平面汇交力系和平面力偶系

第二章 平面汇交力系与平面力偶系

§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法

一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 1、平面汇交力系的合成

先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系1F ，2F ，3F

汇交于O （图1），由静力学公理3：

力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F

=如图和图所示，其中321F F F F ++=

F

2

F 3

F O

F

O

1

F 2

F 3

F

12F

讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力

大小和方向的方法称为合力多边形法则。

2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。

结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：

∑=i F F

用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。

2．平面汇交力系的平衡

1

F 2

F i

F 2

-n F 1-n F n F

设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F

先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F

，（∑-=-=11

1n i i N F F ）

0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F

由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F

等值，反向，共线，

即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F

，或0=∑i F

结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是

0=∑i F

，力多边形自行封闭。

例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F

，方向如图，求反力

F

A B C

45F A

F B

A

C

α 45F

F B

F α

解：1。取研究对象AB 梁 2．受力分析如图

3．作自行封闭的力三角形如图 2

1=αtg 4．求解

)

45sin(45sin )90sin(αα-==+

B A F F F

αcos 45sin F F A = α

αcos )45sin(-= F F B

例2．已知：支架ABC ，A 、B 处为铰支座，在C 处用销钉连接，在销上作用kN P 20=，

不计杆自重。求：AC 和BC 杆所受的力。

A

B

C

P

30

C

30AC

F BC

F P

30AC

F BC

解：1。取研究对象销钉C 2．受力分析

3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形

60

sin 90sin 30sin BC AC F F P == §2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

1． 力在坐标轴上的投影

α

a

x

A

B O

i

F F ab

F x ⋅==±=αcos ⎭⎬⎫

==ααcos cos F F F F y x

力矢F

与各投影有以下关系：

F O = j O i O O y x

+= 此式称为力的解析式

2．合力投影定理

若某平面汇交力系由几个力组成，则合力

j F i F F F iy ix i )()(∑∑∑+==

j F i F y x +=

于是 ⎪⎭

⎪

⎬⎫==∑∑iy y ix x F F F F

结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定

理。

合力的大小：22)()(∑∑+=

iy ix F F F *

合力的方向：F

F

ix

∑=αcos F

F

iy

∑=

βcos

2．平衡

由几何法知。汇交力系平衡 0=∑i F

由式（*）知⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00

iy

ix F F

平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。

上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。

例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a ，在D 点作用水平力P ，不计自重，求支ﾧ@、C 的约束反力。

a a

A

B

C

D

P

B

F B A

A

F B

F ' B C C

F P

x

D

y

解：分析易知OAB 是二力杆件， 1．以BCD 为研究对象； 2．受力分析 3．列方程，求解

0=∑ix

F

045cos 45cos =-+- C B F F P

0=∑iy

F 045sin 45cos =+

B C F F 求得 P F B 22=

P F C 2

2-= 也可在y x B ''系中。

0=∑'

y i F

045cos =-- B C F F

0=∑'

x i F

045sin =- P F B

可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。

例4．已知：kN P 20=，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB 与BC 所受的力。

P

A B

C

30

30

30 F

T F AB

F BC

F B

30

30 30

解：1、研究对象：滑轮 2．受力分析 3．列方程求解

0=∑ix

F

030sin 30cos =--- T BC BA F F F 0=∑iy

F

030cos 30sin 1=---F F F BC

其中 P F F T ==

解得 kN F BC 64.74-=（压） kN F AB 64.54=（拉）

小结：从刚才的解题中，我们可以看出，几何法解题直观、简单、容易掌握，力系中各力之