北京理工大学数学专业数值计算方法Ⅰ期末试题2010级B卷(MTH17170)

一. (10分) 用三角分解（LU 分解）求解下方程组,要求写出L,U 矩阵：

1232644145361182x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭.

二. (10分) 已知矩阵6

37398785A -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪--⎝⎭

,求1cond()A 和cond()A ∞,要求计算过程保留三位

有效数字,并简要分析所得结果.

三. (10分) 设矩阵1001005a A b b a ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

,且0det()A ≠,试求用,a b 表示的求解线性方程组

Ax d =的Jacobi 及Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分必要条件.

四. (10分) 试确定下求积公式中的待定参数,使求积公式的代数精确度尽量高,并指明所确定的求积公式具有的代数精确度

[]20

002

''

()()()()()h

h f x dx f f h h f f h α⎡⎤≈

++-⎣⎦⎰

. 五. (10分) 已知非线性方程240x x +-=在014.x =附近有根，试构造一种收敛的迭代格式,并说明理由.

六. (10分) 求形如e (,)bx y a a b =为常数的经验公式,使它能和下表给出的数据相拟合

x １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８

y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6

七. (10分) 分别用Euler 法和改进Euler 法求解下问题的数值解,取01.h =,计算过程保留四位小数.

00201',.,

().

y x y x y =+≤≤⎧⎨

=⎩

八. (15分) 用下数据表构造不超过3次的插值多项式,建立导数型插值误差公式,并证明.

九. (15分) (1)设''

()0,[,]f x x a b <∈, 试证明用梯形公式数值计算积分()b

a

f x dx ⎰

所

得近似值小于准确值,并说明几何意义.

(2)用梯形公式计算

⎰

,并与真实积分值作比较.