算符的对易关系两力学量同时有确定值的条
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准.
(36)
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同 时有确定值的条件。 ˆ 有一组共同本征函数 n ，而 ˆ和G 如果两个算符 F ˆ 对易。 ˆ 和 G 且 n 组成完全系，则算符 F
证明：
Fn nn , Gn nn , 而 ann
n n
n 由于 为任一波函数，所以
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
关系。显然（1）（2）两种操作之间结果不同：
x px px x i
记为
x, px i
(3)
(4)
(5)
其中 为任意波函数 x px px x i
A B AB BA
（5）式称为算符 x 和 px 的对易关系(comutation relation),等式不为零，我们说，x 与 px 不对易。
(25)
(26)
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写 为：
l , l 0, l , l 0, l , l 0 x x y y z z lx , lz i lz , l y , lz i lx , lz , lx i l y
同理
y, p y i
z , pz i
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同）
3.7 算符对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
第13讲共同本征函数、测不准关系
ˆx, p ˆ y, p ˆz. p
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . H z
例 3：
ˆ H
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
§8 测不准关系
（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三）角动量的测不准关系
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 例 1： 例 2： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
例如：
ˆF ˆ ˆ F ˆG G ˆF ˆ ) 0 ˆ F ˆG (G
ˆ ,L ˆ ] 0 [L x z
= 0 的态，Y
m
= Y00
？
Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个， 而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。
定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。
（一）测不准关系的严格推导
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
问题：
不确定度：
（1）测不准关系的严格推导
x
p
3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。
(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
11/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
6/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
定理若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系
同
时
有
确
定
值
：Em
m 2 2 2I
, m,(m
0,1,).
例 4：
空间转子：Hˆ
Lˆ2 2I
,
Lˆ2 , Lˆ z
两两对易；
共同完备本征函数系：Ylm ( , )
l 0,1,2, m 0,1, l
同
时
有
确
定
值
：E
l
l(l
1)2 2I
定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系 的充要条件是这组算符两两对易。
例 1： 例 2：
动量算符：pˆ x , pˆ y , pˆ z
两两对易；
共同完备本征函数系：
p
(
r
)
1
(2)3/ 2
i
e
pr
同时有确定值：px , py , pz .
氢原 共同
子 完
n
n
因为 (x) 是任意函数
cn (GnFn FnGn )n 0 n
所以
FˆGˆ GˆFˆ 0
逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。
证： 仅考虑非简并情况
设 FˆGˆ GˆFˆ 0
n 为 Fˆ 的任一本征函数, 本征值为Fn .
I . 证明：若Fˆ为厄密算符，则偏差Fˆ Fˆ F仍为厄密算符。
证：
（Fˆ） （Fˆ F ) Fˆ F * Fˆ F Fˆ
II 测不准关系的严格推导
设二厄密算符对易关系为：
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
量子力学总结习题考卷及答案
量⼦⼒学总结习题考卷及答案第⼀章⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。
⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。
⒎普朗克量⼦假说：表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。
这种电⼦称之为光电⼦。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。
若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。
②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。
光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。
⒑爱因斯坦光量⼦假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。
爱因斯坦⽅程⒒光电效应机理：当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。
②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。
⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。
⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性⒘与运动粒⼦相联系的波称为德布罗意波或物质波。
算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
第三章量子力学中的力学量5
（一）两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义？ 到底有什么物理意义？这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。这些对易关 系需要牢记并能够证明。 系需要牢记并能够证明。
px , p y , pz
ˆ ˆ ˆ H , L2 , Lz
两两对易
r 具有完备的共同本征函数系： 具有完备的共同本征函数系： ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
同时具有确定值
En , l (l + 1)h 2 , mh
例 3：
ˆ L2 ˆ ˆ = z ,L 定轴转子： 定轴转子： H z 2I
由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种： 由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种：相 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 有可能同时具有确定值 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 ˆ ˆ 前面我们已经知道如果某波函数 ψ 是算符 F 和算符 G的共同本 征函数， 同时具有确定的观测值。 征函数，那么力学量 F 和 G 同时具有确定的观测值。确定值就 是它们的本征值 λ 和 µ ，即： ˆ ˆψ Fψ = λψ G = µψ 以上说法的逆也是正确的：如果在状态 ψ 中，力学量 F 有确 以上说法的逆也是正确的： 说法的逆也是正确的 ˆ 的本征函数， 定值， 定值，那么 ψ 必为算符 F 的本征函数，如果同时力学量 G 也 ˆ 的本征函数。 有确定值， 是它们的共 有确定值，那么ψ 也是算符 G 的本征函数。即 ψ 是它们的共 同本征函数。 同本征函数。 结论 两个算符具有共同本征函数和两个算符对应的力学量能够同时 取确定值是等价的。但是需要注意的是， 取确定值是等价的。但是需要注意的是，这并不意味着在任何 状态下两个力学量都能取确定值。 状态下两个力学量都能取确定值。
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
考研量子力学量子力学大纲
《量子力学》课程教学大纲课程英文名称：Quantum Mechanics课程简介：本课程为专业基础课。
通过该课程的学习，学生可以掌握量子力学的基本理论与基本方法，能提高本科生分析和解决实际物理问题的能力，为本科生后续的专业课程学习和今后的实际工作奠定一定的理论基础，并掌握初步的解决问题方法。
让学生掌握描述量子力学的一些基本量子思想和量子理论方法。
这些内容将为今后本科生在固体物理学、磁性物理学、凝聚态物理等理论方面的进一步学习奠定一定的理论基础，并可以使本科生初步掌握分析问题和解决问题的方法。
一、课程教学内容及教学基本要求第一章绪论本章重点：1)介绍量子力学的产生背景时要说明提出问题和解决问题的条件：社会的需求、科学技术的水平、人们的前期努力和成就等等，用历史唯物主义的观点看待问题。
介绍杰出的人物的工作和贡献时同样应注意突出重点，兼顾全面的原则，从科学史的角度考察，借以获得更多的教益。
2)要着重注意介绍德布罗意假设、波粒二象性的概念，借以初步认识微观客体运动的特殊性和唯物主义思想的指导作用；介绍相应的实验验证和实践应用，认识理论和实践的关系。
3)使学员能从较宽广的角度认识量子力学的地位和作用，增强学习自觉性。
同时初步了解学科的特点，对下一步的学习有相应的准备。
难点：康普顿散射的推导及理解，微观粒子的波粒二象性。
第一节经典物理学的困难（之一：黑体辐射问题和Plank量子论）本节要求：理解：黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和Plank量子论。
掌握：Plank 量子论（重点：考核概率50%）。
1 黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（维恩公式、瑞利-金斯公式）。
2 Plank的电磁辐射能量量子化的思想，并推导Plank的黑体辐射公式，理解并掌握Plank 的能量量子化的假设。
第二节经典物理学的困难（之二：光电效应与爱因斯坦的光量子论；之三：A.Einstein光量子论在Compton效应的解释）本节要求：掌握：光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等）；爱因斯坦的光量子论解释光电效应；Compton效应概念；A.Einstein光量子论在Compton效应的解释（重点：考核概率100%）；理解：在微观单个碰撞事件中能量动量守恒定律仍然成立）。
【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆ ˆ y ] z,p ˆ ˆx 0 [z,p
ˆx,p ˆ y ] p ˆx,p ˆz ˆ y,p ˆz [p p 0
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 有确定值 n ， G ˆ ,ˆ ˆ ,… ˆ,G 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H I， F
代表的力学量可同时取确定值。
结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件
是在这些力学量算符的共同本征态中。
例如：
ˆ y， ˆ x， ˆ z 对易，则它们有完全共同的本 ①动量算符 p p p
它们只是在态平均的意义上成立所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了即在势垒内部粒子动能为负值的说法不成立
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，
ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
2
ˆ 2是关于 ， ˆ 是关于 的微分算符， 的微分算符， L 且L z
ˆ ,L ˆ ]0 。 ˆ ,L ˆ 2 ] 0 , [H 所以： [H z
ˆB ˆ B ˆA ˆ ，等式成立。 ˆC ˆC 等式左边= A
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
ˆ ,L ˆ ] =[ z ˆx x ˆz,x ˆy y ˆx] ˆp ˆp ˆp ˆp [L y z
算符与力学量的关系
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
证明这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化则能谱分布情况分立谱连续谱cossincossinmama写出t时刻的波函数
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[ [
Lˆx Lˆ y
, ,
Lˆ y Lˆz
] ]
i i
Lˆz Lˆx
[
Lˆz
,
Lˆx
]
i
Lˆ y
[Lˆ , Lˆ ] i
Lˆ
,
123 1
εαβγ—列维--斯维塔(Levi-Civita)符号
角动量算符定义: Lˆ Lˆ i Lˆ
三、非对易关系的物理意义——测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation )
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系
两力学量同时有确定值的条件
测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously
with determine value Uncertainty relation
xpˆ x
i
x
x
,
pˆ x x
i
(x )
x
i
x
x
i
xˆpˆ x pˆ x xˆ i
(xˆpˆ x pˆ x xˆ) [xˆ, pˆ x ] i
(xˆpˆ x pˆ x xˆ) xˆ, pˆ x i
(
yˆpˆ
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
同理可证:
[ [
Lˆ Lˆ
, ,
xˆ ] i pˆ ] i
xˆ pˆ
[
Lˆ2
,
Lˆ
]
0, (
x,
y, z)
[Lˆx, pˆ 2] pˆx[Lˆx, pˆx ][Lˆx, pˆx ]pˆx pˆ y[Lˆx, pˆ y ][Lˆx, pˆ y ]pˆ y pˆ z[Lˆx, pˆ z ] [Lˆx, pˆ z ]pˆ z 0 0 pˆ y (i pˆ z ) i pˆ z pˆ y pˆ z (i pˆ y ) i pˆ y pˆ z 0
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件
测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities
x[Lˆ , x] [Lˆ , x]x y[Lˆ , y] [Lˆ , y]y z[Lˆ , z] [Lˆ , z]z
[Lˆx , r 2 ] x[Lˆx , x] [Lˆx , x]x y[Lˆx , y] [Lˆx , y]y z[Lˆx , z] [Lˆx , z]z
simultaneously with determine value
Uncertainty relation
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation)
[例题]证明(原课件):
[ pˆ x , F(x)] i
F x
解:取任意函数,由于
[ pˆ x , F (x)]
i
[ F
x
F ]
x
i [F F F ] i F
x
x x
x
因是任意的函数,所以
[ pˆ x , F (x)] i
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
1,基本对易式:
[xˆ , pˆ ] i
,
1 0
( ) ( )
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
0 0 y(i z) (i z) y z(i y) i yz 0 [Lˆy , r 2] 0,[Lˆz, r 2] 0
又因为 [Lˆ , pˆ 2 ] [Lˆ , pˆx2 ][Lˆ , pˆ y2 ] [Lˆ , pˆ z2 ]
pˆx[Lˆ , pˆx ][Lˆ , pˆx ]pˆx pˆ y[Lˆ , pˆ y ][Lˆ , pˆ y ]pˆ y pˆ z[Lˆ , pˆ z ][Lˆ , pˆ z ]pˆ z
F x
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
[例题]证明(原课件): [Lˆ , r 2 ] 0,[Lˆ, pˆ 2] 0 解:因为 [Lˆ , r 2] [Lˆ , x2 ][Lˆ , y2 ][Lˆ , z2 ]
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
2,角动量算符的对易式: Lˆ rˆ pˆ
[Lˆx , Lˆy ] Lˆx Lˆy Lˆy Lˆx ( ypˆ z zpˆ y )(zpˆ x xpˆ z )
(zpˆ x xpˆ z )( ypˆ z zpˆ y ) ( ypˆ x xpˆ y )( pˆ z z zpˆ z ) i Lˆz
y
pˆ y
yˆ )
[ yˆ,
pˆ y
]
i
(zˆpˆ z pˆ z zˆ) [zˆ, pˆ z ] i
[xˆ, pˆ y ] [xˆ, pˆ z ] [ yˆ, pˆ x ] [ yˆ, pˆ z ] [zˆ, pˆ x ] [zˆ, pˆ y ] 0
第三章 量子力学中的力学量