数学：1.2.3《解三角形应用举例》课件(新人教A版必修5)

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高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用

3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二平面图形中线段长度的计算
【例2】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3

高中数学解三角形应用举例课件1 新人教A版必修5

角 ABC 的两边 AB 和 BC，且 ABC 1200 ，当
AB= 15 cm，BC= 15
cm 时锯断才能使
第三边 AC 最短。
完整版ppt
6
5、2008 年 12 月 27 日，加沙地带爆发了武装冲突，以色列对加沙进行了狂轰乱炸。若以色列炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面 C 和 D 处，已知 CD=6000m， ACD 450 ， ADC 75 ，
完整版ppt
9
【预习自测】
1、△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，则 C 为( A )
A．60° B．45°或 135° C．120° D．30°
2、在△ABC
中，
sin a
A
cos b
B
，则
B
为(
B
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3、在△ABC 中， 3sin A＋cos A＝1，c＝2，
s i n A 1 , s i n B 4 ，c o s A 3
2
5
2
sin C sin( A B ) sin A cos B cos A sin B
34 3 10
由正弦定理得： c b sin C sin B
b c sin B 16 160(4 3 3)
sin C 3 4 3
1.2《解三角形》的应用举例（第1课时）
完整版ppt
1
【问题导学】
ab
c
1、正弦定理:sin A＝__s_i_n__B___＝s_i_n__C_____=__2_R______(其中R为三角形外接圆的半径)
2、三角形中:a＝2Rsin A，b＝2__R_s_i_n__B_，c＝_2__R_s_i_n__C___．

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)

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第一章 1.2 第3课时
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课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

高中数学第一章解三角形12应用举例121解三角形在实际应用中的举例课件新人教A版必修5

练一练1
从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是( )
A.α>β B.α=β
C.α+β= 90°
D.α+β= 180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平
行,得α=β.
答案:B
1-2 3-4 5-6
练一练2
已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都为20海里,灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东50°的方向上,则两灯塔A,B间的距离为海里.
mile).
即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二测量高度问题
测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,由正弦定理,得
AD=s?in??∠s??in??????=?
12
6×22
3
=
24(n
mile).
2
即A处与D处的距离为24 n mile.
(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,解得CD=8 3(n
探究一
探究二
探究三
探究四
典型例题1
如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km的C,D两点,并
测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.

高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例(一)课件新人教A版必修5

自主学习
在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空： (1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90 度的角． (2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如以下图所示)
探究点1：测量可到达点与不可到达点间的距离问题1 试画出“北偏东60°〞和“南偏西45°〞的示意图．
＝55sisnin5745°°≈65.7(m)．所以A，B两点间的距离为65.7 m.
名师点评
解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
探究点2：测量两个不可到达点间的距离
例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．
123
因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π. 在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得 82＋52－2×8×5×cos(π－D) ＝32＋52－2×3×5×cos D，整理得 cos D＝－12，代入得 AC2＝32＋52－2×3×5×－12＝49，故AC＝7.
123
课堂小结
1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离〞，而测量“两个不可到达点间的距离〞要综合运用正弦定理和余弦定理.测量 “一个可到达点与一个不可到达点间的距离〞是测量“两个不可到达点间的距离〞的根底，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别. 2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清与未知，画出示意图；(2)建模：根据条件与求解目标，把量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)

系列丛书
思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
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第一章 1.2 第2课时
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提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60° 指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
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第一章 1.2 第2课时
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2．方位角的范围是(0° ，180° )吗？
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第一章 1.2 第2课时
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AB 在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，AB为定值，若要使仰 BE 角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝ 30° . 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° ， ∴BE＝BD· sin∠BDE＝20 2sin15° ＝10( 3－1) (m)．在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10( 3 －1)tan30° ＝ 10 3 (3－ 3)(m)． 10 ∴塔的高度为 3 (3－ 3) m.
标方向线为止的水平角叫方位角． ______________________
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第一章 1.2 第2课时
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(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．
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第一章 1.2 第2课时
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如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫
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第一章 1.2 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 底部不可到达的高度问题某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40

人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件23

一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
解析：
设快艇驶离港口 B 后，最少要经过 xh，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇．如图，连接 CD.则快艇沿线段 BC，CD 航行．
在△OBC 中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°. 又 BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 3.故快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1h. 在△OCD 中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理知，CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD， ∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60 3)2－2·20x·60 3cos30°，解得 x ＝3 或 x＝38. ∵x>1，∴x＝3. 故快艇驶离港口 B 后，最少要经过 3h 才能和考察船相遇．
分析：边读题，边画图形，如图，将条件中的角、长度标上，求轮船离港口 A 还有多远，即求 AD 的长，在△ACD 中，已知一角(A)一边(CD)，待求 AD，结合已知条件△BCD 三边长已知，由余弦定理可求三角，考虑沟通已知和未知，可利用∠ADC 与∠BDC 互补，求∠BDC.
解析：
在△BDC 中，由余弦定理知， cos∠CDB＝BD2＋2BCDD·C2－D BC2 ＝－17，
测量距离的问题
[例 1] (2011·东北三校二模)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站为 31n mile，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21n mile，问此时轮船离港口 A 还有多远？

高中数学课件归纳必修5第一章解三角形1.2解三角形应用举例第三课时

例2 在某点B处测得建筑物AE的
顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续
前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，
求的大小和建筑物AE的高.
解：（法一）（用正弦定理求解）由已知可得在△ACD中，
答：所求角为15°，建筑物高度为15 m.
答：所求角为15°，建筑物高度为15 m.
答：所求角为15°，建筑物高度为15 m.
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有 BC=at，AC= at，
所以B=90°+30°=120°.
由得
因为0°<∠CAB<90°，所以∠CAB=30°. 故∠DAC=60°－30°=30°. 答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况:
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
思考：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里
的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应
该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
练习：课本16页时）
前面我们学习了如何测量距离和高度，这
些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.

数学人教版必修五《1.2应用举例》(共19张PPT)

55 sin 75
55 sin 75 66(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为66米。
思考
如何测定河对岸两点A、B间的距离？
B A
导入两个不可到达点的问题
例2、如图, A,B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量，求A,B两点距离的方法。解：如图，测量者可以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， ∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ，
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
导入一个不可到达点的问题
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离。
探究载客游轮能否触礁
一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处
的北偏东角，前进4km 后，测得该岛在北偏
东角，已知该岛周围3.5 范围内有暗礁，现该船继续东行。 (1)若 2600，问该船有无触礁危险？如果没有请说明理由；
(2)如果有，那么该船自处向东航行多远会有触礁危险
探究载客游轮能否触礁
∠ADB=δ。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
例题讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ。在 △ADC和△BDC中，应用正弦定理得

高中数学1.2 解三角形应用举例讲新人教A版必修五含解析

☆教学目标☆1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语；2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.☆学习重点☆1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语；2.理解有关角的概念,能够运用正弦定理、余弦定理解决有关角度、高度的问题。

☆学习难点☆1.理解题意,设计方案进行测量,把实际问题转化为数学模型进行计算；2.理解有关角的概念,应用空间想象能力,把有关角度、高度的问题转化为数学模型进行计算。

☆基础回扣☆1.基础回扣(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角(如图①).(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)称为方向角.北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向；北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向；南偏西等其他方向角类似.(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 问题探究:如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.2.三角形的面积公式S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)＝12ab sin C ＝12bc ＝12 sin B .（1）上方、下方（2）北方 ☆问题探讨与解题研究☆类型一运用正、余弦定理解决速度问题【例1】如图1所示,甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的1B 处,此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的2B 处,此时两船相距10 海里.求乙船的速度.【分析】根据已知条件判断221B A A ∆的性质.先计算21A A 与221B A A ∠的大小,可以发现△221B A A ∆是等边三角形.在121B B A ∆中,求21B B 的长度,最后求乙船的速度.解析如图所示,连结1A 2B ,由已知2A 2B =102,1A 2A =302×6020=102,得1A 2A =2A 2B 又△∠1A 2A 2B = 180【小结】解决航海中的速度问题先要正确作出图形,把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.通常会遇到两种情况:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,此时应直接利用正弦定理或余弦定理；(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解.【练习】如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间？【解】由题意知AB ＝5(3＋3)海里,∠DBA ＝90°－60°＝30°,∠DAB ＝90°－45°＝45°, ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD 中,由正弦定理,得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB,∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC ＝203(海里), 在△DBC 中,由余弦定理,得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900,∴CD＝30(海里),∴需要的时间t ＝3030＝1(小时). 故救援船到达D 点需要1小时.这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当.类型二、测量距离问题【例2】如图4所示,为了测量河对岸A,B 两点间的距离,在这一岸定一基线CD,现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°,∠BCD ＝30°,∠BDC ＝105°,∠ADC ＝60°,试求AB 的长.【分析】分清已知和未知条件,将问题集中到一个三角形中, 运用正、余弦定理求解.【小结】这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解. 注意:①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.【练习】如图5,为了计算渭河岸边两景点B 与C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A 和D 两个测量点.现测得AD ⊥CD ,AD ＝100 m,AB ＝140 m,∠BDA ＝60°,∠BCD ＝135°,求两景点B 与C 之间的距离(假设A ,B ,C ,D 在同一平面内,测量结果保留整数；参考数据:2＝1. 414,3＝1.732,5＝2.236).即两景点B 与C 之间的距离约为113 m. 类型三、测量高度问题【例3】如图,山脚下有一小塔AB ,在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°,在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°,已知塔高AB ＝20 m,求山高CD .【解】如图,设CD ＝x m,则AE ＝x －20 m, tan 60°＝CD BD ,∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m).在△AEC 中,x －20＝33x ,解得x ＝10(3＋3) m.故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.【练习】如图7所示,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D,现测得∠BCD ＝α,∠BDC ＝β,CD ＝s,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB.类型四有关三角形的面积【例4】在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c ＝2,C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ,求△ABC 的面积.【分析】(1)联合三角形面积公式和余弦定理解方程组,求两边长a,b.(2)由已知等式求边、角或其关系,由角和边再求面积.【小结】有关三角形面积的问题,一类是求面积,另一类是利用三角形面积求其他值.不论哪种形式的面积问题,都需要借助正、余弦定理去解决.【练习】在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , B ＝π3,cos A ＝45,b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积.☆当堂检测☆1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定A 、B 间距离的是 ( )A.α,a ,bB.α,β,aC.a ,b ,γD.α,β,b解析:选A 选项B 中由正弦定理可求b ,再由余弦定理可确定AB .选项C 中可由余弦定理确定AB .选项D 同B 类似.2.在某次测量中,在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C 点的俯角是70°,则∠BAC 等于 ()A.10°B.50°C.120°D.130°解析:选D 由已知∠BAD ＝60°,∠CAD ＝70°, ∴∠BAC ＝60°＋70°＝130°.3.为了测量某塔AB 的高度,在一幢与塔AB 相距40 m 的楼顶处测得塔底A 的俯角为30°,测得塔顶B 的仰角为45°,那么塔AB 的高度是( )A.m )331(40+B.m )22(20+C.m )31(40+D.m 604.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若a 2－b 2＝3bc ,sin C ＝23sin B ,则A 等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°☆课堂小结☆正、余弦定理在实际生产生活中,有着广泛应用,常见题有距离、高度、角度问题以及求平面图形的面积等.在解这类问题时,首先应明确各术语的含义,分析题意,分清已知与所求,找出各量之间的关系,再根据题意正确画出示意图,将要求的问题抽象为三角形模型问题,这是最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点,最后将结果还原为实际问题的解.☆课后作业☆课本p20页习题1.2A组9、10、11。

人教A版高中数学必修五课件1.2解三角形的应用举例2

（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 300 北
点A在北偏东600，方位角600.
A
600
点B在北偏西300，方位角3300. 西
东
点C在南偏西450，方位角2250. C 点D在南偏东200，方位角1600.
450 200 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
数学模型的解
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的
例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.
想一想
A
图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，

求什么？
D
C
E
G
H
B
例3AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：在⊿ABC中 ∠A=15°,
∠C=25°15°=10°.
根据正弦定理，
BC AB sin A sin C
BC

ABsin A sin C

5sin15 sin10

7.4524(km).
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]

sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则升旗手匀速升旗的速度为________．

人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件

数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
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第一章解三角形
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当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
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解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．
答案： B
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合作探究课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°，从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.

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解应用题的一般步骤是：解应用题的一般步骤是： 1、分析分析：理解题意，画出示意图分析 2、建模建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中建模 3、求解求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这求解些三子角形，求得数学模型的解。 4、检验 4 检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而检验得出实际问题的解。数学问题（三角形）实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解数学问题的解（解三角形）
−2 × 100 3 × 200sin 75° cos 75° = 5 × 1002 ∴ AB = 100 5
所求A 所求A、到达的；底部可以到达的；测量出角C BC的长度的长度，测量出角 C 和 BC 的长度，解直角三角形即可求出AB的长。 AB的长角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的测量边CD ，测量 ∠ C 和 ∠ ADB ， ADB，测量边 CD，测量∠ CD
AC DC = sin ∠ADC sin ∠DAC
求出AC的长；第二步:在△BCD中求出角∠DBC，第二步由正弦定理
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CAiCB cos C 求得AB的长。
解应用题中的几个角的概念 1、仰角、俯角的概念：、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南、方向角：方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图
测量问题：测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达，又不能相互看到。需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
sin ∠BAC sin ∠ABC
BC sin ∠ABC 32sin 30° 16 = = 得 AC = sin ∠BAC sin15° sin15°
在等腰Rt△ACD中在等腰Rt△ACD中，故 Rt
2 2 16 8 2 CD = AC = × = = 16( 3 + 1) 2 2 sin15° sin15°
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边例题1:要测量河对岸两地A 之间的距离， 1:要测量河对岸两地米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、四点在同一平面上，两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
BC DC 由正弦定理 sin ∠BDC = sin ∠DBC ，得
DC sin ∠BDC 100 3 sin 75° = = 200 sin 75° BC = sin ∠DBC sin 60°
在△ABC中由余弦定理， ABC中由余弦定理，中由余弦定理
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CAiCB cos C = (100 3) 2 + (200sin 75°) 2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5 必修
1.2.3《解三角形应用举例》
教学目标
• 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 • 2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 • 3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。 • 二、教学重点、难点教学重点、 • 重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已重点：知条件和所求角的关系 • 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度难点：的问题
∴山的高度为16( 3 + 1) 米。
例3 杆OA、OB所受的力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km。问几小时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
CD AB = cot C − cot ∠ADB
例题2 例题2：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯角 α = 60 ，在塔底 C处测得点 A的俯角 β = 45 ，已知铁塔BC部分高 32 米，求山高CD 。解：在△ABC中，∠ABC=30°， ABC中 ABC=30° 30 135° ∠ACB =135°， ∴∠CAB 180° ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180° (135°+30°)=15° =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, BC AC = 由正弦定理 ,
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CAiCB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，
AB BC = 可求边AB的长。 sin C sin A
③两点都不能到达第一步:在△ACD中，测角∠DAC，第一步由正弦定理