压轴题——新定义

压轴题——新定义

1.在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确

定正方形”．

如右图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1）

的“确定正方形”的面积为_____________；

（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y x b

=+

C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求

（3）已知点E在以边长为2

标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y x

=-

所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2

范围．

2.在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周

长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x 轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：

图1

（1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5，

10

3

-），其中是平面直角坐标系中的巧点的是________；

（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线=k

y

x

（k为常数）上，求m，k的值；（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标．

3.在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的“中点形”的定义如下：对于图形W 上的任意一点Q ，连结PQ ，取PQ 的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点P 和图形W 的“中点形”． 已知C （-2，2），D （1，2），E （1，0），F （-2，0）．

（1）若点O 和线段CD 的“中点形”为图形G ，则在点1(1,1)H -，2(0,1)H ，3(2,1)H 中，在图形G 上的

点是；

（2）已知点A （2，0），请通过画图说明点A 和四边形CDEF 的“中点形”是否为四边形？若是，

写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由；

（3）点B 为直线y =2x 上一点，记点B 和四边形CDEF 的中点形为图形M ，若图形M 与四边形

CDEF 有公共点，直接写出点B 的横坐标b 的取值范围．

4.对于一次函数b kx y +=）（0≠k ，我们称函数[]=m y ⎩⎨⎧>--≤+）

（）

（m x b kx m x b kx 为它的m 分函数（其中m 为

常数）．

例如，23+=x y 的4分函数为：当4≤x 时，[]234+=x y ；当4>x 时，[]234--=x y ． （1）如果1+=x y 的－1分函数为[]1-y ，

①当4=x 时，[]=-1y ——————

；当[]31-=-y 时，=x ——————．

②求双曲线x

y 2

=

与[]1-y 的图象的交点坐标； （2）如果2+-=x y 的0分函数为[]

0y ，

正比例函数）（0≠=k kx y 与2+-=x y 的0分函数[]0y 的图象无交点时，直接写出k 的取值范围．

5.对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的"距离"，记作d(M ，N) ．特别的，当图形M ，N 有公共点时，记作d(M ，N)=0.一次函数y=kx+2的图像为L ，L 与y 轴交点为D, △ABC 中，A （0，1），B （-1，0），C （1，0）．

（1）求d(点 D , △ABC)= ；当k=1时，求d( L , △ABC)= ；

（2）若d(L, △ABC)=0.直接写出k 的取值范围；

（3）函数y=x+b 的图像记为W , 若d(W ，△ABC)≤1,求出b 的取值范围．

6.在平面直角坐标系xOy 中，记y 与x 的函数2

()y a x m n =-+（m ≠0，n ≠0）的图象为图形G , 已知图形G 与y 轴交于点A ，当x m =时，函数2

()y a x m n =-+有最小（或最大）值n , 点B 的坐标为(m ,

n )，点A 、B 关于原点O 的对称点分别为C 、D ，若A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，且对角线AC ，

BD 的交点与原点O 重合，则称四边形ABCD 为图形G 的伴随四边形，直线AB 为图形G 的伴随直线. （1）如图，若函数2

(2)1y x =-+的图象记为图形G ，

求图形G 的伴随直线的表达式；

（2）如图，若图形G 的伴随直线的表达式是3y x =-，且伴随四边形的面积为12， 求y 与x 的函数2()y a x m n =-+（m ＞0，n ＜0）的表达式；

（3）如图，若图形G 的伴随直线是24y x =-+，且伴随四边形ABCD 是矩形， 求点B 的坐标.

7.平面直角坐标系XOY 中，对于点),(n m A 和点)',(n m B ，给出如下定义： 若⎩⎨

⎧<-≥=)

1()

1('m n m n n 则称点B 为点A 的可变点．例如：点)4,1(的可变点的坐标是)4,1(，点)4,1(-的可变

点的坐标是)4,1(--．

（1）①点)1,3(的可变点的坐标是 ；

②在点)2,1(-A ，)4,2(-B ，中有一个点是函数x y 2=图象上某一个点的可变点，这个点是 ；（填“A ”或“B ”）

（2）若点A 在函数)34(2≤≤-+=x x y 的图象上，求其可变点B 的纵坐标'n 的取值范围；

（3）若点A 在函数)1,1(4->≤≤-+-=a a x x y 的图象上，其可变点B 的纵坐标'n 的取值范围是

3'5≤≤-n ，直接写出a 的取值范围．