竖曲线计算

解：1．计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.05-0.04= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=3000×0.09=270m
切线长
TL270135 22
外 距 ET2 13253.04
2R 23000
竖曲线起点QD＝（K6+100.00）- 135 = K5+965.00
竖曲线终点ZD＝（K6+100.00）+ 135 = K6+235.00
2.凹形竖曲线最小半径和最小长度 设置凹竖曲线的主要目的：缓和行车时的离心力 确定凹竖曲线半径的依据：以离心加速度为控制指标 。
（1）凹竖曲线半径： 凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心力要求外，还应考虑两 种视距的要求： 一是保证夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离； 二是保证跨线桥下行车有足够的视距。
y 1 x2 2R
i1x
x h
h 源自文库x'2 2R
（3）竖曲线上任一点竖距h：
h(xPxA)2 x2 2R 2R
（4）竖曲线外距E：
上半支曲线x = T1时：
E1
T12 2R
下半支曲线x = T2时：
E2
T22 2R
E1 = E2 = E
故 T1 = T2 = T
ET2 2R
或 ER2 LT
8 84
令
dS 0, dl
dsR1h R2h 0 dl l2 (Ll)2
解此得 l h1 h1 h2
S R L (h 1h 2) 2 L 2 (h 1 h 2) 2 L 2
最小半径：
2(
Lmi n2S
h1h2)2
R m in L m in 2S2(h 1 2h 2)2
当采用停车视距，
4
Lm
T = T1 = T2
TLR
22
（3）竖曲线上任一点竖距h：
hPQyPyQx2PR2 (yAi1x)
i1
xA R
2xR P2 2xRA 2 xRA(xAxP)
h(xPxA)2 x2
x
2R 2R
下半支曲线的竖距h： h(Lx)2 2R
▪若设计算点离开竖曲线终点的距离为 x’，则 x’= L – x
y 1 x2 2R
线相切。竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的，但两切线保持相等。
2．竖曲线最小半径的确定方法：
竖曲线分为凸型竖曲线和凹形竖曲线两种情况。
凸形竖曲线最小半径应以满足行车视距要求计算确定。
凹形竖曲线最小半径应以离心加速度为控制计算确定。
3. 任意点设计高程计算方法：
已知连续三个以上变坡点桩号、高程、竖曲线半径或已知一个变坡点桩号、
其中： y——竖曲线上任一点竖距； 直坡段上，y=0；
y x2 2R
x——竖曲线上任一点离开起（终）点距离。
[ 例 4-3] ： 某 山 岭 区 一 般 二 级 公 路 ， 变 坡 点 桩 号 为 k6+100.00 ， 高 程 为
138.15m，i1=4%，i2=-5%，竖曲线半径R=3000m。 试计算竖曲线要素以及桩号为k6+060.00和k6+180.00处的设计高程。
= 136.55m 设计高程 HS = HT - y1 = 136.55 – 1.50=135.05m
（凸竖曲线应减去改正值）
（2）K6+180.00：位于下半支（>K6+100） 按变坡点分界计算：
横距：x2= ZD – Lcz = 6235.00 – 6180.00 ＝55m 竖距： y22 x2 R 22532500 00 .50
切线高程： HT = H2 + i2（ Lcz – BPD2） = 138.15 - 0.05×(6180.00 - 6100.00) = 134.15m
设计高程： HS = HT – y2 = 134.15 – 0.50 = 133.65m
按竖曲线终点分界计算： 横距：x2= Lcz – QD = 6180.00 – 5965.00＝215.00m 竖距： y22 x2 R 22 2312050 70 .70
y 1 x2 2R
y21Rx2i1x
式中：R——抛物线顶点处的曲率半径 ；
i1——竖曲线顶（底）点处切线 的坡度。
B
A
2．竖曲线要素计算公式：
切线纵坡：竖曲线上任一点切线的斜率： i dy x
（1）竖曲线长度L
dx R
L = xB – xA = Ri2-Ri1 =R(i2-i1)=Rω
（2）竖曲线切线长T：
2．计算设计高程 判断计算点位置： K6+060.00<BPD=K6+100.00，上半支曲线
K6+180.00>BPD=K6+100.00，下半支曲线
2．计算设计高程 判断计算点位置： K6+060.00<BPD=K6+100.00，上半支曲线 K6+180.00>BPD=K6+100.00，下半支曲线
Lcz-BPDn-1 HT
Hn BPDn
HT
y
in-1
in
Lcz1
HSLcz2
in+1
BPDn-1 Hn-1
（3）逐桩设计高程计算
切线高程： H T H n 1 in (L c B zn P 1 )D H TH n in(L cB zn P ) D
设计高程： HS = HT ± y （凸竖曲线取“-”，凹竖曲线取“+”）
t1d1l2R1 ht1 2l t1l 2R1ht12,
t2 d 2 (L l)2 R 2 h t2 2 (L l) S
t1
Rh1 l
l 2
d
2 1
B
t2 LR2hl L2l
2R A
视距 S 长 t1L 度 t2R l： 1 hL 2L R 2 lh(有极小值）
视距 S t1 长 L t2度 R l1 h L 2 ： L R 2 lh(有极 ） 小值
i2 ω
α2
i3
凸型竖曲线 ω<0
竖曲线的作用
（1）缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 （2）保证公路纵向的行车视距：
凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 （3）将竖曲线与平曲线恰当的组合，有利于路面排水和改善行车的视 线诱导和舒适感。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 竖曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 ➢特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
R V 2V 2
1a 33 .6
或 L m inV 3 2 .6
另一种算法：
F G 2 v G2， V R V 2 gR 1R 27 1(2 F /G 7 )
根据试验结果，将F/G控制在0.025之内就可以满足行车安全和舒适的要求。
V2 R
3.2
或Lmi nV 32 .2
《标准》按离心加速度a=0.278 m/s2 制定了凹竖曲线最小半径指标（F/G=0.0284）。
2.凹形竖曲线最小半径和最小长度
设置凹竖曲线的主要目的：缓和行车时的离心力引起的冲击力。
确定凹竖曲线半径的依据：以离心加速度为控制指标 。
（1）凹竖曲线半径：
离心加速度：a
v2 V2 gR 13R
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较合适。但考虑到不因冲击 而造成的不舒适感，以及视觉平顺等的要求，我国《标准》规定采用a=0.278 m/s2
S2 R
2( h1 h2 )
Lmin R
S2
2( h1 h2 )2
1. 凸形竖曲线最小半径和最小长度
（2）当L<S时：视距长度 S=t1+L+t2
h 12 d 1 R 2 2 t1 2 R ， d 1 则 2 R 1 h t1 2
h 2 2 d R 2 2 2 t2 2 R ， d 2 则 2 R 2 h t2 2
切线高程 HT = H2 + i1（ Lcz - BPD2） = 138.15 + 0.04×(6180.00 - 6100.00) = 141.35m
设计高程 HS = HT – y2 = 141.35 – 7.70 = 133.65m
1. 竖曲线线形特点:
结论
竖曲线的线形采用二次抛物线。抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡
高程、竖曲线半径及相邻两条坡段的纵坡度，可以计算该测段内任意点的设 计高程。
计算竖曲线要素及起终点桩号；
判断计算点所在的坡段，按直线比例内插法计算切线高程；
判断计算点与竖曲线是位置关系，计算竖曲线的纵距；
判断凸、凹，切线高程与纵距的代数和即为设计高程（凸型竖曲线的纵距 为负值，凹型为正）。
in2ST
2 (h 1 h 2 ) 2 2 (1 .2 .1 ) 2 4
当采用会车视距时，
9.6
Lmin2SH
2 (h 1 h 2 ) 2 2 (1 .2 1 .2 ) 2 9 .6
当采用超车视距时， Lmin2SC9.6
（3）凸形竖曲线最小长度 : 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的3秒行程 。
（1） K6+060.00：位于上半支（<K6+100） 横距：x1= Lcz – QD = 6060.00 – 5965.00＝95m 竖距： y12 x1R 22932500 10 .50
切线高程 HT = H2 + i1（ Lcz - BPD） = 138.15 + 0.04×(6060.00 - 6100.00)
▪竖曲线：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段曲线来缓和， 称为竖曲线。
▪变坡点：相邻两条坡度线的交点。 ▪变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值之差代替，用ω表示
ω=α2-α1≈tgα2 - tgα1=i2 - i1 ω<0：凸形竖曲线： ω>0：凹型竖曲线
凹型竖曲线 ω>0
i1
α1
竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的，但两切线保持相等。
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式： （1）包含抛物线底（顶）部； y 1 x2
2R
式中：R——抛物线顶点处的曲率半径
A
B
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式： （1）包含抛物线底（顶）部； （2）不含抛物线底（顶）部。
4.3 竖曲线
教学内容： ➢ 1 竖曲线的作用及线形 ➢ 2 竖曲线要素的计算公式 ➢ 3 竖曲线的最小半径和最小长度 ➢ 4 逐桩设计高程计算
重点解决的问题： 1. 竖曲线线形有何特点？ 2．怎样确定竖曲线最小半径？ 3. 怎样计算任意点设计高程？
4.3 竖曲线
4.3.1 竖曲线的作用及线形
x
h
x
4.3.3 竖曲线的最小半径和最小长度
1. 凸形竖曲线最小半径和最小长度
依据：凸形竖曲线最小半径应以满足视距要求为主。 （1）当L≥S时：视距长度 S=d1+d2
h12 d1 R 2，d则 1 2R1h
h22 dR 2 2，d则 2 2R2h
S
S d 1 d 2 2 R (h 1 h 2 )
（2）竖曲线要素的计算公式
变坡角ω= i2- i1 曲线长：L=Rω
切线长：T=L/2= Rω/2
外 距： E T2 2R
纵
距：
x2 y
2R
竖曲线起点桩号: QD=BPD - T 竖曲线终点桩号: ZD=BPD + T
x
y x
（3）逐桩设计高程计算
切线高程： H T H n 1 in (L c B zn P 1 )D H TH n in(L cB zn P ) D
（2）凹竖曲线最小长度：
《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s行程要求 。
4.3.4 逐桩设计高程计算
（1）纵断面设计成果 ➢ 变坡点桩号 BPD ➢ 变坡点设计高程 H ➢ 竖曲线半径 R
R
H
4.3.4 逐桩设计高程计算
（1）纵断面设计成果 ➢ 变坡点桩号 BPD ➢ 变坡点设计高程 H ➢ 竖曲线半径 R