历年备战中考数学易错题汇编-圆的综合练习题及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）π2 【解析】 试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且132

OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =CG CD =12

，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802AE ππ⋅⨯=

=．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．

（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．

【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为

32

． 【解析】 分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：

连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．

∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ．

又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ，

∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，

∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；

（2）连接EF ，方法1： ∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．

∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠=

∴23DC BD sin CBD

∠== 在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．

∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴

2222DC AE AE AE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =

在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2． 设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=（）（）

，∴r 3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°．

∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．

∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．

∵CD =2，∴22BC =．

∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴

2222DC AE AE AE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．

∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为3．

点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．

3．如图1，在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=6cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE 运动，到点E 停止，点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动，在DE 上以1cm/s 的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t （s ）．

（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为_____cm ．（用含t 的代数式表示） （2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．

（3）如图2，若点O 在线段BC 上，且CO=1，以点O 为圆心，1cm 长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O 的半径以0.2cm/s 的速度开始不断增大，当⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切时，求此时的t 值．

【答案】（1）t ﹣1；（2）S =﹣

38t 2+3t +3（1＜t ＜4）；（3）t =103

s ． 【解析】

分析：（1）根据勾股定理求出AB ，根据D 为AB 中点，求出AD ，根据点P 在AD 上的速