图
20
矩阵位移法示例2
21
试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。单元 ①、② 的截面面积为A，单元③的截面面积 为2A，各杆E 相同。
（1）对结点和单元进行编号 22
解：（1）对结点和单元进行编号并选定整体 坐标系和局部坐标系。各杆杆轴上的箭头方 向为方向，此题采用前处理法，对结点位移 分量编号时位移为零的一律编为零码。
F = (0 − 3.0 3.0 0)T ×102 kN ⋅ m
12
（5）解方程求未知结点位移 16
KΔ = F
⎧θ1 ⎫ ⎧ 1.78 ⎫
Δ
=
K
−1F
=
⎪⎪⎪⎨θθ32
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎪⎪ ⎨
−
3.57⎪⎪ ⎬
×10−3
rad
⎪ 2.86 ⎪
⎪⎩θ4 ⎪⎭ ⎪⎩−1.43⎪⎭
（6）计算各单元杆端弯矩 17
度 矩 阵 集 成
生 成 子 程 序
k调 e
用 单 元 刚 度
λ元e 调
子 程 序
、 坐 标 信
用 结 点 、
息单
整体分析
7
F荷
e
F F调
载
成用
矩
子固
阵
程端
集
序力
成
生
T
e
调
Fe
=调
T
−T e
e
FF
子 程 序
用 座 标 转
子 程 序
用 矩 阵 相
换
乘
单元分析
8
(e)
F
=
(e)
kT
δ (e) (e)
=
EA l
⎡0.72855 ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 1 2.47855⎥⎦ 2
（5）解算结构刚度方程
28
解算结构刚度方程，求出结点位移
EA ⎡0.72855 l ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 2.47855⎥⎦
⎩⎨⎧uv11
⎫ ⎬ ⎭
=
⎨⎧FP ⎩0
⎫ ⎬ ⎭
Δ1
=
⎩⎨⎧uv11
k (e)
=
T
(e)T
k
(e)
T
(e)
0 01 2
⎡3
3 − 3 − 3⎤ 0
⎢
k (1)
=
EA 8l
⎢ ⎢ ⎢
3 −3
1 −3 −3 3
−1
⎥ ⎥
0
3
⎥ ⎥
1
⎢⎣− 3 −1 3 1 ⎥⎦ 2
计算结构坐标系中的单刚
25
单元(2)： θ (2) = 45D
sin θ = 2 / 2 cosθ = 2 / 2
⎫ ⎬
⎩Δ1 ⎭
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤ ⎧ 0 ⎫
=
⎢⎢−1 ⎢0
⎢ ⎣
0
0 0 0
0 0 −1
0⎥⎥ EA⎢⎢0 1⎥ 8l ⎢0 0⎥⎦ ⎢⎣0
16 0 −16
0 0 0
−16⎥⎥
0⎥
16
⎥ ⎦
FPl EA
⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎨ ⎪
1.67381
⎬ ⎪
⎪⎩− .038497⎪⎭
=
⎧ 0.7699 ⎫
18 19 20 23 24 25
（2）形成局部坐标系中的单刚23
桁架各杆单元的单元刚度矩阵为4×4阶的， 即：
⎡ 1 0 −1 0⎤
(e)
k
=
EA(e) l (e)
⎢ ⎢
0
⎢− 1
0 0
0 1
0⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
（3）计算结构坐标系中的单刚 24
单元(1)：θ (1) = 30D sin θ = 1/ 2 cosθ = 3 / 2
=⎢⎢⎢⎢−10/2 ⎢⎣ 0
3/2 0
⎥⎢ 0 ⎥ EA⎢ 3
1 −3
0
3/2
1/2
⎥ ⎥
8l
⎢ ⎢
−3
−3
3
0 −1/2 3/2⎥⎦ ⎢⎣− 3 −1 3
−1 3 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
FPl
⎪⎪ ⎨
0
⎪⎪ ⎬
EA⎪ 1.67381⎪
⎪⎩−.03849⎪⎭7
⎧− 0.6285⎫
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
0 0.6285
37
k (2)
= k (3)
=
T
(3)T
k
(3)
T
(3)
⎡ 12 0 − 24 −12 0 − 24⎤
⎢ ⎢
0
500
0
0
− 500
0
⎥ ⎥
=
103
⎢−
⎢ ⎢
−
24 12
0 0
64 24
，
24 12
0 0
32 ⎥
24
⎥ ⎥
⎢ 0 − 500 0 0 500 0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 24 0 32 24 0 64 ⎥⎦
（3） 计算结构坐标系中的单刚 36
单元②和③ θ(2) = θ(3) = 90D
cosθ = 0 sin θ = 1
坐标转换矩阵为：
⎡0 1 0
⎤
⎢⎢−1 0 0
0
⎥ ⎥
T (2)
= T (3)
=
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
⎢
0 1 0⎥
⎢0 ⎢
−1 0 0⎥ ⎥
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
计算结构坐标系中的单刚
分F析求 e 各 单 元 杆 端 力
计 算 结 果 输 出
结 束
离散化
4
数
变
建
元生
据
量
立
、成
文 件
明
和 数
输 入
坐结 标点
准
组
文
信、
备
说
件
息单
单元分析
5
e
生 成 子 程 序
k
调 用 单 元 刚 度
T
e
调
ke
=
T调
eT
k
e
T
e
子 程 序
用 座 标 转
子 程 序
用 矩 阵 相
换
乘
整体分析
6
K = ∑刚 k e
结点荷载F。
2
（5）引入支承条件，修改结构原始刚度方程 （针对于后处理法）。
（6）解算结构刚度方程，求出结点位移 Δ 。
（7）计算各单元杆端力
(e)
F
。
计算程序的主框图及算例
3
单元
K 离散化 分析
数
单
刚
据
元
度
开
文
刚
矩
始
件
度
阵
准
矩
集
备
阵
成
整体分析
单元
F
荷 载 矩 阵 集 成
Δ= K−1F
约解 束方 处程 理求 程位 序移
（2）形成各单元的单元刚度矩阵 11
1
⎡ 4EI
k (1)
=
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
⎣ l (1)
2
2EI ⎤
l 4
(1)
EI
⎥ ⎥ ⎥
1 2
l (1) ⎦
2
⎡ 4EI
k(2)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(2) 2EI
⎢⎣ l ( 2 )