第六章超导微观理论

|E|, 当V0时，E不能展开为V的幂级数，说明Cooper问题不能用微扰论求解
超导问题不能用微扰论求解
Cooper对的尺寸 利用测不准关系： cp ~
c为Cooper 对的半径
c ~
F EF ~ ~ ~ 104 cm p | E | k F | E |
EF为电子伏级， kF ~ 108 cm1, | E |~ 104 eV量级。
N k D 6 2 V D ck D 其中
1/ 3
3 1 2 3 3 c 3 cL cT
9 2 D 3 g ( ) D D 0
由于声学模声子的最大密度在 D 附近，那么可以将 Vk1 ,q 中厚度随 q 变化 的吸引区近似用费米面附近厚度为 2D 的固定能壳区代替。 * 此外，金属中电子还存在直接库仑作用，可以用屏蔽库仑势表示
H H EF N 相当于用热力学势代替自由能讨论粒子数可变系统
^
^
3、Cooper对
费密球外一对动量和自旋相反的电子之间只要存在净的吸引互作用，不管 它多弱，都能形成束缚电子对，即Cooper对。 两个束缚电子对的能量为
E 2D exp[
2 ] , g (0) 为费米面上某自旋取向 的态密度 g (0)V
J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Phys. Rev., 103, 1175 (1957). 由于Cooper证明了吸引互作用使费米球改组，形成k与-k电子的束缚态。 Bardeen, Cooper, Schrieffer设想超导基态是电子按照Cooper对分布的状态
1 , 2
可设为常数-V，V为正量 Bardeen等人认为在 2D 能壳外排斥相互作用可以略去。
1 H ' V Ck1 q ,1 Ck2 q , 2 Ck2 , 2 Ck1 ,1 2 q ,k1 ,k2
1 , 2
这一假设为V与取向无 关，相当于取各向同性 的s波散射近似。
H'
总的哈密顿量
V Ck', C k ', C k , Ck , 2 k ,k ',
H Ek Ck, Ck ,
k ,
^
V Ck', C k ', C k , Ck , 2 k ,k ',
经整理后得
H Ek (CkCk C C V C C C C k k k ' k ' k k k k ,k ' ^
2 其中基态能量： Es (0) 2 v 2 uk vk V k k 2 k k
说明从费米面激发一个准粒子至少 需要能量，它代表元激发的能隙。
1. 能隙的计算 T=0K时的，可通过元激发算子对基态的自洽平均来决定，由于此 时无准粒子激发：
BCS约化哈密顿量
H H EF N k (CkCk C k C k ) V C k ' C k ' C k Ck k k ,k ' ^ ^
其中
k Ek EF
代表从费米面算起的自由电子能量。 约化哈密顿选用的理由是在超导问题中，粒子数不守恒
E<0说明两个电子形成了束缚态。 电子对形成束缚态的能量比费米面上一对自由电子的能量低。表明存在吸 引互作用时，费米球不再稳定，电子将由于形成Cooper对获得能量。 超导基态应由Cooper对组成。 E 2D exp[
2 ] 为Cooper对的结合能，拆散Cooper对需要能量 g (0)V
k k
Ck uk k vk ,
k
2 uk
玻戈留玻夫正则变换 （算符满足反对易关系）
其中：
1 (1 k ) 2 k
2 vk
1 (1 k ) 2 k
代表超导的元激发能量
k k2 2
( k Ek EF )
2 2 变换后： H Es (0) k ( k k k k ) k
' H ' HK K ' HK
V Ck', CK k ', 'C K k , 'Ck , 2 k ,k ', , '
代表系统中总波矢为K的电 子对间相互作用。
不同的K，具有吸引作用的电子对数目不一样， 由阴影区绕K轴转成的体积决定
显然，K 0电子对占有最大相体积 ， 比K 0电子对占有的相体积大 得多。 可略去K 0的项。
C k Ck C C
k'
k '
C C
k'
k '
Ck Ck }
取一级近似
由于必须求出超导基态后才能最后求得 Ck Ck ，所以称自洽场近似。 * 定义
பைடு நூலகம்
V Ck C k ,
k
* Ck C k k
为复量，为简单起见，仅考虑为实量： “对算子”
超导电性的微观理论
1、基本性质
超导电性：低温下直流电阻消失的现象称为超导电性 *目前发现一半以上的金属和成百上千种合金是超导体。 但它们的转变温度Tc一般很低，直到20世纪80年代中期未超过30K。 * 1986年，J. D. Bednorz和K. A. Mü ller发现高温超导体以来，人们发现一系 列新的超导体。
3. 迈斯纳效应
在超导态弱磁场不能透入宏观样品内部，超导体对于弱磁场是完全逆磁体。 第一类超导体
超导体
* 如果在超导态弱磁场可以透入宏观样品内部。 第二类超导体
Bardeen、Cooper和Schrieffer于1957成功解释了第一类超导体的超导性。 BCS理论认为，电子间通过交换虚声子产生超导基态， 费米面附近相反动 量和自旋的电子对通过吸引互作用形成束缚电子对状态。称为Cooper对组 态
这就是BCS理论用于描述超导基态的哈密顿量
其基本假定是， 在费密面附近 准动量和自旋 都相反的电子 之间的吸引互 作用是产生超 导凝聚的主要 原因
令k代表（k， ）， k代表（ k， ）
则BCS的哈密顿量简化为
H Ek (CkCk C k C k ) V Ck 'C k 'C k Ck k k ,k ' ^
2 H k (CkCk C k Ck ) (Ck Ck Ck Ck ) / V k k
由于相当于“对算子”的外势场，所以又称为对 势。 利用玻戈留玻夫正则变换可将以上哈密顿对角化
Ck uk k vk k,
Ck uk k vk k C uk vk k
Hc (T ) Hc (0)[1 (T / Tc )2 ]
超导态
2. 存在能隙 根据量子力学，单电子可以穿透势垒，其隧穿电流应与外加电压成正比 对于超导体， T<Tc时，V必须大于/e才有隧道电流。
氧化物绝缘体
超导体 V
正常金属
超导体
说明超导相中激发出一个准粒子至少要能量，即存在能隙。
Vk1 ,q 0 ，有效势为吸引势 在费米面附近 | Ek1 q Ek1 | q D 能壳内， Vk1 ,q 0 ，有效势为排斥互作用。 在能壳外，
(2 ) 3 (2 ) 3 N 4 3 D 是德拜频率 * V 3 k D
态密度：
D ~ 102 eV
他们得出了超导态的本征能量及波函数，解释了低温超导现象。
这里介绍简单的自洽场近似法求BCS约化哈密顿的本征函数和本征值 （其实质与BCS变分法相同）
便于推广到T>0和空间非均匀等情况
这里介绍简单的自洽场近似法求BCS约化哈密顿的本征函数和本征值 （其实质与BCS变分法相同） * 根据Cooper对组成超导基态的想法，假定下列对算符的超导基态平均值存在：
FeAs基超导， Tc ~ 50K
液氮的温度为~77K。
超导体的基本属性可由下列3个特征表示 1. 超导态是一种新的凝聚态 T<Tc时，比热容不再与T成线性关系，变为指数式的温度关系。 T<Tc时，超导态的自由能比正常态低，因为必须加磁场Hc才能破坏超导性， 使金属恢复电阻，回到正常态。 Hc称为临界磁场。
Ck C k 0 | Ck C k | 0 0 Ck Ck 0 | Ck Ck | 0 0
将对算符写成
为小量
Ck C k Ck C k (Ck C k Ck C k ) Ck Ck Ck Ck (Ck Ck Ck Ck )
他们认为，由于费米球改组，在k空间中任一对状态k与-k电子的占据情况均 应当由变分极值条件决定。
min 0 | H | 0
其中BCS超导基态的变分试探函数
| 0 (uk vk Ck C k ) | Vac k 2 2 uk vk 1
vk占据几率，uk未占据几率
其中仅在| Ek1 q Ek1 | D区内V 0.
两电子在散射后总波矢守恒 设
K k1 k2
1 H ' V Ck1 q ,1 CK k1 q , 2 C K k1 , 2 Ck1 , 1 2 q ,k1 ,k2
1 , 2
令
k ' k q, k k1 , 1 , 2 '
显然，Cooper对的尺寸大约是晶格常数的一万倍。 因此，Cooper对内存在许多电子对，它们的运动是相关联的。 描述电子运动相互关联的空间尺寸，称为相干长度
0
vF (0)
(0)是超导体的零温能隙
与Cooper对的尺寸相当 相干长度0对超导体的电磁性能有重要影响
4、BCS超导理论
La2 x Srx CuO4 YBa2Cu3O6 x
Tc 40K Tc 92K Tc 110K Tc 125K Tc 133K ( 160K加压）
Bi2 Sr2Ca2Cu3O10 x Tl2 Ba2Ca2Cu3O10 x HgBa2Ca2Cu3O8 x
MgB 2
Tc 39K
H coul
1 4e 2 2 C C C C 2 k1 q , 1 k 2 q , 2 k 2 , 2 k1 , 1 2 q ,k1 ,k2 q
1 , 2
两电子间净的相互作用势
1 4e 2 H ' (Vk1 ,q 2 ) C C k q , k q , Ck , Ck , 2 q ,k1 ,k2 q 2 1 1 2 2 2 2 1 1
只取K=0电子对项的电子间的相互作用
H'
V Ck', C k ', 'C k , 'Ck , 2 k ,k ', , '
代表准动量相反的电子对的吸引互作用。 由于泡利不相容原理将限制自旋平行电子在位置空间靠拢，因此，’= 项的贡献比’= -项小，也可略去。
2、BCS约化哈密顿量
* 电子交换虚声子的有效互作用
H eff
1 Vk1 ,qCk1 q ,1 Ck2 q , 2 Ck2 , 2 Ck1 ,1 2 q ,k1 ,k2
1 , 2
2
Vk1 ,q | Dq |
2q ( Ek1 q Ek1 ) 2 (q ) 2
自洽场近似（SCFA）的哈密顿量
H k (Ck Ck C C ) V C k 'C k 'C k C k k k k k ,k ' k (Ck Ck C Ck'C k C k ) V { k ' C k Ck k k ,k '